Конгруэнция квадрик в трехмерном проективном пространстве, ассоциированная с парой поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

V. Malakhovsky

About one class of congruences of conics in three dimensional projective space

In three dimensional space P3 two-parametric family (congruence) of conics with two focal points A1 and A2 are investigated. Tangent lines to conic in these points are asymptotic tangent to the surface (A0) and intersect at characteristic point A0 of the plane of the conic. The tangents to lines on (Ai) corresponding to focal lines on the surface (Aj) (i, j, к = 1,2, i Ф j) are asymptotic tangent to the plane (A3) and intersect in characteristic point A3 of the plane (A1A2 A3) .

УДК 574.76

В. С. Малаховский, Е. П. Юрова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Конгруэнция квадрик в трехмерном проективном пространстве, ассоциированная с парой поверхностей

Исследуется двупараметрическое семейство (конгруэнция) K2 квадрик Q в трехмерном проективном пространстве P3, обладающее следующими свойствами: на каждой квадрике Q е K2 имеются две различные фокальные точки A1 и A2, фокальные касательные в которых пересекаются в одной точке А0 и являются асимптотическими касательными поверхности (А0), а касательные к линиям на поверхности (А1), соответствующим фокальным линиям на поверхности (Aj) (i, j, к = 1, 2; i ^ j), также пересекаются в точке A3 и являются асимптотическими касательными поверхности (A3), причем асимптотические линии, огибаемые касательными A0Ai и A3Aj, соответствуют, А0 и А3 полярно сопряжены.

Ключевые слова: квадрика, конгруэнция, асимптотическая касательная, фокальная точка, внешнее дифференцирование, торс, гармоническое деление.

1. Система уравнений Пфаффа конгруэнции К2

Уравнение квадрики Q е К2 при соответствующей нормировке вершин репера {Ла | (а,0,у = 0,1,2,3) запишется в виде

Г = 2х1 х2 - (х0)2 - (х3)2 = 0. (1.1)

Используя структурные формы точки М е Р3 [1, с. 51]

Па= dха+ хрсар+вха, (1.2)

ёв = 0, то есть в — дифференциал некоторой функции, получим

-1 ёГ = ( 1 ( + с2 ) )(х0 )2 +

+ ^1 ( + с22) - с33^(х3)2 + х0х1 (с2 -о°) + (1.3)

+х0х2 (с1 -®20) + х1х3 (с32 -с^) + х2х3 ( -а>1 ) + 0Г. Из определения конгруэнции К2 следует

с0 = 0, с30 = 0, с12 = 0, с^ = 0, с3 = тс2; с\ = тс1, С = пс32, с° = па\, с1 + с^ -2с00 = а1с1 + а2с2, (1 ^ с1 + с22 -2с33 = ¿1с1 + Ъ2с2, с3 = с1с2; с32 = с2с\

тпс1с2 Ф 0. (1.5)

Продолжая подсистему пфаффовых уравнений

с13 = тс2, с^ = тс1, с10 = пс32, с20 = пс.^ (1.6)

получим

ёт + тО = 0, ёп + п0 = 0, (1.7)

где

О = с00 -с1 -с22 +с33. (1.8)

Замыкая уравнения об = 0, б)\ = 0 и (1.7), получим (т -п)ю2 люб = 0, (т -п)об л®1 = 0,

(т - п)(юб л б2 + ю32 л ю1) = 0. (1.9)

Учитывая в этих уравнениях (1.5), находим

т = п. (1.10)

Система уравнений Пфаффа конгруэнции К2 состоит из уравнений

ю03 = 0, ю30 = 0, б;2 = 0, ю\ = 0, б;3 = то2, ю23 = то1,

< б;0 = тю32, ю20 = тюб, ю\ + юб -2ю00 = ахю1 + а2ю2, (1.11)

б;1 + ю22 - 2ю33 = Ь1ю1 + Ь2ю2, юб = с1ю2, ю32 = с2ю\

Теорема 1.1. Конгруэнции К2 существуют и определяются с произволом двух функций двух аргументов.

Доказательство. Замыкание системы (1.11) имеет вид

где

да; л об +да2 л ю2 = 0, дЬ; л бб +дЬ2 л о2 = 0, дс; л о2 = 0, дс2 лоб = 0,

да; = + а (ю00 - ю11), да2 = ^а2 + а2 (ю,° - ю22), дЬ; = + \ (ю00 - ю\),

дЬ2 = аЬ2 + Ь2(Ю00 ^Х

дс ; = + с1 б + ю\ - ю22 - ю33), дс2 = йс2 + с2 Ю - ю\ + ю22 - ю33).

(1.12)

(1.13)

Имеем

51 = 4; q = 6, s2 = q - 51 = 2, £> = 51+252 = 8, N = 3+3+1+1 = 8 = Q.

Система (1.11) — в инволюции и определяет решение с произволом двух функций двух аргументов, ч. т. д.

2. Фокальные точки квадрики и ассоциированных коник

Используя пфаффовы уравнения (1.11), запишем формулу (1.3) в виде

-2С^ = ^с1 + + &Р , (2.1)

где

^ = 1 а1(х0)2 +1 Ь1(х3)2 -тс2х0х1 + х0х2 + с2х1х3 -тх2х3,(2.2)

= 2а2(х0)2 + -2Ь2(х3)2 + х0х1 - тс1 х0х2 - тх1 х3 + с1 х2х3.

Фокальные точки квадрики Q е К2 определяются системой алгебраических уравнений

2х1 х2 -(х0)2 - (х3)2 = 0, = 0, Б2 = 0. (2.3)

Из уравнений (2.3) следует, что точки А1 и А2 — сдвоенные фокальные точки коники Q е К2.

С каждой квадрикой Q е К2 ассоциируется пара коник

<14

( = 2х1 х2 - (х0)2 = 0, х3 = 0; (2.4)

<14

( = 2х1 х2 - (х3)2 = 0, х0 = 0 (2.5)

— коники С1 и С2.

Фокальные точки коники С1 определяются системой алгебраических уравнений (2.4) и уравнением

х0 ^2х0 (а х1 + а2х2) + т (с1 (х2 )2 - с2 (х1 )2 ^ = 0 . (2.6)

Фокальные точки коники С2 определяются системой алгебраических уравнений (2.5) и уравнением

х3 ^22(х2 - Ъ2С2X1) X3 + т (с2 (х1 )2 - с1 (х2 )2)) = 0 . (2.7)

Анализируя эти системы уравнений, убеждаемся, что точки А1 (0,1,0,0) и А2 (0,0,1,0) — сдвоенные фокальные точки каждой из ассоциированных коник С1 и С2.

3. Прямолинейные конгруэнции (А1А2), (А0А3), ассоциированные с конгруэнцией К2

Пусть

Ф = ^ А1 +¡2 А2, ¥ = т А0 + т2 А1 (3.1)

— фокусы соответственно лучей А1А2 и А0А3. Уравнения для фокусов этих лучей и торсов прямолинейных конгруэнций (А1А2) и (А0А3) имеют вид

с2^2 - с/22 = 0, т2 - с1с2т22 = 0 ; (3.2)

с2(У)2 -с1(®2)2 = 0, с2(®1)2 -с1(®2)2 = 0. (3.3)

Приходим к следующим результатам.

Теорема 3.1. 1. Фокусы лучей А1А2 и А0А3 гармонически делят соответственно точки А1,А2 и А0,А3.

2. Торсы прямолинейных конгруэнций (А1А2) и (А0А3) соответствуют.

3. Прямолинейная конгруэнция (А1А2) гармонична поверхностям (А0) и (А3); прямолинейная конгруэнция (А0А3) сопряжена поверхностям (А0) и (А3) [2, с. 251].

4. Конгруэнции К°2

Определение 4.1. Конгруэнцией К2° называется конгруэнция К2, удовлетворяющая соотношениям

а1 = а2 = Ь1 = Ъ2 = 0, с1 - с2 = 0, с1 * 0. (4.1)

Теорема 4.1. Конгруэнции К° существуют и определяются с произволом двух функций одного аргумента.

Доказательство. Замыкание системы уравнений Пфаффа

конгруэнции К имеет вид

(< 1п с + с11 -с2) л®2 = 0, (< 1п с - (с1 -с22)) Л®1 = 0. (4.2) Продолжая (4.2), находим

1 1п с = асо1 + Рсо2, (43)

- ®22 = -а®1 + Рсо2. Замыкая (4.3), получим

далс1 = 0, дРлс2 = 0, (4.4)

где

да = 1а + а(с00-с1), дР = 1Р + Р(с00-с22). (4.5) Следовательно,

51 = 2; q = 2 £2 = 0, Q = 2, N = 1 + 1 = 2 = Q.

Система в инволюции и определяет решение с произволом двух функций одного аргумента, ч. т. д. Имеем

с00 = 0, с33 = 0, С = -^(-ас1 + Рсо2) ;

с22 = -2 (ас1 -Ро2). (4.6)

Теорема 4.2. Конгруэнция К2 является голономной. Доказательство.

1а1 = о1 лс^ +о2 ло° = о1 л тсс1 +о2 л тсс2 = 0, 1о1 = 0° л с1 +с13 лс3 = тсс1 л с1 + та2 л сс2 = 0, 1с22 = л с2 +с2 лс32 = тст2 л с2 + тт1 л сс1 = 0, 1ф\ = лс^ +с32 лс3 = сс2 л тс2 + сс1 л тс»1 = 0.

Список литературы

1. Малаховский В. С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1986.

2. Фиников С. П. Теория конгруэнций. М. ; Л., 1950.

V. Malakhovsky, E. Yurova

Congruences of quadrics in three-dimensional projective space associated with pair of surfaces

Two-parametric family (congruence) K2 of quadrics Q in three-dimensional projective space P3 is investigated, possessing the following properties: on each quadric Q e K2 there are two different focal points A1 and A2 at

which focal tangents intersect at one point A0 and are the asymptotic tangents of the surface (A0), and the tangents to the curves on the surface (Aj) that corresponds the focal curves on the surface (Aj) (i, j, k = 1, 2; i Ф j ) also intersect at one point A3 and are the asymptotic tangents of the surface (A3), mareover the asymtotic curves that envelop A0At and A3Aj are correspond, and A0 and A3 are polar conjugated.

UDC 514.764

J. Mikes

Palacky University, Olomouc, Czech Republic

S.E. Stepanov, I.I. Tsyganok

Finance University under the Government of Russian Federation

Decomposition theorems of conformal Killing forms on totally umbilical submanifolds

A Riemannian manifold of positive curvature operator has been studied from many directions. It is well known, that an «-dimensional closed Riemannian manifold with positive curvature operator ^ is a spherical space form and its Betti numbers b1(M'), ..., b „_ 1(M ') are zero. In addition, we proved that on an