ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВА К (3,7) в Р3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОЁОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО __ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА .

Том 184 1970

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВА К (3,7) в Рг

В. И. МАТВЕЕНКО

4

(Представлена кафедрой высшей математики)

В настоящей статье в трехмерном проективном пространстве рассматривается ' семейстйо К(3, 7)— семипараметрическое семейство невырожденных коник, плоскости которых образуют трехпараметри-ческое семейство". Это семейство ' конйк существует с произволом .одной функции семи аргументов. Обозначения и. терминология соответствуют принятым в [1] — [5]. Индексы принимают следующие значения; У, g, I = 1, 2; / фу; т, п, г = 1, 2, 3; гк ф п;

тфг; пфг; ос, Р, 7=1*2,3,4; X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; с =/ +$ * = У + 3; Е = 5 + I; у\ — 5 + у. По у, g> г, а не суммировать!

Поместим вершины Ах и А2 подвижного репера {Аа) в различные точки коники С, вершину А3 — в полюс прямой АхА2 относительно Тоники С, вершину — в произвольную точку проективного пространства, не лежащую в плоскости коники. Деривационный формулы репера {Аа\ имеют вид

йАа = (1)

где о>а — формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства

Ль2 = [ш1ш?1, (2)

.У^абнеййя коники С относительно этого репера имеют вид:

(х3У - 2рх*'х2 = 0, & = 0, р Ф 0. (3)

Произведем частичную нормировку вершйн репера {Л«|, п'олЪжив р IV Фо^Ы*

4/7 3 /?, - 0 ^ 0)л, О)}, — 0)|, (вА — 2о)з

йвл"я1бтся главными формами. Выберем из них за базисные

<*>п = о4, Ш* = = — ш/.

Ф^^Йгая^ся главная форма выразится через них в ЁиДе

— 2шз = Гхо>х. (4).

Из этого уравнения .обычным путем [1] получается следующая сис-гёдАа дифференциальных уфййений вйутреннего фундаментального .объекта Г^ {Гх}

ар = г<,(т4 - тс/) _ р'4 + — г^ - *£- г<2 г*+5«2,

8Г' = Г° - */) - Г^ (4+ 4) - г- 2 г*+5 4,

аг^ = г* - 4) - г^ - г* У 4} /5)

* Т

8Г3 = Г3 (4 _ ^ + 2ТС4 - + 2 Г*+Б - Г3тг1).

А

Эта система уравнений дает возможность произвести следующую фиксацию репера:

Г4 = Г5 = О, Г6 Ф О, Г ф 0. (6)

Формы о>з и становятся главными формами и можно записать их разложение по базисным формам в виде

Шз — ГзХ и>х, СО? = Гз'х Шх — 0)5. (7)

Выясним геометрический смысл фиксации (6). Голономное подмногообразие Т4 [5] коник о)х = о)2 = о)3 = 0 геометрически характеризуется тем, что для него плоскость коники С неподвижна. Из рассмотрения системы уравнений

(х3)2 — 2х'х* = 0, л4-0, хпып — О,

(8)

ГЧХХ'Х2 + ^ К + З (**)2 + <0*+5 X**3] = О

к

для определения точек пересечения исходной и смежной коник семейства К (3,7) вытекает следующее предложение: среди подмногообразий Ч?! [5] коник

о>1 = «>2 = о)3 = О, 0)4: ш5: ш6: о>7 = Ьх: Ь2: Ьъ: 64, / (9)

принадлежащих подмногообразию коник, существует в общем случае 480 таких подмногообразий коник, для каждого из которых коника С имеет четырехкратную характеристическую точку Ма(и = 1, 2, 3,... ,480). При фиксации (6) вершины А1 репера {Аа} помещаются в точки М-ь. Подмногообразие Ф* коник = ш2 = со3 = сох = = (о7 = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точка является четырехкратной характеристической точкой коники С, плоскость которой для этого подмногообразия неподвижна. Подмногообразие коник ш1 = ш2 = со3 = ш4 = ш5 = а^ =0 геомет-

рически характеризуется тем,, что для него плоскость коники неподвижна, а точки и А2 являются характеристическими точками, причем точка —двухкратной, Характеристической точкой, коники С. Выбором базисных форм шх исключаются случаи, когда размерность многообразия плоскостей коник меньше трех, когда точки А1 становятся двухкратными характеристическими точками коники С подмно-

г . л

гообразий Т1 коник, когда характеристические точки коники С для подмногообразий Ч^ становятся неопределенными.

Из системы уравнений (7) обычным путем получаем следующую систему дифференциальных уравнений внутреннего продолженного фундаментального объекта Г2 (Г15 [1]:

оГГ = гГ (4 + - 4 - *{) + гЫ - Г|е 4

= г13 (4 - тф + (Г^ - 1)^ + г1Ч (10)

ВГГ = Г? (*} - 2*5 + 811е = Гзе И -

Так как эта система уравнений алгебраически разрешима относительно всех независимых вторичных форм — <1 — 8^1, то объект Г2 является основным [1], Из систем уравнений (5) и (10) непосредственно замечаем, что величины П, Г*", являются относительными инвариантами. Условие П = 0 характеризует семейство коник, для которого «точка Л у является трехкратной характеристической точкой коники С подмногообразия Чг/1+2. Условие Г*а = 0 [Г^ = 0] характеризует семейство коник, для которого касательная [/£] ♦ к линии (^з)и)1"1о3=ш3=«)х=ш6"(1)7=о [(Л3)Ш1=а)2=г0а=Ш1=Ш5=а)7)=о] совпадает с прямой АЪА( [Л3Л;].

Величины

Ц\ Е = (ГГ - 1) г1\ Ь; = , Н1 = гщ°

являются абсолютными инвариантами. Геометрически они характеризуются через сложные отношения четверок точек следующим образом:

(И)

Н1 = (А[А3\ МпВ% и = 1- (Л,4у; М13В'3),

где В1 [йз]—точка пересечения прямых Л,Л2 и Г [/*], В\ — точка пересечения прямой Л;Л3 с касательной /¿ к линии (Л*)Ш1=Ша=«>8=шх=Шб=Ш7=о, В1 — точка огибающей семейства прямых (Л^ЛзК^^з^х^^^о, М.1т — проекция из точки Аг на прямую АтАп характеристической точки М1 = (Га)2Л* + 2Л;- — 2ПЛ3 коники С подмногообразия коник. Используя выражения (И), получаем следующие равенства:

{АХАЬВ\ВХ) = (А2А%, В\В2)^ (ЛИ2; В1Ва) = -\, {А,АъМ12В') А2А3;МпВ*) = - 2(Л1Л3; в\вч, (ЛИ3; = - 2 (Л;-Л3;

где Ва — точка огибающей семейства прямых

( Л 2)о)1 = ш2=ш3=а>х=сои=со7=0 [(Л Л 2)со1 = щ.2 = а>3=а)1=со5 = со^ = 0 ] •

Система уравнений (10) дает возможность произвести следующую фиксацию репера:

к

(12)

^ [аГ« + аи5 (ГГ+5 - 1) + а1+5 Г8*'й+5] = 0, к

где

а = Г|6ГГ - Г?П7 * 0, а* = Г?^ - М

А - (Г|6 - 1) (Г17 - 1) - Г^6Г? 0, Д, = Г? - Г'33 (Г^ - 1).

Учитывая еще условие эквипроективности (АгА2АгАА) = 1, получаем, что все вторичные параметры зафиксированы и репер {Аа} становится каноническим. Обозначим через /3 касательную к линии (Лз)а)1=ш2=со.,=о)5=соз=о)3=0) через Ы касательную плоскость к голономной

поверхности (Л/)ш.=Ша=шх=©1_а)2-о> а через /?* точку пересечения прямой /й ё плоскостью Ьь. Подмногообразие коник о>1 == а)2 = в>4 = 0)5 = со| = = О геометрически характеризуется тем, что для него Точки А% нейодвижны. Голономное подмногообразие коник

Шу == о>3*=о)х = о)^ геометрически характеризуется тем, что

Для него точка Л3 и прямая Л;Л3 неподвижны. При фиксации (12) Л4 выбирается на прямой /3 так, что {К.хЯг\ Л3Л4) = — 1. Если точки и совпадают, то точка А4 совпадает с ними. При фик-

£3 13 23

сац-йи Гз =0 исключается случай совпадения точки <3 = Г3 Ах— Г3 Л2 ребра возврата торса (Л1Л2)а)1=а>,=со1=ш5=сой-ш7=о с точками Ау А неравенство аф О исключает случай совпадения прямых /6 и I7.

Деривационные формулы построенного канонического репера имеют вид:

с1А1 = Г/ЧЛ* + и*А, + (Г;3Ч - о>0 ^з +

(13)

¿Л3 = Г?щАп + о)3Л4, Л А, - г1Ч ЛР

где

Гррх = о, (Г|б - 2ГI6) Гз5 - (Га7 - 2Г?) ГГ.

Используя построенный каноническйй репер {Ла}, можно рас-рматривать различные подмногообразия семейства АТ(3, 7). Рассмотрим, например, подмногообразие ЧГ2 (голономную конгруэнцию) коник = о)3 = («х — = = 0. Для этой конгруэнции точка Лу-является трехкратным фокусом коники С. Остальным фокусам коники С соответствует строенное фокальное семейство = 0. Причем, фокальные линии 0^=0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С. Для этой конгруэнции коник точка ЛУ является характеристической точкой прямой Л;Л3. Неголономное подмногообразие [5] коник = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точка Аа является характеристической точкой ПЛОСКОСТИ ЛаЛчЛ[Х (а, р, V, р = I, 2, 3, 4; а ф р, V, [г; р ф V, а; V ^ (1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий -Труды Моск. матем. общества, 2, 1953, 275—382.

2. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. ГИТЛ, М.-Л., 1948.

3. В. С. Малаховски й. Невырожденные конгруэнции кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Геометрический-сборник, вып. 3 (Труды Томского ун-та, 168), 1963, 43—53.

4. В. И. М а т в е е н к о. Дифференциальная геометрия шестипараметрйческого семейства невырожденных коник, плоскости которых образуют двухпараметрическоё семейство. Третья Прибалтийская геометрическая конференция. Тезисы докладов Паланга, 1968, 114—115.

5. Р. Н. Щ е р б а к о в. О методе подвижного репера и репеража подмногообразий. Геометрический сборник, вып. 6 (Труды Томского ун-та, 191), 1967, 179—194.