CC BY
22
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
КОНГРУЭНЦИИ ЭКВИДИСТАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ АССОЦИИРОВАННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ
В трехмерном пространстве Лобачевского Ь3 в интерпретации Кэли — Клейна исследуются двупарамет-рические семейства (конгруэнции) эквидистантных поверхностей со специальными свойствами ассоциированных фокальных многообразий, поверхностей, прямолинейных конгруэнций и конгруэнций коник. Доказаны теоремы существования рассмотренных классов конгруэнций эквидистантных поверхностей и дана их геометрическая характеристика.
Ключевые слова: конгруэнция, эквидистантная поверхность, абсолют, полюс, поляра, фокальное многообразие, квадрика, коника.
§ 1. Фокальное многообразие конгруэнции К
Определение 1.1. Конгруэнцией К называется двухмерное многообразие эквидистантных поверхностей Q в трехмерном пространстве Лобачевского Ь3, базовые плоскости которых также описывают двупараметрическое семейство.
Пусть Q0 — абсолют пространства, т. е. невырожденная нелинейчатая квадрика ассоциированного проективного пространства Р3. Пространство Лобачевского Ь3 в интерпре-
тации Кэли — Клейна [1] — это множество внутренних точек абсолюта Q0.
Расширенное пространство Лобачевского Ь3 включает и точки абсолюта Q0, являющиеся несобственными точками
пространства Ь з = Ь3 и Q0.
Эквидистантная поверхность Q в интерпретации Кэли-Клейна — это невырожденная нелинейчатая квадрика, расположенная внутри абсолюта Q0 и касающаяся его вдоль коники С (базовой коники).
Отнесем конгруэнцию К к геометрически фиксированному
реперу |Ла} (а, ¡, у = 0,3), где Л0 — полюс базовой плоскости Л ^ С относительно абсолюта Q0, Л1 и Л2 — точки пересечения касательной плоскости к поверхности (Л0) с базовой кони-кой С, Л3 — полюс плоскости (Л0 Л1Л2) относительно абсолюта.
При надлежащей нормировке вершин репера уравнение абсолюта Q0 и эквидистантной поверхности Q е К запишутся соответственно в виде:
^й=/(х3)2 + (х0)2 _ 2х1х2 = 0; (1.1)
ф ^х3)2 + т2(х0)2 _ 2х1х2 = 0, (1.2)
где |т|>1, так как квадрика Q расположена внутри абсолюта.
Деривационные формулы репера | Ла| и уравнения структуры запишутся соответственно в виде
Лр; (1.3)
ётра=т1Атру, (1.4)
причем компоненты деривационных формул удовлетворяют условию эквипроективности и условиям инвариантности абсолюта Q0, т. е. (см. [2, с. 50])
а>1 = 0 , с'2 = 0, сЦ = 0 , а>33 = 0 , а>11 + с2, = 0 , с02 = с1,
0 2 1 3 2 3 3 0
с° = с , с3 = с2 , с3 = с1 , с0 = с3 = 0 . (1.5)
Так как поверхность (А0), ассоциированная с конгруэнцией К, не вырождается в линию, то формы Пфаффа
(1.6)
линейно независимы, то есть
12
с1 АС2 Ф 0 . (1.7)
Используя уравнения стационарности точки пространства Р3
йха =-хрсар+вха (ёв = 0), (1.8)
находим:
1йФ = 0Ф + тйт(х0)2 + (1 - т2 )х0(х2с1 + х'с2) . (1.9)
Замкнутая система дифференциальных уравнений конгруэнции К состоит из уравнений (1.5), уравнений
йт = тС + т2сг; с30 = 0, С = а+ Ъс2; с23 = ЪсС + сс1 (1.10)
и внешних квадратичных уравнений
-1 1 лт2 ас2 = 0, Аа А"1
йЪ ас1 +Ас а о2 = 0, (1.11)
Ат1 ас + Ат2 ас = 0, Аа ас + йЪ ас = 0 ,
где
Ат1 = йт1 - т1с11; Ат2 = йт2 - т2с22;
Аа = йа - 2ас\ ; Ас = йс - 2сс2-2 .
Следовательно, конгруэнции К существуют и определяются с произволом двух функций двух аргументов.
Учитывая в формуле (1.9) пфаффовы уравнения (1.10), получим:
1йФ = х0((тт1х0 + (1 - т2 )х2)с1 +
+ (тт2х0 + (1 - т2)х1 )с2 ). (1.12)
с0 = с ; с0 = с
Из (1.2, 1.12) следует
Теорема 1.1. Фокальное многообразие эквидистантной поверхности Q е К состоит из базовой коники С и двух точек М1, М2:
_ _ т I-—
М1 = М + —-у/2т,т2 - (т2 -1)2 А3,
т -1 __(1.13)
— — т I-2-2—
М2 = М--2-V 2т1т2 - (т2 -1)2 А3,
т -1
где
М = А0 +-^(т2А1 + т^), (1.14)
т2 -1
причем (МА3;М1М2) = -1 (1.15).
§ 2. Ассоциированные поверхности и прямолинейные конгруэнции
Рассмотрим поверхности (Аа) и прямолинейные конгруэнции (АаАр) (а Ф Р) , ассоциированные с конгруэнцией К. Справедливы следующие результаты:
Теорема 2.1. Асимптотические линии на поверхностях (А0) и (А3) соответствуют.
Действительно, из (1.5, 1.10) следует, что асимптотические линии на этих поверхностях определяются одним уравнением
а(а1)2 + 2Ъа1а2 + с (а2)2 = 0 . (2.1)
Теорема 2.2. Торсы прямолинейных конгруэнций (Л1Л2) и (А0А3), (А0А1) и (А1А3), (А0А2) и (А2А3) соответствуют.
Доказательство. Торсы каждой пары этих конгруэнций определяются одним уравнением:
а(с1 )2 - с(с2)2 = 0 — пары (А1А2) и (А0А3); с2(ас1 + Ъс2) = 0 — пары (А0А1) и (А1А3); (2.2) С(ЪС + сс2) = 0 — пары (А0А2) и (А2А3).
Теорема 2.3. Фокусы луча А1А2 прямолинейной конгруэнции (А1А2) гармонически делят точки А1 и А2 базовой коники О.
Доказательство. Фокусы ^ и луча (А1А2) определяются формулами:
^ =4сА1 +4аА2 ; Г2 =4сА1 -4аА2 . (2.3)
Следовательно,
(А^Е^) = -1. (2.4)
Теорема 2.4. Если сеть координатных линий сопряжена на поверхности (А0), то она сопряжена и на поверхностях
(А1), (А2), (Аз).
Доказательство. Из (2.1) следует, что сопряженность координатной сети с1 С = 0 на поверхности (А0), а значит, и на (А3) характеризуется условием
Ъ = 0. (2.5)
При выполнении этого условия уравнения асимптотических линий на поверхностях (А1) и (А2) соответственно примут вид:
а2(С)2 + (с2)2 = 0, (2.6)
(с1)2 + с2(с2)2 = 0, (2.7)
а это характеризует сопряженность сети координатных линий на данных поверхностях.
§ 3. Конгруэнция (С0)
Определение 3.1. Конгруэнцией (С0) называется конгруэнция коник С0, образованных пересечением с эквидистантной поверхностью Q касательной плоскости к поверхности (А0), то есть
О = Q п (А0 А, А2). (3.1)
Уравнения коники С0 имеют вид:
Г/ = т2(х0)2 - 2х1х2 = 0,
3 (3.2)
[ х3 = 0.
Имеем: <
2
- т2 )х2 + тт1х0))а' + ((1 - т2 )х' + тт2х0 )а2 +
+ q/-dx3\ = (ах1 + Ъх2)а1 + (Ъх1 + сх2)а2 . (3.4)
Из (3.2 — 3.4) следует, что фокальное многообразие коники С0 состоит из фокальных точек А1 и А2 и фокальных точек, определяемых системой уравнений (3.2) и уравнением
(ах1 + Ъх2)((1 - т2)х1 + тт2х0) -- (Ъх1 + сх2)((1 - т2)х2 ++тт1х0) = 0 . (3.5)
Исключая х0 из уравнений (3.2) и (3.5) с использованием результата получим однородное уравнение четвертого порядка
(1 - т2)2(а(х1)2 - с(х2)2)2 + 2х1х2((т2а - т1Ъ)х1 +
+ (т2Ъ - т1с)х2)2 = 0, (3.6)
определяющее четыре фокальных точки коники С0.
§ 4. Специальные классы конгруэнций К
Определение 4.1. Конгруэнцией К1 называется конгруэнция К, с асимптотической сетью координатных линий на поверхности (А0), не вырождающейся в плоскость.
Теорема 4.1. Конгруэнции К1 существуют и определяются с произволом одной функции двух аргументов.
Доказательство. Конгруэнции К характеризуются условиями
а = 0, с = 0. (4.1)
В силу (4.1) замкнутая система пфаффовых уравнений конгруэнции К1 состоит из уравнений (1.5) и уравнений
йш = ш1ю1 + ш2ю2, а>03 = 0, С = Ью2, ю? = Ью1, йЬ = 0, (4.2) Аш1 аю1 + Лш2 а а2 = 0.
Эта система в инволюции и определяет конгруэнции К1 с произволом одной функции двух аргументов.
Теорема 4.2. Конгруэнции К1 обладают следующими свойствами:
1) поверхности (А1) и (А2) являются торсами;
2) прямолинейные конгруэнции (А1А2) и (А0А3) выражаются в линейчатые поверхности.
3) фокальными точками коники С0 являются двукратные точки А0 и А2 и точки Р1 и Р2:
Р1 = 1у12ш1ш2А0 + ш2А1 + ш1А2, ш
_ __ _ _ (4.3)
Р2 =--Л12ш1ш2А0 +ш2А1 +ш1А2
ш
Определение 4.2. Конгруэнцией К2 называется конгруэнция К, характеризуемая условиями:
Ь = 0, ш1 = 0,ш2 = 0 (4.4)
Теорема 4.3. Конгруэнции К2 существуют и определяются с произволом двух функций одного аргумента.
Доказательство. Учитывая в уравнения (1.10) соотношения (4.4), получим:
йш = 0,00) = 0,а>1 = Ью1 = сю2 . (4.5)
Замыкание системы (4.5) имеет вид:
Аа а а1 = 0, Ас а а2 = 0 . (4.6)
Из (4.6) непосредственно следует утверждение теоремы:
^ = 2 ; S2 = 0; д = 2; б = 2 ; N = 2. (4.7)
Теорема 4.4. Конгруэнции К2 обладают следующими свойствами:
1) фокальное многообразие эквидистантной поверхности Q е К2 состоит из коники С и точек пересечения прямой А0А3 с эквидистантной поверхностью;
2) координатная сеть линий сопряжена на поверхностях (Ао), (АО, (А) (А3);
3) фокальное многообразие коники С0 состоит из точек А1, А2 и точек Н] (]' = 1, 2, 3, 4):
Н1 = 1^4асА0 + 4сА1 +4аА2; (4.8)
т
Н2 = 144асА0 ~4сА1 +у[аА2; т
Н3 = 1^4асА0 +4сА1 -л[аА2 ; т
Н4 = 144асА0 -4сА1 -у[аА2. т
Определение 4.3. Конгруэнцией К0 называется К1, для которой
т1 = 0, т2 = 0 . (4.9)
Теорема 4.5. Конгруэнции К0 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Доказательство. Учитывая в уравнениях (4.2) соотношения (4.9), получим:
с1т = 0,О0 = 0,а>3 = Ъо2 ,о32 = Ъю\с1Ъ = 0 . (4.10)
Система (1.5, 4.10) полнее интегрируется. Ч. т. д.
Теорема 4.6. Конгруэнции К0 обладают следующими свойствами:
1) фокальное многообразие эквидистентной поверхности Q е К0 состоит их коники С и точек пересечения прямой А0А3 с поверхностью Q;
2) конгруэнция (С0) ассоциированных коник вырождается в однопараметрическое семейство коник. Доказательство.
1. Из формул (1.13, 1.14) в силу (4.9) следует:
М = Л0; М1 = ¡шЛ3; М2 = -¡шЛъ = 4—1). (4.11)
2. Учитывая (4.1) и (4.9) в формулах (3.3) и (3.4), получим:
1 " „2 |„0/„1 2 . „2,Л
= (1 - m2)x0(x1®2 + x2®1);
2 lx3=о
- -j^x3^=0 = b(x1®2 + x2®1).
(4.12)
Следовательно, вдоль линии коника С0 стационарна.
x1®2 + x2®1 = 0 (4.13)
Список литературы
1. Ефимов Н. В. Высшая геометрия // ГИТТЛ. М., 1953.
2. Малаховский В. С. Конгруэнции эквидистантных поверхностей и эквидистант в пространстве Лобачевского // Диф. геом. много-обр. фигур. Вып. 23. Калининград, 1992. С. 49—53.
V. Malakhovsky
CONGRUENCES OF EQUIDISTANT SURFACES WITH SPECIAL PROPERTIES OF ASSOCIATED GEOMETRICAL FIGURES
In three-dimensional Lobachevsky-space L3 considered in Cay-ley — Klein interpretatation congruence of equidistant surfaces with special properties associated geometrical figures are investigated. For special classes of such congruences theorems of existence and geometrical properties are established.
