CC BY
12Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2
УДК 514.755.5
О СТРОЕНИИ НЕКОТОРЫХ КОМПЛЕКСОВ т-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Рп, СОДЕРЖАЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОРСОВ. I И. В. Бубякин
Аннотация. Статья посвящена дифференциальной геометрии р-мерных комплексов Ср т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащих конечное число торсов. В работе находится необходимое условие, при котором комплекс Ср содержит конечное число торсов. Выясняется строение р-мерных комплексов Ср, для которых все торсы, принадлежащие комплексу Ср, имеют одну общую характеристическую (т + 1)-мерную плоскость, касающуюся вдоль т-мерной образующей торса. Такие комплексы обозначаются через Ср(1). Определяется изображение комплексов Ср(1) на (т + 1)(п — т)-мерном алгебраическом многообразии 0.(т, п) пространства РN, где N = ^ ^+1 ) — 1, являющемся образом многообразия С(т,п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп при грассмановом отображении.
БСТ: 10.25587/SVFU.2019.102.31508 Ключевые слова: грассманово многообразие, комплексы многомерных плоскостей, многообразие Сегре.
1. Введение
Данные исследования являются продолжением работы [1]. Актуальность этой работы заключается в том, что дифференциальная геометрия грассмано-вых многообразий расширяет алгебраическую теорию грассмановых многообразий [2, 3], связана с исследованиями лагранжевых и квантовых грассмановых многообразий [4-7], а также представляет интерес для интегральной геометрии Радона — Хелгасона [8]. Данная работа посвящена дифференциальной геометрии допустимых [8] подмногообразий многообразия 0(т,п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащих конечное число торсов. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия 0(т, п) на (т + 1)(п — т)-мерное алгебраическое многообразие 0(т, п) пространства PN, где N = (:++!) - 1. В работе [9] М. А. Акивис отмечает, что пересечение алгебраического многообразия 0(т,п) с его касательным пространством Т;0(т,п) представляет собой конус Сегре С(т + 1,п — т). Этот конус имеет размерность п и несет плоские образующие размерностей п - т и т + 1, пересекающиеся по прямым. Проективизация РВ;(2) этого конуса есть
© 2019 Бубякин И. В.
многообразие Сегре 5(т,п — т — 1) = Рт х Рп-т-1. Многообразие Сегре Б(т,п — т — 1) инвариантно при проективных преобразованиях пространства р(п-т)(т+1)-1 = Р7]0(т, п), являющегося проективизацией с центром в точке I касательного пространства Т;0(т, п) к алгебраическому многообразию 0(т, п), и его будем использовать для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия 0(т, п), а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Так как дифференциальная геометрия грассмановых многообразий далеко еще не изучена, то такой подход к их исследованию представляется актуальным. Следует заметить, что дифференциальная геометрия грассмановых многообразий представляет самостоятельный интерес для дифференциальной геометрии, а также одновременно является одним из важных средств построения и изучения других многообразий в проективных пространствах. Одной из наиболее красивых областей дифференциальной геометрии, где во всей полноте проявляются преимущества инвариантных бескоординатных методов исследования, является теория комплексов многомерных плоскостей проективного пространства [10]. Настоящая работа относится к многомерной проективно-дифференциальной геометрии, той ее части, в которой изучаются комплексы плоскостей различных размерностей в проективном пространстве. Некоторые комплексы т-мерных плоскостей в проективном пространстве Рп и являются объектом изучения в данной работе. При этом для различных классов этих комплексов будем определять изображение на алгебраическом многообразии 0(т,п) с помощью различных видов взаимного расположения многообразия Сегре £;(т, п — т — 1) и касательного пространства РТ;0(т, п).
2. К геометрии многообразия Сегре £(т, п)
Многообразием Сегре Б(т,п) [11] называется (т + п)-мерное алгебраическое многообразие в проективном пространстве Рк (М = (п — т)(т + 1) — 1), параметрические уравнения которого можно записать в виде
г? = хгур, (1)
Р т->М
где г[ — однородные координаты точки проективного пространства Р" и г = 0,1,... ,т, р = 0,1,... ,п. Из этого определения вытекает, что многообразие Сегре является образом прямого произведения Рт х Рп двух проективных пространств Рт и Рп размерностей соответственно т и п. Отметим одно важное свойство этих многообразий, а именно, эти многообразия остаются инвариантными при проективных преобразованиях пространства Рк, определяемых уравнениями
гр = аРь.г].
Многообразие Сегре Б(т, п) несет т-параметрическое семейство п-мерных плоских образующих: а-образующих, для получения параметрических уравнений которых необходимо зафиксировать в (1) однородные координаты уР точки проективного пространства Рп, а также п-параметрическое семейство т-мерных
плоских образующих: в-образующих, для получения параметрических уравнений которых следует зафиксировать в (1) однородные координаты х^ точки проективного пространства Рт. Через каждую точку многообразия Сегре Б(т,п) проходит одна плоская образующая одного семейства и одна плоская образующая другого семейства. Любые две плоские образующие различных семейств пересекаются в одной точке, а плоские образующие одного семейства не имеют общих точек. В общем случае многообразие Сегре Б(т,п) представляет собой пересечение квадрик:
ЛЛ Л -,Р = о
^ гз — ^гз = и-
Если т = п = 1, то многообразие Сегре Б(1,1) является невырожденной линейчатой квадрикой трехмерного проективного пространства. Многообразие Сегре Б(т,п) является алгебраическим многообразием и при этом [12,13]
ае§Б(т,п) = (пГш) = (п+ш) •
Запишем однородные координаты точки проективного пространства Рк в виде
прямоугольной матрицы размера (т +1) х (п +1):
^ = (*?)•
Тогда параметрические уравнения многообразия Сегре Б(т, п) равносильны одному условию:
= 1.
Рассмотрим многообразие Сегре Б(т,п), и пусть А — гиперплоскость в проективном пространстве Рп. Многообразие всех а-образующих, когда соответствующие точки {ур} принадлежат гиперплоскости А, лежат в одной к-мерной плоскости 7(А), где к = (т + 1)п — 1. Тем самым образуется семейство к-мерных плоскостей 7(А). Через каждую а-образующую многообразия Сегре Б(т, п) проходит (т — 1)-параметрическое семейство к-мерных плоскостей 7(А), где у € А. В сечении алгебраического многообразия Сегре Б(т, п) плоскостью 7(А) получается (т + п — 1)-мерное многообразие Сегре Бд(т, п — 1). Итак, многообразие Сегре Б(т, п) можно представить как семейство алгебраических многообразий Сегре Бд(т, п — 1) для всех гиперплоскостей А проективного пространства Рт. Рассмотрим теперь двойственные построения. Пусть у — гиперплоскость в проективном пространстве Рп. Многообразие всех в-образующих, когда соответствующие точки {х^} принадлежат гиперплоскости у, лежат в одной 1-мерной плоскости ¿(у), где 1 = т(п + 1) — 1. Тем самым образуется семейство 1-мерных плоскостей ¿(у). Через каждую в-образующую многообразия Сегре Б(т, п) проходит (п — 1)-параметрическое семейство 1-мерных плоскостей ¿(у), где х € /«. В сечении алгебраического многообразия Сегре Б(т,п) плоскостью ¿(у) получается (п + т — 1)-мерное многообразие Сегре Бм(т — 1,п). Таким образом, многообразие Сегре Б(т, п) можно представить как семейство алгебраических многообразий Сегре Бм(т — 1,п) для всех гиперплоскостей у проективного пространства Рт. Заметим, что пересечение двух алгебраических
многообразий Sa (m , n — 1) и SM (m — 1, n) для двух фиксированных гиперплоскостей Л и у проективных пространств Pn и Pm представляет собой многообразие Сегре S(m — 1,n — 1). Используя предыдущие рассуждения, можно произвести следующие построения. Многообразие Сегре S(m, n) представляет собой семейство алгебраических многообразий Сегре SA(m, n — 1) для всех гиперплоскостей проективного пространства Pn, а каждое из многообразий SA(m, n — 1), в свою очередь, представляет собой семейство алгебраических многообразий Сегре SAM(m — 1,n — 1) для всех гиперплоскостей у проективного пространства Pm. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Многообразие Сегре S(m, n) представляет собой семейство алгебраических многообразий Сегре Sam (m — 1, n — 1) для всех гиперплоскостей Л и у проективных пространств Pn и Pm.
3. О строении комплексов Cр(1) m-мерных плоскостей проективного пространства Pn, содержащих конечное число торсов
В настоящей работе мы продолжаем исследования, начатые в [1]. Рассмотрим в проективном пространстве Pn р-мерные комплексы Cp m-мерных плоскостей, содержащих конечное число торсов — развертывающихся поверхностей. Условие, при котором комплексы Cp содержат конечное число торсов, определяется из следующих рассуждений. Рассмотрим проективизацию касательной плоскости T;fi(m, n) с центром в точке l. Эта проективизация представляет собой проективное пространство P(n-m)(m+1)-1 = PT;0(m, n). На основании теоремы Грассмана [13] в этом проективном пространстве должно выполняться следующее равенство:
dim PTiVр + dim Si (m, n — m — 1)
= dimP(m+1)(n-m)-1 + dim(PTiVp П Si(m, n — m — 1)).
Если размерность пересечения плоскости PTlVр и многообразия Сегре Si(m, n — m — 1) равна r, то
(р — 1) + (m + (n — m — 1)) = (m + 1)(n — m) — 1 + r. Отсюда следует, что
р — 1 = m(n — m — 1) + r. Утверждение, что комплекс Cp m-мерных плоскостей в проективном пространстве Pn содержит конечное число торсов, означает равенство нулю размерности пересечения плоскости PTl Vр и многообразия Сегре Si(m,n — m — 1), т. е. r = 0. Если r = 0, то искомую зависимость размерности комплекса Ср, его m-мерной образующей и проективного пространства Pn получаем в виде
р — 1 = m(n — m — 1) .
Таким образом, комплекс Ср т-мерных плоскостей в проективном пространстве Рп содержит конечное число торсов тогда и только тогда, когда размерность комплекса Ср, его т-мерной образующей и проективного пространства Рп связаны соотношением р — 1 = т(п — т — 1). Для конгруэнций прямых трехмерного пространства и пятимерных комплексов двумерных плоскостей пятимерного пространства, которые содержат конечное число торсов, обнаруживается инвариантная зависимость их строения от конфигурации характеристических (т + 1)-мерных плоскостей, касательных к торсам, и характеристических (т — 1)-мерных плоскостей в т-мерной образующей Ь этих многообразий (5). Отсюда возникает вопрос: имеют ли рассматриваемые комплексы Ср т-мерных плоскостей, содержащие конечное число торсов, подобную инвариантную зависимость? Комплексу Ср при грассмановом отображении [9] соответствует р-мерное многообразие Ур, лежащее на алгебраическом многообразии 0(т, п), являющемся образом многообразия С(т,п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп. В каждой своей точке 1, соответствующей т-мерной плоскости Ь проективного пространства Рп, многообразие Ур имеет р-мерную касательную плоскость Т;Ур. Проективизация касательной плоскости Т;Ур с центром в точке 1 представляет собой (р — 1)-мерную проективную плоскость РТ;Ур. Различным видам взаимного расположения плоскости РТ;Ур и инвариантного многообразия Сегре Бг (т,п — т — 1) = Рт х Рп_т_1, являющимся проективизацией асимптотического конуса Вг (2) асимптотических направлений второго порядка, соответствуют различные классы комплексов Ср С С(т, п). При этом конус Вг (2) есть конус Сегре С(т+1, п—т) и представляет собой пересечение алгебраического многообразия 0(т, п) и его касательного пространства Тг0(т, п), т. е.
Вг(2) = 0(т,п) П Тг0(т,п).
В проективном пространстве Рп рассмотрим семейство точечных реперов А/ (/, ,/, К = 0,1,... , п) и семейство реперов, образованных гиперплоскостями а1 = ( —1)1 (Ао,... , А/_1, А/ +1,... , Ап). Уравнения перемещения этих реперов имеют вид
¿А/ = ш/ AJ, ¿а1 = — ш/ аJ,
где ш/ — линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие структурным уравнениям проективного пространства Рп:
¿ш/ = ш/ Л ш/.
Пусть Ь — т-мерная плоскость пространства Рп. Свяжем с этой плоскостью семейство точечных реперов так, чтобы точки А^, г = 0,1,... , т, принадлежали плоскости Ь. Тогда
¿Аг = Аз + шР Ар, ¿Ар = шр Аг + ш« Ад,
где г, ] = 0,1,... , т и р, д = т + 1, т + 2,... , п. Отсюда видно, что т-мерная плоскость Ь в пространстве Рп зависит от (т + 1)(п — т) параметров, линейными комбинациями дифференциалов которых являются формы шр. На многообразии 0(т,п) асимптотические направления второго порядка, выходящие из точки I, определяются условием
Л = 0(шоа Т;0(т,п)).
Отсюда следует, что уравнения конуса В; (2) асимптотических направлений второго порядка имеют вид
шгРш? — ш? шР = 0. (2)
Из этих уравнений видно, что координаты шР точки конуса В; (2) допускают параметрическое представление
шр = агжР. (3)
Поэтому конус В; (2) асимптотических направлений второго порядка совпадает с конусом Сегре С; (т + 1,п — т). Рассмотрим теперь проективизацию касательной плоскости Т;0(т,п) с центром в точке I. Эта проективизация представляет собой проективное пространство Р(п-т)(т+1)-1 = РТ;0(т, п), в котором формы шР являются однородными координатами произвольной точки. При проективизации асимптотическому конусу В; (2) соответствует многообразие Сегре Б(т, п — т — 1) проективного пространства Р(п-т)(т+1)-1, определяемого теми же уравнениями (2), что и конус В; (2) в касательном пространстве Т;0(т, п). Многообразие Сегре (т, п — т — 1) представляет собой ((т + 1)(п — т) — 1)— т(п — т — 1) = (п — 1)-мерную алгебраическую поверхность порядка = [12,13], несущую два семейства плоских образую-
щих размерностей т и п — т — 1, зависящих соответственно от п — т — 1 и т параметров. При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку, а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Через каждую его точку проходит по одной образующей из каждого семейства. Многообразие Сегре Б;(т, п—т—1) остается инвариантным при проективных преобразованиях пространства Р(п-т)(т+1)-1. Плоскость РТ;УР в пространстве Р(п-т)(т+1)-1 = РТ;0(т,п) определяется теми же уравнениями, что и касательная плоскость Т;Ур в касательном пространстве Т;0(т,п). Поскольку на комплексе Ср т-мерная плоскость Ь зависит от р параметров, то среди форм шР лишь р линейно независимых. Следовательно, комплекс Ср задается а (а = 1, 2,... , п — 1) дифференциальными уравнениями:
Р
Р
лач = 0, (4)
где шР — линейные дифференциальные формы, обращение в нуль которых фиксирует т-мерную плоскость Ь на комплексе Ср.
Рассмотрим однопараметрическое семейство т-мерных плоскостей Ь в пространстве Рп. Такое семейство представляет собой (т + 1)-мерную поверхность с т-мерными плоскими образующими. Эта поверхность называется торсом [14,15], если она является тангенциально вырожденной поверхностью ранга один. Торсу на алгебраическом многообразии 0(т,п) соответствует кривая, касательные к которой служат прямолинейными образующими этого многообразия. Данная кривая является асимптотической линией многообразия 0(т, п), поэтому в произвольной точке этой линии выполняются уравнения (2). Следовательно, дифференциальные уравнения торсов в пространстве Рп можно записать в виде
шр = (5)
Каждый торс, проходящий через т-мерную плоскость Ь, определяет на ней характеристическую (т — 1)-мерную плоскость, которая является пересечением двух бесконечно близких образующих, и характеристическую (т + 1)-мерную плоскость, касательную плоскость к торсу. Найдем уравнения характеристических образов торсов. Пусть М = жгАЗ (г = 0,1,..., т) — произвольная точка т-мерной плоскости Ь. Дифференциал этой точки в силу (5) вычисляется так:
¿М = (¿жг + ш}) Аг + (агжг)(жРАр)
где р = т + 1, т + 2,... , п. Отсюда видно, что характеристическая (т — 1)-мерная плоскость в т-мерной плоской образующей Ь комплекса Ср определяется уравнением
аЗжг = 0,
а характеристическая (т + 1)-мерная плоскость, содержащая т-мерную плоскую образующую Ь комплекса Ср, определяется т-мерной плоскостью Ь и точкой:
Б — хР Ар.
Из уравнений (4) ввиду (5) получим следующую систему уравнений:
л;>гжр = 0, (6)
где а = 1, 2,... , п — 1. Эта система уравнений определяет характеристическую (т — 1)-мерную плоскость торса, принадлежащего комплексу Ср, если выполняется условие
гап^ Л™) = п — т. (7)
Из этого соотношения определяются характеристические (т — 1)-мерные плоскости на т-мерной образующей Ь комплекса Ср. Условие
гапё^а?) = т + 1 (8)
определяет точки Б пересечения характеристических (т + 1)-мерных плоскостей с двойственной к то-мерной плоскости Ь в пространстве Рп (п — то)-мерной плоскостью. Эти точки вместе с то-мерной плоскостью Ь определяют (то + 1)-мерные характеристические плоскости торса. В проективном пространстве Рп рассмотрим р-мерный комплекс Ср (р = т(п — то — 1) + 1) то-мерных плоскостей Ь и то + 1 различных торсов, принадлежащих этому комплексу Ср, и пусть эти торсы имеют общую характеристическую (то + 1)-мерную плоскость, касающуюся вдоль то-мерной образующей торса. Обозначим рассматриваемые комплексы через Ср(1). Свяжем с комплексами Ср(1) репер так, чтобы плоскости А Л А2 Л ... Л Ат, А0 Л А2 Л ... Л Ат,... , А0 Л А Л ... Л 1 совместились с (то — 1)-мерными характеристическими плоскостями то + 1 различных торсов. В общую (то + 1)-мерную характеристическую плоскость этих торсов поместим вершину Ап. Ввиду этого из (4) получим, что
ла0 = ла1 =... = лг = о, (9)
где а = 1, 2,... , п — 1. Специализация репера позволяет выбрать линейные дифференциальные формы шП, шП,... , шт в качестве базисных на комплексе Ср(1).
Дополним данные линейные формы до базиса комплекса Ср(1) линейными формами шР, , где г* = 0,1,... , то — 1, р* = то + 2, то + 3,... , п. Рассмотрим комплексы Ср(1) общего вида и определим их системой дифференциальных уравнений:
т+1 _ ш-| — ш.
т+2 0,
т+1
т+2
ш2 = ш1 = ш
т+3 0,
,п-3
п-2 _ п-1 шт-1 = шт
т-2
п-2 _ п-1 шт = шт-1,
(10)
Л£. гшгр =0,
где г = 1, 2, . . . и
,то, р* = то +1, т + 2, ... , п — 1, а* = 1, 2,... , (п — 1) — т(п — то — 2)
|а| — |а*| = т(п — т — 2), |а| = п — 1. Дифференцируя внешним образом первую группу уравений (10), получим независимые квадратичные уравнения:
шк лшк+1-ш1 Л шк
, к Л шт+1 ш2 Л шк
, Л , т+2 ш0 Л шк ,
- шк л шт+2
- ш1 Л шк ,
, л , т+2 _ к . т+3
ш1 Л шк = ш0 Л шк ,
/ .к л / ,"-3 _ , л , ,п-2
шт Л шк = шт-1 Л шк ,
к Л / )П 2 — к т-1 Л шк = ш-
т-2 Л шк 1
шт л шп2=шт-1 Л шп
т
где к = 0,1,... , п. Согласно теореме Картана [13] будем иметь
ШТ+1 = а^10^ + Ат+1Ч(шоа ер*), ЩТ+2 = Ат+20^ + Ат+21^п(шоа ер*),
лт+20 _ лт+11
Аи = Аи ,
= Ат+"< + Ат+12^п(шоа ер*), ШТ+2 = Ат+21^п + Ат+22^(шоа ер*),
лт+21 _ лт+12
Аи = Аи ,
ШТ+2 = Ат+20^п + Ат+21<(шоа ер*), ШТ+3 = Ат+30^п + Ат+31^п(шоа ер*),
лт+30 _ лт+11
Аи = Аи ,
= АГ3т-^т-1 + ап—3тши(шоа ер ), ШТ2 = ап—2т—1 ^т-1 + АП-2т ^т (шоа ер*),
(12)
"и 'и т— 1 1 ' и тл
\n-2m-1 _ \и—3т
и = Аи ,
и-2т-1 и
Аи = Аи
2 = Ап—2т—2^т—2 + ап—2т~ ^т—1(шоа ^ *),
<—1 = Ап-1т—2^т—2 + АП—1т——1(шоа ер*),
Аии
и—1т—2 = Аи—2т—1, и = Аи ,
п —2 ли —2т—1 п , ли — 2т и „л г\Р* \
= Аи шт —1 + Аи шт(шо^
и 'и т—1 1 'и тл
.и—1 _ \и— 1т— 1, .и | \и—1т .и
= Аи—1т—1 <—1 + Аи—1т<(шоа ер ),
ши Аи шт—1 1 ^т
ли—1т—1 _ ли —2т
Аи = Аи ,
где р* = т + 2, т + 3,. .. , п. При этом
|р* | = |р| — (т + 1) = (т(п — т — 1) + 1) — (т + 1) = т(п — т — 2). Ввиду симметричности матрицы коэффициентов разложения форм шт+1, шт+2,
и— 1
... , ши 1 получим
^иг+1 = 0(шоа ер*),
шт+2 = 0(шоа ер*), и у (13)
1 = 0(шоа ер*).
Таким образом, (т + 1)-мерная плоскость А Л А1 Л ... Л Ат Л Аи описывает т(п — т — 2)-мерное многообразие.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим произвольное т(п — т — 2)-мерное многообразие (т + 1)-мерных плоскостей. Точки А0, А1,... , Ат, Аи поместим в текущую (т + 1)-мерную плоскость рассматриваемого многоообразия. Перемещение (т + 1)-мерной образующей т(п — т — 2)-мерного многообразия определяется формами , где г = 1, 2,... ,т, р* = т + 1, т + 2,... , п — 1.
Поскольку рассматриваемое многообразие представляет собой т(п — т — 2)-параметрическое семейство (т + 1)-мерных плоскостей, то формы и ш? выражаются через т(п — т — 2) линейно независимые формы Ор :
Л' = а£. вр , ш? = лпр. вр, (14)
где р* = 1, 2,. .. , т(п — т — 2). Совокупность т-мерных плоскостей, лежащих в (т + 1)-мерной плоскости АоЛА1Л...ЛАтЛАп некоторого т(п — т — 2)-мерного многообразия, образует (т + 1)-параметрическое семейство. Следовательно, т-мерные плоскости, лежащие во всех (т + 1)-мерных плоскостях т(п — т — 2)-мерного многообразия, образуют т(п — т — 2) + (т + 1) = т(п — т — 1) +
1 = р-мерный комплекс Ср. Покажем, что построенный комплекс является комплексом Ср(1). Поместим вершины Ао,А1,... ,Ат в текущую т-мерную плоскость комплекса Ср (1). Исключая из первой группы дифференциальных уравнений (14) формы вр , получим (т + 1)((п — 1) — (т + 1) — 1) — р* = (т + 1)((п — 1) — (т + 1) — 1) — т(п — т — 2) = п — 1 линейных однородных уравнений, связывающих формы , которые можно записать в виде
Л™ шР* = 0. (15)
Отсюда следует, что выполняются соотношения (9). Значит, построенный комплекс является комплексом Ср(1). Итак, доказана следующая
Теорема 2. Комплекс Ср т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащий конечное число торсов, является комплексом Ср(1) тогда и только тогда, когда его т-мерные образующие принадлежат (т + 1) -мерным плоскостям некоторого т(п — т — 2)-мерного многообразия.
Изображение комплексов Ср(1) на алгебраическом многообразии 0(т, п) выясняет следующая
Теорема 3. Комплекс Ср т-мерных плоскостей проективного пространства Рп, содержащий конечное число торсов, является комплексом Ср(1) тогда и только тогда, когда для каждой его т-мерной образующей пересечение плоскости РТ; Vр с многообразием Сегре Б;(т, п — т — 1) содержит а-образующую многообразия Б;(т, п — т — 1).
Действительно, пусть комплекс Ср является комплексом Ср(1). Выбирая специальным образом репер, уравнения комплекса, а следовательно, и соответствующей плоскости РТ^Р пространства Р(п-т)(т+1)-1 = РТ;0(т, п) можно привести к виду (15) или к параметрическим уравнениям вида
шр* = ар;* вр*. (16)
В силу этих уравнений пересечение плоскости РТ^р и многообразия Сегре Б;(т, п — т — 1) определяется условием
гапя(шР* ш?) = 1, (17)
где формы wf удовлетворяют уравнениям (16) и выражаются через m(n—m —2) базисных форм Ор (р* = 1, 2,.. . , m(n — m — 2)). Поскольку формы w™ и бр являются однородными координатами произвольной точки плоскости PT;Vр, получим, что m-мерная плоскость, лежащая в плоскости PTlVр и определяемая уравнениями
ер* = о, (18)
принадлежит многообразию Сегре S (m, n — m — 1). Такая m-мерная плоскость совпадает с a-образующей многообразия S(m, n — m— 1), заданной уравнениями
wf = 0. (19)
Докажем обратное утверждение. Пусть пересечение плоскости PTlVр и многообразия S(m, n — m — 1) содержит a-образующую многообразия S¡(m,n — m — 1), определяемую уравненими (19). Предположим, что гиперплоскость a™ = Ai Л A2 Л... Л A„_i является неособой, т. е. формы w™ линейно независимы и их можно принять в качестве m + 1 из р = m(n — m — 1) + 1 однородных координат произвольной точки плоскости PT;Vр. Плоскость PTlVр в пространстве P(n-m)(m+1)-1 = PT;0(m, n) определяется уравнениями
= 0, (20)
где a = 1, 2,... , n — 1, i = 0,1,... , m. Поскольку рассматриваемая a-обра-зующая многообразия S¡(m,n — m — 1) лежит в данной плоскости, уравнения (20) должны выполняться тождественно в силу (19). Подставляя (19) в (20), получим
лач™ = 0. (21)
Так как формы w™ линейно независимы, из уравнений (21) следует:
Ла = 0
Очевидно, что это соотношение совпадает с соотношениями (9). Следовательно, комплекс Cр является комплексом Ср(1). Теорема полностью доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бубякин И. В. О строении комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 4. С. 3—16.
2. Макоха А. Н. Геометрическая конструкция линейного комплекса плоскостей B3 // Изв. вузов. Математика. 2018. № 11. С. 15-26.
3. Стеганцева П. Г., Гречнева М. А. Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства // Изв. вузов. Математика. 2017. № 2. С. 65-75.
4. Арнольд В. И. Комплексный лагранжев грассманиан // Функцион. анализ и его прил. 2000. Т. 34, вып. 3. С. 63-65.
5. Арнольд В. И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства // Функцион. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 74-77.
6. Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., Trnka J. Scattering amplitudes and the positive Grassmannian. arXiv:1212.5605v2. 2014.
7. Arkani-Hamed N., Trnka J. The amplituhedron // J. High Energy Phys. 2014. V. 2014, N 10.
8. ГельфандИ. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.
9. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273-282.
10. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.
11. Акивис M. A. Ткани и почти грассмановы структуры // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 6-15.
12. Room T. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1938.
13. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1997 (Lect. Notes Ser. Seoul Nat. Univ.; V. 45).
14. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Многообразия с вырожденным гауссовым отображением с кратными фокусами и скрученные конусы // Изв. вузов. Математика. 2003. № 11. С. 3-14.
15. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1993.
Поступила в редакцию 4 апреля 2019 г. После доработки 25 марта 2019 г. Принята к публикации 3 июня 2019 г.
Бубякин Игорь Витальевич
Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891 bubyakiniv@mail.ru
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2
UDK 514.755.5
ON THE STRUCTURE OF SOME COMPLEXES OF m-DIMENSIONAL PLANES IN THE PROJECTIVE SPACE Pn CONTAINING A FINITE NUMBER OF DEVELOPABLE SURFACES. I I. V. Bubyakin
Abstract: This article focuses on differential geometry of p-dimentional complexes of Cp m-dimensional planes in projective space Pn that contains a finite number of developable surfaces. In this paper, we obtain a necessary condition under which complex Cp contains a finite number of developable surfaces. We study the structure of p-dimensional complexes Cp for which all developable surfaces belonging to the complex Cp have one common characteristic (m + 1)-dimensional plane tangent along the m-dimensional developable surface generator. Such complexes are denoted by Cp(1). Also we determine the image of complexes Cp( 1) on (m + 1)(n — m)-dimensional algebraic manifold G(m, n) of space Pwhere N = ^ ) — 1 is the image of manifold G(m, n) of m-dimensional planes in projective space Pn under the Grassmann mapping.
DOI: 10.25587/SVFU.2019.102.31508 Keywords: Grassmann manifold, complexes of multidimensional planes, Segre manifold.
REFERENCES
1. Bubyakin I. V., "About the structure of complexes of m-dimensional planes in projective space Pn containing a finite number of developable surfaces," Mat. Zamet. SVFU, 24, No. 4, 3—16 (2017).
2. Makokha A. N., "The geometric construction of linear complex of the planes B3," Russ. Math. (Iz. VUZ. Mat.), No. 11, 15-26 (2018).
3. Stegantseva P. G. and Grechneva M. A., "Grassmanov image of non-isotropic surface of pseudo-Euclidean Space," Russ. Math. (Iz. VUZ. Mat.), No. 2, 65-75 (2017).
4. Arnold V. I., "Complex Lagrangian Grassmannian," Funct. Anal. Appl., 34, No. 3, 63-65 (2000).
5. Arnold V. I., "Lagrangian Grassmannian of quaternion hypersymplectic space," Funct. Anal. Appl., 35, No. 1, 74-77 (2001).
6. Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., and Trnka J., "Scattering amplitudes and the positive Grassmannian," arXiv:1212.5605v2 (2014).
7. Arkani-Hamed N. and Trnka J., "The amplituhedron," J. High Energy Phys., 2014, No. 10, 36 pp. (2014).
8. Gelfand I. M., Gindikin S. G., and Graev M. I., Selected Problems of Integral Geometry, Dobrosvet, Moscow (2007).
9. Akivis M. A., "On the differential geometry of a Grassmann manifold," Tensor, 38, 273-282 (1982).
10. Bubyakin I. V., Geometry of Five-Dimensional Complexes of Two-Dimensional Planes, Nauka, Novosibirsk (2001).
© 2019 I. V. Bubyakin
11. Akivis M. A., "Tissues and almost Grassmann structures," Sib. Math. J., 23, No. 6, 6—15 (1982).
12. Room T. G., The Geometry of Determinantal Loci, Camb. Univ. Press, Cambridge (1938).
13. Landsberg J. M., Algebraic Geometry and Projective Differential Geometry, Seoul Nat. Univ. (1997), (Lect. Notes Ser. Seoul Nat. Univ.; V. 45).
14. Akivis M. A. and Goldberg V. V., "Manifolds with a degenerate Gaussian maping with multiple focuses and twisted cones," Russ. Math. (Iz. VUZ, Mat.), No. 11, 3-14 (2003).
15. Akivis M. A. and Goldberg V. V., Projective Differential Geometry of Submanifolds, North-Holland Publ. Co., Amsterdam (1993).
Submitted February 4, 2019 Revised March 25, 2019 Accepted June 3, 2019
Igor V. Bubyakin
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University Institute of mathematics and Informatics 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia bubyakiniv@mail.ru
