Дифференциальная геометрия семейства к (2,6) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

1970

Том 184

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВА К (2,6)

В. И. МАТВЕЕНКО

(Представлена кафедрой высшей математики)

.В данной статье продолжается исследование многопараметрических семейств кривых второго порядка (коник) в трехмерном проективном пространстве ([3] — [4]). Рассматривается семейство К (2, 6) — шестипараметрическое семейство невырожденных коник С, плоскости которых образуют двухпараметрическое семейство. Это семейство коник существует с произволом одной функции шести аргументов. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1] — [5].

Поместим вершину А3 подвижного репера {Аа} в характеристическую точку М плоскости коники (при этом исключается случай прохождения коники через точку М)> вершины А-ь~ в точки коники, полярно сопряженные относительно нее с точкой вершину А4 — в произвольную точку проективного пространства, не лежащую в плоскости коники. Здесь и в дальнейшем условимся считать, что А/, ¿=1,2; ¿фу; кфЬ\ т, п, г = 1,2, 3; тфп\ п Ф г; т ф г; а, т = 1, 2, 3,4; X = 1, 2, 3, 4, 5, 6; а = / + 2; *=у + 2; 5 = / + 4; у\ — у 4- 4; по у, gy г, а не суммировать! Деривационные формулы репера {Аа} имеют вид: )

- = (1)

о

где ша —формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства

[(«¡(о?]. (2)

Уравнения коники С относительно этого репера имеют вид:

(хг)2 - 2рх'х2 Xх — 0, р Ф 0. (3)

Формы

4 У / 3 £ л 3 # ,

<»з, — 2ш3 — а \пр

являются главными формами. Выберем за базисные формы

4 у / 1 з = СО/, С0а = 0)|, = Шз--С0£ .

Остальные главные формы выразятся через них в виде: -

">з = 0, Шз = Сз*«ол, (О- =/7 (Сз*0)А — 0)£),

(4)

о>2 — 2ш1 — сИпр = СхшХ)

где Сз2 = Сз\ Обозначим* через Ц? характеристические точки коники С подмногообразия Т" коник [5]. Подмногообразие [Yi] коник o)t = ш2 = = шГ) = ко6 — 0 [ojj = о)2 = со3 = о)4 = = 0] геометрически характеризуется тем, что для него прямая АгА2 и точка Aj неподвижны. Выбором базисных форм исключаются случаи, когда размерность многообразия плоскостей коник меньше двух и случаи неподвижности точек А\ для подмногообразий и Yi коник. '

Из системы уравнений (4) обычным путем [1] получаем следующую систему дифференциальных уравнений внутреннего фундаментального объекта Сг[Сзку С\ р}:

ьс{е = с1/(4 — )> ь\пр = 4-24,

ьа = с (4 - *{) — 4 + са4 (5)

р

Из этих уравнений непосредственно заключаем, что величины р, Сз\ Сст, СЕ являются относительными инвариантами. Условие Съ = 0 характеризует семейство коник, для которого сеть линий о)1(о2 —0 на поверхности (Л3) является сопряженной. Неголономное [5] подмногообразие коник <Oj = 0 геометрически характеризуется тем, что для него прямая AjA3 является характеристикой плоскости коники. Характеристическим элементом плоскости [прямой линии] I подмногообразия плоскостей [прямых линий] называется такая прямая линия [точка], смещение которой для всех подмногообразий Ть принадлежащих подмногообразию Yx-i не выходит из плоскости [прямой линии] 7. Условие С" = 0 характеризует семейство коник, для которого линия о)7- = 0 на поверхности (Л3) является асимптотической линией. Для этого семейства коник касательная к линии шу = 0 на поверхности (Л3) совпадает с прямой Л3Лу-. Условие С" — 0 [С£ = 0] характеризует семейство коник, для которого точка Aj является четырехкратной [трехкратной] характеристической точкой коники С для подмногообразия [ГЦ коник. Приведенные здесь геометрические характеристики относительных инвариантов вытекают из формул (1) и системы уравнений

(*3)2 - 2pxix2 - 0, л:4 = 0, xko>k = 0,

. (6)

ш3 (х1)2 + С04 (л2)2 + С^хх'х2 + (DgJC1*3 + «>в*2*8 = 0

для определения точек пересечения исходной и смежной коник семейства /((2,6).

Величины

С\гс? R pCjJ Сз2

--- , Oi =- , fii= --

(Cff ' CMC*)* CQ C{J

являются абсолютными инвариантами. Геометрически они характеризуются ^ерез сложные отношения четверок точек следующим образом: \

Л = (ЛИ2; SisJ), Bt = A- (A,Aa; SjP?)\

Яг = -(ЛгЛ;-; P'Si),

где — проекция из точки Аг на прямую АтАп точки пересечения касательной к линии (Л3)ш _о с коникой С, Р1 — точка пересечения

прямой АхА2 с прямой Ру —точка пересечения прямых А]Аг

и А¿04, — точка, расположенная на прямой ЛгЛ3 и полярно сопряженная точке Р) относительно коники С. Используя выражения (7), получаем следующие равенства:

(ЛИз; Р\Р1) = (А2А3; Р*Р*),

Исключая из рассмотрения случаи обращения в нуль относительных инвариантов С*2, С5, осуществим следующую фиксацию репера:

р = СЪ2 = Съ = (8)

Если учесть еще условие эквипроективности (Л1Л2Л3Л4) = 1, то получим тса — О. Формы а)" становятся главйыми и можно записать их разложение по базисным формам в виде

">а = (9)

где с£х=0.

Из системы уравнений (9) обычным путем получаем следующую систему дифференциальных уравнений внутреннего продолженного фундаментального объекта' С2 {Съ С?х} [1]:

«ч /-»г/ п^—З 3 - * */-»г,а+2 г\ ОС/ = С* — С* ТГ4- 1Г4, оСг = и,

(Ю.)

зс^сМ-Сдй 8Сзг = СзМ-СзЧ

Так как системы уравнений (5) и (10) алгебраически разрешимы относительно всех линейно независимых форм тга— 8М, то объект Сг является основным [1]. ,

Системы уравнений (5) и (10) дают возможность осуществить следующую фиксацию репера:

= Сг + С? + Сз1(С?-1) + С1+53(С?-1) = 0> С? Ф 0, (11)

где '

с) с)

При этой фиксации все вторичные параметры фиксируются и репер становится каноническим. Выясним геометрический смысл фиксации (11), Неголономное подмногообразие Ч/^ коник

а)^ = «)„ = — Ci^/^йJ — — — 5хо)х = 0 (12)

геометрически характеризуется тем, что для него точка Л* неподвижна, а точка Р\ является характеристической точкой прямой Р^А-.

__л /

Точки А. и Р] для этого подмногообразия описывают неголон'омные поверхности, касательные плоскости к которым обозначим через о,- и Ь]. При фиксации (11) вершина Л4 репера [Аа] помещается в точку пересечения плоскостей аи а2 и Ьъ Неравенство С} Ф О

исключает случай неподвижности точки Р\ для подмногообразия (12).

Деривационные формулы построенного канонического репера имеют вид:

йА -г = С11^\А-Ь + ШаЛ/ + + — щ) Л3 4- 0)¿А4,

(13)

ал3 = + л* + с3%А, а А, =

Уравнения структуры. (2) приводят к следующей системе конечных соотношений:

2С? + С" = с£6 = 0. (14)

Неголономное подмногообразие ЧГ5 коник 4^=0 геометрически характеризуется тем, что для него точка Аа является характеристической точкой плоскости ЛаЛтЛ[А (а, р, т, р) = 1, 2, 3, 4; а Ф р, т, ¡л; р -г, х р.. Неголономное подмногообразие Т5 коник о^ = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точки Лг и Л3 полярно сопряжены относительно проекции смежной коники из точки Аа на плоскость исходной коники С.

уИз системы уравнений (6) и формул (13) вытекают следующие предложения:

1. Точки А{ являются двухкратными фокусами коники С него-ЛОНОМНОЙ конгруэнции КОНИК Ш3 = 0)4 = со0 ^ Од = 0 и этим фокусам соответствуют фокальные семейства ин ™ 0. Остальные два фокуса коники С этой конгруэнции лежат на прямой, проходящей через точку Л3, и им соответствует сдвоенное фокальное семейство САа>й=0.

2. Для неголономной конгруэнции коник соу = о>х = о>5 = соб = 0 [ы. о)3 = ш4 = =0] фокусы коники С совпадают с точками В1[0\\. Причем, фокус А} является четырехкратным фокусом и ему соответствует неопределенное фокальное семейство. Остальным двум фокусам коники С этой конгруэнции соответствует сдвоенное фокальное семейство = 0. Причем, фокальные линии из,-= 0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С.

3. Для неголономной конгруэнции коник Шj = о>ст = ш5 =- ш6 = 0 фокусами коники С являются точки Ор и точка Л;.. Причем, точки Ак являются двухкратными фокусами. Фокусу Л;- соответствует фокальное семейство «ч = 0, а остальным фокусам — фокальное семейство о)/ — 0. Причем, фокальные линии = 0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С.

4. Для неголономной конгруэнции коник о^ = = — = 0 фокусы коники С совпадают с точками Причем, точка Л;- является трехкратным фокусом, а точка А1 — двухкратным фокусом. Фокусу Aj соответствует неопределенное фокальное семейство, а остальным фокусам — фокальное семейство = 0. Причем, фокальные линии щ = 0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С.

5. Фокусы луча неголономной конгруэнции прямых (Л1Л2)и!з=ш1=ш.-_=,>(1=о гармонически делят точки А{ и Л2.

ЛИТЕРАТУРА ■

1. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Труды Моск. матем. общества, 2, 1953, 275—382.

2. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. ГИТЛ, М.-Л., 1948.

3. В. С. Малаховский. Невырожденные конгруэнции кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Геометрический сборник, вып. 3 (Труды Томского ун-та, 168), 1963, 43—53. .

4. В. И. М а т в е е н к о. Много'параметрические семейства кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. XXV научно-педагогическая конференция математических кафедр педвузов Уральской зоны. Тезисы докладов и сообщений, Свердловск, 1967, 59—60. »

5. Р. Н. Щ е р б а к о в. О методе подвижного репера и репеража подмногообразий. Геометрический сборник, вып. 6 (Труды Томского ун-та, 191), 1967, 179—194.