CC BY
29
УДК 517.4 ББК 22.161.12 К 90
Кумшаев Е.Н.
Преподаватель кафедры математического анализа математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8613) 74-76-49 Паланджянц Л.Ж.
- , , -давания .математики .математического факультета Армавирского государственного педагогического университета, тел. (8772) 57-03-53
Аннотация
В статье изучается вопрос о мультипликативной и аддитивной вариации подынтегральной матричной формы криволинейного мультипликативного интеграла.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, точная матричная дифференциальная форма, вариация.
Kumshaev E.N.
Lecturer of Mathematical Analysis Department of Mathematical Faculty at Armavir State Pedagogical University, ph. (8613) 74-76-49 Palandjyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Department of Algebra, Geometry and Methodology of Teaching Mathematics at Mathematical Faculty of the Armavir State Pedagogical University, ph. (8772)57-03-53
Abstract
In the paper a multiplicative and additive variation of the subintegral matrix form of a curvilinear multiplicative integral is studied.
Key words: a curvilinear multiplicative integral, the exact matrix differential form, a variation.
Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл вдоль кривой у в области В с Я2 с параметризацией х = х^), у = у (V) [1]:
где P( x, y) и Q( x, y) - непрерывно дифференцируемые функции, определенные в области D с R2 со значениями в алгебре квадратных матричных функций Mat(n, R) .
K(P, Q) = Qx - Py + PQ - QP - кривизна интеграла (1).
Подвергнем подынтегральную матричную форму изменению путем умножения слева подынтегральных функций на некоторую матричную функцию M (x, y).
Произведенное таким образом изменение подынтегральной формы будем называть левой мультипликативной вариацией подынтегральной матричной формы.
О вариации подынтегральной матричной формы криволинейного мультипликативного интеграла
(Рецензирована)
On the variation of the subintegral matrix form of the curvilinear multiplicative integral
1. Мультипликативная вариация
(1)
Аналогично определяется правая мультипликативная вариация подынтегральной матричной формы.
Определение. Дифференциальную форму с = Pdx + Qdy будем называть полной мультипликативной дифференциальной формой или точной, если с = БФ, где БФ = Ф-1Фxdx + Ф-1Фydy, Ф(х,у) - неособая матричная функция.
Лемма 1. Для того чтобы дифференциальная форма с = Pdx + Qdy была полной мультипликативной дифференциальной формой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна интеграла (1) была равна нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть форма с = Pdx + Qdy точная.
U
Положим Ф= |E + Pdx + Qdy . Тогда
U U U
J E + c = J E + БФ = J E + Ф-1Ф Xdx + Ф-1Ф ydy,
откуда следует, что P = Ф-1Фx и Q = Ф-1Фy.
Подставляя значения P и Q в K (P, Q), получаем, что K (P, Q) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Доказательство имеется в [2, с. 11-15]. Случай, когда дифференциальная форма является обыкновенной, см., например, в [3, с.278].
Наряду с интегралом (1) рассмотрим интеграл
U
JE+M (x, y) P( x, y)dx+M (x, y)Q( x, y)dy, (2)
Y
где M(x, y) - непрерывно дифференцируемая функция, определенная в области D с R2 со значениями в алгебре квадратных матричных функций Mat(n, R) .
Возникает задача о том, при каких условиях подынтегральная матричная дифференциальная форма является полной мультипликативной дифференциальной формой. Эта задача при условиях неособости матричных функций P( x, y) и Q( x, y) при
K (MP, MQ) = 0 рассматривалась в работе А.Н. Мартынюка [4]. Наш метод позволяет
предъявить в явном виде матрицу M .
Сформулируем задачу. Найти матричную функцию M(x, y) : D ^ Mat(n, R), такую, что K (MP, MQ) = 0.
Теорема 1. Пусть K (MP, MQ) = 0, матричные функции P(x, y) и Q( x, y) явля-
ются неособыми. Тогда матричная функция M(x, y) вычисляется из равенств
M = C ~lCxP- (3)
или M = C~lCyQ_1, где матричная функция C(x, y) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных:
Cy = CxA (4)
Доказательство. Условие K (MP, MQ) = 0 равносильно условиям
MP = C-lCx, MQ = C-lCy, (5)
где C (x, y) - неособая матричная функция порядка n х n.
Из равенства (5) в силу неособости матричной функции P( x, y) следует, что
М = С-1СХР-1, MQ = С-1СУ .
Из уравнений (6) следует, что
СР = Су.
Введем обозначение: Р~lQ = А. Тогда уравнение (7) перепишется в виде
С, = СХА.
Запишем уравнение (8) в виде
ду = дх
где С (x, У) = (су-), А = а ).
Запишем систему (9) в векторном виде:
с
(7)
(8) (9)
-1 у
а11С1х + а21С2 х + ... + ап1Спх,
С2 у а12С1х + а22С2 х + ... + ап2Сп
с = а, с,, + а с+... + а с ,
пу 1п 11 х 2п 2х пп пх’
(10)
где ск = ColoЧCk1, Ck2,..., скп X к = ^..^ п .
Первое уравнение системы (10) оставим без изменения, а из остальных уравнений выразим векторы с1х,с2х,...,с(п-1)х через с2у,с3у,...,спу и спх, которые полагаем произвольными. В результате получаем интегрируемую систему дифференциальных уравнений с частными производными относительно с1 , одно условие интегрируемости, и (п - 2) соотношений на векторы с2х,с3х,...,с(п-1)х.
Следовательно, первый столбец матричной функции С (х, у) вычисляется в явном виде. Остальные столбцы матричной функции С (х, у) можно выразить через произвольные векторы.
Таким образом, матричная функция С (х, у) вычисляется в явном виде, а, следовательно, и матричная функция М (х, у) вычисляется в явном виде.
Пример 1. Пусть п = 2. Тогда система (10) запишется в виде:
1у о" с12 у ( с и 11х с12 х а(11 а12
V с21 у 22 у V с21х с22 х У 21 55 а22 у
Переходя к элементам матриц, получаем систему:
с
-Пу
' с11ха11 + с12ха21,
с12у с11ха12 + с12ха22,
21 у
' с21ха11 + с22ха21,
(11)
с22 у с21ха12 + с22 ха22.
Из первых двух уравнений системы (11) имеем:
1
11х
а
(с12 у с12 ха22)
12
12х 22
ёе1 А
а11
с11 у с12 у с12 х
а12 а12
Полагаем, что c12 x и c12 y являются произвольными функциями, удовлетворяю-
щими условию интегрируемости системы (12):
1
a
(C12 y C12 xa22)
det A
a11 11 C - C
12y 12x
aa
12 J x
Из последних двух уравнений системы (11) имеем:
1
a1
a
" (C22y C22xa22 )
21 y
a
- c — C
22y 22x
det A
(1З)
a
•*12 12
Полагаем, что с22 х и с22 у являются произвольными функциями, удовлетворяющими условию интегрируемости системы (13):
(C22 y C22 xa22)
V al2
a
11
det A
C22 y - C22 x
V al2 al2 у x
Интегрируя системы (12) и (13), (см., например, [5, с.59]) получаем:
C11 J (C12 y C12 xa22)dx + ( C12 y C
a12 a12
det A
a
)dy,
12
det A
f (C22y C22xa22 )dx + ( C22y C22x )dy .
aa
12
a
12
a
12
Таким образом, матричная функция C(x, y) имеет вид:
C(x, y) =
J— (C12y — C12xa22 )dx + (— C aa
C
12y 12x
det A
a12 det A
)dy
12
J-(C22y — C22xa22 )dx + (~ C22y — C22x------------------------------¥У C
J a a a
V 12 12 12
Следовательно, матричная функция M(x, y) вычисляется в явном виде.
Теорема 2. Пусть K(MP,MQ) = 0, rangP(x,y) = r(P) < n, rangQ(x,y) = r(Q) < n . Тогда матричная функция M (x, y) определяется из дифференциальных уравнений:
Cx = CMP или Cy = CMQ . (14)
Доказательство. Условие K (MP, MQ) = 0 равносильно условиям
MP = C-lCx, MQ = C-lCy,
где C (x, y) - неособая матричная функция порядка n x n.
Из равенств (5) следует, что
det C • detM ■ det P = det Cx, det C ■ detM ■ det Q = det Cy,
откуда следует, что особость матричных функций P(x, y) и Q(x, y) влечет за собой особость матричных функций Cx и Cy . Таким образом, на матричную функцию C(x, y) накладываются следующие условия:
C
21 x
c
21
' с11 с Л с12 ( т11 т12 " 12 г г с11 с Л с12
V С21 С22 У т22 у V 0 0 у С22 У
с \ с11 с Л С12 ' тн т12 ' Я11 Ян Л с С11 С ^ с12
С22 ) V т21 т22 ) V0 0) V С21 С22 )
— I
— I
(18)
ёй С (х, у) ф 0, ёе1 Сх = 0, ёй Су = 0. (15)
Условия (15) являются довольно жесткими, однако, очевидно, что постоянная матрица С удовлетворяет этим условиям, что делает сформулированную задачу нетривиальной.
Матричную функцию М (х, у) можно найти из матричного уравнения (5). Ввиду особости матричных функций Р(х, у) и Q(х, у), а также особости матричных функций С~1СХ, С~1Су, являющихся правыми частями уравнений (5), необходимое условие для разрешения уравнений (5) соблюдено.
Пример 2. Пусть п = 2, тщР( х, у) = 1, rangQ( х, у) = 1.
Тогда уравнения (14) запишутся в виде:
( р р Л (с с Л
(16) (17)
0 ) V С21 С22 ) у
Из матричных уравнений (16) и (17) следует:
Сптпри + СХ2т2\Р\\ = С11х ,
Смт\\Р\2 + С12 т2\р\2 = С12 х,
С21т11р11 + С22т21р11 = С21х,
С21т11р12 + С22т21р12 = С22х,
С11т11^Г11 + С12т21^Г11 = С11 у ,
С11т11^Г12 + С12т21^12 = С12у ,
С21т11^Г11 + С22т21^11 = С21 у ,
С21т11^Г12 + С22т21^12 = С22у .
Исключая ти и т21 из уравнений (18) и (19), получаем:
С11хС22р11 — С21хС12р11 = С12хС22р12 — С22хС12р12 ,
' С11хС21р11 + С21хС11р11 = —С12 хС21р12 + С22 хС11р12,
С11уС22Я11 — С21 уС12Ян = С12уС22Я12 — С22уС12 Я12 ,
'С11 уС21Я11 + С21 уС11Я11 = —С12уС21 Я12 + С22уС11Я12 .
Решая эти уравнения относительно с11х, с21х, с11у, с21 у, получаем:
С11хр11 — С12 хр12 = 0, С21хр11 — С22 хр12 = 0,
С11ур11 — С12 ур12 = 0 , С21ур11 — С22 ур12 = 0 .
Полагая, что функции с12х, с22х, с12 , с22 являются произвольными, получаем:
(19)
С = р12 С С = р12 С
‘■'11 х __ ‘■'12 х> ‘■'11 у ‘■'12 у "
р1
р1
откуда следует (см., например, [5], с.59)
= ГР
Сц = Хдх + уйу,
>11 -її
с условием интегрируемости
/
\
12
12 х
-12
-1
"12 у
Аналогично
откуда следует
V р11 у у V-11 у х
_ Р12 _ .12
С21х С22х , С21у С22у :
_ -л
-11
Р11
С21 _ {^22х^ + —С22у^у '
>11 -11
с условием интегрируемости
22 х
Р11 ;
Л /■ Л
-12 С
22 у -и ;
Таким образом, матричная функция М(х,у) _ (да..) запишется в явном виде.
да,
ёй С
Р12 С
С12 х 121Р
Р11
Р12 С
С22 х С22 Р11
Р11
да
21
ёе1 С
Р12С11 С12 х
Р12 С21 С22х
да12, да22 - произвольные функции.
2. Аддитивная вариация
Наряду с интегралом (1) рассмотрим интеграл
и
|Е + (Р+М )йХ + (0 + М )ф,
(20)
где М _ М (х, у) - гладкая матричная функция п -го порядка.
Сформулируем задачу о том, при каких условиях подынтегральная матричная дифференциальная форма является полной мультипликативной дифференциальной формой. Отметим, что задача о совпадении собственных значений кривизны двух криволинейных мультипликативных интегралов (1) и (20) рассматривалась в работе [6].
Подынтегральная матричная форма подвергнута изменению путем сложения подынтегральных функций на некоторую матричную функцию М (х, у).
Произведенное таким образом изменение подынтегральной формы будем называть аддитивной вариацией подынтегральной матричной формы.
Предположим, что аддитивная вариация произведена таким образом, что К(МР,МО) _ 0. При этом имеем:
Р + М _ С ~1СХ или О + М _ С ~1С
-1/
12
х
1
1
где матричная функция С(х, у) является неособой.
Задача состоит в том, чтобы в явном виде записать элементы матрицы С и, следовательно, предъявить в явном виде матрицу М .
Теорема 3. Пусть К(МР,МО) _ 0, матричные функции Р(х, у) и О(х, у) являются неособыми. Тогда матричная функция М(х, у) вычисляется из равенств
где матричная функция С(х, у) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных: Сх - Су _ АС.
Доказательство. Из условий (22) получаем:
Решим уравнение (23) относительно матричной функции С(х, у) .
Перейдем к элементам матрицы С(х,у). Вычисления показывают, что строки удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям. Запишем соотношения для элементов первого столбца:
и подставим во все остальные уравнения системы (24). Затем выразим С(П-1)2 из второго уравнения системы (24) и подставим во все остальные уравнения системы (24). Продолжая этот процесс, получаем дифференциальное уравнение в частных производных относительно с11.
Аналогично можно получить уравнения относительно элементов второго и третьего столбца. Поскольку строки удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям, то в итоге получаем, что элементы с11, с12,..., с1п являются линейно-
независимыми решениями одного линейного дифференциального уравнения в частных производных п -го порядка. Другими словами, система п -го порядка (24) приводится к дифференциальному уравнению в частных производных п -го порядка.
Пример 3. При п = 2 получаем, что функции и(х, у) = с11, у(х, у) = с12 удовлетворяют соответственно одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка параболического типа:
Иначе говоря, функции и(х, у) = с11, у(х, у) = с12 являются линейно независимыми решениями одного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.
М _ С-1СХ - Р или М _ С-1Су - О,
(22)
Сх - Су _ АС ,
(23)
где А _ Р - О , А _ (а. ).
(24)
Выразим сп1 из первого уравнения системы (24):
'пу а11С11 а12С21
а12(ихх - 2иху + иуу ) + (-а12а11 - а12а22 - а12х + а12у ХМх - Му ) +
+ ( а11ха12 + а12ха11 - а11 уа11 - а12а21 + а12а22а11)и _ 0.
Таким образом, матричная функция C (x, y) запишется в виде:
с (x, y) =
uv
Ux — Uy — aiiU vx — vy — aiiv
a
a
u (vx — vy) — v(ux — uy) det C (x, y) = -^----------y-—^-----------y- ф Q.
a
12
Следовательно, матричная функция С(х, у) вычисляется в явном виде, а, значит, матричная функция М(х, у) также предъявляется в явном виде:
M (x, y)
1
det C (x, y)
vx — vy — aiiv
a12
Ux — Uy — ajjU
—
u
a
12
х
х
ux
^ ux — Uy — auu^
a
a
'Pll Pl2 ^
V P21 P22 У
v
x
x
x
Примечания:
1. Мантуров О^. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167-215.
2. Паланджянц Л.Ж. Геометрия мультипликативного интеграла. Майкоп: Качество, 1997. 94 с.
3. Пиаджио Г. Интегрирование дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГТТИ, 1933. 324 с.
4. Марты нюк А.Н. Об одной задаче теории муль-
// -ференциальной геометрии: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГПИ, 1989. 80 с.
5. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Мир, 1960. 260 с.
6. Паланджянц Л.Ж. О кривизне криволинейного
. //
ФОРА. 1997. № 2. С. 44-47. иКЬ: http://fora.adygnet.ru
References:
1. Manturov O.V. Multiplicative integral // Geometry Problems. 1990. Vol. 22. P. 167-215.
2. Palandjyants L.Zh. Geometry of multiplicative integral. Maikop: Kachestvo, 1997. 94 p.
3. Piadjio G. Integration of the differential equations. M.; L.: GTTI, 1933. 324 p.
4. Martynyuk A.N. On one problem of the theory of multiplicative integral // Appendices of differential geometry: Interhigher School Proc. Voronezh: VGPI, 1989. 80 p.
5. Kamke E. Reference book on the differential equations in private derivatives of the first order. .: Mir, 1960. 260 p.
6. Palandjyants L.Zh. About curvature of curvilinear multiplicative integral. // Proc. FORA. 1997. No. 2. P. 44-47. URL: http://fora.adygnet.ru
