К проективно-дифференциальной геометрии торсов n-мерных подмногообразий грассманова многообразия g(m,n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.755

К ПРОЕКТИВНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ТОРСОВ п-МЕРНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ ГРАССМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ £(т,п)

И, В, Бубякин, Е, С, Никитина

В проективном пространстве Рп рассмотрим п-параметрические семейства т-мерных плоскостей, т. е. п-мерные многообразия Мп. Многообразию Мп при грассмаповом отображении [1] соответствует п-мерное многообразие Vп, лежащее на алгебраическом многообразии Л (т, п), являющемся образом многообразия С(т,п) т-мерных плоскостей проективного пространства Рп. В каждой своей точке £, соответствующей т-мерной плоскости Ь проективного пространства Рп, многообразие Vп нмеет п-мерную касательную плоскость Т'¿Vп.

т, п

направления. Асимптотические направления порядка к (к = 2,3,..., т + 1), выходящие из точки £ € О(т,п) определяются условием

^ к £ = 0(то АТ^П (т,п)).

Конусы асимптотических направлений различных порядков связаны соотношением

Б£(2) С Б£(3) С ••• С Бе{т+1) С Т£П{т,п).

Конус Бе(к) представляет собой детерминантное многообразие размерностей (п — к + 2)(к — 1), несущее два семейства плоских образующих размерностей (п — т)(к — 1) и (т+ 1)(к — 1). При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, пересекаются по подпространству размерности (к — I)2. В частности, конус Б^(2) имеет размерность

©2011 Бубякин И. В., Никитина Е. С.

п и несет плоские образующие размерностей n — m и m + 1, пересекающиеся по прямым. Ввиду этого его проективизация PB^(2) представляет собой многообразие Сегре S(m,n — m — 1) = Pm х Pn-m-1 [2], а сам конус B^(2) есть конус Сегре C(m + l,n — m). При этом конус Bi(2) представляет собой пересечение алгебраического многообразия fi(m, п) и его касательного пространства Tift(m,n), т. е.

B£(2) = fi(m,n) П ТеП(m,n).

Проективизация касательной плоскости TVn с центром в точке

i представляет собой (n — 1)-мерную проективную плоскость PTiVn. Различным видам взаимного расположения плоскости PTgVn с инвариантным конусом PBi(к), являющимся проективизацией асимптотического конуса Be(к), соответствуют различные классы многообразий Mn С G(m,n).

Pn

реперов {AI} и семейство реперов, образованных гиперплоскостями а1 = ( —1 )I(Ao,..., Ai-1,AI+i,..., An). Уравнения перемещения этих реперов имеет вид

dAi = wJ Aj , da1 = —wJaj, где wJ — линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие струк-

Pn

dwJ = wf Л wf, I,J, K = 0, l,...,n.

Пусть L — m-мерная плоскость пространства Pn. Свяжем с ней семейство точечных реперов так, чтобы точки Ai, i = 0, l,...,m, при-L

d,Ai = wj Aj + wPAp, dAp = wp Ai + w? Aq,

где i,j = 0,1,.. .,m и p, q = m + l,m + 2,...,n. Отсюда видно, что m L Pn m n — m

параметров, линейными комбинациями дифференциалов которых являются формы wp.

На многообразии П(ш,п) асимптотические направления второго порядка, выходящие из точки £, определяются условием

0(то<1Т£П(ш, п)),

откуда следует, что уравнения конуса асимптотических направ-

лений второго порядка имеют вид

— = 0. (1)

Из этих уравнений видно, что координаты точки кон уса до-

пускают параметрическое представление

Шр = с.хр. (2)

Поэтому конус В¿{2) асимптотических направлений второго порядка совпадает с конусом Сегре ш + 1, п — ш).

Рассмотрим проективизацию касательной плоскости Т^П(ш,п) с центром в точке Эта проективизация представляет собой проективное пространство Рт+1)(п-т)-1 _ ртеЦ(ш,п), в котором формы шр являются однородными координатами произвольной точки. При про-ективизации асимптотическому конусу В¿{2) соответствует многообразие Сегре Б£(ш, п — ш — 1) проективного пространства р(т+1)(п-т) определяемого темп же уравнениями (2), что и конус В£(2) в касательном пространстве Т^(ш, п). Многообразие Сегре ш, п — ш — 1) представляет собой ((ш+1)(п —ш) — 1) — ш(п — ш—!) = (п — 1)-мерную алгеб-

пш п -пш-

два семейства плоских образующих размерностей мп — ш — 1, зависящих соответственно отп — ш — 1 иш параметров. При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку, а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Через каждую его точку проходит по одной образующей из каждого семейства. Многообразие Сегре Б^ш, п — ш — 1) остается инвариантным при проективных преобразованиях пространства р(т+1)(п-т)-1,

Два гиперконуса Ф1 и Ф2 второй степени с (п — 2)-мерными образующими в пространстве Рп называются сцепленными, если они име-

п—

Несколько гиперконусов Ф в пространстве Рп называются сцепленны-

п—

на каждом из них принадлежат одному семейству образующих. Сцеп-

п—

п—

мерные плоскости сцепления различных пар гиперконусов Ф различны.

Рассмотрим п-мерные многообразия Мп, для которых сечения многообразия Сегре Бе(т,п — т — 1) (п — 1)-мерной плоскостью РТ^Уп представляет собой алгебраическое многообразие Q*, являющееся пересечением т(п — т — 1) невырожденно сцепленных гиперконусов второй степени. Обозначим такие п-мерные многообразия через Qn.

Плоскость РТеУп в нространстве Р^™+1)(п-™> — = РТеП(т,п) определяется теми же уравнениями, что и касательная плоскость ТУп в касательном пространстве Т^П(т,п). Поскольку на многообразии Мп т-мерная плоскость Ь зависит от п параметров, то среди форм ш? лишь п линейно независимых. Следовательно, многообразие Мп задается (т + 1)(п — т) — п дифференциальными уравнениями

-

Л?" ш

= 0,

(3)

где ш? — линейные дифферециальные формы, обращение в нуль которых фиксирует т-мерную плоскость Ь на многообразии Мп, и а = 1, 2,..., (т + 1)(п — т) — п.

Для многообразий Qn система уравнений (1) и (3) должна определять в пространстве Рп— = РТУп алгебраическое многообразие Q*. Это означает, что многообразие Qn в пространстве Рп определяется

дифференциальными уравнениями

т+1 _ т+2 — ,

, ,т+1 — / 1т+2 — , ,т+3 — — ,

т+1___ _ п—^_

= • - = < (4)

/ п— — , п-1— , п

, — , п шт — шт-1 ■

Плоскость РТеУп в этом случае пересекает многообразие Сегре т,п — т — 1) то алгебраическому многообразию Q*, представляющему собой пересечение т(п — т — 1) невырожденно сцепленных гиперконусов второй степени:

(т+2)2 _ т+1 , т+3

т т т т

- - '

т

т

т—2 т —1 т—3 , ,п — , п , п

т

Рп т т

называется торсом [4], если она является тангенциально вырожденной поверхностью ранга один. Торсу на алгебраическом многообразии П(т,п) соответствует кривая, касательные к которой служат прямолинейными образующими этого многообразия. Данная кривая является асимптотической линией многообразия П(т,п), поэтому в произвольной точке этой линии выполняются уравнения (1). Следовательно,

Рп

сать в виде

шр = а^хр А. (5)

Каждый торс, проходящий через ш-мерную плоскость Ь, опреде-

ш—

является пересечением двух бесконечно близких образующих и харак-ш

ной плоскостью к торсу. Найдем уравнения характеристических образов торсов. Пусть М = хгАг (г = 0,1,...,ш) — произвольная точка шЬ ляется так:

¿М = (¿хг + х]ш]) Аг + (агхг)(хрАр) ¿г,

где р = ш + 1,ш + 2,...,п. Отсюда видно, что характеристическая ш— ш Ь

разия Qn определяется уравнением

с гхг ,

шш ную плоскую образующую Ь многообразия Qn, определявтся ш-мерной плоскостью Ь и точкой Б = хрАр. Из уравнений (3) ввиду (5) получим систему следующих уравнений:

М^а.хр = 0, (6)

где а = 1, 2,..., (ш + I)2. Эта система уравнений определяет характе-ш—

образию Qn, если выполняется условие

гапе

Е(Аагаг)= п — ш — 1. (7)

ш—

ные плоскости па ш-мерной образующей Ь многообразия Qn. Условие

rang(Лaгxp) = ш (8)

Бш плоскостей с двойственной к ш-мерной плоскости Ь в пространстве Рп

(н — то)-мерной плоскости. Эти точки вместе с то-мерной плоскостью Ь определяют (то + 1)-мерные характеристические плоскости торса.

Найдем характеристические образы торсов, принадлежащих многообразию Qn. С этой целью в силу уравнений (4) запишем систему (6) в виде

а1хт+1 = аахт+2, а2хт+1 = аххт+2 = аъхт+ъ,

атхт+1 = ат—хт+2 = ■■■ = агхп— = а0хп, (9)

а^^ — ат—— ат—2 ,

атх — ат—Iх •

Система (9) разрешима относительно хт+1 ,хт+2,. ,.,хп, если выполняются равенства

_ 2

аса — а-^,

ао^з = а^ а2,

ат—3 ат — ат—2 ат — 1 ? ат-2ат = а(т-1)2 .

Эта система уравнений определяет пересечение невырожденно сцепленных тангенциальных гиперконусов второй степени. Следователь-

то — то

зующей Ь многообразия Qn образуют тангенциальную рациональную

то

Та же система уравнений (9) разрешима относительно ат

если выполняются следующие равенства:

хт+ 1х™+3 _ х(т+1)2 х^+1 хт+4 = хт+2 хт+3

хп-хп = хп-2 хп-1

хп-2хп _ х(п-1)2 .

Эта система уравнений определяет пересечение невырожденно сцепленных гиперконусов второй степени. Следовательно, характеристиче-

шш Ь и направляющей рациональной нормкривои степени п — ш — 1.

Таким образом, проведенные построения показывают справедливость следующих утверждений.

ш—

плоскостей торсов, принадлежащих многообразию Qn, представляет

ш

ш

плоскостей торсов, принадлежащих многообразию Qn, представляет шЬ п — ш—

Из доказанных теорем определяется образ при грассмановом отоб-

ш,п

щих многообразию Qn.

Теорема 3. Образом торсов, принадлежащих многообразию Qn,

ш,п

является рациональная нормкривая.

ЛИТЕРАТУРА

1. Akivis М. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, f993.

2. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.

3. Room Т. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1938.

4. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry // Lect. Notes Ser. Seul National Univ. 1999. N 45.

5. Xaртсхорн P. Алгебраическая геометрия. M.: Мир, 1981.

г. Якутск

30 декабря 2010 г.