О строении одной пары пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.755

О СТРОЕНИИ ОДНОЙ ПАРЫ ПЯТИМЕРНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И, В, Бубякин, Е, С, Никитина

Рассмотрим в проективном пространстве Р5 пятипараметрическое семейство двумерных плоскостей — пятимерный комплекс К5. Комплексу К5 при грассмановом [1] отображении ^ соответствует пятимерное многообразие V5, принадлежащее алгебраическому многообразию П(2, 5). Многообразие V5 в каждой своей точке I имеет пятимерную касательную плоскость Т; V5. Проективизация плоскости Т^5 с центром в точке I представляет собой четырехмерную плоскость РТ^5. Различным видам взаимного расположения плоскости РТ; V5 и многообразия Сегре 2, 2) [2] соответствуют различные классы комплексов К5. Многообразие Сегре 2,2) представляет собой четырехмерную алгебраическую поверхность шестого порядка, несущую два двупара-метрических семейства двумерных плоских образующих. При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку, а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поскольку многообразие Сегре (2, 2) является алгебраической поверхностью шестого порядка, в общем случае плоскость РТ; V5 пересекает это многообразие в шести точках. Эти точки определяют на многообразии V5 шесть полей направлений, интегральным

К

сов [2], образованных двумерными соприкасающимися плоскостями к некоторой кривой. При этом через каждую образующую комплекса К проходит шесть торсов, по одному из каждого семейства. Каждый

©2012 Бубякин И. В., Никитина Е. С.

торс комплекса определяет в двумерной образующей Ь комплекса К5 характеристическую прямую и трехмерную характеристическую плос-

Ь

Пусть (г = 0,1,2; р = 3,4,5) — линейные дифференциальные формы, определяющие перемещение плоскости Ь = А Л А Л А в пространстве Р5. Тогда поскольку размерность рассматриваемого ком-К

уравнення:

ЛОЧ = о, (1)

где а = 1,2,3,4. Эти же уравнения определяют четырехмерную плоскость РТ,V5 в пространстве Р8 = РТгП(2,5).

Ь

ставляет собой трехмерную поверхность с двумерными плоскими образующими. Эта поверхность является торсом, если она тангенциально

,

кривая, касательные к которой служат прямолинейными образующими этой поверхности. Данная кривая совпадает с асимптотической

,

нии выполняется равенство

= 1. (2)

Следовательно, дифференциальные уравнения торсов в пространстве Р

ш? = а^хр (3)

Ь

рактеристическую прямую пересечения двух бесконечно близких образующих и трехмерную характеристическую плоскость, касательную к торсу.

Рассмотрим пару пятимерных комплексов С и С, для каждой образующей которых четырехмерные плоскости РТ,Л V5 и РТ,2 V5 пересекают многообразия Сегре (2, 2) и Б,2 (2, 2) по двум двумерным

образующим различных семейств [3]. Обозначим такую пару комплексов через С. Выберем репер так, чтобы вершины А0, А, А принадлежали образующей Щ комплекса С®, а вершины А, А, А лежали в образующей Щ комплекса С\. Тогда уравнения такой пары комплексов можно привести к виду

ш£ = 0, шгк = 0, (4)

где к = 1,2; г = 3, 4 и формы шк, ш|, служат однородными координатами точки плоскости РТ^ V5, а формы шк, шк, — однородными координатами точки плоскости РТ;2 V5. Отсюда следует, что двумерные а- и ,3-образующие [1] многообразий Сегре Б;х (2,2) и Б;2 (2, 2) соответственно в плоскостях РТ^ V5 и РТ;2 V5 определяются уравнениями

шк = 0, шк = 0 (5)

и

= О, шк = 0. (6)

Дифференцируя внешним образом уравнения (4), получим

шк А шк+ шк Л ш5к= 0, (7)

шк А ш*+ шк А ш5к = 0, (8)

откуда непосредственно получаем

шк = ашк, ш1 = -ашк, (9)

ш* = вш5к, шк = -вшк, (10)

Продолжая эти уравнения, будем иметь

(¿а + ш° + а(ш° - ш£) - ) А ш® = 0, (11)

+ + - ш) - а2ш1) А шк = 0, (12)

и

(ар+ <4 + в(ш5 - ^) - вЧ0) а ш5к = о, (13)

+ <4+ вК5 - - вЧ°) Л = 0, (14)

Поскольку формы и <1 линейно независимы на комплексе С®, а формы и <5 линейно независимы на ко мплексе С|, то соответственно из (11) и (12) следует, что на паре С комплексов С® и С| выполняются равенства

+ ^ + - - = 0, (15)

+ - ^) - вЧ° = 0- (16)

С

трехмерные плоскости А Л А Л А Л А и А Л А Л А Л А соответственно на комплексах С® и С описывают конгруэнции ^ и с базисными формами , и , , а инвариантные прямые А Л А и А Л А соответственно на комплексах С® и С| описывают псевдоконгруэнции Р^ и Р^^, та которых базисными являются формы <2 и <3! <4- Конгруэнции и пересекаются по конгруэнции Q,

АЛА

формы Линейная оболочка прямолинейных образую-

щих псевдоконгруэнций Р^ и PQ2 представляет собой трехмерную плоскость А Л А Л А Л А, которая описывает псевдоконгруэнцию PQ, на которой базисными будут формы При этом кон-

груэнция Q такого типа, что на ее образующей имеется два двойных фокуса, описывающих трехмерные фокусные поверхности, касательные трехмерные плоскости которых совпадают с трехмерными плос-

А Л А Л А Л А А Л А Л А Л А прямой А Л А • Псевдоконгруэнция PQ такова, что через каждую ее трехмерную образующую проходит две двойных фокусных гиперплоскости, характеристическими образами которых являются прямые А ЛА А ЛА плоскость А Л А Л А Л А-

На основе грассманова отображения найдем изображение конгруэнции ^ ^^ многообразии П(1,5) С Р14 и псевдоконгруэнции Р^ ^^ многообразии П(3,5) С Р14. Для

конгруэнции определяемой уравнениями (9), пересечение плоскости РТ;1 V4 и многообразия Сегре Б^( 1,3) определяется условием

Отсюда в общем случае, т. е. если ав - 1 Ф 0, получаем, что плоскость РТ;1 V4 пересекает многообразие Сегре Б;1( 1,3) по двум скрещивающимся прямолинейным образующим:

шк = 0 и шк = 0.

Для псевдоконгруэнции Р^, определяемой уравнениями (10), пересечение плоскости РТ;з V4 и многообразия Сегре Бгз(3,1) определяется условием:

Отсюда в общем случае, т. е. если ав — 1^0, следует, что плоскость РТ;з V4 пересекает многообразие Сегре Бгз(3,1) по двум скрещивающимся прямолинейным образующим:

Итак, пара С пятимерных комплексов С® и С|, соответственно двумерных плоскостей Щ = А А А А А и Щ = А А А А А) определяет такую пару конгруэнции ^ и псевдоконгруэнции Р^, для которых плоскости РТ;1 V4 и РТ;з V4 пересекают соответственно многообразия Сегре Б;1 (1,3) и Б;з(3,1) по двум скрещивающимся прямым.

Таким образом, пара С пятимерных комплексов С® и С| соответственно двумерных плоскостей Щ = А А А А А и Щ = А А А А А представляет собой пару комплексов, каждая двумерная образующая которой пересекает прямую Щ конгруэнции Q в точке, отличной от фокуса, а трехмерную плоскость Щ псевдоконгруэнции PQ по прямой, отличной от ее характеристической прямой. При этом прямая Щ и трехмерная плоскость Щ таковы, что они не пересекаются, а их

шк = 0 и шк = 0.

линейная оболочка определяет пятимерное проективное пространство Р

Докажем обратное утверждение. Выберем репер так, чтобы точки «А + А) А + в А были помещены в фокусы конгруэнции Q, а трехА ЛА ЛА ЛА А ЛА ЛА ЛА касательными трехмерными плоскостями соответствующих фокусных поверхностей. В этом случае уравнения конгруэнции Q примут вид

<1 + = 0, <5 + = 0, <о + в^^ = 0, < + в<5 = 0, (17)

а формы , , , можно выбрать в качестве базисных на конгруэнции Q. Далее специализируем репер так, чтобы гиперплоскости

А л А Л А Л А Л А + «А Л А Л А Л А Л А

и

вА Л А Л А Л А Л А А Л А Л А Л А Л А являлись фокусными гиперплоскостями псевдоконгруэнции PQ, а пря-А ЛА А ЛА

скими прямыми. Тогда уравнения псевдоконгруэнции PQ запишутся так:

- = 0, - а<| = 0, - в<з = <4 - = 0, (18)

где формы <1, <2 можно принять в качестве базисных на псев-

доконгруэнции PQ.

Дифференцируя внешним образом (17) и (18), получим

(¿а + + а« - - «Ц) Л <5 + («в - 1 )<0 Л = О,

(«в - 1 К* Л + (¿в + <о + в(<5 - <) - вЧ0) Л <5 = о, (4а + + - - Л + (1 - Л = О,

(1 - Л <* + (¿в + <о + в(<5 - <) - вЧ) Л <0 = 0.

Ввиду того, что па комплексах С® и С системы форм < и «д, <2 линейно независимы, из полученных квадратичных

соотношений в общем случае, т. е. если aß — 1 ф 0, получим, что на паре комплексов Cf и C выполняются уравнения (9), (10) и (15), (16). Эти уравнения определяют пару C комплексов Cf и Cf.

Таким образом, строение пары C пятимерных комплексов двумерных плоскостей можно описать так.

Теорема 1. Пара пятимериых комплексов двумерных плоскостей C

разующая пересекает прямую L1 конгруэнции Q в точке н трехмерную плоскость L3 псевдоконгруэнции PQ по прямой. При этом точка пере-

LQ пересечеипя с трехмерной образующей L3 псевдоконгруэнции PQ не совпадает с характеристической прямой.

C

стей при грассмановом отображении определяется следующим образом.

Теорема 2. Пара пятимериых комплексов двумерных плоскостей C

Q п псевдоконгруэнции PQ плоскости PTJi V4 и PT¡3 V4 пересекают соответственно многообразия Сегре S¡i( 1,3) и S¡3(3,1) по двум скрещивающимся прямым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.

2. Akivis М. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, 1993.

3. Hartsborne R. Algebraic geometry. Berlin: Springer-Verl., 1977.

г. Якутск

22 декабря 2011 г.