О СТРОЕНИИ КОМПЛЕКСОВ M-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА $P^n$, СОДЕРЖАЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОРСОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

УДК 514.755.5

О СТРОЕНИИ КОМПЛЕКСОВ т-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Рп, СОДЕРЖАЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОРСОВ И. В. Бубякин

Аннотация. Статья посвящена дифференциальной геометрии подмногообразий многообразий 0(т,п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащих конечное число торсов. Для исследования таких подмногообразий используется грассманово отображение многообразия 0(т, п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп на (т +1)(п — т)-мерное алгебраическое многообразие 0.(т, п) пространства РN, где N = ^ ) — 1- Это отображение в сочетании с методом внешних форм Э. Картана и методом подвижного репера позволило определить зависимость строения изучаемых многообразий и конфигурации (т — Номерных характеристических плоскостей и (т + 1)-мерных касательных плоскостей торсов, принадлежащих рассматриваемым многообразиям.

Б01: 10-25587/8УРи.2018-4-11312

Ключевые слова: грассманово многообразие, комплексы многомерных плоскостей, грассманово отображение, многообразие Сегре.

Введение

Настоящая работа относится к дифференциальной геометрии грассмано-вых многообразий. Актуальность таких исследований объясняется тем, что они дополняют исследования проективной и алгебраической геометрий грас-смановых многообразий [1], а также связаны с исследованиями лагранжевых и квантовых грассмановых многообразий [2-5]. При этом дифференциальная геометрия грассмановых многообразий представляет интерес для интегральной геометрии Радона — Хелгасона — нового направления в современной математике, которому посвящена книга И. М. Гельфанда, С. Г. Гиндикина и М. И. Граева [6]. Данные исследования посвящены дифференциальной геометрии подмногообразий многообразий 0(т, п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащих конечное число торсов. Для исследования таких подмногообразий используется грассманово отображение [7] многообразия 0(т, п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп на (т + 1)(п — т)-мерное алгебраическое многообразие 0(т,п), пространства Рк, где N = — 1.

© 2017 Бубякин И. В.

Наличие на подмногообразии многообразия G(m, n) конечного числа торсов влечет за собой зависимость размерности подмногообразия и размерности проективного пространства. Некоторые такие подмногообразия ранее были исследованы, например, конгруэнции прямых в трехмерном пространстве [8], комплексы двумерных плоскостей в пятимерном пространстве [9]. Исследование проективно-дифференциальной геометрии многообразий m-мерных плоскостей (m > 3) представляет собой следующий шаг в изучении геометрии подмногообразий многообразия G(m,n) m-мерных плоскостей проективного пространства Pn рассматриваемого вида.

Вспомогательные результаты

В проективном пространстве pn рассмотрим семейство точечных реперов {A/}, I, J, K = 0,1,..., n, и семейство реперов, образованных гиперплоскостями

а1 = (-1)1 (Ао Л • • • Л A/_i Л A/+1 Л • • • Л An). Уравнения перемещения этих реперов имеют вид

dA/ = ш/ Aj, da/ = -wj aJ, (1)

где wJ — линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие структурным уравнениям проективного пространства Pn:

dw/ = ш/ Л ш/.

Пусть pm — m-мерная плоскость пространства Pn. Свяжем с этой плоскостью семейство точечных проективных реперов так, чтобы точки A¿ (i,j = 0,1,..., m) принадлежали плоскости pm. Тогда ввиду (1) получим

dAi = wj Aj + wfAp.

где р, д = т + 1, т + 2,..., п. Отсюда видно, что перемещение плоскости рт в пространстве Рп определяется р = (т + 1)(п — т) параметрами, линейными комбинациями дифференциалов которых являются 1-формы .

Плоскость рт в пространстве Рп определяется т + 1 линейно независимыми точками. Из матрицы координат этих точек можно составить определителей порядка т + 1, которые можно принять за координаты плоскости рт С Рп, и их называют грассмановыми координатами плоскости рт. Они связаны системой алгебраических уравнений и определяют биективное отображение многообразия G(m, п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп на (т + 1)(п — т)-мерное алгебраическое многообразие 0(т,п) проективного пространства Рк, где N = — 1.

Пусть имеются две т-мерные плоскости рт пространства Рп. Они порождают линейный пучок т-мерных плоскостей, которому при грассмановом отображении соответствует прямолинейная образующая на алгебраическом многообразии 0(т,п). Все т-мерные плоскости этого пучка принадлежат одной

(m + 1)-мерной плоскости pm+1, при этом пара плоскостей pmи pm+1, где pmС pm+1, вполне определяет этот пучок, а следовательно, и прямую на многообразии Q(m, n).

Рассмотрим некоторую фиксированную (m + 1)-мерную плоскость pm+1 с Pn. Все m-мерные плоскости pm, принадлежащие pm+1, образуют плоское поле размерности m + 1. На многообразии Q(m, n) ему соответствует (m + 1)-мерная плоская образующая. Назовем ее а-образующей многообразия Q(m, n). Так как проективное пространство Pn содержит (m + 2)(n — m — 1)-параметрическое семейство плоскостей pm+1, многообразие Q(m,n) несет семейство плоских а-образующих размерности m +1, зависящее от (m + 2)(n — m — 1) параметров.

Многообразие m-мерных плоскостей pm, проходящих через фиксированную (m —1)-плоскость pm-1, образует (n—m)-связку. Этой связке на алгебраическом многообразии Q(m, n) соответствует плоская образующая размерности n — m. Назовем эту образующую в-образующей многообразия Q(m, ^.Поскольку проективное пространство Pn содержит m(n — m — 1)-параметрическое семейство плоскостей pm-1, многообразие 0(m, n) несет семейство в-образующих размерности n — m, зависящее от m(n — m + 1) параметров.

Если плоскости pm-1 и pm+1 пространства Pn таковы, что pm-1 с pm+1, то соответствующие им плоские а- и в-образующие многообразия Q(m,n) пересекаются по прямой. Если же указанное свойство не имеет места, то соответствующие а- и в-образующие не пересекаются.

Найдем на многообразии Q(m, n) асимптотические направления второго порядка, выходящие из точки p — точки, соответствующей m-мерной плоскости pm С pn при грассмановом отображении. Эти направления определяются условием

d2p = 0 (mod TpQ(m, n))

или в касательной плоскости TpQ(m, n) в точке p = pm к многообразию Q(m, n) уравнениями

,pq

где

< = 0, (2)

— квадратичные дифференциальные формы, образующие систему асимптотических форм второго порядка. Асимптотический конус, определяемый уравнениями (2), обозначается Вр(2). Уравнения (2) можно записать в виде условия

гащДО) = 1. (3)

Асимптотические направления порядка к, выходящие из точки р С 0(т, п), определяются условием

= 0(шоа Трк-10(т,п)) или в касательной плоскости ТрО(т, п) уравнениями

= о, (4)

где

»1^2 .. л к 11 12 гк\

— дифференциальные формы степени к, образующие систему асимптотических форм к-го порядка алгебраического многообразия 0(т, п). Конус асимптотических направлений, определяемый уравнениями (4), обозначается через Вр(к). Уравнения (4) можно записать в виде условия

га^(шр) < 1. (5)

Асимптотические конусы различных порядков связаны соотношением

Вр(2) С Вр(3) С • • • С Вр(т + 1) С ТрО(т, п).

Все конусы Вр(к) асимптотических направлений представляют собой алгебраические многообразия размерности (п — к + 2)(к — 1), несущие два семейства плоских образующих размерностей (п — т)(к — 1) и (т +1)(к — 1). При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, пересекаются по плоскости размерности (к — 1)2. В частности, конус Вр(2) имеет размерность п и несет плоские образующие размерностей п — т и т + 1, пересекающиеся по прямым. Ввиду этого, его проективизация РВр(2) представляет собой многообразие Сегре 5(т, п—т —1) = Рт хРп-т-1, а сам конус Вр(2) есть конус Сегре С(т + 1,п — т). При этом конус Вр(2) является пересечением алгебраического многообразия 0(т, п) и его касательной плоскости ТрО(т,п).

Геометрический смысл конуса Вр(т + 1) описывается следующим образом. Каждая гиперплоскость в пространстве Рп, проходящая через т-мерную плоскость рт, содержит (т + 1)(п — т — 1)-параметрическое семейство плоскостей рт, которому на грассмановом многообразии G(m, п) соответствует подмногообразие, проходящее через точку р. Касательные плоскости размерности (т + 1)(п — т — 1) к этим подмногообразиям образуют одно семейство плоских образующих конуса Вр(т + 1), которые называются его а-образующими. Через каждую точку плоскости рт проходит т(п — т)-параметрическое семейство плоскостей рт , которому на грассмановом многообразии G(m, п) соответствует подмногообразие, также проходящее через точку р. Касательные плоскости размерности т(п — т) к этим подмногообразиям образуют второе семейство плоских образующих конуса асимптотических направлений Вр(т + 1), которые называются его в-образующими. Из (5) следует, что в касательной плоскости ТрО(т,п) а-образующая конуса Вр(т + 1) определяются уравнениями

= 0,

а в-образующая конуса Вр(т +1) — уравнениями

= о.

Нетрудно увидеть, что две образующие различных семейств конуса Вр(т + 1) пересекаются по т(п — т — 1)-мерной плоскости, которой в проективном пространстве Рп соответствует конус т-мерных плоскостей рт с точечной вершиной, принадлежащей некоторой гиперплоскости, при этом две а-образующие

конуса Bp(m + 1) пересекаются по (m + 1)(n — m — 2)-мерной плоскости, которой в пространстве Pn соответствует семейство m-мерных плоскостей pm, принадлежащих (n — 2)-мерной плоскости, а две в-образующие конуса Bp(m + 1) пересекаются по (m — 1)(n — ^^-мерной плоскости, которой в пространстве Pn соответствует семейство m-мерных плоскостей pm, проходящих через прямую.

Проективизация касательной плоскости TpQ(m, n) с центром в точке p представляет собой плоскость PTpQ(m, n) размерности (m + 1)(n — m) — 1. Асимптотическому конусу Bp(m + 1) в пространстве PTpQ(m, n) соответствует алгебраическая поверхность PBp(m + 1), определяемая тем же условием, что и конус Bp(m+1) в касательной плоскости TpQ(m, n). Эта поверхность PBp(m+1) несет семейство плоских а-образующих размерности (m + 1)(n — m — 1) — 1, полученных при проективизации с центром в точке p а-образующих конуса Bp(m + 1), и семейство плоских в-образующих размерности m(n — m) — 1, полученных при проективизации в-образующих конуса Bp(m + 1).

Основные результаты

В проективном пространстве Pn рассмотрим комплексы m-мерных плоскостей, содержащих конечное число торсов — развертывающихся поверхностей. Найдем зависимость размерностей комплекса, его образующей и проективного пространства, для которых имеется конечное число торсов. С этой целью рассмотрим проективизацию касательной плоскости TpQ(m, n) с центром в точке p. Эта проективизация представляет собой проективное пространство P(m+1)(n-m)-1 = PTpQ(m,n). На основе формулы Грассмана [10] в этом проективном пространстве будет выполняться следующее равенство:

dim PTpVр + dim Sp (m, n — m — 1)

= dimP(m+1)(n-m)-1 +dim(PTpVp П Sp(m, n — m — 1)). (6)

Если размерность пересечения плоскости PTpVр и многообразия Сегре Sp(m, n— m — 1) равна r, то из (6) получим равенство

(р — 1) + (m + (n — m — 1)) = (m + 1(n — m)) — 1 + r. Отсюда следует, что

р — 1 = m(n — m — 1) + r. (7)

Если r = 0, то равенство (7) дает искомую зависимость

р — 1 = m(n — m — 1). (8)

Это и есть то соотношение, которое обеспечивает конечное число торсов, принадлежащих комплексу m-мерных плоскостей. Полученному соотношению удовлетворяют, например, конгруэнция прямых трехмерного пространства, пятимерные комплексы двумерных плоскостей пятимерного пространства, семимерные комплексы трехмерных плоскостей шестимерного пространства. Для комплексов двумерных плоскостей обнаруживаем инвариантное свойство [9]: если

три характеристические прямые торсов принадлежат одному пучку, а трехмерные касательные плоскости соответствующих торсов находятся в общем положении, то центр пучка характеристических прямых описывает тангенциально невырожденную гиперповерхность в пространстве Р5, что и определяет строение рассматриваемых комплексов. Учитывая, что число троек характеристических прямых не более а < 4, комплекс двумерных плоскостей обозначается через Тогда комплекс двумерных плоскостей в пространстве Р5 является комплексом в том и только в том случае, если его двумерные образующие касаются а тангенциально невырожденных гиперповерхностей. Поскольку конгруэнцию прямых в пространстве Р3 образуют прямые, касающиеся двух тангенциально невырожденных поверхностей, возникает вопрос: имеют ли многообразия т-мерных плоскостей (т > 3) рассматриваемого вида подобное строение. По сути данная работа делает попытку ответить на этот вопрос.

Рассмотрим в проективном пространстве Рп р-мерный (р = т(п — т—1) + 1) комплекс Ср т-мерных плоскостей. Пусть А»,Ар (г,^ = 0,1 ...,т; р, д = т + 1, т + 2,..., п) — проективный репер пространства Рп и его точки А» принадлежат т-мерной плоскости р комплекса Ср. Уравнения перемещения этого репера имеют вид

¿А» = ш? А^- + шгрАр, ¿Ар = шр А» + шр Ад.

Отсюда следует, что 1-формы шР определяют перемещение плоскости р в пространстве Рп. Поскольку на комплексе Ср плоскость р зависит от р параметров, среди форм шгр лишь р линейно независимых. Следовательно, комплекс Ср задается а (а = 1, 2, . . . , п — 1) независимыми уравнениями

ЛраЧ = о, (9)

где г = 0,1,..., т; р = т + 1, т + 2,..., п. Рассмотрим р-мерное подмногообразие многообразия G(m,n) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, т. е. р-мерный комплекс Ср т-мерных плоскостей. Этому комплексу при грассмановом отображении соответствует некоторое алгебраическое многообразие Vр, принадлежащее многообразию 0(т,п). Многообразие Vр в каждой своей точке р имеет р-мерную касательную плоскость TpVр. Проективизация касательной плоскости TpVр с центром в точке р представляет собой (р — 1)-мерную плоскость РТг^р. Различным видам взаимного расположения плоскости РТг^р с многообразием Сегре 5р(т, п — т — 1) соответствуют различные виды комплексов Ср в проективном пространстве Рп. Поскольку многообразие Сегре 5р(т, п — т — 1) является алгебраической поверхностью порядка

[11], в общем случае это многообразие и плоскость РТг^р имеют об-

щих точек. Эти точки называются характеристическими. Они определяют на алгебраическом многообразии Vр полей направлений, интегральным

кривым которых на комплексе Ср соответствует семейств торсов, об-

разованных двумерными соприкасающимися плоскостями к некоторой кривой.

При этом через каждую образующую комплекса Ср проходит торсов,

по одному из каждого семейства. Каждый торс определяет на образующей р-комплекса Ср характеристическую (т — 1)-мерную плоскость и (т + 1)-мерную характеристическую плоскость, касательную к торсу. Рассмотрим однопара-метрическое семейство т-мерных плоскостей р комплекса Ср. Такое семейство представляет собой (т +1)-мерную поверхность с т-мерными плоскими образующими. Эта поверхность называется торсом, если она является тангенциально вырожденной ранга один. Торсу на алгебраическом многообразии 0(т, п) соответствует кривая, касательные прямые к которой совпадают с прямолинейными образующими многообразия 0(т, п). Данная кривая является асимптотической линией алгебраического многообразия 0(т,п), поэтому в произвольной точке этой линии выполняется условие

га^(шр) = 1.

Следовательно, дифференциальные уравнения торсов пространства Рп можно записать так:

ш? = агх?^. (10)

Каждый торс, проходящий через т-мерную плоскость р комплекса Ср, определяет на ней характеристическую (т — 1)-мерную плоскость пересечения двух бесконечно близких образующих и (т + 1)-мерную характеристическую плоскость, касательную к торсу.

Найдем уравнения (т — 1)-мерной характеристической плоскости и (т +1)-мерной характеристической плоскости. Предположим, что

М = хгАг (г = 0,1,...)

— произвольная точка плоскости р. Дифференциал этой точки в силу (10) имеет вид

¿М = (¿хг + Xш}) Аг + (агхг)(х?А?)

где г, ] = 0,1,..., т; р = т + 1, т + 2,..., п. Отсюда следует, что (т — 1)-мерная характеристическая плоскость в образующей р задается уравнением

а^хг = 0,

а (т + 1)-мерная характеристическая плоскость определяется плоскостью р и точкой Б = х?А?. Из уравнений (9) в силу (10) получим

Л^Чх? = 0.

Эта система определяет (т + 1)-мерную характеристическую плоскость торса, принадлежащего комплексу Ср, если выполняется условие

га^^^а^) = п — т.

Из этого соотношения находятся тангенциальные координаты (т — 1)-мерных характеристических плоскостей на плоскости р комплекса Ср. Если выполняется условие

гап^ Л™х?) = т + 1

га^(Лргжр) = п — 1,

где т = п — 1, то рассматриваемая система определяет (т — 1)-мерную характеристическую плоскость торса, также принадлежащего комплексу Ср. Из последнего соотношения находятся координаты точек Б, которые вместе с плоскостью р определяют (т + 1)-мерные характеристические плоскости торса.

Выясним строение рассматриваемых комплексов в зависимости от конфигурации (т — 1)-мерных характеристических плоскостей торсов. Различным конфигурациям (т — 1)-мерных характеристических плоскостей торсов соответствуют различные виды комплексов. Обозначим через Ср(р) комплексы, у которых имеются р = 1, 2,..., ^ — 2 троек (т — 1)-мерных характери-

стических плоскостей, принадлежащих р пучкам, и для всякой из этих троек (т + 1)-мерные характеристические плоскости торсов находятся в общем положении.

Специализируем репер, связанный с рассматриваемыми комплексами Ср (р). С этой целью совместим три (т — 1)-мерные плоскости Ао Л Л • • • Л Ат—^ АоЛ• • •ЛАт-гЛАт, АоЛ - • •ЛАт-гЛАт-1 +Ат с (т — 1)-мерными характеристическими плоскостями торсов. В (т + 1)-мерные характеристические плоскости к соответствующим торсам поместим вершины Ап, Ап-1 и Ап—2. Ввиду этого будем иметь

дат _ гл дат —1 _ р. дат дат —1 _ р.

Лп = 0 Лп—1 = 0 Лп—2 — Лп—2 = 0.

Итак, три торса, принадлежащие комплексу Ср(1), имеют (т — 1)-мерные характеристические плоскости, проходящие через одну (т — 2)-мерную плоскость А0 Л А1 Л • • • Л Ат—2.

Проведенная специализация репера позволяет выбрать линейные дифференциальные формы <, -1 шт— 2 + 2 в качестве базисных на комплексе Ср(1). Дополним указанные 1-формы до базиса комплекса СР(р) 1-формами В", где и = 1, 2,..., т(п — т — 1) — 2. Тогда перемещение (т — 2)-мерной плоскости Ао Л А1 Л • • • Л Ат—2 определяется 1-формами где ] = 0,1,..., т — 2; д = т — 1,т, а также 1-формами В". Для комплексов Ср(р) имеем т(п — т — 1) — 2 — 2(т — 1) = т(п — т — 3). Поскольку для всех п > 3 выполняется равенство п — т = 3, а при п =3 — равенство п — т = 2, получаем, что т(п — т — 1) — 2 = 2(т — 1). Следовательно, (т — 2)-мерная плоскость Ао Л А1 Л • • • Л Ат—2 описывает т(п — т — 1) — 2 + 2(т — 1) = 4(т — 1)-мерное многообразие.

Таким образом, (т — 2)-мерная плоскость Ао Л А1 Л • • • Л Ат—2 описывает 4(т — 1)-мерное многообразие.

Зададим это 4(т — 1)-мерное многообразие параметрическими уравнениями

= Ак„В", (11)

где к = 0,1, .. ., т — 2; р = т + 1, т = 2,. .., п; а = 1, 2,. .., 2(т — 1). Исключая из этих уравнений 1-формы В", получим уравнения рассматриваемого

лакш? = 0, (12)

многообразия в виде

'1? шк

где а = 1, 2,..., т — 1. Поскольку 4(т — 1)-мерное многообразие (т — 2)-мерных плоскостей общего вида определяются уравнениями

лак =0, (13)

где д = т — 1, т,..., п, из (12) и (13) следует, что инвариантное 4(т — 1)-мерное многообразие характеризуется выполнением равенства

ЛГк =0, (14)

где I = т — 1, т. Многообразия, для которых выполняется условие (14), назовем комплексами, в-сопряженными комплексам Ср(1), и обозначим их через Ср(1). Рассмотрим комплекс С^(1) (т — 2)-мерных плоскостей. Зафиксируем (т — 2)-мерную плоскость Ао Л Ах Л • • • Л Ат_2. Это повлечет за собой обращение в нуль следующих 1-форм:

шк = 0, ш? = 0,

где I = т — 1,т. Следовательно, на комплексе Ср(1) будут выполняться уравнения

ш? = 0, ш? = л?„ е-, (15)

где V = 1, 2, 3.

Найдем точки М образующей р комплекса Ср(1), для которых выполняется условие: ¿М € р. Условие нахождения таких точек имеет вид

хгш? = 0,

где г = 0,1,..., т; р = т = 1, т + 2,..., п. В силу (15) это условие запишется так:

х1 Л?- е- = 0. (16)

Система уравнений (16) имеет решение относительно е-, если будет выполняться условие

ае1(хг Л?-) = 0. (17)

В последнем условии имеем определитель третьего порядка. Действительно, размер матрицы (х1 Л^) равен (п — (т + 1) + 1) х 3 = (п — т) х 3 = 3 х 3, т. е. рассматриваемая матрица квадратная, а условие (17) представляет собой кубическое уравнение относительно х1. Следовательно, через (т — 2)-мерную плоскость Ао Л Ах Л • • •Л Ат_2 проходят три (т — 1)-мерные характеристические плоскости торсов, принадлежащие комплексу Ср(1).

Таким образом, (т — 1)-мерные характеристические плоскости трех торсов комплекса Ср(1) проходят через одну (т — 2)-мерную плоскость тогда и только тогда, когда эта (т — 2)-мерная плоскость описывает 4(т — 1)-мерный в-сопряженный комплекс С^(1).

Итак, для комплексов Ср(1) справедлива следующая

Теорема 1. Комплекс Ср (1) представляет собой многообразие т-мерных плоскостей, проходящих через (т — 2)-мерные образующие 4(т — 1)-мерного в-сопряженного комплекса Ср(1).

Для комплексов Ср (р) имеет место

Теорема 2. Комплекс Ср(р) представляет собой многообразие т-мерных плоскостей, проходящих через р (т — 2)-мерные образующие 4(т — 1)-мерных в-сопряженных комплексов Ср (р).

Изображение комплексов Ср(р) на алгебраическом многообразии 0(т,п) определяется следующим образом.

Теорема 3. Для каждой образующей комплекса Ср (1) три из ха-

рактеристических точек пересечения плоскости РТ?У 2т+х о многообразием Се-гре Б?(т, п—т—1) принадлежат пятимерной в-образующей поверхностиРВ?(3).

Доказательство. Алгебраическая поверхность РВ?(3) в пространстве РТ;0(т, п) определяется условием

гaпg(ш?) = 2,

где г = 0, 1, . . . , т; р = т + 1, т + 2, . . . , п.

Предположим, что для комплекса Ср(1) три (т — 1)-мерные характеристические плоскости принадлежат одному пучку, т. е. проходят через одну (т — 2)-мерную плоскость и эта плоскость описывает 4(т — 1)-мерный в-сопряженный комплекс С?(1). Выберем репер так, чтобы вершины Ао, Ах,..., Ат_2 принадлежали (т—2)-мерной плоскости. Параметрические уравнения 4(т—1)-мерного в-сопряженного комплекса С?(1) можно записать в виде (11). Отсюда следует, что уравнения пятимерной в-образующей алгебраической поверхности РВ?(3) примут вид

ш? = 0 (18)

или, что равносильно, уравнениям

еи = 0.

Тогда характеристические точки, принадлежащие в-образующей поверхности РВ?(3), будут определяться уравнением (18) и условием (2), в котором для рассматриваемых комплексов Ср(1) последние две строчки в матрице (ш?) представляют собой прямоугольную матрицу размером 2 х 3, в которой линейные формы зависят от трех параметров. Поэтому получим, что в в-образующей алгебраической поверхности РВ?(3) располагаются три характеристические точки.

Докажем теперь обратное утверждение. Предположим, что три характеристические точки располагаются в одной в-образующей поверхности РВ?(3). Мы должны показать, что соответствующие этим трем характеристическим точкам (т — 1 )-мерные характеристические плоскости торсов принадлежат одному пучку, т. е. проходят через одну (т — 2)-мерную плоскость.

Итак, по предположению последние две строчки матрицы (ш?) представляют собой прямоугольную матрицу размером 2 х 3, в которой линейные формы зависят от трех параметров. Следовательно, на комплексе Ср(1) будут выполняться уравнения (11), которые, как мы показали, влекут за собой принадлежность трех (т — 1)-мерных характеристических плоскостей одному пучку. Теорема полностью доказана.

Для комплексов Ср(р) имеет место

Теорема 4. Для каждой образующей комплекса Ср (р) 3р из ^ пт 1 ^ характеристических точек пересечения плоскости РТРУ2т+1 с многообразием Сегре БР(т, п — т — 1) принадлежат р различным пятимерным в-образующим поверхности РВР(3).

Выясним теперь строение рассматриваемых комплексов т-мерных плоскостей в зависимости от конфигурации (т + 1)-мерных характеристических плоскостей — касательных плоскостей торсов. Различным конфигурациям (т + 1)-мерных характеристических плоскостей торсов соответствуют различные виды комплексов. Обозначим через С*р(р) комплексы, у которых имеется р =

1, 2,..., ^ "т^ — 2 троек (т + 1)-мерных характеристических плоскостей торсов, принадлежащих р (т + 2)-мерным плоскостям и для всякой из этих троек (т — 1)-мерные характеристические плоскости торсов находятся в общем положении.

Двойственным образом определяем, что (т + 1)-мерные характеристические плоскости трех торсов комплекса С*р(1) принадлежат одной (т+2)-мерной плоскости тогда и только тогда, когда эта (т + 2)-мерная плоскость описывает т-мерное многообразие, которое назовем а-сопряженным комплексом С^Р(1). Итак, для комплексов С*р(1) справедлива следующая

Теорема 5. Комплекс С*р(1) представляет собой многообразие т-мерных плоскостей, принадлежащих (т + 2)-мерным образующим т-мерного а-сопря-женного комплекса С^р (1).

Для комплексов С*р(р) имеет место

Теорема 6. Комплекс С*р(р) представляет собой многообразие т-мерных плоскостей, принадлежащих р (т + 2)-мерным образующим т-мерных а-сопря-женных комплексов С^р (р).

Изображение комплексов С*р(1) на алгебраическом многообразии 0(т,п) определяется следующим образом.

Теорема 7. Для каждой образующей комплекса С*р(1) три из ^П-1^ характеристических точек пересечения плоскости РТРУ 2т+1 с многообразием Сегре Бр(т, п — т — 1) принадлежит (2т + 1)-мерной а-образующей поверхности

РВр(3).

Для комплексов С*р(р) имеет место

Теорема 8. Для каждой образующей комплекса C*p(р) 3р из ха-

рактеристических точек пересечения плоскости PTpV2m+! с многообразием Се-гре Sp(m, n — m — 1) принадлежат р различным (2m + 1)-мерным а-образующим поверхности PBp(3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Зак Ф. Л. Отчет по НИР № 04-01-00613 (Российский фонд фундаментальных исследований) .

2. Арнольд В. И. Комплексный лагранжев грассманиан // Функцион. анализ и его прил. 2000. Т. 34, вып. 3. С. 63-65.

3. Арнольд В. И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства // Функцион. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 74-77.

4. Arkani-Hamed N.; Bourjaily J. L.; Cachazo, F.; Goncharov A B.; Postnikov A., Trnka J. Scattering amplitudes and the positive Grassmannian // arXiv preprint. arXiv: 1212.5605. 2012.

5. Arkani-Hamed N., Trnka J. The amplituhedron // J. High Energy Physics. 2014. V. 2014, N 10. P. 30.

6. ГельфандИ. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.

7. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273-282.

8. Фиников С. П. Теория конгруэнций. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

9. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.

10. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry // Lect. Notes Series. Seoul National Univ.; N 45.

11. Room T. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge, 1938.

Статья поступила 10 сентября 2017 г. Бубякин Игорь Витальевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891 ЬиЬуак1п1¥@шаИ . ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

UDC 514.755.5

ABOUT THE STRUCTURE OF COMPLEXES OF m-DIMENSIONAL PLANES IN PROJECTIVE SPACE Pn CONTAINING A FINITE NUMBER OF DEVELOPABLE SURFACES I. V. Bubyakin

Abstract: We consider the projective differential geometry of m-dimensional plane submanifolds of manifolds G(m, n) in projective space Pn containing a finite number of developable surfaces. To study such submanifolds we use the Grassmann mapping of manifolds G(m,n) of m-dimensional planes in projective space Pn to (m 1)(n — m)-dimensional algebraic manifold Q(m,n) of space PN, where N = — 1. This

mapping combined with the method of external Cartan's forms and moving frame method made it possible to determine the dependence of considered manifolds structure and the configuration of the (m — 1)-dimensional characteristic planes and (m - 1)-dimensional tangential planes of developable surfaces that belong to considered manifolds.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11312

Keywords: Grassmann manifold, complexes of multidimensional planes, Grassmann mapping, Segre manifold

REFERENCES

1. Zak F. L., Rep. NIR No. 04-01-00613 (Russian Foundation for Basic Research) [in Russian].

2. Arnold V. I., "Complex Lagrangian Grassmannian [in Russian]," Funkts. Anal. Prilozh., 34, No. 3, 63-65 (2000).

3. Arnold V. I., "Lagrangian Grassmannian of a quarternion hypersymplectic space [in Russian]," Funkts. Anal. Prilozh., 35, No. 1, 74-77 (2001).

4. Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., and Trnka J., "Scattering Amplitudes and the Positive Grassmannian," arXiv preprint. arXiv: 1212.5605. 2012.

5. Arkani-Hamed N. and Trnka J., "The Amplituhedron," J. High Energ. Phys., 2014, No. 10. P. 30 (2014).

6. Gelfand I. M., Gindikin S. G., and Graev M. I., Selected Topics in Integral Geometry, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2007). (Transl. Math. Monogr.; V. 220).

7. Akivis M. A. "On the differential geometry of a Grassmann manifold," Tensor, 38, 273-282 (1982).

8. Finikov S. P., Congruence Theory [in Russian], Gostehizdat, Moscow (1950).

9. Bubyakin I. V., Geometry of Five-dimensional Complexes of Two-dimensional Planes, Nauka, Novosibirsk (2001).

10. Landsberg J. M., Algebraic Geometry and Projective Differential Geometry, Seoul Nat. Univ., Seoul (1999). (Lect. Notes Ser. Seoul; V. 45).

© 2017 I. V. Bubyakin

11. Room T. G., The Geometry of Determinantal Loci, Camb. Univ. Press, Cambridge (1938).

September 10, 2017 Igor V. Bubyakin

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University Institute of mathematics and Informatics 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia [email protected]