CC BY
12
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Голономные поверхности и прямолинейные конгруэнции в трехмерном проективном пространстве
В трехмерном проективном пространстве Р3 исследуются поверхности и прямолинейные конгруэнции, характеризуемые нулевыми значениями диагональных компонент деривационных формул их канонических реперов. Такие многообразия определяются вполне интегрируемыми системами уравнений Пфаффа. Установлены различные геометрические свойства ассоциированных с этими многообразиями поверхностей и прямолинейных конгруэнций
Ключевые слова: голономная поверхность, голономная прямолинейная конгруэнция, фокус, торс, асимптотические линии, вполне интегрируемая система, сопряженность, гармоничность.
Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве Р3 гладкую нелинейчатую поверхность S, отнесенную к каноническому реперу С. П. Финикова. Матрица его деривационных формул [1, с. 37] имеет вид
1. Голономные поверхности
а
а
0
2
(1.1)
а1а1 + а2а2 Ь1а1 + а1а2
а2а1 + Ь2а
2
2 Рка
Определение 1.1. Поверхность Б называется голономной, или поверхностью Б0, если
р = 0, р2 = 0. (1.2)
Теорема 1.1. Поверхности Б0 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Доказательство. Из (1.2) следует
а00 = 0, аЦ = 0, а22 = 0, а33 = 0. (1.3)
Продолжая систему (1.3), получим
Ь = Ь = -2. (1.4)
Из выражений (1.1) и (1.4) следует, что система уравнений Пфаффа поверхности Б0 состоит из уравнений (1.3), а также
3 211 23231
а0 = 0, а1 = а , а2 = а , а1 = а , а2 = а ,
а30 = а1а1 + а2а2,а° = а2а1 + -1 а2, (1.5)
а° = -^а1 + а1а2, а° -а32 = 0, а° - а1, = 0.
Осуществляя последовательные продолжения этой системы, приходим к вполне интегрируемой системе уравнений Пфаффа, состоящей из уравнений (1.3), (1.5) и
ёа1 = та2, ёа2 = та1, ёт = 0. (1.6)
Теорема 1.2. Поверхности Б0 обладают следующими свойствами:
1) торсы прямолинейных конгруэнций первой и второй директрис Вильчинского [1, с. 12] соответствуют. Конгруэнция первых директрис Вильчинского сопряжена поверхности Б0, конгруэнция вторых директрис Вильчинского гармонична поверхности Б0 [2, с. 251];
2) фокусы луча Л1Л2 конгруэнции вторых директрис Вильчинского гармонически делят точки Л1 и Л2;
3) прямолинейные конгруэнции (А1А3) и (А2А3) сопряжены поверхности Б0.
Доказательство. 1. Торсы прямолинейных конгруэнций (А1А2 ) и (А0А3) определяются одним и тем же уравнением:
а2 (а1 )2 - а1 (а2)2 = 0. (1.7)
Так как сеть асимптотических линий на поверхности £0 — координатная, т. е. она определяется уравнением
а2 = 0, (1.8)
то сеть линий (1.7) сопряжена на поверхности £0.
2. Фокусы
Ъ = ^ А1 + г2 А2 (1.9)
луча А1А2 определяются уравнением
а2^2 - а^22 = 0. (1.10)
Следовательно,
откуда следует
Ф ЮТ
1') V а1 , ^
(1.11)
(А1 А; Ъ Ъ ) = -1.
3. Торсы прямолинейных конгруэнций (А1А3) и (А2А3) определяются соответственно уравнениями
(о, -а2) )2 -1(а2)2 = 0, (1.12)
4(^ )2-(а2 -а2)( )2 = 0. (1.13)
Следовательно, на поверхности £0 они определяют сопряженные сети.
2. Голономные прямолинейные конгруэнции
Рассмотрим в пространстве Р3 прямолинейную конгруэнцию Ь = (Л1Л2), отнесенную к фокальному каноническому реперу. Матрица его деривационных формул [1, с. 14—17] имеет вид
(2.1)
а в + гв2 ав1 + Ьв2 в2
0 а —в в
в2 тв1 а2 0
в Ьв1 + св2 0 3 а3
где
def
в1 = а1, в2 = а2,
< = 1 [( +*) + ( - р )в2 ], 1 = — [( + 4г ) + (-3 р ) ],
а
а2
(2.2)
(2.3)
1
= —[[ +3рв2], а33 = |[ + рв2].
Определение 2.1. Конгруэнция Ь называется голономной или конгруэнцией Ь0, если
а00 = 0, а = 0, ®2 = 0, а33 = 0, (2.4)
т. е. если
р = 0, г = 0, 5 = 0, * = 0. (2.5)
Продолжая уравнения (2.4), получим
а = 1, с = 1, т = -1. (2.6)
Теорема 2.1. Конгруэнции Ь0 существуют и определяются вполне интегрируемой системой уравнений Пфаффа.
Доказательство. Учитывая (2.5) и (2.6) в матрице (2.1), убеждаемся, что система уравнений Пфаффа конгруэнции Ь0 состоит из уравнений (2.4), а также
а10 = qв1, а0 =в1 + Ьв2, а>1 = в2, а10 = 0, < а12 =-в2, а° =-вх, а\ =0, а° =^1, (2.7)
а°1 = Ьв1 + в2, а32 = 0.
Осуществляя последовательные продолжения этой системы, приходим к вполне интегрируемой системе уравнений Пфаффа
"* 0 1 2 3 1 3 2
а0 = 0, а1 = 0, а2 = 0, а3 = 0, а0 = 0, а2 = 0, а3 = 0, < а" = 0, а02 = в1 + Ьв2, а03 = в2, а12 = -в2, а12 = -в1, (2.8) а 30 =в1, а1 = Ьв1 +в2, с1Ь = 0.
Матрица деривационных формул канонического репера конгруэнции Ь0 имеет вид
0 0 в2
0 0
-в
в ъв+в2
в + Ъ02 -в. 0 0
в2
в 0 0
(2.9)
1 2
Теорема 2.2. Асимптотические линии на поверхностях (A ), (A1), (A2 ), (A3), порожденных конгруэнцией L0, соответствуют.
Доказательство. Имеем
(d2 A AA A3 ) = 0 О в2 -в22 = 0,
(d2A A Aa3 ) = о о в:2 - в22 = о, (d2A A Aaa ) = 0 о в2 -в22 = о, (d2A3 A3A)A ) = 0 о в2 -в22 = о.
Следствие. Прямолинейные конгруэнции (A1A2), (A A3), (A2 A ) являются конгруэнциями W. Конгруэнции L0 образуют подкласс конгруэнций R, т. е. L0 с R [1, с. 18].
(2.10)
Теорема 2.3.
1. Торсы прямолинейных конгруэнций (Л1Л2 ), (Л1Л3), (Л2Л0 ) соответствуют и определяются уравнением
в1в2 = 0. (2.11)
2. Поверхности (Л1) и (Л2); (Л1) и (Л3); (Л2) и (Л0) являются фокальными поверхностями соответственно конгруэнций (Л1Л2), (Л1Л3), ( Л2 Л0 ).
3. Торсы прямолинейных конгруэнций (Л2Л3) и (Л0Л1) соответствуют и определяются уравнением
в12 + Ьв1в2 +в22 = 0. (2.12)
4. (ЛЛ3; ^(1)^2(1)) = (Л0Л1; ^2(2)) , (2.13)
где ^2(1) — фокусы луча Л2Л3 е(Л2Л3); ,^2(2) — фокусы луча Л0Л1 е (ЛЛ1).
Доказательство. Используя матрицу (2.9), получаем для торсов прямолинейных конгруэнций ( Л1Л2), (Л1Л3), (Л2 Л) уравнение (2.11), а для торсов прямолинейных конгруэнций (Л2Л3) и (Л Л1) — уравнения (2.12). Кроме того, убеждаемся, что (Л1) и (Л2) — фокальные поверхности конгруэнции (Л1Л2); (Л1) и (Л3) — фокальные поверхности конгруэнции (Л1Л3); (Л2 ) и (Л0 ) — фокальные поверхности конгруэнции (Л2Л0 ) .
Фокусы
^ (1)= Л2 + *2 Л3, ^ (2)= Л + *2 Л1 (2.14)
определяются одним и тем же уравнением:
- Ь*/2 + *22 = 0. (2.15)
Следовательно, выполняется тождество (2.13).
3. Конгруэнции ТТ0
Теорема 3.1. Прямолинейная конгруэнция (А,А3) тогда и только тогда вырождается в линейчатую поверхность, когда
Ь2 = 1. (3.1)
Доказательство. Имеем
а [ДАз ] = (в + Ьв2)[ А2А3 ] + (Ь^1 +^2)[ АА ]. (3.2) 1. Если Ь = е (е2 = 1) , то
а [АА ] = (в +еб>2)([ А2А3 ]+е [ А4 ]), (3.3)
откуда следует, что прямая А А3 вдоль линии в1 + ев2 = 0 ста-
ционарна. 2) Пусть
тогда
Ч. т. д.
Ьв1 +в2 = Л(в1 + Ьв2), (Ьв1 +в2) л (в1 + Ьв2 ) = 0 ^ Ь2 = 1.
(3.4)
(3.5)
Определение 3.1. Конгруэнцией ¿££ называется конгруэн
ция Т0, характеризуемая условием
Ь = е .
(3.6)
Так как свойства конгруэнций Т,1 и ¿0Ч аналогичны, то
ограничимся рассмотрением конгруэнций ¿О1. Матрица деривационных формул таких конгруэнций имеет вид
Т-1)
(3.7)
0 0 в1 +в2 в2
0 0 в2 в1
в2 в 0 0
в в +в2 0 0
Теорема 3.2. Фокальные поверхности (Л1) и (Л2) конгру-
t-W
энции ц/ линеичатые.
Доказательство. Имеем
dAL 0 = L(Аз -Л2), d[д,Аз -Л2] =о,
2 (3.8)
dA2 + l2 .0 = L2 (Л0 + Л1 ) , d [[ А + Л1 ] ^ 0.
Следовательно, асимптотические линии L1 - L2 = 0 на поверхности (Л ) и L +L2 = 0 на поверхности (Л2) — прямые. Ч. т. д.
Теорема 3.3. Вторые асимптотические преобразования поверхностей (Л1) и (Л2)
(Л ) ^ (А) ^ (А), (А) ^ (Л ) ^ (Аз), (3.9)
т. е. преобразования с помощью конгруэнций W, преобразуют эти поверхности в одну линейчатую поверхность.
Доказательство. Из теоремы (3.1) следует, что (Л0Л3) — линейчатая поверхность, т. е.
(А НА НАЛ). (310)
Ч. т. д.
Теорема 3.4. Точки Л0 и Л2; Л1 и Л3; Л1 и Л2 полярно сопряжены относительно квадрики Ли линейчатой поверхности (АЛ3) в любой точке M е АЛ3.
Доказательство. Уравнение квадрики Ли поверхности (АА3) в точках А и Л3 имеет вид
(х1 )2 -(х2)2 + 2х2х3 - 2х0х1 = 0. (3.11)
Следовательно, в любой точке M е Л0Л3 уравнения квадрики Ли поверхности (А0 Л3) имеет тот же вид. Ч. т. д.
Список литературы
1. Малаховский В. С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1986.
2. Фиников С. П. Теория конгруэнций. М.; Л., 1950.
V. S. Malakhovsky
Holonomic surfaces and line-congruences in three-dimensional projective space
In three-dimensional projective space P3 surfaces and line-congruen-cies with zero values of diagonal components of derivation formulas of their canonical frames are investigated. Such manifolds are defined by completely entegrable Pfaffian systems of equations. Different geometrical characteristics of associated with these manifolds surfaces and line-congruencies are investigated.
УДК 514.75
В. С. Малаховский, Е. А. Щербак
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Об исследованиях на пустом множестве в дифференциальной геометрии
Дан анализ причин возникновения в дифференциальной геометрии теорий на пустом множестве. Показано, что использование относительно неинвариантных систем дифференциальных уравнений и дифференциальных неравенств, превращение символа Кронекера и его обобщений, не зависящих от преобразований фундаментальной группы, в геометрические объекты (тензоры и квазитензоры) порождает теории на пустом множестве.
Ключевые слова: тензор, квазитензор, многообразие, относительная инвариантность, геометрический объект, тождество, неголо-номный, символ Кронекера, обобщенный символ Кронекера.
