CC BY
9
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
О КОНГРУЭНЦИЯХ ОКРУЖНОСТЕЙ, ОБЛАДАЮЩИХ СДВОЕННЫМ СЕМЕЙСТВОМ КАНАЛОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
М. Р. ВАЙНТРУБ
(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)
1. В статье [1] дана метрическая характеристика конгруэнции окружностей, обладающих одним или двумя семействами каналовых поверхностей.
В данной заметке рассматриваются конгруэнции {2.2} (конгруэнции окружностей, плоскости которых зависят от двух параметров), обладающие сдвоенным семейством каналовых поверхностей.
2. Замкнутая система дифференциальных уравнений конгруэнции {2.2} относительно канонического репера (см. [2]) записывается в виде:
Ai/,Js <»i = Ve* äa0 = До/аз, 0)3 = АХ' [<*Ло1<»з1 + [¿ЛоаЛз] = - {¿lAoi + Ь2Ао2) K^Sb ' (1)
[db^w + [db2 <■>>] = - [b] + ь\ + 11 кхь
[¿/AjCoJ] = (Л21 д12 — 6,Ai} К">з]. [dAu^l] +ldAi2a>l] = {Ä](A23 — Au) — МЛ12 + Л21)} К>зЬ
[¿Лг^з] + [dA22^i] = { — МЛ21 + Л21) + ь2 (Ли - Л22) ~ Ai} K<ib где формы Пфаффа со г = ш', co-j , г\/ = 1,2 удовлетворяют условиям кососимметричности и структурным уравнениям Картана ([3], 'стр. 137—138) трехмерного евклидова пространства Е3.
Каждое из координатных подмногообразий со/ = 0 является одно-параметрическим семейством окружностей и характеризуется тем, что касательным вектором к сферическому изображению линейчатой поверхности, описываемой осями окружностей, является вектор е репера (здесь и в дальнейшем: j = i).
Обозначим через К ¿r , pi , гу. соответственно абсциссу горловой точки, параметр распределения и косину распределения линейчатой поверхности, описываемой осями окружностей вдоль = 0. Применяя соответствующие вычислительные формулы [4], получим:
Ч = А/у, Pi ^ Аф п = - bj. (2)
Для инвариантов Kol имеем следующую относительную характеристику: обращение в нуль каждого из инвариантов Ко / выделяет соответственно конгруэнции окружностей постоянного радиуса вдоль направлений = 0.
3. Фокусы и фокальные направления конгруэнции осей определяются системой
(Р— Лп)С03 — = О,
- Á21ü)3 + (р - Л22) <»§ = 0, (3)
где р — абсцисса фокуса луча конгруэнций.
Исключая из (3) отношение форм Пфаффа со 3 : со-J, получим уравнение для определения координат фокусов этой конгруэнции:
Р2 — (Ли + Л22) Р + Л11Л22 — Л12Л21 = 0. (4)
4. Непосредственно из теоремы Р. М. Гейдельмана, доказанной в [1], вытекает необходимое условие существования конгруэнций {2.2}, обладающих сдвоенным семейством каналовых поверхностей: если конгруэнция окружностей, принадлежащая двухпараметрическому семейству 'плоскостей, обладает сдвоенным семейством каналовых поверхностей, то конгруэнция ее осей является параболической.
Если конгруэнция осей (Ае3) параболическая, то имеет место условие
(Au - Л22)2 + 4д12/\21 - 0, (5)
а ее сдвоенный фокус совпадает с точкой
? = Л + Le3. (6)
Фокусу (6) соответствует фокальное направление
2 = 2a21Ü>J - (All - Дм)= Í7)
Сдвоенное семейство каналовых поверхностей конгруэнции {2.2}, если существует, огибает фокальную сферу с центром в точке (6), а его уравнением является уравнение (7). Аналитически это выражается в виде
(M — F, ¿M)==0(mod2), (8)
где M — радиус-вектор произвольной точки окружности конгруэнции, определяемый формулой
M = Â+R(~ecos? + ë2 sin ср). (9)
Здесь <р — угол, образованный радиусом-вектором AM и осью ех. Так как
dM = (со1 -f dR cos v ~ Rsinvdv — R <»î sin 4-
+ (со2 + dR sin <p + Reos + R(ú\ eos з) e2 + (10)
+ (cu3 + R со® cos <p + R 0)3 Sin cp) e3, то, в силу (8), будем иметь
R cos ср (ш1 + prnj) -f- Rsln (ш2 -f -j-
+ RdR - рш3 = 0 (mod 2). (11)
Учитывая (1), (5), (6) и (7), окончательно получим
(Au - Л22) [2До1 + (Au + Л22) Ai] + 4д02Д21 = 0. (12)
Объединяя (5) и (12), получим два независимых условия, характеризующих конгруэнцию {2.2} со сдвоенным семейством каналовых поверхностей.
Анализ системы (1) с помощью критерия С. В. Бахвалова (например, [5], стр. 44) показывает, что произвол существования таких конгруэнций составляет 2 функции 2 аргументов.
5. Рассмотрим некоторые частные классы конгруэнций {2.2}, обладающих сдвоенным семейством каналовых поверхностей.
1) Потребуем, чтобы сдвоенное семейство каналовых поверхностей было огибающим фокальной сферы, центр которой совпадает с центром окружности конгруэнции. Из (6) имеем:
Лп + Л22 = 0. (13)
Условия (5) и (12) принимают соответственно вид
ЛП + 4Лк>Л2х = 0 (14)
и
VoiAu + Л02Л21 = 0. (15)
Из (2) в силу (13) следует, что горловые точки линейчатых поверхностей, описываемых осями окружностей конгруэнции, вдоль со^ —0 и ш2з = 0 симметричны относительно центра фокальной сферы.
2) Потребуем, чтобы сдвоенное семейство каналовых поверхностей конгруэнции {2.2} было семейством трубчатых поверхностей. Это означает, что конгруэнция {2.2} должна быть конгруэнцией окружностей постоянного радиуса. Для таких конгруэнций
Aoi = Л02 = 0. (16)
Анализ уравнений (5) и (12) показывает, что здесь возникают две возможности:
а) случай:
A oí = А 02 = 0, An + Л22 = 0. (17)
Уравнение (5) приводится к виду: An2 + Ai2 Л21 = 0. В этом случае центр фокальной сферы, огибаемой сдвоенным семейством трубчатых поверхностей конгруэнции {2.2}, совпадает с центром окружности.
б) случай:
Agi = Л02 = °> Ли = Л22. (18)
Из (5) следует, что А12Л21 = 0. Следовательно, либо имеют место условия
Aoi = Л 02 = 0, Ап = Л 22 ) Л12 = 0, (19)
либо — условия
Aoi = Л02 = о, Ли - л22, Л21 = 0. (20)
Из (2) следует, что при выполнении каждого из условий (19) и (20) линейчатые поверхности, описываемые осями окружностей вдоль
= 0 и oj§=0 соответственно, являются торсами с общим ребром возврата s = Лп + AiA-
Каждый из рассмотренных частных классов существует и определяется с произволом 1 функции 2 аргументов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. М. Г е и д е л ь м а н. Метрическая характеристика конгруэнций окружностей, обладающих семействами каналовых поверхностей, У. M. Н., т. XII, вып. 4 (76), 1957.
2. М. Р. В а й н т р у б. О конгруэнциях окружностей в евклидовом пространстве, Труды Томского университета, т. 191, сер. механико-математическая. 143—149, 1967.
3. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана, M. — JL, 1948.
4. Р. Н. Щербаков. Построение метрической теории комплекса прямых при помощи репеража линейчатых подмногообразий. Труды Томского университета, т. 155, сер. математическая, 3—24, 1961.
5. Р. Н. Щербаков. Курс афинной и проективной дифференциальной геометрии, Томск, i960.
