Оценка размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения t( m) со связностью полного лифта Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 2 Физико-математические науки

2014

УДК 514.76

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ T(M) СО СВЯЗНОСТЬЮ ПОЛНОГО ЛИФТА

А.Я. Султанов, Г.А. Султанова

Аннотация

В работе получены точные оценки размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения T(M) со связностью полного лифта в случае, когда база M является непроективно-евклидовым пространством специального случая.

Ключевые слова: дифференцируемое многообразие, полный лифт связности, инфинитезимальное аффинное преобразование, вертикально-векторное поднятие аффинора, горизонтально-векторное поднятие аффинора, алгебра Ли, непроективно-евклидово пространство.

1. Основные сведения

Пусть M - связное дифференцируемое многообразие класса Cразмерности n, A - алгебра дуальных чисел R(e) = {аое0 + aie1 | a,b G R, е0 = 1, (е1)2 = 0}, A* - пространство линейных форм, заданных на A со значениями в R, (eo,ei) -дуальный базис к базису (е0, е1). Возьмем касательные пространства Tp(M) к многообразию M в точках p G M. Тройка (T(M),n,M), где

t(M) = и TP(M), рем

называется касательным расслоением над многообразием M , а каноническая проекция п : T(M) ^ M определяется условием n(tx) = x, tx G T(M). Для функции f G CX>(M) функция f(o) = f о п называется вертикальным лифтом функции f c базы M в его касательное расслоение T(M). На T(M) возникает естественная структура гладкого многообразия над полем действительных чисел, атлас которого состоит из координатных окрестностей вида (n-1(U), x0, x\). Закон преобразования координат при переходе от локальной карты (n-1(U), x0, x\) к локальной карте (n-1(V), x0, x\) имеет вид [1]

= x0(

0 x0,

>xo),

( dx1 \

\vdxk J

(0)

1

0

k

x

1

1

(1.1)

Приведем определения полного лифта функции, лифтов векторных полей, полного лифта линейной связности V с базы в касательное расслоение T(M).

Пусть f - функция класса C, заданная на M. Функция f(1) = (dj f )(0)x2 называется полным лифтом функции f с базы M в его касательное расслоение T(M).

43

44

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

Для произвольного векторного поля X G Зд(М) на T(М) вертикальный X(1) и полный X(0) лифты определяются условиями

X (1)/(i) = (Xf )(0),

X (1)/(0) =0, (1.2)

X (0)f(a) = (Xf )(а), а = 0,1,

для любой функции / из алгебры CЖ>(М). В локальных координатах векторные поля X(1), X(0) имеют вид X(1) = X0д1, X(0) = X0д0 + X1 д1 соответственно, где

X0 = (X 1)(0), Xf = (djX1 )(0)x1.

На многообразии T(М) существует единственная линейная связность V(0), удовлетворяющая условию

vXJ),,) Y(b) = (Vx Y )(аЬ), (1.3)

где X,Y G 3g(M), a, b G A. Такая связность называется полным лифтом линейной связности V [1, 2].

2. Инфинитезимальные аффинные преобразования в касательных расслоениях со связностью полного лифта

В настоящей работе мы будем предполагать, что линейная связность V не имеет кручения.

Определение 2.1. Векторное поле X называется инфинитезимальным аффинным преобразованием связности V(0) касательного расслоения T(M) тогда и только тогда, когда

LX V(0) =0.

В некоторых случаях связность V(0) для удобства будем обозначать через V.

В координатной форме это уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

дрвXI + Г^d?X? + Г- двXm - Г«вттдттXI + X^j = 0. (2.1)

Условия интегрируемости системы (2.1) представляют собой соотношения

Lx VkR = 0, к = 0,1,...

При к = 0 считаем, по определению, V0R = R. Поэтому первая серия условий интегрируемости Lx R = 0 в локальных координатах будет равносильна системе алгебраических уравнений уравнений

Rrfipi a am I Rarpi двт . ra@ri a pm _ Rarpm at1 + хmдт Ra@A RmklaAjT + RjmlaAkr + RjkmaAIt Rjklr Ama + xt RmRjkla

0,

(2.2)

m.

где Apm = дрXT

Систему (2.2) представим в развернутой форме, придавая индексам а, в, а, И значения 0, 1. Тогда

0,

Rm A11 Rjkl Am0

1 1m

RmklAj0 = °,

1 0m 1

Rmkl Aj0 ' RjmlAk0

0m 1 0m m 01 m 11 m 0 1

Ak0 + Rjkm Al0 Rjkl Am0 (Rjkl )(1)Am0 + X0 дmRjkl 0,

1 0m 1 0m 1 0m 1 0m 1 0m

(Rmkl) (1) Aj0 + (Rjml) (1) Ak0 + (Rjkm) (1)Al0 + RmklAj1 +Rjml Ak1 +

+RjmA0m - RmklAmp1 - (Rmkl)(1)Ami1+X0^m д^^р+xmдm

R

0,

1i

0m m 0i m 1i i 1m i 1m m 1i

mklAj0 + RjklAm0 + (Rjkl)(1)Am0 + (Rmkl) (1) Aj0 + Rmkl Aj1 Rjkl Am1

(2.3)

0.

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

45

Систему (2.3) мы рассмотрим, учитывая структуру инфинитезимального аффинного преобразования X.

Известно, что инфинитезимальное аффинное преобразование X полного лифта линейной связности без кручения rjk в касательное расслоение T(М) имеет вид [3]

X = X(0) + Y(1) + yG + F Hy , (2.4)

где X, Y - векторные поля, F, G - тензорные поля типа (1,1) на многообразии M, удовлетворяющие условиям

Lx V = 0; (2.5)

Ly V = 0; (2.6)

VG = 0; (2.7)

VF = 0; (2.8)

Ri Fm Rm F i 0; RmklF j RjklFm u> (2.9)

Ri /om 7~>m /oi rj Rmkl Gj Rjkl Gm = °. (2.10)

Здесь векторное поле yG в локальных координатах определяется условием

YG = Gj хЩ

и называется вертикально-векторным поднятием аффинора G. Векторное поле FHy , в локальных координатах имеющее вид

FH = Fj х 1 Dj,

где Dj = dj - гРзх! д1, называется горизонтально-векторным поднятием аффинора F .

Теорема 2.1. Разложение инфинитезимального аффинного преобразования в виде (2.4) - единственное.

Доказательство. Достаточно установить, что если X = X(0) + Y(1) + yG + + FHy = 0, то тензорные поля X = Y = 0, G = F = 0.

Для любой функции f € CЖ>(М) имеем

X f(0) = X (0)f(0) + F Hy f(0) =0,

X f(i) = Y (1)f(i) + YGf(i) =0.

Полагая в этих равенствах вместо f координатные функции хг, получим

(Xi )(0) + Fj х{ =0,

(Y i)(0) + Gj х{ =0.

Откуда следует, что X = Y = 0, G = F = 0. □

Совокупность всевозможных инфинитезимальных аффинных преобразований образует алгебру Ли относительно операции коммутирования. Алгебру Ли векторных полей вида (2.4) обозначим через L, через La, а = 0,1, - множество векторных полей вида X (“) , через L2 и L3 - соответственно совокупности векторных полей вида yG и FHy , входящих в разложение (2.4).

46

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

Из условий (2.5)—(2.10) заключаем, что каждое из множеств L0, L1, L2, L3 замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр из R, то есть они являются векторными пространствами. При этом в силу теоремы 2.1 векторное пространство L представляет собой прямую сумму подпространств L0, L1, L2, L3 . Поэтому

dimRL = dimRL0 + dimRL1 + dimRL2 + dimRL3.

Теорема 2.2. Подпространства L0, L1, L2, L3 являются подалгебрами алгебры Ли L.

Доказательство. Для векторных полей X G 3g(M) имеем [1]

[X (0),Y(0)] = [X, Y ](0), [X (1),Y(1)] = 0.

Отсюда следует, что подпространства L0 и L1 являются подалгебрами алгебры Ли L, причем подалгебра L1 - абелева.

Для тензорных полей P, G G ^(М) вычислим коммутаторы [7P, yG, [Pн-у, gHy], используя локальные координаты на T(M):

[7P,7G]

[pm xk dm,Gp x\di] =

— pm kpis о 1 (~<s P pm о 1

= pk x1 Gm ds Gpx1 ps dm

( Pk G m

Gmpm )xkd

1.

s .

Пусть Gk = PmiGSm — GmPm. Вычислим ковариантную производную VGp :

V; Gk

vPmG

s

m

Gmvi Pm,

0

в силу условия (2.7) разложения (2.4). Прямые вычисления показывают, что (Gk удовлетворяют равенствам (2.10). Отсюда следует, что L3 * является абелевой подалгеброй алгебры Ли L.

Перейдем к вычислению коммутатора [PHy , GHl]. Имеем

[PHY, GH ] = [Pj хЩ — Pj x\TPsx{d1p,GkmXm dk — Gkmxmnz xZ d\] =

= (Pj dj Gm—Pj rmj Gk — Gmdj Pk+GmrpP )xmxid°+

+ (—Pj дй Gm+Pj rpmGkp+Gmdj Pk — GmrpPk +

+ Pj Gkm (—dj rks + dk j + rpsrkp — rpsr’p )xmx‘x? dj =

= (Pj Vj Gkm — GmVj Pk )xmxi(d° — T\sx\d1) + Pj GlRlkj xmx1 x\d\ =

= (Pj v j Gm — Gmvj pp )xm xd+Pj Gm Rikj xm^d.

Откуда вытекает, что если PHy,GHy принадлежат L3, то в силу равенств (2.8), (2.9) имеем [PHy,GHy] = 0, то есть L3 - абелева подалгебра алгебры Ли L. □

3. Условия интегрируемости уравнений инфинитезимальных

аффинных преобразований для векторного поля вида (2.4)

Рассмотрим первую серию условий интегрируемости (2.2) системы (2.1) применительно к разложению (2.4). Подставив (2.4) в (2.3), получаем следующую систему

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

47

уравнении:

Rinkidjxm + Щт1дкxm + Щктдхт - RmkldmX0 + V0mdmRjkl = 0, W + RjkndiY0m - Kkidmrj + Y0mdmRjki = 0,

jml дк Y 0

туг f) \rm | ту

Rmkl dj Y0 + R

RTki FL = o, RLki Fjn = o,

туг s~im тут /уг

Rmkl Gj Rjkl Gm

Дг о тут | с>г f) тут i туг о тут T?m ^ туг тут туг .о тэг тут _

mkl dj F p + RjmlдkF p + RjkqдlГ p Rjkl дт-Т p dpRjklF т + дqRjklГ p 0,

dq Rlkl dj Xт + dq Rjjml dk Xт + dq RjkmdiXт + Rimkldj (dq Xт + От)+

+RjmldkдVm + Gq) + Цктдг(дчXm + Gq) - Rqkldm(dqX + Gq)-dq Rqkl дтХ X - dq + Хт СпС, Rjkl + дтЩЫ(дЧ Хт + G'q) = 0, (3.1)

д, &тк1 dj Ггт + д, Rj^k Рт + д, R^ Ггт - (^ FP)-

- Rj^k(ГПгFp) - ^тд^тFp) + Rqklдq(ГгprFp) + с,RqklГгpqFp+

R

Jq RjklL pr1 т

rnkldj Fq + ^k^p + dp^^ + dpЩпЫЧ

+ dq jrprFp, + FqСпС,Rjkl - rprFPдqR

■ prF q СтRjkl

!т _ R1 гт Fq_

Г j Rq kF qj Fp

RqklrpF j ' Rjkl,пFp ' RjkF rpF т

Систему (3.1) можно представить в виде следующих соотношении:

0

0

сГ (3.2)

сГ (3.3)

m г г m Rj klF т = 0, Rqkl Fj = 0, (3.4)

туг /~т тут /уХ гч RqklGj - Rj kl = °* (3.5)

Равенства (3.2) и (3.3) являются условиями интегрируемости для уравнений (2.5), (2.6), а равенства (3.4), (3.5) совпадают с условиями (2.9), (2.10) разложения (2.4) соответственно.

4. Оценка размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения T(M) со связностью полного лифта в случае, когда база является непроективно-евклидовой специального случая

Линейная связность, заданная на (M, V) (п > 2), является непроективноевклидовой тогда и только тогда, когда тензорное поле Г. Вейля этой связности отлично от нулевого. Это условие локально эквивалентно выполнению одного из следующих условий [4].

I. Существует карта гладкого атласа (U,<р) такая, что составляющая тензорного поля кривизны вида Rгр2г2гз отлична от нуля для некоторых попарно различных индексов.

II. В каждой карте (V,p) все составляющие тензорного поля кривизны вида Rx2г2гз равны нулю, но существует карта (U,<р) такая, что составляющая вида Щ\г3г4 отлична от нуля для некоторых попарно различных индексов.

В этой части работы мы рассмотрим случай I.

И.П. Егоровым установлено [5], что размерность алгебры Ли g(M) инфинитезимальных аффинных преобразований непроективно-евклидова пространства

48

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

(M, V) не более n2 — 2n + 5. Из рассмотренного выше следует, что для пространств разложения (2.4)

dimL0 + dimL1 < 2n2 — 4n + 10.

Оценим размерность подалгебры L2. Для этого рассмотрим пространство решений уравнения VG = 0, равносильного в локальных координатах системе дифференциальных уравнений первого порядка

dj G\ — GprPj + G^l =0

P kj

k Pj

(4.1)

где G e 31(M).

Предложение 4.1. Первую серию условий интегрируемости системы (4.1) можно записать в виде

GmRmji — &тКц = 0. (4.2)

Доказательство. Продифференцируем уравнения (4.1) по di, получим

0, (4.3)

didj Gk — diGprkj + Gpdirkj + diGk rpj + Gk di rpj

В соотношениях (4.3) поменяем индексы l и j местами и из (4.3) вычтем полученные соотношения. В результате будем иметь

—di Gp rPj + dj Gprpi + Gpdi Г1 — Gpdj ГР, + diGP rpj — dj Gk Гр7 + Gpdirpj — Gk dj Г

Pdi±- kj

rPki + diGPk rpj —dj Gk Грг

kdi'-pj —Gk dP-pi

0,

Переходя к ковариантным производным в этих уравнениях и учитывая, что VG = 0, получим равенство (4.2).

□

Уравнения (4.2) дают соотношения вида T(Jkim\i )Gm = 0, где по определению

T(iim\h ) = ShkRjim — SjRhklm.

Рассмотрим матрицу B системы, составленную из коэффициентов

j

232

s23

( 1

223

j > 1, s> 2

при неизвестных G\ (i > 1), Gp (к > 2), G\ в уравнениях T(jkim\h )Gm = 0.

Имеем

T(232\\ ) = —SjR\

232,

i, j > 1,

T(\231\ )=0, T(\23\S ) = SskR223, i> 1, к, s > 2,

T(\23\\ ) = 0, T(\23 \k ) = 0, i, s > 1, k> 2, T(\23\1 )

Полагая R^23 = a, получим следующую матрицу B:

B

aIn-1

0

0

*

aIn-2

0

* \ * a

R

1

223.

где Ik - единичная матрица порядка к.

Ранг данной матрицы равен 2n — 2. Следовательно, размерность пространства решений VG = 0 не более n2 — 2n + 2. Для разложения (2.4) заключаем, что dim L2 < n2 — 2n + 2.

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

49

Оценим размерность подалгебры L3. Рассмотрим пространство решений уравнения VF = 0, которое равносильно в локальных координатах системе дифференциальных уравнений

дFk — ПГ% + ПЛз = 0,

где F е 'ЗЦМ). Условия интегрируемости FjmRlmkl = 0, FmR)ml = 0, FJnRljkm = = 0, FnnRki = 0 этой системы дают соотношения вида Na(jkl\nn )F™ = 0, а = = 1, 2, 3, где по определению

Ni(jkl\n ) = SjhRnki, N2(jki\n ) = shkR

k Rjml,

N3 (jkl

hn ) = sn R

h

jkl-

Рассмотрим матрицу C системы, составленную из коэффициентов

Р

223

s23

j ■

s, j > 1

а = 1, 2, 3. Имеем

при неизвестных F{, Fk (к > 1), F3 (l > 1) в уравнениях Na(jkl \nn )F™

i

N3(P23\1 ) = SPRI23,

N1CS23\1 ) = 0, s,k> 1, NiCUf )= Sk R|23,

N2(2j2 \1 ) = 0, N2 (1j2 \2 ) = 0, N2 (2j2\3 )= SjRi32, s,j,l> 1.

Полагая R223 = a, преобразуем матрицу C

— aIn * *

C= ( 0 aIn-1 *

0 0 1 © 1

0,

где Ik - единичная матрица порядка к.

Так как ранг матрицы C равен 3n — 2, то размерность пространства решений уравнения VF = 0 не более n2 — 3п + 2. Отсюда следует, что dim L3 < n2 — 3n + 2. Таким образом, имеет место

Теорема 4.1. Если тензорное поле R связности V имеет в некоторой координатной окрестности составляющую R223 = 0, то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований V(0) не более чем 4п2 — 9п + 14.

Для установления точности оценки, данной в теореме 4.1, рассмотрим пространство (Rn, V), где линейная связность V определяется следующими коэффициентами: Г2з = х2, остальные равны нулю rjk = 0. Тензорное поле кривизны R этого пространства имеет отличные от нуля компоненты R^ = —R232 = 1, тензорное поле Г. Вейля при этом имеет такие же компоненты W223 = — W232 = 1. Иначе говоря, это пространство является непроективно-евклидовым.

Алгебра Ли g(Rn) инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Rn, V) имеет размерность n2 — 2n + 5, базисом которой будут векторные поля [5]:

di, дз, dh

д2 — х2 х3д1, х1д1 + х3д3,

(h > 3), х2д1, х3д1, xsd1 (s > 3), (х2)3

х2д2 + 2х1д1, х2д3------д1, х

хтдк (т > 1, h > 3).

50

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

Вычислим полные и вертикальные лифты этих векторных полей. Полные лифты векторных полей есть

д0, д0, дh (h > 3), x20d1 + x\д\, x0d1 + x\d\, x0d1 + xfdj (s > 3),

д0 — x° x0d0 — x^x^dl — x0x\d\, x0d0 + x\d\ + 2x0d0 + 2x \д\,

x20dl + x\dl — д0 — (x2o)2xld\,x0dol + x \д\ + x0d0 + x\dl,

x^d0 + x^d0 (m > 1, h> 3).

Вертикальные лифты векторных полей представляются следующим образом:

дк, д0, dh (h > 3), x°д\, x\d\, x0d0 (s > 3),

~2o 1 i о™ lo 1

J1, д3j uh \h > x0д

д\ — x^д0, x0дO + 2x0 д i,

г2д1 —

^0д3

(x0)3

3

д1,x(1дl1 + x0д3, x^1 (m > 1, h> 3).

Таким образом, dimL°(Rn) + dimL1(Rn) = 2n2 — 4n + 10.

Условия интегрируемости системы Vj Gh = 0 составляют соотношения

Gi1 =0 (i> 1), Gk =0 (k> 2), G2 — Gl =0.

Общее решение системы дифференциальных уравнений Vj Gh = 0 зависит от n2 — 2n+2 произвольных постоянных и является линейной комбинацией следующих линейно-независимых тензорных полей типа (1,1):

д1 & dx1 +

(x2)2

2

д1 & dx3 + д2 & dx2,

д3 & dx2

(x2)2

2

д1 & dx2,

д3 & dxk

д1 & dx2, д1 & dx3, д1 & dxk (k >

22

(x2)

2

■д1 & dxk (k > 2), д0 & dxk (h

3),

> 3, k > 1).

Базис алгебры L2(Rn) составляют векторные поля вида

22

x1 +

(xo)

2

3 ) д! + x2 д1,

xi

2

x\д1 + xk д3

(k> 1),

xkдк (k > 1),

x\д0 (h > 3, k> 1).

Отсюда следует, что размерность алгебры Ли L2(Rn) инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Rn, V) равна n2 — 2п + 2.

Для тензорного поля F G Э1(М) первая серия условий интегрируемости системы VF = 0 представлена соотношениями

Fi =0, F2 =0 (k> 1), F3 = 0 (l> 1).

Общее решение системы Vj Fh = 0 зависит от n2 — 3n + 2 произвольных постоянных и является линейной комбинацией следующих линейно-независимых тензорных полей типа (1,1):

д1 & dxk (k > 1), д0 & dxk (h > 3, k > 1).

Hy-лифты этих тензорных полей образуют базис алгебры L3(Rn) и имеют вид xkд° (k > 1), xkд0 (h > 3, k > 1).

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

51

Следовательно, размерность алгебры Ли L3(Rn) инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Rn, V) равна n2 — 3n + 2.

Учитывая, что пространство L(Rn) есть прямая сумма подпространств L°(Rn), L1 (Rn), L3(Rn), L3(Rn), будет иметь место

Теорема 4.2. Размерность алгебры Ли L(Rn) инфинитезимальных аффинных преобразований пространства T(M) равна 4n2 — 9n + 14.

5. О верхней границе размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований синектического расширения полного лифта линейной связности

А.П. Широкова на касательное расслоение

На касательном расслоении T(M) гладкого многообразия M можно построить синектическое расширение VSh А.П. Широкова полного лифта V(0) линейной связности V с помощью тензорного поля Г1 типа (1,2), заданного на базе M расслоения. Линейная связность VSh определяется условием

V^ Y(b) = V% Y(b) + (ri(X,Y ))^ab) (5.1)

для любых векторных полей X,Y G 3q(M) и любых дуальных чисел a, b из алгебры R(e) дуальных чисел над полем R. В равенстве (5.1) полагаем е1 = е; единицу алгебры R(e) = {x + ye | x,y G R} мы обозначим через е0. Это позволяет сократить записи выражений. Например, вместо записи X(е ) будем использовать запись X(а), а = 0,1.

Из определения связности VSh А.П. Широкова следуют тождества вида

VSh(o) y (0) = (Vx Y )(0) + (ri(X,Y ))(1),

V|h(o) Y(1) = (Vx Y )(1),

V|hd) Y(0) = (Vx Y )(1),

VXh(D Y(1) =0.

Обозначим через TSh, и RSh тензорные поля кручения и кривизны связности VSh соответственно. Предположим, что синектическая связность VSh не имеет кручения: TSh = 0. Тогда имеет место

Теорема 5.1. Если тензорное поле Г. Вейля WSh связности VSh равно нулю, то связность VSh локально плоская, то есть RSh = 0.

Доказательство. Пусть в точке tx касательного расслоения T(M) WSh(tx) = = 0 .В координатной окрестности (n-1(U ),x}},x\) все компоненты тензора WSh(tx) = 0 будут равны нулю:

WfX (j, д"1 ,д«) =0

для всех а, в, Y = 0,1 и i,j,k = 1, 2,...,n. Тогда компоненты ^^^(дв,дк. )df тензора кривизны RSh в точке tx будут удовлетворять соотношениям [4]

RjYh

tj ka

1

2n +1

sh sa

+

1

- ReY

Rjk

+

4n2 1

2nRaJ + Reashsa

— (2nR«Y + R^ShS^) , (5.2)

52

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

где Rj - компоненты тензора Риччи связности VSh. В силу коммутативности алгебры дуальных чисел компоненты ROkJ1, будут инвариантными при лю-

бых перестановках индексов а, в, y (здесь использован символ Д для обозначения RSh).

В соотношениях (5.2) поменяем а и в местами и полученные соотношения вычтем из (5.2). В результате получим

0 = 5b[(s^Rk - RfY) - sj (RPj - Щ2)) -

- ъ-i б (2n б Rk - saR%) + б* Ra - saRie)) ■

Свернем эти соотношения по а и а. Тогда

4 Re - j) + 2n^T j R (RSY + <)) =

-1 j

Полученные соотношения свернем по индексам i и h:

»I ry* - Rli) + 2nLT j (2» R;+)) = »■

Отсюда

n +

Rie+

2n

nR

2n — 11 V " kj V 2n — 1 I j k

*

0.

Учитывая, что R^j = R^J, и поменяв местами j и к, из (3) находим

- ») R-lj + (» + 2R-1

2n — 1 / kj V 2n - 1

Rjk = »■

(5.3)

(5.4)

1

Из соотношений (5.3) и (5.4) следует, что Rjk; = 0. Следовательно, RSh = 0.

* □

Следствие 5.1. Если линейная связность VSh не является локально плоской, то она не является и проективно-плоской.

На основании следствия 5.1 и теоремы И.П. Егорова о том, что максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований непроективно-евклидовой линейной связности без кручения не больше чем d2 -- 2d + 5, где d - размерность пространства, заключаем, что имеет место

Теорема 5.2. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения T(M), снабженного синектической связностью VSh А.П. Широкова, не больше чем 4n2 - 4n + 5 при условии, что VSh не является локально плоской.

Рассмотрим теперь на T(M) синектические связности VSh с отличными от нуля тензорными полями кручения TSh .

Теорема 5.3. Если TSh = 0, то не существует 1-формы Ф, удовлетворяющей тождеству

TSh(X(a),Y(b)) = Ф(X(a))Y(b) - Ф(Y(b))X(a), (5.5)

a,b e R(e), X, Y e Z0(M).

ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

53

Доказательство. Пусть tx - произвольная точка касательного расслоения T(M), (л-1,хг0,х\) - координатная окрестность, содержащая эту точку. Предположим, что существует 1-форма Ф, удовлетворяющая тождеству (5.5). Тогда для векторных полей да имеем

Положим

TSh (да,дв) = T 5Ъ(да,дв)

ф?дв - Фвда.

Tjahdl.

В силу коммутативности алгебры R(e) имеем

(5.6)

T Sh(da,dj) = T Sh(de ,да).

Поэтому соотношения (5.6) можно переписать следующим образом:

Фадв - Фвда = Фвда - Фадв.

г г 3 ь

Отсюда

ФаЗн5в - Фв5к5а = Фв5к5а — Фа5}15в

г j а зга г j а 3га

Свернем эти соотношения по а и а:

ЙФв- 25hфв

2Фв sh - Фв sh.

Значит,

Фв sk + Фв sh

0.

Свернув полученные соотношения по h и i, получим

(п + 1)Фв = 0,

откуда Фв = 0.

Итак, TtSh = 0 в каждой точке расслоения T(M), что противоречит условию TSh = 0.

□

Доказанная теорема позволяет оформулировать

Следствие 5.2. Если TSh = 0, то для любой 1-формы Ф, заданной на T(M)

TSh = Ф <g> I - I <g> Ф,

где I - единичный аффинор на T(M).

На основании следствия 5.2 и известного результата И.П. Егорова заключаем, что имеет место

Теорема 5.4. Если тензорное поле кручения TSh ненулевое, то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований синектической связности VSh на T(M) не больше чем 4п2 - 4п + 6.

Summary

A.Ya. Sultanov, G.A. Sultanova. An Estimate of the Dimension of the Lie Algebra of Infinitesimal Affine Transformations in the Tangent Bundle T(M) with Complete Lift Connection.

In this article we obtain the exact dimensions of the Lie algebra of infinitesimal affine transformations in the tangent bundle T(M) with a complete lift, when the base M is a nonprojective Euclidean space of special type.

Keywords: differentiable manifold, complete lift connection, infinitesimal affine transformation, vertical-vector lift of affinor, horizontal-vector lift of affinor, Lie algebra, non-projective Euclidean space.

54

А.Я. СУЛТАНОВ, Г.А. СУЛТАНОВА

Литература

1. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles: differential geometry. - N. Y.: Marcel Dekker, Inc., 1973. - 423 p.

2. Султанов А.Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов, Матем. - 1994. - № 9. - С. 64-72.

3. Шадыев X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении // Труды геом. семинара. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1984. - Вып. 16. -C. 117-127.

4. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

5. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. - M.: Либроком, 2009. -184 с.

Поступила в редакцию

07.05.14

Султанов Адгам Яхиевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры «Алгебра и методика обучения математике и информатике», Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия.

E-mail: [email protected]

Султанова Галия Алиевна - аспирант кафедры «Алгебра и методика обучения математике и информатике», Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия.

E-mail: [email protected]