CC BY
48
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 1
Физико-математические пауки
2008
УДК 514.7
ОЧЕРК НАУЧНОЙ И ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ А.П. ШИРОКОВА
В.Е. Фомин, В. В. Шурыгии,
Аннотация
Работа содержит краткую биографию выдающегося учепого-геометра заслуженного деятеля пауки РСФСР профессора Казанского университета А.П. Широкова (1926 1998). Отражен вклад, внесенный А.П. Широковым и его учениками в развитие геометрии обобщенных биаксиальпых пространств, теории многообразий над алгебрами, геометрии касательных расслоений и расслоений Вейля. геометрии Лагерра, геометрии бесконечномерных многообразий, теории связпостей в расслоениях, геометрии неевклидовых пространств и других направлений исследований современной геометрии.
Ключевые слова: банахово многообразие, бесконечномерное многообразие. Вейля расслоение, касательное расслоение. Лагерра геометрия. Лобачевского пространство, многообразие над алгеброй, обобщенное биксиалыюе пространство, проективное пространство над алгеброй, связпостей теория.
21 декабря 2006 года исполнилось 80 лот со дня рождения выдающегося ученого Казанского государственного университета заслуженного деятеля науки РСФСР профессора Александра Петровича Широкова (21.12.1926 29.09.1998). возглавлявшего в течение многих лет Казанскую геометрическую школу и внесшего существенный вклад в развитие геометрической науки и высшего образования в России.
А.П. Широков родился в Казани в семье выдающегося советского геометра, основателя кафедры геометрии Казанского университета, профессора Петра Алексеевича Широкова. Яркие математические способности проявились у Александра Петровича уже в школьном возрасте, и в развитии этих способностей и интереса к математике его отец сыграл немалую роль. Мать Александра Петровича. Широкова Наталья Александровна, работала в Институте научной организации труда. Впоследствии она защитила докторскую диссертацию по филологии и стала профессором кафедры русского языка и литературы Казанского университета.
В 1943 г.. сдав экстерном экзамены за 10-й класс. Александр Петрович поступил на самолетостроительный факультет Казанского авиационного института. После второго курса он перевелся на физико-математический факультет Казанского университета. В 1944 г. скончался Петр Алексеевич Широков, у которого с осени 1943 года обострилось заболевание сердца. Заведовать кафедрой геометрии Казанского университета был приглашен из Новосибирска профессор А.П. Нордон. На физмате Александр Петрович Широков, научные интересы которого сформировались под влиянием отца, специализируется по геометрии. В 1949 г. он окончил с отличием университет и поступил в аспирантуру на кафедру геометрии к профессору А.П. Нордону.
Кандидатская диссертация Александра Петровича «Геометрия обобщенных биаксиальпых пространств», защищенная в 1952 г.. посвящена геометрии бипланар-ного пространства эллиптического типа. Бипланарныо пространства представляют собой многомерные обобщения биаксиальпых пространств, дифференциальная
геометрия которых была развита в работах А.П. Нордеиа [38. 39]. На гиперповерхностях бипланарного пространства индуцируются структуры комплексных аналитических многообразий, что потребовало изучения геометрии комплексных пространств аффинной связности, так называемых пространств А2п • Результаты диссертации были опубликованы в работе [68]. Развитие идей кандидатской диссертации привело в дальнейшем к появлению теории многообразий над ассоциативными коммутативными алгебрами общего вида.
С 1 сентября 1952 г. Александр Петрович приступил к преподавательской работе на кафедре математического анализа, а затем на кафедре геометрии. В это время он руководит работой студенческих научных кружков, является председателем студенческого научного общества. В 1957 г. ему было присвоено ученое звание доцента.
После защиты кандидатской диссертации Александр Петрович продолжает исследования по геометрии обобщенных пространств, уделяя особое внимание пространствам с ковариантно постоянными аффинорными полями [69 71]. В это же время им была проделана большая работа по подготовке к публикации рукописей из архива Петра Алексеевича Широкова (см. [98]). По предложению А.П. Нор-дена на основе конспекта лекций П.А. Широкова Александром Петровичем была написана монография «Аффинная дифференциальная геометрия», опубликованная в 1959 г. в государственном издательстве физико-математической литературы [96]. В 1962 году она была переведена на немецкий язык [122] и. наряду с книгой В. Бляшке [107]. оказала существенное влияние на дальнейшие исследования в русле аффинной дифференциальной геометрии (см. [123. с. 133]). Результаты и идеи, содержащиеся в этой книге, широко используются в современных исследованиях и учебниках по аффинной дифференциальной геометрии (см.. например. [22. 50. 116. 123]). В 1966 г. вышло подготовленное Александром Петровичем к публикации второе издание монографии П.А. Широкова «Тензорное исчисление» (см. [97]).
В 1967 г. А.П. Широков защищает докторскую диссертацию «Пространства, определяемые алгебрами» [78]. в которой он развил общую теорию дифференцируемых многообразий и пространств аффинной связности над коммутативными ассоциативными унитальными алгебрами.
С 1968 года А.П. Широков профессор кафедры геометрии Казанского университета. В 1970 г. ему присвоено ученое звание профессора.
После защиты докторской диссертации Александр Петрович вместе с аспирантами продолжает исследование геометрии многообразий над алгебрами. Особое внимание уделяется приложениям общей теории в линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств и геометрии касательных расслоений. Обнаружение А.П. Широковым естественной структуры многообразия над алгеброй плюральных чисел И.(£г) та касательном расслоении г-го порядка ТГМ дифференцируемого многообразия М [83] позволило с единой точки зрения изложить теорию лифтов геометрических структур на касательные расслоения высших порядков. В работе [88] А.П. Широковым естественные структуры многообразий над локальными алгебрами были введены на расслоениях бесконечно близких точек в смысле
A. Вейля [126]. играющих важную роль в дифференциальной геометрии высшего порядка и теории естественных операций в дифференциальной геометрии [115]. Результаты. полученные А.П. Широковым и его учениками, частично вошли в книгу «Пространства над алгебрами» [8]. написанную совместно с В.В. Вишневским и
B.В. Шурыгиным.
Научная работа Александра Петровича нашла отражение и в его преподавательской работе. Им были прочитаны специальные курсы по теории дифференцируемых многообразий, теории групп Ли и расслоенных пространств, геометрии
пространств над алгебрами, симплектической геометрии, теории спиноров, неевклидовым геометриям.
С 1970 по 1975 гг. А.П. Широков заведующий кафедрой теории относительности и гравитации Казанского университета. С 1975 по 1980 гг. А.П. Широков профессор, а с 1980 по 1993 гг. заведующий кафедрой геометрии Казанского университета. Все это время он совмещал научные исследования с руководством многочисленными аспирантами и соискателями. Под его руководством защищено более 20-ти кандидатских диссертаций. Влияние научных трудов А.П. Широкова распространялось не только на его непосредственных учеников и исследователей, принадлежащих Казанской геометрической школе, но и на геометров других научных центров Советского Союза. Частично это влияние отражено в настоящей публикации.
Необходимо отметить вклад, внесенный А.П. Широковым в организацию подготовки специалистов высшей категории, не только как научного руководителя. но и как члена Советов по присуждению ученой степени доктора физико-математических паук по специальности «геометрия и топология», официального оппонента и рецензента ведущей организации по докторским и кандидатским диссертациям.
Широкий научный кругозор, глубокие познания в различных областях геометрии проявились в активном сотрудничестве А.П. Широкова с ВИНИТИ РАН. Александр Петрович являлся членом бюро Всесоюзного (позднее Всероссийского) геометрического семинара имени Г.Ф. Лаптева при ВИНИТИ, принимал участие в организации международных. Всесоюзных (Всероссийских) геометрических конференций и семинаров. Им было подготовлено большое количество рефератов по теории структур на многообразиях и геометрии пространств над алгебрами для реферативного журнала ВИНИТИ «Математика» и журнала «Zontralblatt für Mathematik». Для изданий ВИНИТИ серии «Итоги науки и техники» А.П. Широковым были написаны обзорные исследования, посвященные днфференцналыю-геометрическим структурам на дифференцируемых многообразиях [15, 81, 82], геометрии касательных расслоений и многообразий над алгебрами [88, 95], методу-нормализации А.П. Нордона [90].
Вклад, внесенный А.П. Широковым в развитие науки и образования, был высоко оценен присвоением ему в 1980 г. почетного звания «Заслуженный деятель науки РСФСР».
В течение более четверти века (1971 1998 гг.) А.П. Широков являлся членом редколлегии журнала «Известия вузов. Математика». Под его редакцией вышло 12 выпусков Трудов геометрического семинара Казанского университета (вып. 11 22), два юбилейных сборника научных трудов, посвященных 200-лотию со дня рождения Н.И. Лобачевского.
А.П. Широков принимал активное участие в подготовке и проведении геометрических конференций, проходивших в Казанском университете, в число которых Международный геометрический семинар, посвященный 100-летию со дня рождения П.А. Широкова (1995 г.), и Международный семинар имени Лобачевского (1997 г.), он являлся членом международного жюри по присуждению Казанским университетом в 1992 и 1997 гг. медали имени H.IL Лобачевского.
В 1996 г. Казанская геометрическая школа, возглавляемая А.П. Широковым, получила грант Государственной программы по поддержке ведущих научных школ России для выполнения научных исследований по теме «Геометрия и топология многообразий с алгебраическими структурами и расслоения» (см. [2, с. 104]). Научными исследованиями в рамках этого гранта Александр Петрович руководил до 29 сентября 1998 года, когда он скоропостижно скончался, возвращаясь домой с
заседания геометрического семинара.
В 2007 г. журнал «Известия вузов. Математика» выпустил два номера (Л- 9. 10). посвященные 80-летию со дня рождения А.П. Широкова. Еще один номер планируется к выходу в 2008 г. (Л*1' 4). Памяти А.П. Широкова посвятили своп работы ученые из многих научных центров России, Израиля, Колумбии, Норвегии, США, Чехии.
Более подробные сведения о жизни и деятельности профессора Казанского университета Широкова Александра Петровича можно найти в посвященных ему публикациях [45, 46, 65 67]. Полный список научных публикаций А.П. Широкова содержится в издании [65], вышедшем в серии «Выдающиеся ученые Казанского университета» (см. также статью [66], содержащую список работ А.П. Широкова до 1997 года).
В следующих параграфах настоящей работы отражены основные этапы научных исследований А.П. Широкова и его учеников, а также отмечены работы других геометров, близкие по тематике к исследованиям А.П. Широкова или написанные под влиянием его работ.
1. Геометрия обобщенных биаксиальных пространств
Бипланарное пространство В2п+1 представляет собой вещественное проективное пространство Р2п+1 нечетной размерности, в котором заданы две не пересекающиеся плоскости п1 и п2 размерноети п, рассматриваемые как абсолют. Группой движений пространства В2п+1 является группа проективных преобразований, сохраняющих абсолютные плоскости п1 и п2. Если плоскости п1 и П2 являются вещественными, пространство В2П+1 называется бипланарным пространством гиперболического типа, если плоскости п-^ш п2 комплексно сопряжены, пространство В2п+1 называется бипланарным пространством эллиптического типа. Бииланарные пространства являются многомерными обобщениями биаксиальных пространств, дифференциальная геометрия которых была развита в работах А.П. Нордена [38, 39].
Через каждую точку х € В2п+1, не принадлежащую абсолюту, проходит единственная прямая I = 1(х), пересекающая обе плоскости п1 и п2. Всякая такая прямая называется особой. Пусть у1 = I П п^ у2 = I П п2, а х - точка на прямой I, составляющая с точками у1, у2 и х гармоническую четверку. Возникает (абсолютная) инволюция д : х ^ х, ха = д^ж^, а, в = 2п + 2. Основное
внимание в работе [68] уделено бипланарному пространству эллиптического типа, для которого аффинор д^ удовлетворяет уравнению
папа = — °а
да дв = °/3 •
В случае адаптированного к структуре пространства В2п+1 репера, то есть такого, что плоскость п1 оказывается натянутой на векторы еа + еп+а+1, а = 1,... ,п +1, а плоскость п2 - на векторы еа — еп+а+1, а = 1,... ,п +1, матрица аффинора инволюции имеет вид
вд=Ц+1 Ег). <ч
где Еп+1 - единичная матрица иорядка п + 1.
Инволюция (1) задает на векторном пространстве У2п+2, векторными прямыми которого моделируется проективное пространство В2п+1, структуру (п + 1)-мерного комплексного проективного пространства Ус+1. При этом особые прямые бипланарного пространства оказываются прямыми, порождаемыми векторными плоскостями, являющимися одномерными комплексными линейными подпространствами пространства Ус+1. Таким образом, на множестве особых прямых
пространства В2п+1 эллиптического типа индуцируется структура п-мерного комплексного проективного пространства Рс . Возникает сюръективное отображение
В2„+1 э х ^ 1(х) е Р„с+1, (2)
представляющее собой локально тривиальное расслоение, слоями которого являются особые прямые (топологические окружности). Расслоения такого типа называют сейчас расслоениями Хопфа (см. [36])
Основной целыо изучения в работе [68] является геометрия гиперповерхностей бипланарного пространства. Гиперповерхность М2п в пространстве В2п+1 задается уравнением х = х(и1,..., и2п). Предполагается, что касательная плоскость гиперповерхности не содержит особую прямую, то есть гиперповерхность является (локальным) сечением расслоения (2). В этом случае И.-линейная оболочка касательной плоскости к М2п в векторном пространстве У2п+2 является п-мерным комплексным подпространством пространства , дополнительным
х
особую прямую Р1 пространства В2п+1. Гиперповерхность М2п порождает пучок поверхностей М2п(а + Ы), заданных уравнениями z = (а + 6г)х(м1,... ,и2п). Касательные подпространства к гиперповерхностям пучка пересекаются по комплексной «гиперпрямой», представляющей собой особую (2п — 1)-мерную плоскость Р2п-1 пространства В2п+1. Выбор плоскости Р1 в качестве нормали первого рода, а плоскости Р2п-1 в качестве нормали второго рода позволяет применить метод нормализации А.П. Нордена [40] для построения индуцированной на М2п аффинной (линейной) связности V. Коэффициенты Г^ связности V определяются уравнениями нормализованной поверхности [40]
Vj У г = ¡э У г + р^х + б^Х,
где х = гх, ук = дкх — ¡кх. В индуцированной связности V аффипор дгк, являющийся ограничением аффинора инволюции на гиперповерхность, ковариантно постоянен, н гиперповерхность оказывается комплексным аналитическим многообразием, снабженным аффинной связностью без кручения, сохраняющей аффинор комплексной структуры, так называемым пространством А2п. Установленный факт вызвал необходимость изучить соответствия между вещественными и комплексными тензорами и объектами связности пространств А2п, выяснить строение вещественных тензоров и объектов связности, реализующих комплексные тензоры и объекты связности, а также рассмотреть различные специальные классы пространств А2п.
В числе других, были доказаны следующие теоремы:
1. Связность пространства А2п является реализацией комплексной аналитической связности тогда и только тогда, когда ее тензор кривизны является чистым тензором относительно аффинора комплексной структуры.
2. На аналитических комплексных геодезических пространства А2п индуцируется связность Вейля.
3. Для того, чтобы в пространстве А2п через каждую комплексную одномерную площадку проходила комплексная аналитическая геодезическая, необходимо и достаточно, чтобы комплексная связность пространства А2п была проективна комплексной аналитической связности.
Последний результат был распространен В.В. Шурыгиным [99] на случай связ-ностой на многообразиях над произвольными ассоциативными коммутативными алгебрами.
Основным результатом, касающимся геометрии гиперповерхностей бипланарного пространства эллиптического типа, является следующая теорема:
Связность, индуцируемая на гиперповерхности M2n пространства В2п+1, является реализацией комплексной (не обязательно аналитической) проективно-евклидовой связности и удовлетворяет соотношению
Щ]к = (3)
Обратно, всякая связность, являющаяся реализацией комплексной проектив-но-евклидовой связности и удовлетворяющая соотношению (3), может быть осуществлена на гиперповерхности пространства В2п+1.
Связность, индуцируемая на гиперповерхности M2n, является реализацией аналитической связности тогда и только тогда, когда она является жвиаффин-
Также было выяснено, что связность, индуцируемая на гиперповерхности M2n, является евклидовой тогда и только тогда, когда M2n - гиперплоскость, а единственные гиперповерхности пространства В2п+1, являющиеся симметрическими пространствами, суть гиперквадрики типа бицилиндров.
В дальнейшем [76. 84] А.П. Широковым изучалось проективное пространство РА над общего вида ассоциативной коммутативной унитальной алгеброй А размерности то. Была построена интерпретация (модель) пространства РА как конгруэнции особых (то — 1)-мерных плоскостей вещественного проективного пространства Ртп-1 размерноети топ — 1. Конгруэнция особых плоскостей в случае произвольной алгебры имеет фокальные многообразия, но открытое подмногообразие Ртп-ь получаемое удалением указанных фокальных подмногообразий, расслаивается над РА, образуя аналог расслоения Хопфа. Геометрия пространства то-пар голоморфных подпространств пространства РА изучалась аспиранткой А.П. Широкова Е.М. Кузнецовой [31]. Геометрия трехмерного проективного пространства с вырожденным автополярно нормализованным абсолютом и ее конформная интерпретация Пуанкаре в плоскости дуального переменного изучались ученицей Александра Петровича С.Ю. Петропавловской [43].
2. Многообразия над алгебрами
Обобщая теорию комплексных аналитических многообразий, А.П. Широков развил общую теорию дифференцируемых многообразий и пространств аффинной связности над ассоциативными коммутативными унитальными алгебрами [72 75, 77, 79, 80].
Ато
над полем вещественных чисел И и {еа}, а = 1, 2,..., то, - некоторый базис в А.
А
о : А х А Э (а, в) ^ о = а о в € А,
в базисе {еа} определяется структурными константами - коэффициентами 7саЬ, а, Ъ, с = 1, 2,..., то, разложений
еаеЬ = 7СаЬ ес (4)
произведений элементов базиса по этому же базису. При этом оС = 7саЬаавь ■ Пусть Ап = А х А х ... х А (п сомножителей) - стандартный А-модуль размерности п, элементами которого являются строки, состоящие из п элементов алгебры А. Дифференцируемое (класса Сто) отображение ^ : и Э X ^ У = ^(X) € Ак, Уг = ^г (Xг), г = 1,... п, г' = !,...&, область определения и которого является
открытым подмножеством в Л", называется A-дифференцируемым (дифференцируемым над Л) в смысле Шефферса [121], если касательное отображение
TXF : TXU = A" ^ TF(X)Ak = Ak
Л
В локальных координатах (xla,yla), i = 1, ...n, i' = 1,...k, определяемых разложениями Xг = xlaea, Yг = уг aea, касательное отображение TX F задается матрицей Якоби (dFг a/dxib), и y словия A-дифференциемости отображения F принимают вид
didFi'c1dab = 1cad3ibFi'd ^ diaFic = YcadSgдгдFid,
где didFг c = dFг c/дхг\ S = Saea - единица алгебры A. Л-дифференцируемым
n
многообразие Mmn размер нос ти m'n, снабженное (максимальным) атласом Ф, состоящим из карт hA : U ^ U * С A", функции склейки которого hA ◦ h-1 являются A-дифференцируемыми диффеоморфизмами. Многообразие Mmn со структурой A-дифференцируемого многообразия обозначим MA. Касательное пространство TXMA в произвольной точке X G MA песет структуру A-модуля, изоморфного A". Это позволяет построить дуальный A-модуль TXMA и A-модули тензоров типа (p, q) и затем рассматривать па многообразии
MA A-дифференцируемые тензорные поля и A-дифференцируемые A-линейные связности. Вещественное дифференцируемое многообразие Mmn называется реализацией A-дифференцируемого многообразия MA. А.П. Широковым было установлено следующее:
Элементам алгебры w G A соответствуют на многообразии Mmn поля w^, а, в = 1,..., mn, тензоров m una (1,1) (структурных аффиноров).
A-дифференциру^ые тензорные поля, заданные на MA, реализуются полями чистых тензоров того же типа на многообразии Mmn, то есть полями тензоров, свертка которых со структурным аффинором w^ дает один и тот же
результат, независшш от того, по какому индексу свертка осуществляется. A
Mmn, в которой структурные аффиноры ковариантно постоянны.
A
тензорные поля, ковариантно постоянны в реализующей связности. A
A
Аспирантка Александра Петровича И.С. Григорьева изучала линейные связности на одномерных многообразиях над алгебрами, объекты связности которых задаются функциями f : A ^ A такими, что A-значная линейная форма b(X) = = df (X) — df (1) • X является дифференцированием алгебры [10, 11].
Аспирантом В.И. Евсеевым в кандидатской диссертации, посвященной линейчатой геометрии [12 14], исследовались вопросы наличия тензорных структур k
n
(n > k > 1). В зависимости от значения k и типа плоскостей, на многообразиях k
комплексная, почти произведения, почти двойная).
В работе [79] многообразия с почти алгебраическими структурами, соотвотству-m
A, были включены А.П. Широковым в общую схему теории G-структур на дифференцируемых многообразиях.
Пусть А - то-мерная ассоциативная алгебра, Mmn - mn-мерное дифференцируемое многообразие, Gi и G2 — группы невырожденных матриц из левого и правого n-кратно регулярных матричных представлений алгебры А, a G -
n
АА
противоположную алгебру А* [44] в качестве подалгебр. Почти алгебраическая
А
E(Mmn,Gi), E(Mm„,G2) или E(Mm„,G) (5)
расслоения реперов L(Mmn) многообразия Mm„ Gi G2
G
ющее главное расслоение (5) допускает локальные сечения, представляющие собой натуральные поля реперов. Связности в расслоениях (5) индуцируют линейные связности на многообразии Mmn, коэффициенты которых относительно реперов, принадлежащих этим расслоениям, имеют, соответственно, вид
ria = riP Ya Tia = T^ Ya И = Vipq Yd Ya
r jbkc r jkc r jbkc r jkc Ypb r jbkc r jkc Ybp /qd'
где i, j, k = 1,..., n, a, b, c = 1,..., m, a Yac - структурные константы алгебры А.
А
ют, и многообразие с интегрируемой почти алгебраической структурой оказывается реализацией n-мерног о А-дифференцируемого много образ ия M^. При этом
А
многообразии M^, коэффициенты которой в картах, принимающих значения в А-модуле Ап, выражаются следующим образом через коэффициенты Tjbkc:
ri = ria e ob0c 1 jk = 1 jbkcea° 0 .
Элементам базиса |ea} алгебры А соответствуют базисные структурные аффиноры f ср та многообразии Mmn. Для коммутативной алгебры А, используя эти
a
аффиноры, А.П. Широков построил па Mmn поля тензоров типа (2,1)
Nie = f^f} - fidifa - fidf+ядвfа, (в)
ab a b b a a b b a
обобщающие тензорное поле Нейенхейса аффпнорной структуры на многообразии, и показал, что обращение в нуль полей (6) является необходимым, а в ряде случаев и достаточным, условием интегрируемости почти алгебраической структуры. Позже Г.И. Кручковичем [27] было доказано, что обращение в нуль тензоров (6) является достаточным условием интегрируемости (регулярной) почти алгебраиче-
А
Пзучение геометрии и топологии многообразий над алгебрами, начатое
A.П. Широковым, было продолжено в работах В.В. Вишневского [3] (о вкладе
B.В. Вишневского в развитие геометрии многообразий над алгебрами см. [48]), Г.И. Кручковича [27, 28], И. Ванжуры [125], Н.В. Талантовой [55, 57], А.С. Под-ковырина [47], В.В. Шурыгина [101, 102], М.А. Малахальцева [32, 33], М.А. Ми-кенберга [35], А.В. Бояршиновой [1], Т.П. Гайсина [9] и других исследователей (см. обзорные работы [5, 88, 95, 102] и книгу [8]).
3. Касательные расслоения и расслоения Вейля
Касательное расслоение г-го порядка Тr M дифференцируемого многообразия M представляет собой объединение TrM пространств ТХ M г-струй j f
xeM
ростков гладких отображений / : (И., 0) ^ (М, х). Имеется естественная проекция п : Тг М Э / ^ х £ М. Локальные координаты хг та области и С М индуцируют на п-1(и) локальные координаты
r(a)i
1
Ы
da(xl of) dt°-
0 1 ... г
1,. ..,n,
(7)
t=0
где t G R, x(0)i = xl. Координаты (7) определяют на pасслоении TrM структуру дифференцируемого многообразия. Расслоение Tr M является частным случаем расслоения (m , г)-скоростей Эресмана [110, 111]. Геометрия касательных расслоений изучалась в работах К. Яно и Ш. Кобаяси [129], А. Моримото [117, 118], Ч. Ху и Ш. Ишихары [112], К. Яно и Ш. Ишихары [128].
А.П. Широков ввел на области n-1(U) координаты
X4 = x(0)i +
x(1)ie + ...
X(r)V
i = 1 ,
(8)
принимающие значения в алгебре И(ег) плюральных чисел а0 + а1е + ... + агег, умножение которых определяется соотношениями ер ■ еч = ет+ч, ег+1 = 0. Если на пересечении и П и' координатных окрестностей па многообразии М имеет место преобразование координат хг = рг (х1), то та пересечении п-1(и) П п-1(и') С С ТГМ индуцированные И(ег)-значные координаты преобразуются по закону Xг = Фг (Xг), где Фг (Xг) - продолжения функций рг (хг) в алгебру И(ег), являющиеся дифференцируемыми функциями над алгеброй И(ег) в смысле Г. Шеф-ферса [121]. В результате, на касательном расслоении ТгМ возникает естественная структура п-мерного дифференцируемого многообразия над алгеброй И(ег).
В классе дифференцируемости Сш иродолжение Ф(Хг) вещественной функции р(хг) в алгебру И(ег) получается из функции <(хг) подстановкой в степенной ряд, представляющий функцию р(хг), переменных (8), принадлежат,их алгебре И(ег),
хг
координат позволяет для любой дифференцируемой функции <р : М ^ И построить ее продолжение Ф : ТГМ ^ И(ег), являющееся И(ег)-дифференцируемой функцией на расслоении ТГМ. Разложение функции Ф : ТГМ ^ И(ег) по базису алгебры И(ег) имеет вид
Ф
V
(0)
V(1) е + ...■
V(r)er
(9)
где коэффициенты разложения
V(X)(fx f ) =
dx(v ◦ f)
dtx
A = 0 ,1,
t=0
(10)
оказываются так называемыми А-лифтами [112] функции у.
Использование построенной структуры R(er)-дифференцируемого многообразия на расслоении TrM и естественных продолжений геометрических объектов, заданных на многообразии M, до R(er)-дифференцируемых объектов на расслоении TrM позволило с единой точки зрения изложить (см. [8, 15]) теорию лифтов геометрических структур с многообразий на касательные расслоения высших порядков [117, 118].
Произвольная R(er)-дифференцируемая функция Ф : Tr M ^ R(er) имеет вид
0 1 r
Ф = Ф + Фе + ... + Фет,
(Н)
л л
Где ф _ продолжение некоторой вещественной функции ^ : М ^ Ив алгебру И(еТ). В частности, в случае алгебры дуальных чисел И(е) ироизвольпая И(е)-дифференцируемая функция Ф : И(е)п ^ И(е) имеет вид
Ф(Х') = £(*«»') + е (+ , (12)
I дх(0ц'
о
а продолжение вещественной функции ^ : И" ^ И в алгебру И(е) имеет вид
(13)
Следуя терминологии Э. Штуди [124]. который называл функции вида (12) си-нектическими, А.П. Широков назвал И(еТ)-дифференцируемые функции общего вида синектическшш расширениями естественных продолжений вещественных функций. Геометрические объекты (векторные и тензорные поля, линейные связности) на расслоении ТГМ, порождаемые И(еТ)-дифференцируемыми геометрические объектами общего вида, он назвал синекпшческими расширениями
М
расслоение ТТМ. Например, сипектическое расширение полного лифта метрического тензора дц (хк) та касательное расслоение ТМ в матричной записи имеет вид
/х(1)тдтдц (х(0)к) + ац (х(0)к) дц (х(0)к)\ V дц (х(0)к) 0 )' (14)
где ац (хк) - произвольное симметрическое тензорное поле па многообразии М. Полный лифт метрического тензора дц(хк) получается при ац(хк) = 0. А.П. Широковым было доказано [91], что метрика (14) эквивалентна метрике пол-
ТМ
разие над алгеброй И(е), тогда и только тогда, когда ац = Судц для некоторого векторного поля V на М, где Су - производная Ли в направлении векторного поля V. Этот результат был распространен В.В. Шурыгиным [100] на случай А-дифференцируемых геометрических объектов на расслоении А-скоростей Вейля Т АМ.
Для аффинных связностей на касательном расслоении ТТМ А.П. Широковым была доказана следующая теорема:
Произвольная И(еТ) -дифференцируемая связность на расслоении ТГМ задается коэффициентами
Г}к (X1) = ц (X1) + еЩк (X1) + ... + егЩк (X1), (15)
где Цк(X1) - продолжения в алгебру И(еТ) коэффициентов Г*к(х1) некоторой
1 . г .
аффинной связности, заданной на базе М, а й^^1),..., Щк(Xе)- И(еТ)-про-
1 • Т ■
должения некоторых тензорных полей Нцк(х1),... ,й*к(х1), заданных на базе М.
ТТМ
коэффициенты которой имеют следующий вид:
% ки(х1к) = (ц)(л-^ + (Щк)(л-^-1) +... + (л й ц)(0), (16)
где (Р^к)(тозначавт т-лифт (10) функции
В дальнейшем указанные результаты были распространены А.Я. Султановым [54] на случай расслоения ТАМ бесконечно близких точек в смысле А. Вейля [126].
В работах [85 87] и других А.П. Широковым был разработан метод применения теории касательных расслоений в линейчатой геометрии аффинных и неевклидовых пространств, заключающийся в отнесении ориентированной прямой пространства некоторого элемента касательного расслоения индикатрисы (гиперповерхности рассматриваемого пространства).
Изучение геометрии касательных расслоений, снабженных полными лифтами геометрических объектов и их синоктичоскими расширениями, было продолжено в работах учеников А.П. Широкова: В.Г. Подольским [49] изучались инфинито-зимальныо преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки. Е.В. Назаровой [37] изучались инвариантные синоктичоскио связности в касательных расслоениях групп Ли. Т.В. Капустиной [25] исследовались голоморфно-конформные соответствия между касательными расслоениями
М
скими расширениями полных лифтов метрических тензоров, X. Шадыовым [63] изучались проективные преобразования касательных расслоений с синоктичоскими расширениями полных лифтов линейных связностей, С.Я. Нусь [41] изучались синоктичоскио метрики в касательном расслоении евклидова пространства.
п
образия Мп с линейной связностью V построила канонический изоморфизм локально тривиальных расслоений между касательным расслоением второго порядка Т2Мп и суммой Уитни двух касательных расслоений первого порядка ТМп©ТМп. Были найдены необходимые и достаточные условия совпадения полных лифтов линейной связности V, заданной та многообразии Мп, та расслоения Т2Мп и ТМп © ТМп. В последующем аналогичный диффеоморфизм был построен между расслоениями Т3Мп и ТМп © ТМп © ТМп [104].
В работах [42, 92, 93] Александра Петровича и его ученицы Н.Н. Переломовой изучалась геометрия касательных расслоений 1-го и 2-го порядков комплексной проективной прямой СР1 в связи с геометрией трехмерного пространства Лобачевского £3. Если г1 - локальная неоднородная проективная координата на СР1, а (г1, г2) - индуцированные локальные координаты в Т(СР1), то каждому ненулевому касательному вектору с координатами (г1, г2), г2 =0 можно поставить в соответствие орисферу в пространстве £3. Есл и Е3 - трехмерное вещественное евклидово пространство с прямоугольными координатами (£, п, в), а в полупространстве д > 0 задана модель Пуанкаре пространства Лобачевского £3, то уравнение орисфоры будет иметь вид:
|г - г1|2 + в2 - д|г11 = 0, (17)
где г = £ + гп-Уравнение
г2 = р(г1)2 + 2дг1 + г, (18)
где р,д,г £ С - константы, задает в £3 2-параметрическое (роль вещественных
г1
орпсфер. При переходе от г1 к новой локадьной проективной координате г1 вид уравнения (18) не меняется, более того, сохраняется дискриминант рг—д2 . В случае рг — д2 = 0 за счет выбора новой координаты 51 семейство (18) можно привести к виду
г2 = 2дг1, (19)
а при рг — д2 = 0 - к виду
I2 = г. (20)
Огибающая семейства орисфер (20) является также орисферой. а огибающей семейства орисфер (19) является цилиндр радиуса 1п \/\рг — д2\ = 1п |</|.
Преобразование проективной координаты г1 ^ I1 и индуцированное преобразование координаты касательного вектора г2 ^ I2 можно записать в виде одной формулы, вводя комплексно-дуальную координату г = г1 + е г2, е2 =0. Тогда координаты г = I1 + е I2 и г связаны следующим образом:
(21)
cz + d'
где a, b, c,d G С и ad — bc = 0.
Если рассмотреть более общие преобразования координат, считая в (21) коэф-a, b, c, d
прострапства возникает 12-иараметрическая группа преобразований. При этом семейство орисфер (18), как и выше, переходит в аналогичное семейство орисфер. Но в этом случае семейство, имеющее огибающую, являющуюся эквидистантным цилиндром, может перейти в семейство с огибающим эквидистантным цилиндром другого радиуса, в частности, в прямую или орисферу. Эти преобразования являются пространственными аналогами орициклических преобразований Лагерра в плоскости Лобачевского L2 [93].
Касательное расслоение TrMn n-мерного многообразия представляет собой многообразие над алгеброй плюральных чисел R(er ), моделируемое R(еr )-модулем R(er)n размерноети n (над R(er)). В.В. Вишневским были построены и исследованы так называемые полукасательные расслоения над ступенчато расслоенными многообразиями, несущие интегрируемые структуры нерегулярных представлений алгебры плюральных чисел [4]. В частности, им и его учениками была построена теория лифтов проектируемых тензорных полей и линейных связностей с многообразия на его полукасательное расслоение (см. [4, 6, 7]).
В работе [88] А.П. Широковым было показано, что естественные структуры многообразий над алгебрами возникают на расслоениях бесконечно близких точек в смысле А. Вейля [126]. Расслоения Вейля играют важную роль в дифференциальной геометрии высшего порядка и теории естественных операций в дифференциальной геометрии [115], что, в частности, связано с тем, что к расслоениям Вейля приводят расслоенные функторы, сохраняющие произведение (см. [113, 115]). Геометрии расслоений Вейля посвящено много исследований (см., например, работы Л.-Н. Паттерсона [120], А. Моримото [119], II. Коларжа [114]: подробную библиографию можно найти в [8, 88, 115]).
Конечномерная коммутативная ассоциативная унитальная алгебра A называется локальной в смысле А. Вейля, если она обладает единственным максимальным идеалом m и факторалгебра A/m изоморфна алгебре вещественных чисел R. Пусть M - гладкое многообразие, а Cœ(M) - алгебра гладких функций на M. A-точкой, близкой к x G M, называется гомоморфизм x' : Cœ(M) ^ A такой, что вещественная часть элемента x'(f) G A совпадает со значением f(x). Множество T AM AM
M x'(f)
кой функции определяется ее значениями в как угодно малой окрестности точки x, поэтому имеют смысл значения Xг = x'(h®) гомоморфизма x' на координатных функциях h : U Э x ^ x1 G R. Отображения Иг : n-1(U) Э x' ^ Xг G A, где п : TAM Э x' ^ x G M - естественная проекция, определяют A-значные
координатные функции на n-1(U), а преобразования А-значных координат Xг = = Фг (Xг) оказываются естественными продолжениями преобразований координат хг = f (хг) та многообразии M. Наличие структуры многообразия над алгеброй А Вейля TAM позволило построить теорию лифтов геометрических
структур с базового многообразия M та расслоение Вейля TAM на основе использования естественных продолжений вещественных дифференцируемых функций в
А
бломы с построением лифтов тензорных полей определенных типов на расслоение TAM: построение полного лифта тензорного поля как однозначной реализации АА
В дальнейшем расслоения Вейля в Казанском университете изучались В.В. Шу-рыгиным, Л.Б. Смоляковой, Г.Н. Бушуовой [101]. [51.103.109]. В работах [101]. [103] исследовался вопрос о критериях эквивалентности многообразия над локальной
А
расслоений Вейля. зависящих от параметров. Работа [51] посвящена построению синоктичоских лифтов в смысле А.П. Широкова геометрических объектов на обобщенные расслоения Вейля слоеных многообразий.
4. Другие направления исследований (геометрия Лагерра, бесконечномерные многообразия, проектирование связностей в расслоениях, геометрия Лобачевского)
Предложив своему дипломнику В.Е. Фомину заняться дифференциальной геометрией бесконечномерных многообразий. А.П. Широков инициировал появление нового направления научных исследований на кафедре геометрии. Примерами бесконечномерных многообразий являются поверхности в топологических векторных пространствах (пространствах Банаха. Гильберта и Фрошо), грассмановы многообразия замкнутых векторных подпространств банахова пространства, допускающих топологические дополнения, а также многообразие C(X, Y) гладких отображений компактного многообразия X в многообразие Y и различные подмногообразия этого многообразия. Интересно, что функтор FX : Y ^ C(X, Y) позволяет перене-
Y
и т. п.), на многообразие C(X,Y). Многие свойства конечномерных многообразий сохраняются и в случае бесконечномерных многообразий. С другой стороны, бесконечномерные многообразия имеют и существенные отличия от конечномерных. Так, например, пара римановых метрик Леви-Чивита па одном и том же коноч-
M
линойныо связности, имеющие общие геодезические. Но для бесконечномерного M
В.Е. Фоминым было определено понятие банахова многообразия над банаховой алгеброй, в качестве одного из примеров рассмотрено банахово многообразие M поточечно конформных римановых структур на конечномерном компактном многообразии Mn класс a Cr. Многообразие M будет голоморфным над банаховой алгеброй F(Mn) функций класса Cr на Mn. На M определяется F-голоморфпая риманова метрика, найдены геодезические линии этого риманова многообразия [62]. Ученик В.Е. Фомина К.Б. Игудосман в своей кандидатской диссертации [23] изучал многообразия типа Фреше над алгебрами Фреше и, в частности, предыдущий пример многообразия поточечно конформных римановых структур, где все объекты имеют класс дифферепцируемости CTO. На таком многообразии, как и в конечномерной ситуации, возникают естественные слоения, порождаемые данной структурой. Для доказательства простоты указанных слоений пришлось постро-
ить основы теории многообразий типа Фронте над алгебрами и теории слоений на таких многообразиях [24].
Аспирант А.П. Широкова Е.Н. Сосов в своей кандидатской диссертации занимался вопросами релятивной линейчатой геометрии [52]. используя установленную Александром Петровичем связь между линейчатой геометрией аффинных и неевклидовых пространств и геометрией касательных расслоений гиперповерхностей этих пространств [85. 86. 89]. В дальнейшем Е.Н. Сосов занялся изучением геометрии метрических пространств [53] и. в частности, бесконечномерных пространств Лобачевского.
Другому своему ученику К.М. Егиазаряну Александр Петрович предложил заняться исследованием вопросов проектирования линейных связностой, заданных на тотальном пространстве дифференцируемого расслоения, на базу этого расслоения. Ранее в частном случае слоения с одномерными слоями проектирование связностой было рассмотрено в работе К. Яно и Ш. Ишихары [127]. Метод проектирования. разработанный К.М. Егиазаряном в [17. 20] для главных расслоений, заключается в следующем.
Пусть А = (E, п, B, G) - главное расслоение с тотальным пространством E, базой B, проекци ей п : E ^ B и структурной групп ой Ли G. Если y - ин-
финитезимальная связность на А V — линейная связность на E, инвариантная
*
относительно действия G, то нa B возникает линейная связность V (Г -проекция или проекция связности V по Егиазаряну): для любых векторных полей X, Y па B и любой точки х £ B
(V X Y )(x)= Tz n[(Vx Y ')(z)],
где XY' - горизонтальные лифты вектор пых полей X, Y соответственно, a z £ £ п-1(х) - произвольная точка слоя.
*
Обратно, по всякой линейной связности V та базе B, dim B = n, единственным
*
VV
на тотальном пространстве E главного расслоепия А с инфипитезимальпой связностью y> инвариантная относительно G, dim G = m, проекцией которой является *
V- А именно, пусть {ei}, i = 1,...,n, — поле реперов па открытом множестве U С B и
**
V ei ej =rj efc, =1,...,n.
Пусть, далее, Ei, i = 1,... ,n, — горизонтадьные лифты векторных полей ei па n-1(U) С E, a {Ea}, а = n +1, ...,n + m, - набор фундаментальных векторных полей на E, соответствующий некоторому базису алгебры Ли структурной группы G. Тогда линейная связность V на n-1(U) определяется равенствами:
VваЕв = VEaEj = VEiЕв = 0, VEiEj =rjEk, ij =1,...,n, а,в = n +1,...,n + m,
rjj(z) = rjj(n(z)), z £ n-1(U).
Это определение не зависит ни от выбора локального поля реперов {ei}, ни от выбора фундаментальных векторных полей Ea, поэтому связи ость V определяется на E глобально.
С помощью метода проектирования К.М. Егиазаряном был получен целый класс линейных связностой на грассмановых многообразиях [21], включающий в себя локально проективно плоские связности. Метод проектирования линейных
связностей был распространен В.Е. Фоминым и Р.Р. Юльмотовым на бесконечномерные банаховы многообразия [60] и многообразия Фреше [61]. А.П. Широковым метод проектирования был применен при введении линейной связности на р-параметрической конгруэнции Р п-мерных подпространств п(р + 1)-мерного вещественного векторного пространства Ьп(р+1) [19]. При этом пространство Ьп(р+1) рассматривалось как вещественная модель (р + 1)-мерного модуля Ьр+1(Ап) над ассоциативной коммутативной унитальной алгеброй Ап, а конгруэнция Р состоя-п
Ьр+1(Ап). В этой связи следует отметить также работы К.М. Егиазаряна [16, 18], посвященные геометрии многообразий над алгебрами и касательных расслоений.
В работе [26] аспирантки Александра Петровича Л.М. Кресс были построены *
линейные связности V та трехмерном проективном пространстве И.Р3 методом Г-проектирования линейной связности V, заданной на четырехмерном векторном пространстве Ь4, та котором действует четырехмерная группа Ли О линейных операторов, сохраняющих пучок билинейных невырожденных форм на Ь4, причем
V инвариантна относительно действия О. Рассмотрены примеры таких групп Ли
*
О, найдены коэффициенты связностей V и V • Г
слоения с инфинитозималыгой связностью является обобщением понятия проектируемой связности. Б.Н. Шапуковым [64], изучавшим проектируемые связности, в число других результатов, были получены необходимые и достаточные условия,
Г
Александр Петрович и его ученики получили много интересных результатов, связанных с переносом и обобщением геометрии Лагерра евклидовой плоскости на пространство Лобачевского.
Пусть М — множество всех ориентированных прямых в евклидовой плоскости
Е2
прямую СР1, на которой действует шестимерная группа Ли Об комплексных
СР1
ствие группы Об переносятся на М. Эта группа Об, действующая на М, называется группой Лагерра, а свойства объектов в М, сохраняющиеся при действии
Об Е2
Александр Петрович Е2
£2 М
£2 М
тивно дуальной проективной прямой И(е)Р1 (Ще) — алгебра дуальных чисел), то на М с И(е)Р1 переносится структура гладкого многообразия и действие группы Об
Об
биаксиального пространства параболического типа и локально изоморфна группе движений трехмерного псевдоевклидова пространства [56]. В работах А.П. Широкова и Н.В. Талантовой [58, 93] и в кандидатских диссертациях и статьях учеников Александра Петровича М.А. Миконберга [34] и К.П. Шустовой [105] были получены многочисленные результаты, относящиеся к геометрии Лагерра плоскости и п
В работе [94] Александр Петрович установил любопытные связи между четырехмерным пространством Лобачевского и алгеброй кватернионов.
В вещественном пятимерном проективном пространстве И.Р5 рассматривается гиперквадрика £ с уравнением
(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + (х4)2 + (х5)2 - (х1)2 = 0
относительно проективного репера {£1,..., Е6, £}. На £ задается автополярная нормализация с нормалями 1-го рода, образующими связку прямых с центром в £4. С помощью стереографической проекции из точки N(0 : 0 : 0 : 0 : 1 : 1) па гиперплоскость х6 = 0 па £ вводятся локальные координаты (и1, и2, и3, и4). При этом проективные координаты любой точки из £\{N} следующим образом выражаются через криволинейные:
2«1 : 2и2 : 2и3 : 2и4 : 1 — ]Т(и4)2 : 1 + ¿(
и" )2
Внутренняя геометрия нормализованной гиперквадрики £ совпадает с внутренней геометрией автополярно нормализованной гиперплоскости Н4, заданной уравнением х4 = 0, поляритетом которой является £ П Н4, а нормалями 1-го рода являются прямые связки с центром в £4. При этом па Н4 возникает следующая параметризация:
2и1 : 2и2 : 2и3 : 0 : 1 — ]Т(и4)2 : 1 + ^(и4)2
4=1 / \ 4=1
Из деривационных уравнений полярно нормализованной гиперплоскости Н4 находятся координаты метрического тензора дц пространства Н4:
9 ц 7 "лло^Ц' ^">3 (и4)2
и коэффициенты соответствующей римановой связности V.
Пусть теперь Н - алгебра кватернионов с канонпческим базисом {г,^, 1}. Точке и £ Н4 с криволшейньши координатами (и1, и2, и3, и4) поставим в соответствие кватернион V = и1« + и2^' + и3& + и4. В силу линейности этого соответствия вектору V £ ТиН4 = Н4 с координатами (V1, V2, V3, V4) будет соответствовать кватернион V = v1г+v2j +v3k+v4 £ ТцН = Н. Тогда, если V = v(u) = (V4(и1,..., и4)), т = т(и) = (ад4(и1,..., и4)), г,= 1, 2, 3,4, - векторные поля на Н4, а V = V(V), Ш = Ш (V) - соответствующие поля кватерпионов на Н, то векторному полю V w V будет соответствовать поле кватернионов
(^¥У)(и) = ВУи{\¥(1Г)) - -^ти) ■ МГ(и) + \¥(Щ ■ !/(£/)),
где ДУЦ - дифференциал в точке V отображения V : V £ Н ^ V(V) £ Н, И,е V = и4 - вещественная часть кватерннона V.
Н4
представляются как ииволютивиые преобразования кватернионной переменной
и и = ~А0А + 2ЪА
НАП
2
и —> й = В + (р + 11 в
IIV - В||2'
где £ И, А, В £ Н - вещественные и кватернионные параметры, V = -и1« — — и2^' — и3& + и4 - сопряженный к V кватернион, ||А||2 = А • А - квадрат нормы кватерниона А.
Н4
Н
формулах для соответствующих инфинитезимальных преобразований векторных полей на И.
В круг научных интересов Александра Петровича входили и вопросы механики неевклидовых пространств [74]. а один из его первых аспирантов М.С. Крюков занимался изучением движения тела по инерции в пространстве Лобачевского [29]. [30].
Summary
V.E. Fomin, V. V. Shurygin. An Essay on Scientific and Pedagogical Biography of A.P. Sliirokov.
The article contains a brief biography of professor A.P. Sliirokov (1926 1998), an eminent Kazan geometrician. Honoured Science Worker of the Russian Federation. It reflects the contribution that has been made by A.P. Sliirokov and his disciples to the geometry of generalized biaxial spaces, theory of manifolds over algebras, geometry of tangent bundles and Weil bundles, Laguerre geometry, geometry of infinite dimensional manifolds, theory of connections in fiber bundles, geometry of lion-Euclidean spaces and other areas of research in modern geometry.
Key words: Banacli manifold, connection theory, generalized biaxial space, Laguerre geometry, Lobaclievskii space, infinite-dimensional manifold, manifold over algebra, projective space over algebra, tangent bundle, Weil bundle.
Литература
1. Вояршииова А,В, О пространстве существенных ипфнпитезпмальпых деформаций // Изв. вузов. Математика. 1997. Л' 8. С. 3 12.
2. Ведущие научные школы России. Вып. 1. М.: «Янус К», 1998. 624 с.
3. Вишневский В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами: Дне. ... д-ра физ.-матем. паук. Казань, 1972. 345 с.
4. Вигиневский В.В. Многообразия над плюральными числами и полукасательпые структуры // Проблемы геометрии (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). М., 1988. Т. 20. С. 35 75.
5. Вигиневский В.В. Интегрируемые аффинерные структуры и их плюральные интерпретации // Современная математика и ее приложения (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). Т. 73. М., 2002. С. 6 64.
6. Вигиневский В.В. Лифты дифференциально-геометрических структур в полукасательпые расслоения высших порядков // Изв. вузов. Математика. 1995. Л*' 5. С. 16 24.
7. Виишеаский В.В., Пантелеева Т.А. Голоморфные продолжения объектов в полука-сателыюе расслоение второго порядка // Изв. вузов. Математика. 1985. Л' 9. С. 3 10.
8. Вишневсклм В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984. 264 с.
9. Га,йсин Т.И. Комплекс Спенсера для многообразий над алгебрами // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1997. Вып. 23. С. 33 41.
10. Григорьева И. С. Мера множества гиперплоскостей в En 11 Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Межвузовский сб. Калининград. 1982. Вып. 13. С. 27 29.
11. Григорьева И. С. Обобщешю-голоморфпые функции над алгебрами и их геометрические приложения: Дне. ... канд. физ.-матем. паук. Казань, 1986. 98 с.
12. Евсеев В.И. Об однородных пространствах, порожденных прямыми пространств Rn и ;Rn // Учен. зап. Казан, гос. пед. ин-та. - 1971. - Вып. 90. - С. 207-226.
13. Евсеев В.И, О геометрии пространств, порожденных прямыми в i+1Rn+i // Учен, зап. Казап. гос. пед. ип-та. 1971. Вып. 90. С. 241 253.
14. Евсеев В.И, О геометрии многообразий гиперпрямых в ;Rn // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1974. Вып. 7. С. 36 42.
15. Евтушик Л.Е., Лумисте ЮЛ., Ослтаиу Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры па многообразиях // Проблемы геометрии (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). М., 1979. Т. 9. 247 с.
16. Егиаварян K.M. Об одном классе пространств над алгебрами // Изв. вузов. Математика. 1978. 7. С. 97 101.
17. Егиава/рян K.M. О проектировании инвариантных связпостей па главных расслоенных пространствах // Изв. вузов. Математика. 1978. Л' 7. С. 97 101.
18. Егишаряи K.M. О структуре аффинных связпостей и тензорных полей па касательном расслоении высшего порядка // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, Л' 4. С. 797 801.
19. Егишаряи K.M., Широков А.П. Проектирование связпостей в расслоениях и его приложения к геометрии пространств над алгебрами // Дифференциальная геометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. Вып. 4. С. 132 140.
20. Егишаряи K.M. Спроектированные инвариантные аффинные связности // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1980. Вып. 12. С. 27 37.
21. Егишаряи K.M. Аффшшые связности па грассмаповом многообразии // Изв. вузов. Математика. 1980. 5. С. 76 78.
22. Зудина Т.В., Степанов С.Е., Шандра ИЛ. Эквиаффиппые отображения // Изв. вузов. Математика. 2007. 8. С. 27 37.
23. Игудесман К.Б. Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами: Дне. ... канд. физ.-матем. паук. Казань, 2000. 66 с.
24. Игудесмаи К.Б. Слоепие па многообразии поточечно конформных структур // Новые проблемы теории поля. Тр. междупар. копф. «Волга 10!98» по проблемам современной теоретической и математической физики. Казань, 1998. С. 128 137.
25. Капустина Т.В. Голоморфно-конформное соответствие в касательных расслоениях римапова пространства // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1981. Вып. 13. С. 39 48.
26. Кресс Л.М. Об аффиппых связпостях, допускающих четырехчленные группы ипфи-питезимальпых преобразований // Труды геом. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 1989. Вып. 19. С. 60 70.
27. Кручкович Г.И. Условия интегрируемости регулярной гиперкомплекспой структуры // Укр. геом. сборп. 1970. Вып. 9. С. 67 75.
28. Кручкович Г.И. Гиперкомплекспые структуры па многообразиях. I. // Труды семинара по вект. и тепз. анализу. М.: Моск. гос. уп-т, 1972. Вып. 16. С. 174 201.
29. Крюков М. С. Движение твердого тела по инерции в плоскости Лобачевского // Учен, зап. Казап. уп-та. 1963. Т. 123, кп. 1. С. 103 127.
30. Крюков М.С. О движении стержня в пространстве Лобачевского // Изв. вузов. Математика. 1964. Л» 4. С. 86 98.
31. Кузнецова Е.М. О геометрии пространства m-пар голоморфных подпространств n-мерного проективного пространства Pn над алгеброй A // Труды геом. семинара. -Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1986. Вып. 17. С. 29 37.
32. Малахальцев М.А. (X, G)-слоения // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 7. - С. 5565.
33. Малахальцев М.А, Классы Годбийопа и Вея одномерного многообразия над локальной алгеброй // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1997. Вып. 23. С. 29 37.
34. Микеиберг М.А. Геометрия Лагерра и ее аналог: Дне. ...канд. физ.-матем. паук. Казань, 1986. 159 с.
35. Микеиберг М.А. Некоторые топологические свойства многообразий над локальной алгеброй, допускающих голоморфные вложения // Изв. вузов. Математика. 2002. Л» 11. С. 52 54.
36. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984. 208 с.
37. Назарова Е.В. К геометрии касательных расслоений групп Ли // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1979. Вып. 11. С. 70 78.
38. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиалыюй группы // Докл. АН СССР. 1947. Т. 58. С. 1597 1600.
39. Нордеи А.П. Пространство линейной конгруэнции // Матем. сб. 1949. Т. 24, Л' 66. С. 429 455.
40. Нордеи А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
41. Нуеь С. Я. Об одном свойстве сипектических метрик в касательном расслоении евклидова пространства // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1986. Вып. 17. С. 37 43.
42. Переломова, H.H., Широков А.П. Касательное расслоение второго порядка проективной прямой и геометрия Лобачевского // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1990. Вып. 20. С. 73 85.
43. Петропавловская С.Ю. Конформная интерпретация Пуанкаре одной вырожденной геометрии в плоскости дуального переменного и теория нормализации Нордепа // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1997. Вып. 23. С. 85 98.
44. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 544 с.
45. Подборка воспоминаний о А.П. Широкове // Журнал «Казань». 1999. Л' 12. С. 63 76.
46. Подборка воспоминаний о А.П. Широкове // Журнал «Казань». 2007. Л' 4. С. 55 63.
47. Подковы,рии A.C. Гиперповерхности унитарного пространства. I. // Изв. вузов. Математика. 1967. 8. С. 41 52.
48. Подковы,рип A.C., Салимое A.A., Шурыгии В.В. Очерк паучпой и педагогической деятельности В.В. Вишневского (к 75-летию со дня рож.) // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2005. Т. 147, кп. 1. С. 26 36.
49. Подольский В.Г. Ипфипитезимальпые преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки // Изв. вузов. Математика. 1976. Л» 9. С. 128 132.
50. Симон У. К аффиппой теории гиперповерхностей: калибровочпо инвариантные структуры // Изв. вузов. Математика. 2004. Л' 11. С. 53 81.
51. Смолякова, Л.Б., Шурыгии В.В. Лифты геометрических объектов па расслоение Вей-ля TßM слоеного многообразия, определяемое эпиморфизмом ß алгебр Вейля // Изв. вузов. Математика. 2007. 10. С. 76 89.
52. Сосоа Е.Н. Замечание о релятивной линейчатой геометрии // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Межвузовский сб. Калининград, 1982. Вып. 13. С. 91 94.
53. Сосоа Е.Н, Наилучшее приближение в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта шаром // Матем. заметки. 2004. Т. 76, Вып. 2. С. 226 236.
54. Султанов А.Я. Продолжения тензорных полей и связпостей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Математика. 1999. Л"' 9. С. 81 90.
55. Талалтюаа, Н.В. Биаксиалыюе пространство параболического типа // Изв. вузов. Математика. 1959. 3. С. 214 228.
56. Талалтюаа, Н.В. Классификация подгрупп движений биаксиалыюго пространства параболического типа // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1968. Т. 128, кп. 3. С. 99 114.
57. Талалтюаа, Н.В., Широков А.П. Замечания об одной метрике в касательном расслоении // Изв. вузов. Математика. 1975. Л' 6. С. 143 146.
58. Талап'това Н.В., Широков А.П. Об одном подходе к группе преобразований Лагер-ра // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей. Уфа, 1985. С. 3 11.
59. Фомин В.Е. Пара бесконечномерных пространств Леви Чивита может по иметь общих геодезических // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1986. Вып. 17. С. 79 83.
60. Фомин В.Е. Проектирование ..линейных связпостей в расслоениях банахова типа // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1988. Вып. 18. С. 95 117.
61. Фомин В.Е., Юльмстоа Р.Р. Лилейные связности и геодезические кривые па многообразиях Фреше // Изв. вузов. Математика. 1995. Л' 7. С. 78 90.
62. Фомин В.Е. Элементы дифференциальной геометрии над банаховыми алгебрами // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1997. Вып. 23. С. 149 164.
63. Шадыев X. Проективные преобразования сипектической связности в касательном расслоении // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1988. Вып. 18. С. 126 139.
64. Ша,пуков Б.П. Проектируемость тензорных полей и связпостей в расслоениях // Труды геом. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 1986. Вып. 17. С. 84 100.
65. Ша,пуков Б.П. Александр Петрович Широков, 1926 1998. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 2003. 24 с.
66. Ша,пуков Б.П., Кашородоа В.Р. Широков Александр Петрович (К семидесятилетию со дня рождения) // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1997. Вып. 23. С. 231 244.
67. Ша,пуков Б.П., Фомин В.Е. Александр Петрович Широков // Механико-математический факультет Казанского университета. Очерки истории, 1960 2000. Казань: Уиипресс, 2000. С. 138 140.
68. Широков А.П. Геометрия обобщенных биаксиальных пространств // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1954. Т. 114, кп. 2. С. 123 166.
69. Широков А.П. Об одном свойстве ковариаптпо постоянных аффиноров // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, Вып. 3. С. 461 464.
70. Широков А.П. Проективная интерпретация копформпо-евклидовых симметрических пространств // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1956. Т. 116, кп. 1. С. 15 19.
71. Широков А.П. Некоторые аналоги вещественных реализаций унитарных пространств // Учеп. зап. Казап. уп-та. 1957. Т. 117, кп. 9. С. 25 29.
72. Широков А.П. Об одном классе пространств над алгебрами // Изв. вузов. Математика. 1961. 1. С. 163 170.
73. Широков А.П. О некоторых вещественных реализациях пространств над алгебрами // Изв. вузов. Математика. 1961. Л' 5. С. 117 127.
74. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Учен, зап. Казап. уп-та. 1963. Т. 123, кп. 1. С 196 207.
75. Широков А.П. Пространства над ассоциативными упитальпыми алгебрами // Учен, зап. Казап. уп-та. 1963. Т. 123, kii. 1. С. 222 247.
76. Широков А.П. О вещественных реализациях проективных пространств над алгебрами // Учен. зап. Казап. уп-та. 1963. Т. 123, kii. 1. С. 248 254.
77. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами // Изв. вузов. Математика. 1963. Л' 6. С. 159 171.
78. Широков А.П. Пространства, определяемые алгебрами: Дис. .. .д-ра физ.-матем. паук. Казань, 1966. 258 с.
79. Широков А.П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами // Труды геом. семинара. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. Т. 1. С. 425 456.
80. Широков А.П. К вопросу о чистых тензорах и инвариантных подпространствах в многообразиях с почти алгебраической структурой // Труды семинара каф. геометрии. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1966. Вып. 2. С. 81 89.
81. Широков А.П. Структуры па дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. (Итоги пауки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1969. С. 127 188.
82. Широков А.П. Структуры па дифференцируемых многообразиях. // Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 11. (Итоги пауки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1974.
С. 153 207.
83. Широков А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях // Труды геом. семинара. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. Т. 5. С. 311 318.
84. Широков А.П. Метод нормализации Нордепа и вещественные модели проективных пространств пад алгебрами // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1975. Вып. 8. С. 145 152.
85. Широков А.П. К вопросу о релятивной линейчатой геометрии // Дифференциальная геометрия. Саратов, 1977. Вып. 3. С. 69 81.
86. Широков А.П. Об одной модели для линейчатой геометрии пространства Лобачевского // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1980. Вып. 12. С. 111 117.
87. Широков А.П. О касательных расслоениях и линейчатой геометрии неевклидовых пространств // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1981. Вып. 13.
С. 101 108.
88. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства пад алгебрами // Проблемы геометрии. (Итоги пауки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1981. Т. 12. С. 61 95.
89. Широков А.П. О специальных метриках и связпостях в касательных расслоениях гиперповерхностей аффинных и неевклидовых пространств // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1982. Вып. 14. С. 108 114.
90. Широков А.П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А.П. Нордепа) // Проблемы геометрии. (Итоги пауки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1985. Т. 17. С. 131 151.
91. Широков А.П., Шурыгии В.В. Структуры в касательных расслоениях, определяемые локальными алгебрами // Всесоюз. геометр, шк. «Дифферепциалыго-геометричес-кие структуры па многообразиях и их приложения». Черновцы. 1991. С. 156 164. Деп. в ВИНИТИ 05.02.91, 562-В91.
92. Широков А.П. К геометрии орисфер пространства Лобачевского // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1991. Вып. 21. С. 118 124.
93. Широков А.П. Аналоги преобразований Лагерра в плоскости и в пространстве Лобачевского // Сб. «Памяти Лобачевского посвящается». Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1992. Т. 2. С. 107 118.
94. Широков А.П. Пространство H4 и алгебра кватернионов // Труды геом. семинара. -Казань: Казап. гос. уп-т, 1997. Вып. 23. С. 187 198.
95. Широков А.П. Пространства над алгебрами и их применения // Современная математика и ее приложения (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). М., 2002. Т. 73. С. 135 161.
96. Широков П.А., Широков А.П. Аффшшая дифференциальная геометрия. М.: ГИФМЛ, 1959. 320 с.
97. Широков П.А. Тензорное исчисление. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1961. 448 с.
98. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1966. 432 с.
99. Шурыгии В.В. Обобщение одной теоремы // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1979. Вып. 11. С. 120 124.
100. Шурыгии В.В. Проектируемые геометрические объекты па расслоении А-струй // Труды геом. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 1990. Вып. 20. С. 120 126.
101. Шурыгии В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй // Успехи матем. паук. 1993. Т. 48, Вып. 2. С. 75 106.
102. Шурыгии В.В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля // Современная математика и ее приложения (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). М., 2002, Т. 73. С. 162 235.
103. Шурыгии В.В. О строении полных многообразий над алгебрами Вейля // Изв. вузов. Математика. 2003. 11. С. 88 97.
104. Шустова Е.П. О взаимосвязи геометрий касательного расслоения третьего порядка и суммы Уитпи // Труды геом. семинара. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1997. Вып. 23. С. 211 221.
105. Шустова К.П. О преобразованиях Лагерра в трехмерном псевдоевклидовом пространстве и их аналогах в идеальной области пространства Лобачевского // Труды геом. семинара. Казань: Казап. гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 187 194.
106. Яглом И.A4. Комплексные числа и их применение в геометрии // Матем. просвещение. 1961. 6. С. 61 106.
107. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie II. Affine Differentialgeometrie. Berlin: Springer, 1923. 272 S.
108. Bowman R.H. Concerning a problem of Yano and Kobayaslii // Tensor. 1972. V. 25. P. 105 112.
109. Bushueva G.N., Shurygin V.V. On the higher order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent, manifolds // Lobaclievskii J. of Math. 2005. V. 18. P. 53 105.
110. Ehresmann С. Les prolongements d'une variété différentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal // C. R. Acad. Sei. 1951. T. 233, F. 11. P. 598 600.
111. Ehresmann С. Les prolongements d'une variété différentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de V„ dans Vm // C. R. Acad. Sei. - 1951. - T. 233, F. 15. - P. 777-779.
112. Houh Ch.-S., Ishihara Sh. Tensor fields and connections on a cross-section in t.lie tangent bundle of order r // Kodai Math Semin. Repts. - 1972. - V. 24, No 2. - P. 234-250.
113. Kainz G., Michor P. Natural transformations in differential geometry // Czech. Math. J. 1987. V. 37. P. 584 607.
114. Kolâf I. Covariant. approach to natural transformations of Weil functors // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1986. V. 27. P. 723 729.
115. Kolâf I., Michor P.W., Slovak J. Natural Operations in Differential Geometry. Springer, 1993. 434 p.
116. Li A.M., Simon V., Zhao G. Global affine differential geometry of liypersurfaces. Berlin, New York: De Gruyt.er, 1993. 328 p.
117. Morimoto A. Prolongation of G-structures to tangent bundles of higher order // Nagoya Math. J. 1970. V. 38. P. 153 179.
118. Morimoto A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order // Nagoya Math. J. 1970. V. 40. P. 99 120.
119. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points // J. Different. Geom. 1976. V. 11, No 4. P. 479 498.
120. Patterson L.-N. Connexions and prolongations // Canad. J. Math. 1975. V. 27, No 4. P. 766 791.
121. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewöhnlichen komplexen Funktionen // Berichte Sachs. Akad. Wiss. 1893. Bd. 45. S. 828 842.
122. Schirokov P.A., Schirokov A.P. Affine Differentialgeometrie. Leipzig: Teubner, 1962.
123. Simon U., Schwenk-Schellschmidt A., Viesel H. Introduction to the affine differential geometry of liypersurfaces. Lecture Notes. Science Univeresity of Tokyo, 1991. 162 p.
124. Study E. Geometrie der Dynamen. Lepzig, 1902. 603 S.
125. Vanzura J. On the geometry and topology of manifolds over algebras // Weit.erbildungs-zent.r. Mat.li. Kybern. und Recheiit.echii. Sect. Mat.li. 1978. V. 28. P. 133 136.
126. Weil A. Théorie des points proches sur les variétét.es différentiables // Colloque internat, centre nat. rech. sei. Strasbourg, 1953. V. 52. P. 111 117.
127. Yano K., Ishihara S. Fibred spaces with project.able Riemannian metric // J. Diff. Geom. 1967. No 1. P. 71 88.
128. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. N. Y.: Marcel Dekker, 1973. 423 p.
129. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. I. General theory // J. Mat.li. Soc. Japan. 1966. V. 18, No 2. P. 194 210.
Поступила в редакцию 22.11.07
Фомин Виктор Егорович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: Victor.Fomin.eksu.ru
Шурыгин Вадим Васильевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой геометрии Казанского государственного университета. E-mail : Vadim. Shurygin Oksu. ru
