CC BY
12
УДК 514.75
В. С. Малаховский, Е. П. Юрова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград
Конгруэнции линейчатых квадрик с двумя двукратными фокальными поверхностями
В трехмерном проективном пространстве Р3 исследуются двупараметрические семейства (конгруэнции) У2 линейчатых невырожденных квадрик р с двумя невырожденными двукратными фокальными поверхностями. Доказано, что такие конгруэнции существуют и определяются с произволом пяти функций двух аргументов. С использованием компьютерной программы продолжений [1] рассмотрены четыре подкласса конгруэнций У2. Установлено, что если точки А1 и А2 пересечения прямолинейных образующих квадрики р, проходящих через фокальные точки А0 и А3 произвольной конгруэнции V линейчатых невырожденных квадрик р также являются фокальными, то V ^ У2.
Ключевые слова: квадрика, линейчатая поверхность, репер, система уравнений Пфаффа, фокальная точка, результант.
1. Общая характеристика конгруэнции линейчатых невырожденных квадрик
Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве Р3 двупараметрическое семейство (конгруэнцию) V линейчатых невырожденных квадрик р [2, с. 52]. Отнесем конгруэнцию V
к геометрически фиксированному реперу Ш = | Ао, А1, А2, Аз |, где А0 и А3 — фокальные точки квадрики Q е V , не лежащие
© Малаховский В. С., Юрова Е. П., 2014
на одной прямолинейной образующей, А1 и А2 — точки пересечения прямолинейных образующих, проходящих через фокальные точки А0 и А3:
= А00 ^^ А3 , А2 — Аф А2 ^^ А.3 А2 .
При надлежащей нормировке вершин Аа репера Ш(а, /3,у = 0,1,2,3) уравнение квадрики Q запишется в виде
йе/
^ = х1 х2 - х0 х3 = 0. (1.1)
Используя деривационные формулы
й©'3а=©Га^©г репера Ш и формулы стационарности точки М (ха) е Р3
йха = -хра"+вха, йв = 0, находим систему уравнений Пфаффа конгруэнции V в виде
©1 = а11т1 + а12©2, ©2 = а12©1 + а22©2, ©1 = Ъ©© + Ъ©2, ©20 = Ъа>1 + Ъ2©2, < а© = с© + с12©2, а], = с© + с22©2, (1.2)
©3 = киа1 + к12©2, ©32 = к2© + к22а2, ©1 + ©22 = к© + к2а2, а©3 = 0, ©30 = 0.
йе/ йе/
112 2 где © = ©0, © =©0.
Теорема 1.1. Конгруэнции V существуют и определяются с произволом семи функций двух аргументов.
Доказательство. Анализируя систему (1.2.), убеждаемся, что 81 = 9, д = 16, 82 = 7, Q = N (см.: [3, с. 51—54]).
Система (1.4.) инволюции и определяет решение с произволом семи функций двух аргументов, ч. т. д.
Фокальные точки квадрики Q е V определяются системой алгебраических уравнений
р = о, Б! = 0, Р2 = 0, (1.3)
где
¡в/
= с11(х1)2 + с21(х2)2 + 2к1х1 х2 + (к21 - Ь1)х1 х3 +
+(кп -Ь)х2х3 - х11 х0х1 + (1 -а12)х0х2,
¡в/
= с12(х1)2 + с22(х2)2 + 2к2х1 х2 + (к22 - Ь)х1 х3 +
+(к12 - Ь2) х2 х3 + (1 - а12)х0 х1 - а22 х0 х2.
Из выражения (1.3) следует, что в общем случае конгруэнция V имеет восемь фокальных поверхностей.
2. Конгруэнции У2
Определение 2.1. Конгруэнцией V2 называется конгруэнция V с двумя двукратными фокальными поверхностями (А0) и (Аз).
Переходя к неоднородным координатам по формулам
1 2 3 1 2 0
х х х "" х "" х х
х = х5",у = ^,7 = v х = у = р",7 = 13
Л Л Л Л Л Л
и используя результанты в уравнениях р1 = 0, р2 = 0 для исключения (после исключения координаты 2) координаты у и
у , убеждаемся, что условия двукратности фокальных поверхностей в каноническом репере (Ь1 = 1, Ь2 = 1) имеют следующий вид:
((1 - а12)2 - а11а22 )(С21а12 + С12(1 - а12) = 0 (с21 (1 -к12) + 022{к11 -Ь))((к„ -Ь)(к22 -Ь)- (2.1) -(к12 - 1)(к21 - 1)) = 0.
Теорема 2.1. Конгруэнции V2 существуют и определяются с произволом пяти функций двух аргументов.
Доказательство. Продолжая систему уравнений
[у0 = С + Ьа>2, со° = ЬоС +а>2,
(2.2)
находим:
где
¡Ь = Ь( лу + Ау2), (2.3)
А1 = С11 + С21 - 2(да1 + П1 + ^Х
A2 = с22 + е12 + 2(т2 + п2 - к1- с21). (2.4)
Система уравнений Пфаффа конгруэнции V2 состоит из выражений (1.2), (2.3) и уравнений
= тс1 + тс2,
С С С (2-5)
у = пу + п2с .
причем Ь1 = Ь2 = 1 имеет 81 = 12, д = 17, 82 = 5, Q = 22 = N.
Система — в инволюции и определяет решения с произволом пяти функций двух аргументов. Ч. т. д.
3. Подклассы конгруэнций У2>1
Рассмотрим четыре подкласса конгруэнций V2, выделяемых системами конечных соотношений на коэффициенты пфаффовых уравнений системы (1.2).
Каждая из получаемых систем уравнений Пфаффа этих подклассов не в инволюции и требует для доказательства теорем существования сложных вычислений. В данной работе все эти теоремы существования доказываются с помощью компьютерной программы нахождения продолжений систем пфаффовых уравнений [1]. Мы ограничимся только формулировкой этих теорем.
п. 1 Конгруэнции у2>(
Определение 3.1. Конгруэнцией V2,0 называется конгруэнция Vс фокальными поверхностями (А0), (А3), (А]), (А2).
Теорема 3.1. Конгруэнции V2,0 существуют и определяются с произволом двух функций двух аргументов, 10 функций одного аргумента и 25 произвольных постоянных.
Из уравнений (1.4) следует, что А1 и А2 — фокальные точки, если
а>\ = 0, = 0. (3.1)
Продолжая уравнения (3.1), находим
а11к22 - а12к21 +1 = 0, а12к12 - а22к11 -1 = 0. (3.2)
В результате продолжений системы уравнений Пфаффа конгруэнции У20
(( = аио1 + а12а>2,а>1 = а12о1 + а22о2,
о,0 = о1 + Ьф2,( = Ьо1 + о
(3.3)
(( = к11о1 + к12о2,о32 = к2( + к22а>2, а( +о22 = \а( + И2ф2, а( = 0, (( = 0, о>(3 = 0, о30 = 0, о00 = т( + т(, а( = п( + п2а>2 Возникает еще одна связь:
к12 = Ь(кц -к22) + к21. (3.4)
Так как в силу уравнений (3.1) соотношения (2.1) обращаются в тождества, то У20 с У2.
п. 2 Конгруэнции У2д
Определение 3.2. Конгруэнцией V2,1 называется конгруэнция V, для которой
аи — 0, а22 — 0, а12 — 1, к^ — 1, к21 — 1, кц — к22 — Ь . (3.5)
Соотношения (2.1) обращаются в тождества в силу выражения (3.5). Следовательно, V21 с V .
Теорема 3.2. Конгруэнции V2,1 существуют и определяются с произволом одной функции двух аргументов, 8 функций одного аргумента и 24 произвольных постоянных.
В результате последовательных продолжений системы уравнений Пфаффа конгруэнции V2,1
С13 — СО2, — с1, у0 — с1 + Ьо2, с20 — ЬаС +с2,
с12 — с11с1 + с12с2, — с21а1 + с22с2,
с1 — ЬоС +с2, с32 — с1 + Ьс2, с00 — т1с1 + т2с2, (3.6)
— п1с1 + п2с2, с1 +с22 — + к2с2, с03 — 0, с30 — 0.
Наряду с общим результатом (теорема 3.2) возникает второй подкласс конгруэнций V2,1 — конгруэнции V'21 :
Теорема 3.3. Конгруэнции V 1 удовлетворяют соотношениям
с12 — с22 — И1; с11 — с21 — к2; 2И1п1 + к22 -к^ - 2к2п2 — 0 . (3.7)
Они существуют и определяются с произволом пяти функций одного аргумента и 20 произвольных постоянных.
Теорема 3.4. Прямые АА и АА1 (=1,2) являются асимптотическими касательными поверхностей (А0) и (А3) конгруэнции V21. Прямолинейная конгруэнция (А1А2) гармонична поверхности (А0) (см.: [4, с. 155]). Фокусами луча А1А2 этой кон-
груэнции являются единичная точка А\ + А2 и гармоничная
ей относительно Аг и А2 точка А\ — Аг.
Доказательство. Уравнения асимптотических линий поверхностей (А0) и (А3) имеют следующий вид:
со1 а>2 = 0, л®32 = 0. (3.8)
Уравнение торсов прямолинейной конгруэнции (А\А2) имеет вид
(о1)2 — (о2)2 = 0. (3.9)
Непосредственным вычислением убеждаемся, что точки Л\ + Аг и А\ — Аг — фокусы луча ЛЛ2 е (ЛЛ2) . Ч. т. д.
п. 3 Конгруэнции У2,2
Определение 3.3. Конгруэнцией У2г2 называется конгруэнция V, для которой
С\2 = с2\ = 0, кп = Ь, к\2 = \, п2 = а12. (3.\0)
Система уравнений Пфаффа конгруэнции У2,2 имеет вид
С\3 = а© + а12 о2, о\ = а© + а22о2, 0\0 = о1 + Ьо2,о2 = ЬоО +о2, о>С = 0, о30 = 0, < С\2 = с©, о,\ = с22о2, со = ЬоО +о2, (3.11)
о32 = к© + к22о2, О\\ +о2 = УоС + И2о2, О\0 = о1 + Ьо2, о20 = ЬоО +а>2.
Условия (3.Ю) обращают в тождества соотношения (2Л). Следовательно,
У с У
г 2,2 ' 2 •
Теорема 3.5. Существуют два класса конгруэнций У2,2 — конгруэнции У22 и конгруэнции У"2. Конгруэнции У>,2 опреде-
ляются с произволом одной функции двух аргументов, 10 функций одного аргумента и 25 произвольных постоянных. Они удовлетворяют соотношениям
к21 + Ь(Ь -к22) -1 — 0,
2 2 2 (3.12)
2(к - Ьк2) + с22(Ь2 - к22Ь - 2) — 0.
Конгруэнции V22 определяются с произволом восьми функций одного аргумента и 23 произвольных постоянных. Они удовлетворяют соотношениям
к21 —-1, Ьк2 — 2к, Ь(к22 - Ь) + 2 — 0, 4Ьт — (Ь2 к2 + с11 - 2а12 + 2т2)(1 + Ь2).
(3.13)
п. 4. Конгруэнции У2,3
Определение 3.4. Конгруэнцией V2,3 называется конгруэнция V, для которой
с 12 — 0, с21 — 0, кп — Ь, к22 — 1. (3.14)
В силу выражения (3.14) соотношения (2.1) обращаются в тождества. Следовательно, V23 с V2.
Теорема 3.6. Система уравнений Пфаффа
3 1 2 3 1 2
с — а11с + а12 со , с2 — а12ю + а22ю ,
с0 — со1 + Ьа>2, с — Ьс1 +ю2,
«с — с11с1, со\ — с22с2, с11 — Ьс1 +ю2, (3.15)
с32 — к21с1 + сэ2, с — 0, сэ30 — 0,
со° — т1с1 + т2а>2, с11 — п1с1 + н2с2.
— в инволюции и определяет решение с произволом двух функций двух аргументов, 11 функций одного аргумента и 27 произвольных постоянных, причем
К12 - к21 + Ь(1 - Ь) = 0. (3.16)
Следовательно, конгруэнции V2! 3 существуют и определяются с таким произволом.
Список литературы
1. Малаховский Н. В. Компьютерное моделирование исследования дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Калининград, 2006. Вып. 37.
2. Малаховский В. С. Теория конгруэнций кривых и поверхностей второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Калининград, 1996.
3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1976. Ч. 1.
V. Malakhovsky, E. Jurova Congruences of ruled quadrics with two double focal surfaces
In three-dimensional projective space P3 two-parametric families (congruences) V2 of rouled non-degenerates quadrics Q are investigated. It is proved that such congruences exist and with arbitrariness of five arbitraries functions of two arguments are defined. Using computer-program [1] four sub-classes of such congruences are considered. If points Ai and A2 of intersection of lines A0A1, A3A1 and A0A2, A3A2 of quadric Q gV are also focal points than (A0) and (A3) are double focal surfaces it is istablished.
УДК 593.3
Т. И. Некипелова, В. Б. Цыренова
Бурятский государственный университет, г. Улан-Удэ
Упругое взаимодействие цилиндра
Вычисляются максимальные локальные напряжения, возникающие в зоне контакта цилиндра с жестким элементом. Начальное решение производится в перемещениях. Для решения задачи используется равномерная сетка по каждому из трех координатных направлений.
Ключевые слова: контактное воздействие, упругие перемещения точек, обобщенный закон Гука, касательные и нормальные напряжения, метод простой итерации, центральная аппроксимация.
© Некипелова Т. И., Цыренова В. Б., 2014
