CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
Том 249 1973
РАССЛОЕНИЕ КОМПЛЕКСОВ {2. 3} НА ЦИКЛИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
М. Р. ВАЙНТРУБ
(Представлена кафедрой высшей математики)
Общие комплексы окружностей в трехмерном евклидовом пространстве принадлежат трехпар а метрическому семейству плоскостей. Однако представляет интерес рассмотрение таких комплексов, плоскости окружностей которых образуют семейства меньшей размерности по сравнению с размерностью самого многообразия окружностей. Такие комплексы окружностей рассматривались в [1] и были названы вырожденными. В трехмерном 'проективном пространстве вырожденные комплексы комик изучались в [2].
В данной работе в трехмерном евклидовом пространстве рассматриваются комплексы {2.3} (комплексы окружностей, плоскости которых образуют двухпараметрическое семейство), расслаивающиеся на циклические системы ([3], стр. 107). Устанавливаются некоторые свойства таких комплексов.
1. Замкнутая система дифференциальных уравнений комплекса {2.3}, с каждой окружностью
(*■)* + (**)* —я» = о, *3-0 (1)
которого ассоциируется локальный канонический репер (Л, еи е2, е3), [1], может быть записана в виде
">1 = г1(«.з + г10е°,
Г1 ч г«3 I
210)з, о-1 = Го/ 0)3,
«В? = Г0в° + Г>гз, (2)
[Дгис4] + [дг10е°] = о,
[ДГ2;<4]=0, [ДГог<4] =0,
[ДГ0в»] + [ДГ,^]=01
где Г,о > 0 вследствие ориентации вектора ех репера, 9° = — ш' = ш1 и (г, у, к — 1,2; по к — не суммировать!)
ДГш = ¿Го,- — Гок ш* +
ДГИ = с1Ги — Г12а>* -¿- Г!«2 — Ш3, дг0 = ¿г0,
ДГ12 - ¿Г,2 - Г„а»5 + Г2Ю2, Д1\ = <Я\ - Г>?,
дг10 = ¿г10 + г0ш2, дг2 = аг2 - гг(о?, + <»', (з)
ДГ21= ¿Г,, - Г220)? - Г!«)1 + ГоГ,,©0,
дг,2 = аг,, _ г21т« - гх + г0г12е° - шз.
Предполагается, что формы Пфаффа иД (а, £ = 1, 2, 3) удовлетворяют условиям кососимметричности и структурным уравнениям Картана ([4], стр., 137—138).
Комплекс {2.3} расслаивается на сю1 конгруэнций
со ЕЕ аш' + Ьщ + св° = 0, (4)
если уравнение (4) вполне интегрируемо, то есть
[Л о,(|)]=0. (5)
Полагая
йа — + а30°,
= ^ + (6) Л? - + С3в°,
из (5) получаем условие
(й3 — Со + йГ0) а — (а3 — — £?Г0) Ь —
— (¿1 ~ «2 + + ЬГ2)с - 0 (7)
расслоения комплекса {2.3] на конгруэнции (4).
2. Окружности голономной конгруэнции ш = 0 комплекса (2.3) образуют циклическую систему, если эта конгруэнция допускает оо1 поверхностей, ортогональных ко всем ее окружностям. Рассуждая известным способом ([3], стр. 107—108), получаем:
[А'] + [в0«)1] ^Е0(тос1ш),
/?2[ш3ш|] + (в0а>2) = 0(то(Ь)), (8)
Я2 [шзшз] + К*»2) = 0(тоба)).
Из (8) с учетом системы дифференциальных уравнений (2) следует, что
аГ22 — £>Г21 — с/?2Гш = 0, (9)
аГ10Г22 - 6Г10Г21 - с (/?* + ГПГ22 - Г12Г21) = 0.
Анализ уравнений (7) и (9) показывает, что произвольный комплекс {2.3} не расслаивается на циклические системы.
3. Имеет место следующая теорема. Теорема. Если комплекс окружностей {2.3} расслаивается на однопараметрическое семейство конгруэнций со = 0, окружности которых образуют циклические системы, то:
1) либо одно из семейств каналовых поверхностей этого комплекса является семейством трубчатых поверхностей;
2) либо радиус окружности такого комплекса есть среднее пропорциональное между расстояниями от центра окружности до центров его фокальных сфер.
Доказател ьство. Комплекс окружностей {2.3} обладает двумя, в общем случае различными семействами каналовых поверхностей [5]. Система дифференциальных уравнений для нахождения семейств каналовых поверхностей и абсцисс р центров фокальных сфер [6] комплекса {2.3} имеет вид:
(Гц - р) <■>£ + г12ш* + г10е° - о,
Г21Ц + (Г22-Р)СО!-0, (10)
р (ГшЦ +■ Го2^з) — в0 = 0.
5. Заказ 2836. 65
(М
о (12)
Абсциссы р центров фокальных сфер этого комплекса определяются из уравнения
(г10гЗ, -- 1) г + |Г1( +г22 + Г] о (Гш г21 - гЗ, г22)| н- г,,г21 - г„ г22 = о.
(Н)
Если условие сформулированной теоремы выполняется, то система уравнений (9) должна иметь решения, отличные от нулевого. Из условия
Г,2 Гп
Г22 - Г21 - /?2Г?Я I 1<Д Г2 Г" И>Г"21 ГцГ2'_> 1 ]
следует, что либо
ГпГ22-Г12Г2|=0, (13)
либо
Я2(1 - г101ш) + Г^Г^- Г12Г21 - 0. (14)
Пусть имеет место условие (13). Тогда из (11) следует, что один из центров фокальных сфер комплекса совпадает с центром окружности комплекса. Подставляя значение р = 0 в (10), убеждаемся, что семейство каналовых поверхностей, огибающее эту сферу, определяется уравнениями
Га«>з + Г12шЗ ^=0, в° = 0. (15)
Так как 8° ~ - ЯсН^, то (15) является семейством трубчатых поверхностей.
Пусть теперь выполняется условие (14). Тогда уравнение (11) можно представить в виде
•> , 1И + Г22 + Г10 (Гр2 Г21 — Гщ Г22) г)2 п
Р "I----:-Р ~ к = и- (1Ь)
1 10 1 01 — I
Из (16) следует, что |р111 Рг I —- то есть справедливо второе из утверждений теоремы.
Заметим, что если условия (13) и (14) выполняются одновременно, то, как следует из (11), при ЯфО среди каналовых поверхностей комплекса {2.3} имеются вырожденные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л1. Р. В а и т р у б. Вырожденные конгруэнции и комплексы окружностей в трехмерном евклидовом пространстве. Депонировано ВИНИТИ, регистрационный номер 1231—69 Деи.
2. В. С. Малаховский. Комплексы кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Труды Томского университета. Т. 176, сер. механико-математическая, 1964, стр. 28—36.
3. С. П. Ф и н и к о в. Теория конгруэнции. М.—Л., 1950.
4. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. М.—Л., 1948.
5. М. Р. В а й н т р у б. О каналовых поверхностях комплексов окружностей {/г, 3}. Материалы к научной конференции преподавателей математических кафедр педагогических институтов Сибири. Новокузнецк, 1969, стр. 80.
6. Р. М. Г с й д е л ь м а н. К теории трехпараметрического комплекса окружностей. ДАН СССР, № 2, 1954, стр. 201—204.
