К проективно-дифференциальной геометрии одной пары пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве P5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.755

К ПРОЕКТИВНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ОДНОЙ ПАРЫ ПЯТИМЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р5

И, В, Бубякин

В проективном пространстве Р5 двумерная плоскость Ь определяется тремя линейно независимыми точками. Из матрицы координат этих точек можно составить (^) =20 определителей третьего порядка,

Ь

связаны системой алгебраических уравнений и определяют биективное отображение грассманова многообразия 0(2, 5) двумерных плоскостей Р, Р

новым [1].

Исследуем более детально строение алгебраического многообразия ,Р ресекаюгцие по прямой. Они порождают линейный пучок плоскостей, т. е. семейство двумерных плоскостей, проходящих через прямую и

лежащих в некоторой трехмерной плоскости. Этому линейному пуч-

,

При этом прямая и проходящая через нее трехмерная плоскость вполне

определяют линейный пучок, а следовательно, и прямую на мпогооб-

,

Рассмотрим все двумерные плоскости, лежащие в некоторой фиксированной трехмерной плоскости. Они образуют линейное трехпара-

,

© 2013 Бубякин И. В.

ет трехмерная плоская образующая, называемая а-образующей. Поскольку в пространстве Р5 содержится восьмипараметрическое семейство трехмерных плоскостей, многообразие П(2, 5) несет семейство а-образующпх, зависящее от восьми параметров.

Пусть в пространстве Р5 фиксирована некоторая прямая. Рассмотрим все двумерные плоскости, проходящие через нее. Такие двумерные плоскости порождают трехпараметрическую связку, которой ,

разующая, называемая ^-образующей. Поскольку пространство Р5 содержит восьмипараметрическое семейство прямых, многообразие

,а

,

мерных плоских образующих.

Р

ванную прямую, то соответствующие а- и ^-образующие многообразия

,

Р

,

Р

кость Ь. Через эту плоскость проходит двупараметрическое семейство трехмерных плоскостей. Поэтому через соответствующую плоскости Ь точку I та многообразии П(2, 5) проходит двупараметриче-

аЬ двупараметрическое семейство прямых. Следовательно, через точку

I проходит двупараметрическое семейство ^-образующих многообра-

,

зия П(2, 5), проходящие через точку £, имеют общую прямую, которой Р

стей, а две образующие одного семейства имеют единственную общую точку I. Отсюда следует, что все трехмерные плоские образующие, проходящие через точку £, являются плоскими образующими конуса Сегре С^(3,3) [2,3] с вершиной в точке I, лежащего на многообразии

,

кости ТЩ2, 5) в точке I к многообразию 0(2, 5) с самим многообразием. В пространстве Р5 конусу Сегре С^З,3) соответствует совокуп-

Ь

по прямым.

Асимптотические направления третьего порядка многообразия П(2, 5), выходящие из точки £, задаются условием

Л = 0 (то<1 Т|П(2,5)), (1)

где

£4 = 6(1 й ЮА а А А А (то<1 Т|П(2, 5)). (2)

Рассмотрим теперь проективизацию касательной плоскости ТП(2, 5) с центром в точке I. Эта проективизация представляет собой проективное пространство Р8 = РТ^П(2,5), в котором ^ — однородные координаты произвольной точки. Асимптотические направления

,

точке I, который обозначается через Р^З). Кон ус Р^З) определяется в силу (1) и (2) уравнением

ска Ю = 0. (3)

Ввиду этого конус Р^З) представляет собой гиперконус третьего порядка в касательной плоскости ЦП(2,5) в точке I к многообразию

,

Геометрический смысл конуса Р^З) описывается следующим обР

Ь

,

ствует подмногообразие П(2,4), проходящее через точку I. Шестимерные касательные плоскости к этим подмногообразиям образуют одно семейство плоских образующих конуса Р^З), которые называются а-

Ь

метрическое семейство двумерных плоскостей, которому на многообразии П(2, 5) соответствует подмногообразие П*(2,4), также проходящее

через I. Шестимерные касательные плоскости к таким подмногообразиям образуют второе семейство плоских образующих конуса В^З), которые называют его в-образующ^и. Таким образом, конус В^(3) несет два семейства шестимерных плоских образующих. Из (3) следует, что шестимерное подпространство, определяемое в пространстве Т1П(2,5) уравнениями

принадлежит асимптотическому конусу В¿(3). Это подпространство совпадает с а-образующими конуса 3). Шестимерное подпространство, определяемое в пространстве 2,5) уравнениями

также принадлежит асимптотическому конусу В^З). Оно совпадает с в-образующнмп конуса В^З). Легко видеть, что две образующие различных семейств конуса В^(3) пересекаются по четырехмерной плос-

Р

ных плоскостей, проходящих через некоторую точку и принадлежащих фиксированной гиперплоскости, а две образующие одного семейства пересекаются по трехмерной плоскости, совпадающей с образующей конуса В^(2) асимптотических направлений второго порядка.

Асимптотическому конусу В^(3) в пространстве Р8 = РТ£П(2,5) соответствует кубическая гиперповерхность РВ^З), определяемая тем же уравнением (3), что и конус В^(3) в касательном пространстве 2, 5). Гиперкубика РВ^З) несет семейство а-образующих, полученных при проективизации с центром в точке I а-образующих конуса В^З), и семейство в-образукмцих, полученных при проективизации в-образующих конуса В^(3). Отметим, что многообразие Сегре (2, 2) представляет собой совокупность двойных точек гиперкубики РВ^(З).

Р

двумерных плоскостей Ь — пятимерный комплекс К. Комплексу К при грассмановом отображении соответствует пятимерное многообразие V, лежащее та алгебраическом многообразии П(2,5). Многообра-

арЧР = 0;

(4)

вЧр = о,

(5)

зие V в каждой точке I имеет пятимерную касательную плоскость Т?У. Проективпзацпя плоскости XIV с центром в точке I представляет собой четырехмерную плоскость РТ^. Эта четырехмерная плоскость определяется в пространстве Р8 = РТ^П(2,5) темп же уравнениями, что и плоскость Т^ в касательном пространстве Т^П(2,5), а именно уравнениями

где г = 0,1, 2, р = 3, 4, 5, а = 1, 2,3, 4. Различным видам взаимного расположения плоскости РТ^V с кубической гиперповерхностью РР^З) соответствуют различные классы комплексов. Плоскость РТ^ и гиперкубика РР^З) пересекаются в общем случае по трехмерной кубической поверхности Q, несущей два двупараметрических семейства прямолинейных образующих, причем через каждую ее точку проходят две образующие различных семейств.

Далее рассмотрим пару пятимерных комплексов О® и О двумерных плоскостей Ь, для каждой образующей которых кубика Q распадается па конус Q2 второго порядка с точечной вершиной и трехмерную плоскость, не проходящую через эту вершину и совпадающую с пересечением двух плоских образующих различных семейств гиперкубики РР^З). Выберем репер так, чтобы вершины А, А, А принадлежали образующей Ь| комплекса О®, а вершины А, А, А лежали в образую-

ЬО привести в виду

где к = 1,2, г = 3,4, формы шгклинейно независимы на комплексе О и являются базисными формами на этом комплексе, а формы ш®

О и служат базисными формами

на этом комплексе.

Дифференцируя внешним образом уравнения (7) и (8), получим

Л^шТ = О,

(6)

шг0 = 0, ш| = О, = 0, ш0 = О,

(7)

(8)

шк А ш0 + Ш А О,

(9)

Л ш05 + шГ л шг5 = о, (10)

Л + шI Л = 0, (11)

Л ш0к+ шГ Л ш£ = 0. (12) Из (7) и (8) по лемме Картана имеем

шк = Лк^, шг5 = Лг ш®, (13)

ш5 = Мг ш1 = Мкшо- (14)

Из первых групп уравнений (13) и (14) следует, что дифференциалы точек А и А вычисляются так:

¿Л=ш°А0 + ш5(Лк Ак + А), (15)

¿А = ш50(А + Аг) + ш55А5. (16)

Из этих соотношений следует, что точки А и Аб описывают кривые линии. При этом касательными к этим кривым являются соответственно прямые:

А л (ЛкЛк + А), (17)

(А + МгАг) Л А. (18)

Из вторых групп уравнений (7) и (8) следует, что дифференциалы гиперплоскостей А Л А Л А Л А Л А И А ЛА ЛА ЛА ЛА5 определяются следующим образом:

¿(А л А л А л А л А) = +ш|+ш|)А л А л А л А л А4

+ ш1 (А л А л А л А л А + Л3А л А л А л А л А5

+ Л4А0 л А л А л А л А), (19)

¿(А л А л А л А л А) = (ш^ч^+ш^+ш^+ш^А л А л А л А л А5 + ш£(А0 л А л А л А л А + А л А л А л А л А5

- ^А л А л А л А л А)- (20)

Из этих соотношений видно, что гиперплоскости А Л А Л А Л А Л А4 и А Л А Л А Л А Л А5 описывают одпопараметрические семейства,

трехмерные характеристические образы которых определяются соответственно уравнениями

х°ш1+ х0 ш0 = 0, (21)

к, ,0 , 5 ,0

хш

к

х ш ,

или в силу вторых групп уравнений (13) и (14) уравнениями

х0 + х0"о = 0, (23)

хкшк х .

ОО

Ь

АА

стические образы однопараметрических семейств, описываемых гиперплоскостями А А А А А А А А А и А А А а А А А а А. Обозначим

О

Совместим общую касательную к кривым, описываемым точками А и А, С прямой ААА5, а трехмерную характеристическую плоскость однопараметрических семейств, описываемых гиперплоскостями А А

А а А а А а А и А а А а А а А а А, — с 3-плоскостью А а А а А а А • Тогда из (17) и (18), а также из (23) и (24) имеем

Ак = 0, ц0 = 0, (25)

Ао = 0, Мк = 0. (26)

Следовательно, пара пятимерных комплексов в определяется уравнениями (7), (8) и уравнениями

шк , ш0 ,

шк , шк .

О

дифференциалы инвариантной прямой А А А и инвариантной трехмерной плоскости А А А А А А А:

¿(А А А) = ("о + ш) А А А, (29)

¿(А л А л А л А) = + + ш\) А л А л А л А- (30)

Отсюда следует, что прямая А Л А и трехмерная плоскость А Л А Л А Л А неподвижны. Таким образом, двумерные образующие Щ = А Л А Л А и = А Л А Л А нары пятимерных комплексов О пересекают неподвижную прямую А Л А5 и имеют общую прямую с фиксированной трехмерной плоскостью А Л А Л А Л А4.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что пара двумерных плоскостей пересекает неподвижную прямую и имеет общую прямую с фиксированной трехмерной плоскостью. Выберем репер так, АА

А А А А

В этом случае имеют место соответственно уравнения:

Ясно, что уравнения

ш0к = 0,

шк = 0,

ш2 = о,

шк ,

ш5 = о,

шк ,

ш5 = о,

шГ = о, шГ = о, шГ = 0.

шк ,

шГ = о

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

определяют пару пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Из этих уравнений видно, что для каждого пятимерного комплекса кубика ^ распадается па конус второго порядка с точечной вершиной и трехмерную плоскость, не проходящую через эту вершину и совпадающую с пересечением двух плоских образующих различных семейств гиперкубики РВ1(3). Следовательно, рассматриваемая пара пятимер-

О

О

костей описывается следующим образом.

Теорема. Пара пятимерных комплексов двумерных плоскостей является парой G тогда н только тогда, когда каждая ее пара двумерных образующих пересекает неподвижную прямую и имеет общую прямую с фиксированной трехмерной плоскостью. При этом прямая п трехмерная плоскость общих точек не имеют.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.

2. Akivis М. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, 1993.

3. Городенцев А. Л. Геометрическое введение в алгебраическую геометрию // http://wwwth.itep.ru/gorod

г. Якутск

19 декабря 2012 г.