CC BY
11
УДК 514.75
Е. П. Юрова
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Конгруэнции эллипсоидов в трехмерном аффинном пространстве со специальными свойствами конгруэнций ассоциированных эллипсов и цилиндров
В трехмерном аффинном пространстве исследуются конгруэнции эллипсоидов со специальными свойствами ассоциированных эллипсов и цилиндров. Доказаны теоремы существования рассмотренных классов конгруэнций; дана их геометрическая характеристика.
Ключевые слова: аффинное пространство, конгруэнция, система уравнений Пфаффа, фокальное многообразие.
Отнесем конгруэнцию V эллипсоидов к каноническому ре-
Q е V, вектор е3 направлен по прямой, сопряженной касательной плоскости 8 к поверхности центров 8 = (А) в точке А, а векторы е1, е2 — по касательным к линиям, высекаемым на поверхности 8 торсами прямолинейной конгруэнции (Ле3), причем концы Ла векторов еа лежат на эллипсоиде Q.
Такой канонический репер можно построить, если исключить из рассмотрения случай вырождения поверхности 8 в линию и случай, когда ассоциированная прямолинейная конгруэнция — параболическая, что мы в дальнейшем и будем предполагать.
1. Теорема существования
перу
эллипсоида
В репере |А, еа ] уравнение эллипсоида Q и система пфаффовых уравнений конгруэнции V запишутся, соответственно, в виде
йе/
^(х) = (х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + 21х1 х2 -1 = 0; (1.1) а3 = 0,ф( = а101, <э32 = а2а2,
а)\ = Ъ((( + Ъа1, (( = Ъах + Ъ2а>2, а( = тиа>1 + ш12а>2, ( = т( + т22а>2, йЛ = Л1а1 + Л2а2, ( = еи( + с12а2, = с21а1 + с22(2,(33 = с31( + с32а>2, причем [1, с. 162]
а1 - а2 ^ 0 . Чистое замыкание системы (1.2) имеет вид
Аа1 л а1 = 0, Да2 л а2 = 0, АЪ1 л а1 +АЪ л а2 =0, АЪ л а1 +ДЪ2 л а2 = 0, Ат1 л а1 +Дт12 л а2 =0, Дт21 л а1 +Дт22 л а2 = 0, АЛ л а1 +АЛ2 л а2 = 0, Ас11 л а1 +Ас12 л а2 =0, Ас21 л а1 + Ас22 л а2 = 0,
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Ас31 л а1 + Ас31 л а1 + Ас32 л а2 = 0.
■'31
32
где
Аа1 = йа1 - а^ + т21 (а1 - а2 )а2, Аа2 = йа2 - а2а33 + т12 (а2 - а1)а1, АЪ1 = йЪ1 + Ъ1 (т21а2 -2а11 + а33)-т12Ъа2,
АЪ = йЪ + Ъ(2т21а2 -о( +а2^ +а33), АЪ2 = йЪ 2 +Ъ2(т12а1 - 2а2 +а33) + Ъ1т21а1, Ат11 = йт 11 +т11(т21а2 -2а11 +а2) + Ъ1а2а2
Дш12 = йш 12 + ш12(ш1201 -00), Дш21 = йт 21 + ш21 (ш2102 - 0-2) + Ъ2ах02, (1.5) Дш22 = йш 22 +ш22 (ш1201 + 011 - 20,2) , ДЛ = йЛ1 +Л1(ш2102 -00), ДЛ2 = йЛ2 +Л2(ш1201 -022), Дсп = йс11 + сп(ш2102 -011) + (а1Ъ - ш12ш21)02,
ДС12 = йС12 + С12(ш1201 -022) - ш11 ш2200 , Дс21 = йс21 + с21(ш2102 -00) -ш22ш1102,
Дс22 = йс22 + с22(ш1201 -022) - ш21ш1201 - Ъа201, Дс31 = йс31 + с31(ш2102 -011) + Ъа102, Дс32 = йс32 + с32(ш1201 -02) + Ъа201. Имеем ^ = 10; ц = 17; = 7; Q = 24; N = 24 = Q.
Система в инволюции и определяет конгруэнцию V с произволом семи функций двух аргументов.
2. Конгруэнции ассоциированных эллипсов и цилиндров
Используя условие стационарности точки М (ха)
сЬса =-х0;-0, (2.1)
находим
- 2 й¥ = (00 + 0)( X1)2 + (022 + Л02)( X2)2 + 033( X3)2 +
+(012 + 00 + Х(р\ + 0-2) - йЛ) х1 х2 + 0 + 003 + (2.2)
+Л,032) х1 х3 + (032 +0:3 + Л00) х2 х3 + 0 + Л-02) х1 + +(02 + Л-01) х2.
Из выражения (2.2) следует, что точка А1(1,0,0) — фокальная точка эллипсоида Q е V, если
( + Л( + К + Ло2 = 0, (2.3)
точка А2 (0,1,0) — фокальная, если
а2 + Лао\ + К + ЛоК = 0, (2.4)
точка А3 (0,0,1) — фокальная, если
а3 = 0. (2.5)
Из выражения (2.5), следует, что если точка А3 — фокальная, то и точка А3*(0,0, -1) фокальная [1, теорема 1].
Однако не существует конгруэнции эллипсоидов с двумя фокальными точками А1(1,0,0) и А1*(-1,0,0) и с двумя фокальными точками А2 (0,1,0) и А2 (0, -1,0).
Действительно, если А1 и А1 или А2 и А2 — фокальные, то
( + Ло( + ( + Ло2 = 0, 1 2
< 11 ^ а + Ла = 0 — противоречие,
к + Ла12 - К - Лаз2 = 0
\а( + ЛоК + ( + Л( = 0, 2 1
< 22 ^ а +Ло = 0 — противоречие,
К + Ло( - а2 - ЛоО = 0
так как
о1 л а2 * 0. (2.6)
Каждый эллипсоид Q еV определяет единственный эллипс
С = Q Па
/ = (х1)2 + (х2)2 + 2Лх1х2 -1 = 0, х3 = 0 (2.7) и единственный цилиндр Z С с
/= 0. (2.8)
Имеем
-1 й/ = (00 + Л012)( х1)2 + (022 + Л00)( х2)2 + (012 + 0^ +
+Л(00 + 022) - йЛ) х1 х2 + (01 + Л.02) х1 + (02 + Л01) х2 + (2.9) +х3(03 + Л032) х1 + (032 + Л0\) х2).
Теорема 2.1. Если точка М — фокальная точка ассоциированного цилиндра 2, лежащая в касательной плоскости а, то она является фокальной точкой эллипсоида Q е V, и наоборот.
Доказательство. Сравнивая выражения (2.2) и (2.9), убеждаемся, что системы уравнений
Е = 0, йЕ = 0, х3 = 0, (2.10)
/ = 0, й/ = 0, х3 = 0, (2.11)
соответственно определяющие фокальные точки эллипсоида Q и цилиндра 2, лежащие в касательной плоскости а (т. е. плоскости х3 = 0), совпадают.
Учитывая в правой части формул (2.2) и (2.9) пфаффовы уравнения (1.2), приводим их (соответственно) к виду
- 2 йЕ = Е101 + Е202, (2.12)
- 2 й/ = /0 + /202, (2.13)
где
Е = (сп + Лшп)( х1)2 + (с21 + Лш21)( х 2)2 + (ш11 + ш21 + +Л(с11 + с21) -Л) х1 х2 + х3((а1 + Ъ1) х1 + (Ъ + Ла1) х2) + (2.14) +х1 + Лх2,
Е2 = (с12 + Лш12)( х1)2 + (с22 + Лш22)( х 2)2 + (ш12 + ш22 + +Л(с12 + с22) - Л2) х1 х2 + х3((Ъ + Ла2) х1 + (а2 + Ъ2) х2) + +х2 + Лх1,
/ = (сп + Лт„)( X1)2 + (с21 +Дда21)( х2)2 + (да11 + т21 + +Л(сп + с21) -Л)х1 х2 + х1 +Лх2 + а1х1 х3 + Ла1 х2х3,
/2 = (с12 + Лт12)( х1)2 + (с22 + Лт22)( х 2)2 + (т12 + т22 +
+Л(с12 + с22) - Л2) х1 х2 + Лх1 + х2 + а2 х2 х3 + Ла2 х1 х3. Так как
-йхъ = (Ь1 х1 + Ьх2 + с31 хъ)о1 + (Ьх1 + Ъ2 х2 + с32 х3)ю2, (2.16)
то фокальные точки эллипса С е (с) определяются системой алгебраических уравнений:
17х1 )2 + (х2 )2 + 2Лх1 х2 -1 = 0, х3 = 0, ■ (2.17)
[ /1 (Ьх1 + Ь2 х2) - /2 (Ь1 х1 + Ьх2) = 0.
В подробной записи последнее уравнение этой системы воспроизводится в виде
(Ьс11 - Ь1с12 + Л(Ьт11 - Ь1т12))(х1)3 + (Ь2с21 - Ьс22 +
+Л(Ь2т21 - Ьт22))(х2)3 + х1 х2((т11 + т21 + Л(с11 + с21) -
-Л1)(Ьх1 + Ь2 х2) - (т12 + т22 + Л(с12 + с22)-Л2)(Ь1 х + (2 18)
+Ьх2) + (Ь2(с11 +Лт11) - Ь(с12 +Лт12)) х1 + (Ь(с21 +
+Лт21) - Ь1 (с22 + Лт22))х2 + Ь2 - Ь1) + (Ь - ЛЬ1)(х1 )2 +
+(ЛЬ2 - Ь)(х2)2 = 0.
Из уравнения (2.18) следует, что точки АД1,0,0) и А* (-1,0,0) являются фокальными точками эллипса С е (С), если
Ьс11 - Ь1с12 +Л(Ьт11 - Ь1т12) = 0, Ь -ЛЬ1 = 0. (2.19)
Точки А2(0,1,0) и А*(0, -1,0) будут фокальными точками эллипса С е (С), если
Ь2с21 -Ьс22 + Л(Ь2т21 -Ьт22) = 0, ЛЬ2 -Ь = 0. (2.20)
3. Конгруэнции V
Определение 3.1. Конгруэнцией V называется конгруэнция V, характеризуемая сопряженностью относительно эллипсоида Q еV векторов е1 и е2.
Конгруэнция V характеризуется условием
Л = 0. (3.1)
Из (1.2), (1.3), (3.1) следует, что конгруэнции V существуют и определяются с произволом шести произвольных функций двух аргументов. Формулы (2.14), (2.15) и (2.18) в силу (3.1) принимают соответственно вид
^ = с11(х1)2 + с21(х2)2 + (т11 + т21)х1 х2 + (а1 + Ъ1)х1х3 + (3 2)
+Ъх2 х3 + х1,
К, = с12(х1)2 + с22(х2)2 + (т12 + т22) х1 х2 + Ъх1х3 + +(а2 + Ъ2) х2 х3 + х2;
/ = с11(х1)2 + с21(х2)2 + (т11 + т21) х1х2 + х1 + а1х1х3, (3.3)
/2 = с12( х1)2 + с22( х 2)2 + (т12 + т22) ^ х 2 + х 2 + а2 х 2 ^ (Ъси -г»1с12)(х1)3 + ^21 -Ъс22)(х2)3 + х1 х2((тп +
+т21)(Ъх1 + Ъ2х2) - (т12 + т22)(Ъ1 х1 + Ъх2) + (Ъ2с11 - (3.4)
-Ъс12)х1 + (Ъс21 -Ъхс22)х2 + Ъ2 -¿1) + Ъ((х1)2 - (х2)2) = 0.
4. Конгруэнции V*
Определение 4.1. Конгруэнцией V* называется конгруэнция V, ассоциированная конгруэнция эллипсов которой имеет фокальными поверхностями поверхности (А1),(А1*), (А2),(А*).
Подставляя в уравнения (3.4) координаты точек 4(1,0,0), 44-1,0,0), A2(0,1,0), А*(0,-1,0), получим
Ьс11 - Ь1с12 + Ь2с11 - Ьс12 + Ь = 0, -(Ьсп - Ь^, + Ь2сп - Ьс12) + Ь = 0,
~Ь 2с 21 Ьс22
Ьс21 - Ь1с22 - Ь = 0,
(4.1)
-(Ь2с21 - Ьс22 + Ьс21 - Ь1с22) - Ь = 0. Система (4.1) эквивалентна системе
Ь2с11 - Ь1с12 = 0, Ь2с21 - Ь1с22 = 0, Ь = 0.
Если
с11с22 с21с12 ^ 0,
то
Ь1 = 0, Ь2 = 0 Система пфаффовых уравнений
( = 0, ( = 0
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
вполне интегрируема. Учитывая условия (3.1), (4.5) в системе уравнений (1.2), убеждаемся, что подкласс конгруэнций
характеризуемый уравнениями (4.5), определяется с произволом пяти произвольных функций двух аргументов. Действительно, система уравнений Пфаффа конгруэнций V* имеет вид
( = 0, ( = 0, ( = 0, ( = а(, (32 = а2(,
(2 = тиа>1 + т12(, ( = т21( + т22(, ( = с11(1 + с12(, (22 = с21( + с22(, (( = с31( + с32( .
(4.6)
Имеем
= 7; д = 12; 52 = 5; 0 = 17 = N.
Система в инволюции и имеет решение с произволом пяти произвольных функций двух аргументов. Если
с11с22 - с21с 12 = 0 о- ( ло22 = 0, (4.7)
то система уравнений (4.2) приводится к виду
Ъ = 0, Ъ2с11 - Ъ1с12 = 0 ( * 0) (4.8)
или
Ъ = 0; Ъ2с21 - Ъ1с22 = 0 ( * 0; о22 * 0). (4.9) Если же о( = 0 и о2 = 0, то, замыкая уравнения
= 0, о22 = 0, (4.10)
получим
К л К + К л ( = 0 2 1 1 2 1 3 о о2 А®1 = 0, (4.11)
( л о2 + ( л ( = 0
так как
а>( ла( = Ъ( л а( = 0, о\ ло( = Ъ( л а2 а2 = 0.
Учитывая (4.10), (4.11), (3.1) в пфаффовых уравнениях (1.2), получим
о3 = 0, ( = 0, ( = 0, ( = а(, о32 = а(,
а>( = Ъ( + Ъа>2, ( = Ъ( + ЪаО, (4.13)
( = ка(, ( = т11а1 + т12а>2, а>( = с31о1 + с32(.
Имеем
^ = 7; ц = 10; = 3; Q = 13 = N.
Следовательно, система (4.13) — в инволюции и определяет подкласс конгруэнций V* с произволом трех функций двух аргументов. Назовем конгруэнции этого подкласса конгруэн-циями V*.
Рассмотрим общий случай
Ь = 0, Ь2сп - Ь1с12 = 0, (4.14)
определяющий конгруэнции У*2 ^ V*.
Второе уравнение можно заменить (в силу неравенства ( * 0) уравнением Пфаффа
(( +(( = к(. (4.15)
Действительно,
( л ((( +(20) = (с11(1 + с12() л (Ь( + Ь2() =
= (Ь2 с11 - Ь1с12)(1 л(2. Следовательно,
Ь2с11 -Ь1с12 = 0 ^ ( л((( + (¿3) = 0 ^ ю( + ( = (.
Система пфаффовых уравнений конгруэнций У*2 запишется в виде
( = 0, ( = а(, (32 = а2(, (13 = Ь(,
3 7 1 + ( = к(
1
а>( = т11а>1 + т12а>2, ( = т21( + т22а>2, ( = с11(1 + с12(2,( = р(, а>( = с31( + с32(2.
(4.16)
Имеем
^ = 9; д = 13; = 4; 0 = N = 17.
Система в инволюции и определяет конгруэнции У*2 с произволом четырех произвольных функций двух аргументов. Таким образом, конгруэнции ^ разбиваются на подклассы
(( * 0), V* (( л (22 * 0) и V* (( = 0, (22 = 0).
Теорема 4.1. Поверхность 3=(А) центров эллипсоидов Q е V* является плоскостью. Конгруэнция ассоциированных
эллипсов С является двупараметрическим семейством эллипсов, лежащих в этой плоскости. Доказательство. Из (4.6) следует
йх3 =о( х3, (4.17)
т. е. плоскость х3 = 0 стационарна и выступает поверхностью МА). *
Для конгруэнций V1, характеризуемых системой пфаффовых уравнений (4.13), формулы (3.2), (3.3), (3.4) запишутся соответственно в виде
Е1 = (т11 + т21) х1 х2 + (а1 + Ъ1) х1 х3 + Ъх2 х3 + х1, (4.18) = (т12 + т22) х1 х2 + (а2 + Ъ2) х2 х3 + Ъх1 х3 + х2;
/1 = (т11 + т21) х1 х2 + а1 х1 х3 + х1, (4.19)
/2 = (т12 + т22) х1 х2 + а2 х2 х3 + х2;
х1 х2 ((т11 + т21 )(Ъх1 + Ъ2х2 ) - (т12 + т22 )(Ъ1 х1 + Ъх2) + (4 20) + Ъ2 - Ъ) + Ъ((х1)2 - (х2)2) = 0. .
Для конгруэнций V* , характеризуемых системой пфаффовых уравнений (4.16), эти формулы имеют вид
= с11(х1)2 + Рс11(х2)2 + (т11 + т22)х х2 + (421) + (а1 + кс11) х1 х3 + х1,
,.1\2 , „„ /"„2\2 , /„_ , ... Ч..1..2
^2 = с12(х) + Рс12(х) + (т12 + т22)хх + + (а2 + кс12) х2 х3 + х2;
/1 = с11(х1)2 + рс11(х2)2 + (т11 + т21) х1 х2 + а1 х1х3 + х1, (4.22)
f2 = c12( х1)2 + pc12( x2)2 + (m12 + m22) x1 x2 + a2 x2 x3 + x2; -kcuc12(x1)3 + kc12c21(x2)3 + x1 x2(kc12(m11 + m21)x2 " -kc11(m12 + m22)x1) + kc12c11x1 - kc11c22 + k(c12 - c11)) = 0
Список литературы
1. Юрова Е. П. Конгруэнции эллипсоидов с кратными фокальными поверхностями // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2004. Вып. 35. С. 162—169.
2. Малаховский В. С., Махоркин В. В. Дифференциальная геометрия многообразий гиперквадрик в n-мерном проективном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 113—134.
E. Yurova
The conguences of ellipsoids in three-dimensional affine space with special properties congruences of associated ellipses and cylinders
In three-dimensional affine space congruances of ellipsoids with special properties of associated ellipses and cylinders are considered. For special classes of such congruences theorems of existence and geometrical properties are proved.
