CC BY
15УДК 514.755.5
К ГЕОМЕТРИИ ОСОБЫХ ПЯТИМЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
И, В, Бубякин
Рассмотрим в проективном пространстве Р5 пятимерные комплексы К5 [1], т. е. пятипараметрические многообразия двумерных плоскостей. Для исследования геометрии таких комплексов будем использовать грассмапово отображение которое биективно отображает грас-сманово многообразие С(2, 5) двумерных плоскостей Ь проективного пространства Р5 та девятимерную алгебраическую поверхность П(2, 5) проективного пространства Р19.
,
мерной касательной плоскостью Т;П(2, 5) то конусу Сегре С;(3,3). Конус С;(3,3) [2] представляет собой конус асимптотических направлений
,
плоскости Т|(2, 5) с центром в точке I представляет собой проективное пространство Р8 = РТ^}(2,5). При проективизации конусу Сегре С;(3, 3) соответствует поверхность Сегре Б;(2, 2) [3] пространства Р8. Эта поверхность Б;(2,2) представляет собой четырехмерную алгебраическую поверхность шестого порядка, несущую двупараметрическое семейство двумерных а-образуюгцих, которые получаются при проективизации с центром в точке I а-образующих конуса Сегре С;(3,3) и двупараметрическое семейство двумерных в-образуюгцих, получаемых при проективизации ^-образующих конуса С;(3, 3). При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку,
© 2006 Бубякин И. В.
а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поверхность Сегре £;(2, 2) остается инвариантной при проективных преобразованиях пространства Р8.
,
ские направления третьего порядка. Эти направления образуют гиперконус В;(3) [2] третьего порядка в касательной плоскости Т;П(2, 5). Гиперконусу В;(3) в пространстве Р8 соответствует кубическая гиперповерхность РВ;(3) [3], и эта гиперкубика инвариантна при проективных преобразованиях пространства Р8. Гиперкубика РВ;(3) несет семейство а-образуюгцих, полученных при проективизации с центром в точке 1 а-образующих гиперконуса В;(3), и семейство в-образукмцих, полученных при проективизации ^-образующих гиперконуса В;(3). Отметим, что поверхность Сегре £;(2,2) представляет собой совокупность двойных точек гиперкубики РВ;(3).
Пятимерному комплексу К5 при грассмановом отображении ^ соответствует пятимерная поверхность V5, лежащая на алгебраической поверхности Л (2, 5). Поверхность V5 в каждой своей точке I, соответствующей двумерной плоскости Ь проективного пространства Р5, имеет пятимерную касательную плоскость Т^5. Проективизация касательной плоскости Т; V5 с центром в точке 1 представляет собой четырехмерную проективную плоскость РТ; V5. Различным сечениям четырехмерной поверхности Сегре £;(2,2) и кубической гиперповерхности РВ((3) четырехмерной плоскостью РТ^5 соответствуют различные виды пятимерных комплексов К5 в пространстве Р5.
Так как поверхность Сегре £;(2,2) является алгебраической поверхностью шестого порядка, то в общем случае четырехмерная плоскость РТ^5 пересекает эту поверхность в шести точках. Эти точки определяют па пятимерной поверхности V5 шесть полей направлений, интегральным кривым которых па комплексе К5 соответствует шесть
Ь
комплекса К5 проходит шесть торсов, по одному из каждого семейства. Напомним, что торс — это трехмерная тангенциально вырожденная
поверхность ранга один с двумерными плоскими образующими. Всякий торс является многообразием двумерных соприкасающихся плоскостей к некоторой кривой.
На гиперкубике РР;(3) четырехмерная плоскость РТ;У5 высекает кубическую гиперповерхность Qз, несущую два двупараметрических семейства прямолинейных образующих, причем через каждую ее точку проходят две образующие различных семейств.
Четырехмерная плоскость РТ;У5 в проективном пространстве Р определяется системой уравнений:
где — координаты точки I, соответствующей двумерной плоскости Ь проективного пространства Р8. Эти же величины шР являются линейными дифференциальными формами, удовлетворяющими струк-
Р
Ь
К
уравнения системы (1) можно привести к виду
где д — инвариант.
Система уравнений (2) определяет шестимерные комплексы К
ЬК
,
кость РТ;У6, являющаяся проективизацией шестимерной касательной плоскости Т] Vе к поверхности Vе-образа шестимерного комплекса К6, высекает на гиперкубике РРДЗ) кубическую гиперповерхпость Q|:
д
кубика представляет собой поверхность Веронезе.
/^[ = 0 (¿ = 0,1,2; р = 3,4, 5; а = 1,2,3,4), (1)
^ - д^ = 0, ^ - ^ = 0, ^ - ш\ = 0,
(2)
Известно, что всякая неприводимая невырожденная поверхность (п — 1)-го порядка в проективном прострапстве Рп представляет собой либо поверхность Веронезе в пространстве Рп, либо поверхность, строящуюся следующим образом. В двух скрещивающихся плоскостях размерностей кип — к — 1 в простран стве Рп нужно взять две кривые Веронезе и установить между ними изоморфизм, тогда поверхность будет образована прямыми, соединяющими соответствующие точки кри-
кп
Р
К
Р
верхности РВ;(3) четырехмерной плоскостью РТ^5, представляющей собой трехмерную поверхность, являющуюся гиперплоским сечением поверхности Веронезе пятимерного пространства.
К
,
четырехмерная плоскость РТ;^5 высекает та гиперкубике РВ;(3) гиК
ются уравнениями (2), где значение инварианта равно 1, а четвертое уравнение остается в общем виде. Назовем такие комплексы особыми.
К
Ь
ческую прямую — прямую пересечения двух бесконечно близких образующих — и трехмерную характеристическую плоскость, касательную
Ь
многообразие характеристических прямых торсов, принадлежащих особому комплексу К представляет собой тангенциальную конику Q; многообразие трехмерных характеристических плоскостей торсов,
К
нус с двумерной вершиной, направляющей которого является точечная коника Q*.
На основании последнего можно сделать вывод, что имеют место
следующие утверждения.
Теорема 1. Если пять характеристических прямых плоскости L особого комплекса К5 определяют тангенциальную кошку Q, то шестая характеристическая прямая принадлежит этой конике, при этом Q
Теорема 2. Если пять трехмерных характеристических плоскостей, проходящих через плоскость L особого комплекса К5, в пересечении со скрещивающейся плоскостью L*, определяет точечную конику Q*, то шестая характеристическая плоскость пересекает плоскость L* в точке, лежащей на этой конпке, прп этом всякая трехмерная плоскость, проходящая через плоскость L п пересекающая плоскость L* в Q*
Между тангенциальной коникой Q и точечной коникой Q* можно установить изоморфизм
р : Z1 ^ N.
Линейная оболочка соответствующей прямой Z1 и точки N представляют собой двумерную плоскость L = [Z1, N]. Такие плоскости при фиксированной плоскости L особого комплекса К5 образуют неприводимую невырожденную гиперповерхность Ф. Эта поверхность имеет
Q
L Q* L*
К
ЛИТЕРАТУРА
1. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.
2. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.
3. Акивис М. А. Ткани и почти грассмановы структуры // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 6-15.
г. Якутск
1 февраля 2006 г.
