CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЯТИПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА НЕВЫРОЖДЕННЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, плоскости КОТОРЫХ ОБРАЗУЮТ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО
В. И. МАТВЕЕНКО
(Представлена кафедрой геометрии Томского университета)
В настоящей статье в трехмерном проективном пространстве рассматривается многообразие К (1,5) — пятипараметрическое семейство невырожденных коник, плоскости которых образуют однопараметриче-}ское семейство. Это семейство коник существует с произволом одной функции пяти аргументов. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1] — [4].
Поместим вершины А-ь (7 = 1,2) координатного тетраэдра {Ла} (а = 1, 2, 3, 4) в точки пересечения коники С с характеристикой ее плоскости, вершину Л3 — в точку пересечения касательных к конике в точках вершину /Ц — в произвольную точку проективного пространства, не лежащую в плоскости коники. При этом исключается случай касания коники С с характеристикой ее плоскости. Деривационные формулы репера {Аа } имеют вид:
= (1)
где сор формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства
[4^]. (2)
Здесь и в дальнейшем условимся считать, что ¿, у, к, Ь = 1, 2; 1фу; к ф т, п, г = ], 2, 3; т ф п; тфг\ п ф г; а, р, ^ = 1, 2, 3, 4; >.= 1, 2, 3, 4, 5. По ¿у у, р не суммировать! Уравнения коники С относительно этого репера имеют вид
(х*)2-2рх1х* = 0, р фО. (3)
Формы
О4, (0?, (Од, 0>з, о>£ — 2(Оз — йПп/?
являются главными. Примем из них за базисные следующие формы:
Ш. = 0){, С0СТ — (¿3--- СО/, СО- = 0>з.
Р
Здесь и в дальнейшем используются обозначения з ==/-}- 2, * =у+2. Остальные главные формы выразятся через базисные в виде
4 3 35 / . «^35
^ = 0, ^ = С, ш5) ш3 = шх 4- С/
(4)
0^ — 2(0 ^ — ¿Яп/? = ЙАШь «А Заказ 2030. 129
Характеристической коникой С*д [4] называется такая коника, которая проходит через точку Л3 и характеристические точки коники С при = = = со- = 0. Здесь и в дальнейшем условимся считать, что А, /. £=1.2,3,4; g ф Л, Л 1Фц. Однопараметриче-
ское семейство коник = (о3 = ш4 — = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точки Л3 и А1 неподвижны. Однопарамет-рическое семейство коник о^ = ш2 = = т5 = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точки Аъ А2 и прямая Л3Л, неподвижны. При выборе в качестве базисных форм исключаются случаи прохождения характеристических коник С/ через точки А{ и случаи полярной сопряженности точек А1 и Ав относительно характеристических коник С1. Дифференцируя внешним образом уравнения (4), обычным путем получаем следующую систему дифференциальных уравнений внутреннего локального объекта Сг\р, а\ С?5} [1]:
= Ьа1 — а1 — -(•),
оа3 = оСТ = С?(4 + - 2*5), (5)
За5 - (*£ - 2*1) (а3^5 + а4С°/) + + аЧ1 + а* - + 2**.
Из этих уравнений непосредственно заключаем, что величины р, а?, С/0 являются относительными инвариантами. Условие С?5 = 0 характеризует семейства коник, для которых М~АЬ где М — точка ребра возврата огибающего плоскости коник торса. Условие а' = О характеризует семейства коник, для которых характеристическая коника С] вырождается в сдвоенную прямую Л;-Л3. Условие а" — 0 характеризует семейства коник, для которых характеристическая коника С1 вырождается в пару прямых Л;-Л3 и АХА2. Величины
_ ¿СГ _ СГ (а°)2
1 с? ' 1 РсТ
являются абсолютными инвариантами. Геометрически они характеризуются через сложное отношение четырех точек следующим образом:
В, - МИу; №1 з), Е^-2 (Л,.Л,; Л45аз), (6)
где — проекция из точки Ап на прямую АтАг одной из точек пересечения коник С и Сл. Из (6) вытекают следующие равенства:
{А\Аг\ 542532) = (Л2Л3; 531541),
{АхАг\ ^22^12) = (^2^3) 5и521),
{АхА2\ 523513) = (Л,Л3; SjjS¿j)2,
(АхА2; МБ33) (Л2Л,; = (Л,-Л3;
справедливые для общего семейства коник Я(1,5).
Исключая из рассмотрения случаи обращения в нуль относительных инвариантов С;]5 и а1, осуществим следующую фиксацию репера: £35 __р __ — а\ — 1 Если учесть еще условие эквипроективности (Л1Л2Л3Л4) = 1, то получим тсз = 0. Формы юр становятся главными и можно записать их разложение по базисным формам в виде и^ = - С?"сох, где С? = 0.
Поместим вершину Л4 репера ¡Ла) в точку пересечения плоскостей ап, где а1 — касательные плоскости к неголономным поверхно-
130
стям, которые описывают точки Su, а аъ — касательная плоскость к неголономной поверхности, которую описывает точка Ад при
cot = со2 - СЧ = О (Сх = C\l - С$). ' (7)
При этом исключается случай принадлежности всех плоскостей ап одному пучку плосксстей. Неголономная конгруэнция коник (7) геометрически характеризуется тем, что для нее точки At и 513 являются точками огибающих семейств прямых (A¿A^) и (513Л3) соответственно. Деривационные формулы (1) полученного канонического репера имеют вид:
dAt = С1хсохЛг + m¿Aj + сТщА з. dA^ = cf о)ХЛа, dAz = 2 (Ü!í+2 + С?ш5) Ак + СзЧл3 + (%Л4)
к
где
С*1 - 2С? = - 1, Cla + ЗСза = 8ÍCÍ5, С4 [V 2 Cl3C25 + С3 (2Cf - 1 - К2 Сз5) + 1/2 С? (С5 + 3Cl5)] -- (С5 - С3)] Сз3 (С4 + 3с!4) - Сз4(С3 + зс!3) + ]/2 С3] = о, С3 <1/2 CfCa4 - V2 Сз5 - cf) + "|/2 Cf (С5 - С4С?) + + зсз3с!5 + efe!3 + зс35 (с!3 - с!4)] = о, efe* — С5 + С3 = О (Сх = cix - Ca\ С3 ф 0, cf Ф 1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Труды Моск. матем. общества, 2, 1953, 275—382.
2. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. ГИТЛ, М.— Л., 1948.
3. В. С. Малаховский. Невырожденные конгруэнции кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Геометрический сборник, вып. 3, (Труды Томского ун-та, 168), 1963, 43—53.
4. В. С. Малаховский. Конгруэнция кривых второго порядка, плоскости которых образуют однопараметрическое семейство. Геометрический сборник, вып. 3 (Труды Томского ун-та. 168), 1963, 61—65.
