Рычажные механизмы в системах балочного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

 МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ 0

[ЩЩ оо оо

1

Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. УДК 665.01

РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ В СИСТЕМАХ БАЛОЧНОГО ТИПА

Введение рычажных механизмов для изменения динамических свойств колебательных механических систем различной степени сложности рассматривалось в работах [1,2,3] и др., что позволяет сделать ряд выводов о возможных новых эффектах. Одним из таковых усматривается в структурных изменениях, связанных с так называемой идеей «разнесения точек» соединения элементов в последовательных и параллельных схемах, а также формировании приведенных массо-инерци-онных, демпфирующих и упругих параметров системы [4,5,6].

Вместе с тем, рычажные соединения могут быть использованы для получения и других эффектов, характерных, например для замкнутых механических систем [2] или специальных технических устройств [3].

В качестве базовой схемы может быть рассмотрена система, представленная на рис.1.

Выражения для кинетической и потенциальной энергии системы определяются по обычной методике [4] и имеют вид

Т = 1 Му2 +1 2 +111 Ф 2 +132 Ф 2, (1)

Рис.1. Расчетная схема упругого подвеса с двумя рычажными механизмами.

11

П = 2 к1( У1 "Ф1 11 )2 + 2 к0( Ф1 12 -Ф 2 73)2 +

12

+ 2к2 ( У2 -Ф214 ) ,

где принят ряд обозначений:

(2)

у 1Ь 2 + у 2 Ьх у 1 + у 2 / //

у = ■/ 1 2 Ь 2 1. Ф = Ь Ь 2. у / = 11Ф у // = 12 Ф

I 2 + 2

у 2 = 14Ф у// = 1 зФ Ь1, Ь2 - расстояние до центра масс твердого тела; 11,12,13,14 - плечи рычагов; 72 - моменты инерции рычагов; М и 7 -соответственно масса и момент инерции твердого тела; к1, к2, к3 - жесткости упругих элементов.

Дифференциальные уравнения движения для системы, приведенной на рис.1, имеют вид (при отсутствии внешних воздействий):

у 1

у 2

МЬ22 + 7

(Ь1 + Ь 2 ) 2 (¿1 + Ь 2 )

2 МЬ1 ¿2 ч2 + к1 ух -к1 Ф1 11 = 0 (3)

МЬ2 + 7 .. МЬ, ¿2 -7 . , л

77-+ к 2 у 2 - к 2 Ф 214 = 0

(Ь1 + Ь 2)2 (Ь + Ь2 )

71 Ф1 + к1 Ф1 112 - к1 у1 11 + к0 122 Ф1 - к0 12 13 Ф 2 = 0

72 Ф 2 + к2 Ф 2 142 - к2 у 214 + к0 132 Ф 2 - к0 12 13 Ф1 = 0.

иркутским государственный университет путей сообщения

Рис.2. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ, соответствующая рис.1, где

приняты обозначения: А =

МЦ2, + Л „ МЩ - Л ML2 + J

в =

; с=-

(Ц + L2 )2 (Ll + L2 )2 (Ll + L2 )

2

Структурная схема, соответствующая системе (3), приведена на рис.2.

Так как в системе на рис.2 существует не-планарная связь, то уравнения (3) лучше привести к унифицированной форме, используя метод определителей [1]:

а11 У1 + а12 У 2 + а13 У 3 + а14 У 4 = 0,

а 21 у 1 + а 22 у 2 + а 23 У 3 + а 24 У 4 - 0,

а 31 У1 + а 32 У 2 + а 33 У 3 + а 34 У 4 - 0, (4)

а 41 У1 + а 42 У 2 + а 43 У 3 + а 44 У 4 - 0,

где а11 - ар2 + кх, а12 - вр2, а13 --кх 11, а14 - 0, а21 - вр2,

2 а22 -Ср2 + к2, а23 -0, а24--к, 14,

11 24

а31 к1 11 ,

11

32

а33 - 31 р 2 + к1112 + к012 ,

0 2

а34 --к012 13, а41 - 0, а42 --к2 14, а43 --к012 13,

а44 - 3 2 р 2 + к 2 142 + к 01 ^ У 3 -Ф 1, У 4 -Ф 2.

Тогда можно записать:

а 22 а 23 а 24 а12 а13 а14

А-а11 а 32 а 33 а 34 - а 21 а 32 а 33 а 34 +

а 42 а 43 а 44 а 42 а 43 а 44

1 2 а13 а14 1 2 а13 а14

+а 31 а 22 а 23 а 24 -а 41 а 22 а 23 а 24

а 42 а 43 а 44 а 32 а 33 а 34

(4)

Д1 -

-а

А 2 -

-а

А 3 -

-а

А 4 -

-а

23 24 а 33 а 34 алл

- а0

а 33 а 34 43 а 44

а 23 а 24 а 23 а 24

+ а 42

а 43 а 44 а 33 а 34

а12 а13 а14

а 33

а 32 а 33 а 34 - а12 а 43

а 42 а 43 а 44

а13 а14 а13 а14

+ а 42

а 43 а 44 а 33 а 34

а12 а13 а14

а 23

а 22 а 23 а 24 - а12 а 43

а 42 а 43 а 44

а13 а14 а13 а14

+ а 42

а 43 а 44 а 33 а 34

12 13 14 а 22 а 23 а 24

а то а ТЗ а Т/1

- а,

а13 а14 а13 а14

+ а 32

а 33 а 34 а 22 а 24

(6)

(7)

(8)

(9)

где А - соответствует частотному уравнению системы, приведенной на рис.2.

Представим определитель четвертого порядка в виде

А-а11 А1 -а21 А2 + а31 А3 -а41 А4 , (5)

и раскроем А. (г - 1,4), используя миноры

В выражениях (6)-(9), в свою очередь, соответственно найдем

- ^33^44 - а34 а43;

^23^44 ^24 ^43'

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

= а13а44 а14 а43;

а,, а,

= а23а34 а24 а32 ;

Лу 1 + ву 2 + к1 у1- к111Ф1 = а

С^ + Ву^ 1 + к2 у2 - к214 Ф2 = 0, (12)

Ф1 ( к1 12 + к0 122 )-у1 к1 11 - у 2 к0 12 13 = 0 Ф 2 (к2 142 + к0 132 )-у 2 к2 14 - у1 к0 12 13 = 0.

Вводя обозначения: а = к112 + к 012; а1 = к 214 а; Ь = к2142 + к) 132; Ь = к0 к 111213;

С1 = аЬ - к0, 12 13 ; С2 = к1 к2 11 14 + к1 к0 11 13 + к0 к2 12 14 ;

а2 = Ьк111 ; Ь 2 = к0 к2 12 1314 ,

получим

к 1

1 + Ву 2 + к1 у1--L-L (у 1 а 2 + Ь 2 у 2 )= О,

Су2 + ву 1 + к2 у2 - ^(у2 а1 + Ь, у, ) = 0. (13)

1

1

Подставляя (6)^(9) в (5) и произведя некоторые преобразования, получим выражение (5) в виде

Д = р6{(ЛС -ЛB)[JlJ2 + 71(к2 + к0''2) + +72 (к + V?)] + к1(Л + С)| + р4 {(АС - АВ) х

х( ¿^21112 + ¿0ад212 + + кк21212) + л(7к К12 + (10)

+72 ( к1к2 + к к2г2 )) + с(71( к1к2 + к0 к'22) + +л ( к + к2/2))}+р2 {л( к0 кк 1212 + к кк 111213) +

+ ¿{¿2^13 +Вк ¿!к21^213^ + ¿0 к^ к2121314 ¿2 14 — 0,

■ 12 - 13

где '1 = -р '2 = у-11 14

Полагая, что к0к2 к2112121314 -к12 к211 ^ = 0, получим частотное уравнение в виде

Д = р 6{(АС - АВ)[/172 + 71( к2 + к''2) + +72 ( к1 + к2г12)] + 7172 к1(Л + С)| + +р4 {(АС - АВ)( к1к212142 + к0 к1112132 + +¿0 ¿21212 ) + Л(71к0 ¿212 + Л ( к ¿2 + ¿0 ¿¿2)) + (11) + с(71 (¿к + к2''2 ) + 72 ( к + к2г2 +

+р2 {л( ¿0 кк А2132 + ¿0 ¿к 13) +

+Ск0 к1к2122132 + Вк0 к1к2111213} = 0.

Серьезные упрощения можно получить, принимая 71 = 0, 72 = 0. В этом случае, система (3) может быть приведена к виду:

Полагая, как и выше, что — = ^ и — = г2,

11

1

найдем

ЛУ1 + ву 2 + у 1

к1 к2 к0 ' 71 72

к1 к2 + к0к2 71 + к1 к072

= 0,

-у _к1 к 2 к 0 'М^_

к1 к 2 + к 0 к 2 ''1 + к1 к 0 'И

к к к '2 72

Су 2 + ВУ1 + у к1 ¿2 ¿0 71 '2

к1 к2 + к0к2 71 + к1 к072

у

_к1 к 2 к 0 ' 71 72_

к1 к2 + к0 к2 71 + к1 к072

= 0,

СУ 2 + Ву 1 + у 2

к1 к2 к0 ' 71 '2

¿1 к2 + ¿0 к2 ''1 + ¿1 ¿0 ' ц

-у1

к1 к2 к0 '71 '2

(14)

¿1 ¿2 + ¿0 ¿2 ''1 + ¿1 ¿0 ' ц

= 0.

На рис.3, 4 показаны полная и приведенная (71,72 = 0) структурные схемы эквивалентной САУ, соответствующей рис.2.

Особенностью перекрестных связей, на структурной схеме (рис.3) является то, что они симметричны и зависят от соотношения параметров механической цепи. Однако, структура передаточной и перекрестной связи такова, что при 5 > 0 связь не может принимать нулевое значение. Учитывая то, что В определяется

по формуле В =

МЬ1Ь 2 - 7

( Ь1 + Ь 2 )2

, тогда при опреде-

ленных условиях выполняется соотношение 7 > МЬ1Ь 2.

иркутский государственный университет путей сообщения

Рис.3. Структурная схема эквивалентной САУ.

При внешнем воздействии, например, в виде силы Р, приложенной в точке I (рис.4), передаточная функция по у 2 имеет вид

Я

Ш - -

Р (Ар2 + Е )(Ср2 + Е)- Я2'

(15)

а частотное уравнение на основе (15) после некоторых преобразований соответственно -

р4 [АС - В] + р к2к2к22 (г\2/22 -1)/2/

Е( А + С ) + 2 Вк0 к к 2* 2

(16)

- 0,

где Е -

к1к2 к0 'г1* 2

к^ к2 + к к2 /1 + к1 к0 / 2

сх — к1 к2 + 2 к к2 к0 + 2 к1 к0 /2 + +2 к2 к1 к2 * 2 + к0 к2 + к0 к1 * 2 , Р - к1 к2 + к к2 /1 + к1 к0 /2.

Е( А + С )■

2 Вк0 к1 к211/2

(18)

[АС - В]

Отметим также, что в системе возможно и динамическое гашение, если рассмотреть передаточную функцию

Ср2 + Е

Ш -*-_

Р (Ар2 + Е)(Ср2 + Е)- Я2 откуда найдем

дин ,-2 ;2

(19)

(20)

Если условие ^ /2 -1Ф 0, то частотное уравнение приводится к биквадратному уравнению

2Вк„к, кл,

р4 [АС - В] + р2

Е( А + С )-

Р

к 02 к2 к 2 (/2 / 2 -1)/2/

(21)

- 0.

Если в выражении (16) выполняется условие /1 /'2 -1 - 0, то имеем биквадратное уравне-

ние

р2 < [АС - В]р2

Е( А + С )■

2 Вк0 к^ к 2 /1 / 2

- 0, (17)

что предполагает решение при р - 0, а второе решение будет связано с колебаниями: частота собственных колебаний определится по формуле

Рис.4. Структурная схема приведенной эквивалентной САУ для которой приняты обозначения:

к1 к 2 к 0

Е —

■I212 11 12

к1 к

2 + к 0 к 2 г1 + к1 к 0*2 /1 /2

Я - Вр2 -

к1 к 2 к 0

Ч12

к1 к2 + к0к2 г1 + к1 к04

Рис. 5. График зависимоти от 12.

Исследование (17) показывает возможности существования решения при р = 0, что соответствует независимой форме движения. Последнее действительно может существовать в силу структурных и конструктивных особенностей упругого подвеса. Однако, такое движение характеризуется тем, что его реальные параметры ограничиваются физическими возможностями элементов. Из (21) можно определить частоты собственных колебаний, однако в этом случае надо произвести также оценку устойчивости системы.

Если полагать, что момент инерции твердого тела мал и 7 « 0, то можно получить ряд соотношений, из которых следует, что параметры изменятся и исчезает знаковая неопределенность:

А =-

ml22 ; b = mlx l2 ; c = ml\

( Ь1 + Ь 2 )2 ( Ь1 + Ь 2 )2 ( Ь1 + Ь 2 )2

при этом остальные параметры системы не изменяются.

БИБЛИОГРАФИЯ

Дружинский И.А. Механические цепи. Издательство «Машиностроение». Ленинград. 1977.- 270с.

Гальперин И.И. Автоматика как односторонняя механика. Машгиз. Москва. 1964.-264с.

Иванов Б.Г. Разработка методов расчета динамики и прочности агрегатов транспортной техники с рычажно-шарнирными кинематическими связями// Автореферат дис. на соиск. уч. ст. д.т.н. Самарский государственный аэрокосмический университет. Самара. 2007.- 48с. Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. Рычажные связи в передаче механических воздействий// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС. Вып№2(14). Иркутск. 2007. С.38-47. Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. Особенности параллельных соединений в механических цепях// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС. Вып№2(14). Иркутск. 2007. С.102-104. Елисеев С.В., Засядко А.А., Упырь Р.Ю. Новый подход в оценке возможности последовательного соединения элементов в структурных интерпретациях механических колебательных систем// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС. Вып№1(13). Иркутск. 2007. С.88-100.