Рычажные связи в передаче механических воздействий заглаживания Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Елисеев С.В., Упырь Р.Ю.

УДК 656.001

РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ В ПЕРЕДАЧЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

В механических колебательных системах рычажные связи могут оказывать заметное влияние на расширение возможностей изменять определенным образом динамическое состояние системы [1^4], что представляет интерес в подходах, ориентированных на использование структурных интерпретаций.

Рассмотрим простейшие колебательные системы с рычагами первого и второго рода.

I. Рычаги первого рода.

1.1. Система, содержащая рычажную связь первого рода.

к. = К

где

к 2

К1 + к

К р = ¿1, 12

2 '

(1)

(2) (3)

к2

р 2 12 11

Произведем подстановку выражений (2) и (3) в (1) и после преобразований получим:

к

к *—

1 2 12

_11

\\

к1 + к 2 * 1Г 11

(4)

Докажем справедливость выражений (1)-(4). Запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии для схемы, приведенной на рис.1:

1 1

(5)

Т =1 ту2 +1М2, 2 2

п =1К (У-(* /1)2 +1 К2 1

2,п 2 2 (

Рис. 1. Расчетная схема с рычагом первого рода.

Будем полагать, что представленной на рис.1, коэффициент приведенной жесткости системы определиться по формуле:

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода при отсутствии сил трения, найдем дифференциальные уравнения движения данной системы

ту + ¿1 у - ¿11Г(= 0, (6)

- ¿111 у +((¿11? + к 21| )= 0. (7)

Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении, системы автоматического управления (САУ) для расчетной схе-

Рис. 2. Структурная схема системы (по рис.1) с рычажной связью первого рода.

Рис. 3. Дуальная механическая цепь системы с рычажной связью первого рода.

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

мы, приведенной на рис.1, имеет вид, как показано на рис.2. Другой вид структурной интерпретации в виде [1] дуальной механической цепи представлен на рис.3.

Если принять, что 7<р = 0, то из уравнения (7) можно найти

Ф = У

¿1А

к1 А + ¿2 1'2

(8)

Подставим (8) в (6) и после преобразования получим

ту + Кр ■ у = 0, (9)

где

Кр =

¿1 к 2 1 ^

¿1 А + к 2 12

(10)

Как можно увидеть, выражения (4) и (9) совпадают. Это означает, что предложенный подход дает необходимые результаты. При-

• 12

няв I = получаем окончательное выражение для приведенного коэффициента жесткости:

К = к1к 2г

к1 + к 2 г2

(10)

Кр = 7

' К Р • К ^

КР + КР у

К3

К1 ■ К2 л

р р

К1 + К2

(11)

+ К3

где

К Р = к,,

12

К2 = к Кр = к 2 7 2 -1 1

К3

12 72

к ■ -2- ■ -43 12 12' -1 13

(12)

(13)

(14)

Произведем подстановку выражений (12), (13) и (14) в (11) и после некоторых преобразований найдем, что:

Кр =

к 2 + к 3

2 к 3 12 12 12 14 12 ^ 12 13

12 > 14 12 13 У

+ к 2 к 3 -

12 12

12 14 1 2 ' 1 2

13

(15)

Докажем справедливость выражений (11)-(15). Запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии для схемы, приведенной на рис.4:

Т = 1 ту2 +171 <р2 +17 2 <р2, (16)

11 1

П = 2 к1 (У _ф1 А )2 + 2 к 2 (< 2 13 -<1 12 )2 + 2 к 3 142 Ф 2.

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода в предположении малости влияния сил трения запишем дифференциальные уравнения движения данной системы:

ту + к у - к1 А ф 1 = 0,

(17)

Рис. 4. Расчетная схема с двумя рычагами первого рода.

1.2. Система, содержащая две рычажные связи первого рода.

Рассмотрим систему из рычагов, представленную на рис.4.

Пусть для схемы, представленной на рис.4, коэффициент приведенной жесткости системы определиться по формуле:

ЛФ1 - к А У +Ф1 (к! А2 + к 2122)-к 2121эф 2 = 0, (18)

7 2 Ф 2 +ф 2 (к 2 132 + к 3142 )-к 2 12 13< 1 = 0. (19)

Структурная схема эквивалентной САУ для схемы, приведенной на рис.4, примет вид, как показано на рис.5. При этом структурную интерпретацию этой же системы в виде дуальной механической цепи можно представить на рис.6.

Если полагать моменты инерции рычагов малыми, то 31ф 1 = 0, 32 ф 2 = 0 , тогда из уравнения (19) следует:

Ф 2 = Ф

к 2 12 13

к 12 + к 1 к 2 13 + к 314

Подставляя (20) в (18) можно найти

С

Ф1 = У

к А (к 2 132 + к 3142 )

^"3 4

к111 (к 2 13 + к 314 )+ к 2 к 312 14

(20)

(21)

р У

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

( /

Рис.5. Структурная схема, системы содержащей две рычажные связи первого рода.

Подставив (8) в (17), после преобразования получим уравнение движения:

ту + Кр * у = 0, (22)

где

12 12 Ь ¡С * 12 * 14

¿1 ¿2 k3

11 13

Кр =

k 2 + k 3

2 2

3 У

+ k 2 k 3

(23)

Отметим, что выражения (15) и (23) совпадают, что и требовалось доказать. Приняв

. 12 . 14

г1 = — и 12 = — , запишем окончательное выра-

11 13

жение для приведенного коэффициента жесткости системы:

¿1 k 2 k 3 **1 **2

кр =

¿1 (¿2 + ¿3 *г2 ) + ¿2 ¿3 **1 **'

(24)

1.3. Система, содержащая три рычажные связи первого рода.

Усложняя задачу, перейдем к системе, представленной на рис.7.

Будем полагать, что для схемы, представленной на рис.7, коэффициент приведенной жесткости системы определиться по формуле:

где

К1 * К

2

К1 + К2

. р р у

* К3

К1 * К

2

_р_

К1 + Кр

К _р_1

р " К1 * К2 л р р

К1 + К2

. р р у

+К:

* К 4

* К3

К1 * К

2

\\

К1 + К2

р р у

+ К3

+К 4

К1 = ¿1,

2

12

К 2 = k * 12

Кр = ¿2

12

1

12 12

К3 = ь * *

12 12 11 13

12 12 12

К 3 = k * 12 * 14 * 16

Кр = k 3 1Г 1Г 1Г-

11 13 15

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Произведем подстановку выражений (26)-(29) в (25) и после некоторых преобразований получим:

/2 /2 /2

k1kP ¿3 ¿4 " ' К

К =-

,2 ,2 ,2

-ч ^ 75

¿2 I ¿3

/2 /2

12

¿3 ¿4 132 $

12 12 12

¿2 ¿3 ¿4 * £ * £ * 1

Ч ^3 ^5

(30)

Докажем справедливость выражений (25)-(30). Запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии для схемы, приведенной на рис.7:

Рис. 6. Дуальная механическая цепь системы, со- Рис.7. Расчетная схема с тремя рычагами первого держащей две рычажные связи первого рода. рода.

оо оо

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ

Т = 1 ту2 + 2 31Ф 2 + 2 32 Ф 2 + 2 3 3Ф 3, (31)

П = 1 к1 (у -Ф ! ■ I, )2 + 2 к2 (Ф 2 ■ 13 -Ф ! ■ /2 )2 +

+ 2 к 3 (Ф 3 ■ 15 -Ф 2 ■ 14 ) 2 + 1 к 4 162Ф 2'

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода при малом влиянии сил трения, запишем дифференциальные уравнения движения данной системы:

ту + к1 у - к1 ¡1 ф 1 = 0, (32)

31ф 1 - к111 у +ф 1 (к1112 + к 2 12 )-к 2 12 13 ф 2 = 0,(33)

3 2 ф 2 +ф 2 ( к 2132 + к 3142 )-к 21213 Ф1 - к31415 Ф 3 = 0,(34) 3 3 ф 3 +Ф 3 (к 312 + к 4 1 б' )-к 314 15 Ф 2 = 0. (35)

Структурная схема эквивалентной САУ для расчетной схемы, приведенной на рис.7, приведена на рис.8. Соответствующая ей структурная интерпретация в виде дуальной механической цепи показана на рис.9.

Примем 31 ф 1 = 0, 32 ф 2 = 0, 33ф 3 = 0 и производя последовательные преобразования, выделим коэффициент приведенной жесткости для данной системы:

к1 к2 к3 к4 - 12 - 142 • 12 11 13 15

к2

12 1 12 12 к + к ■+ к к ■ ^ ■16-

¿3 + ¿4 12 | + к3 ¿4 12 12

15 У 13 15

1 1 1

+ к к к ■ ^ ■^ ■ 16

+ ¿2 ¿3 ¿4 Т2 ,2 ,2

12 42 15 (36)

Приняв г'1 = г2 =^ и г3 =найдем

11

7,

I

окончательное выражение для приведенного коэффициента жесткости системы:

К.

ЧЛ2Л3Л4 Ч 2 13

к [кг (¿3 + к4 ■ <з ) + кк4 ■ ¿2 ■ ¿3 ] + Кк)К ■ г,2 ■ г22 ■ г

(37)

Все полученные результаты могут быть сведены в таблицу 1.

Полученная формула справедлива также для механических колебательных систем, содержащих п рычажных связей первого рода. В это случае выражение, для коэффициента приведенной жесткости, примет вид:

кр=

к1 к2....

к

к„[к„ -.(кп + кп +1 ■ ¿2 )-.... к ■(¿,2 ■ ¿22...'„2)

+ кп- 1 кпкп + 1 ■ ¿п-2 ■ ¿2- 1 ■ ¿2 ]....]+ к2к3 ...кп + 1 ■(¿2 ■ ¿2 ."¿п )

(38)

В заключение можно по поводу рычажных связей первого рода, сделать несколько предварительных выводов:

1. Согласно исследованиям, проведенным выше, можно утверждать, что в системе, состоящей из элементов, соединенных между собой рычажными связями первого рода, соединение принимает форму последовательного, с учетом особенности рычажной связи первого рода.

2. Коэффициент приведенной жесткости для системы с п рычагами первого рода, в общем случае принимает вид:

г /

2

\\

К Р ■ КР

КР + КР у

К

п-1

/V

КР =, „

К Р ■ К2

КР + КР у

+К

п-1

■ КРп

КР ■ КР ^

КР + КР2 у

■ К

п-1

г г

К1 ■ К2

р р

у

+...

+К

п-1

+ К Рп

Р

Р

Р

Р

Р

Рис. 8. Структурная схема системы, содержащей три рычажные связи первого рода.

Рис. 9. Дуальная механическая цепь системы содержащей три рычажные связи первого рода

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Табл.1

Значения приведенной жесткости для систем с рычажной связью первого рода.

где

К р - к,,

Произведя подстановку выражений (27) и (28) в (26), после преобразований получим:

к2 - к • 2

кр -к2 "7т'-'

к1 к 2 '

12

2

кп-1 12 12 ' 12 1 12 п 12 ' п-1

12 12 12 п 12 1 п + 2

12 1 ' 12 1п-1 12 п + 1

Кр -

(11 +12 )2

12

(42)

II. Рычаги второго рода.

2.1. Система, содержащая рычаг второго рода.

Рассмотрим схему, представленную на рис.10:

Будем полагать, что для схемы, представленной на рис.10, коэффициент приведенной жесткости системы определиться по формуле:

к л + ко

1 2 . ч 2

(11 +12 )

Для доказательства справедливости выражений (26)-(29) запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии для схемы, приведенной на рис.10:

К

К1 • К2

р р

Кр + Кр

2

где

К р - К.

К рр - к 2

(11 +12 )'

(39)

(40)

(41)

ччччтчччч

Рис.10. Расчетная схема с рычагом второго рода.

2

2

1

2

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ 0

оо оо

Рис. 11. Структурная схема системы с рычаж- Рис.12. Дуальная механическая цепь системы ной связью второго рода. с рычажной связью второго рода.

1 2 1 2

Т = 2 ту)2 + 2 3Ф2, (43)

П = 1 к1 (у -ф^( 11 + /2 )) 2 + 2 к 2 122 ф 2 .

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода при малом влиянии сил трения, запишем дифференциальные уравнения движения данной системы:

ту + ¿1 у - ¿1 (11 +12 )ф = 0, (44)

3ф -¿1 (11 +12 )у +ф(к1 (11 +12)2 + к2122)= 0. (45)

Структурная схема эквивалентной САУ для расчетной схемы, приведенной на рис.10, представлена на рис.11, а соответствующая структурная интерпретация в виде дуальной механической цепи соответственно на рис.12.

Если принять 3ф = 0, то из уравнения (32) можно выразить:

¿1 (11 +12 )

Ф = у

(46)

к1 (11 +12 ) + к 2 12 Подставив (46) в (44), после преобразования получим

ту + Кр ■ у = 0, (47)

где

¿1 к 2 (11 +12 ) 2

К

¿1 + к 2

12

(48)

(11 +12 )

Как можно увидеть, выражения (42) и (48) совпадают. Это означает, что предложенный метод дает необходимые результаты. Приняв 12

I = -—2—-, можно найти окончательное выра-(11 +12 )

жение для приведенного коэффициента жесткости:

Кр =

¿1к 2 I к1 + к 2 /2

(49)

2.2. Система, содержащая два рычага второго рода.

Рассмотрим систему из рычагов, представленную на рис.13.

Пусть для схемы, представленной на рис.13, коэффициент приведенной жесткости системы определяется по формуле:

где

К1 ■ К

2

КР + Кр .

К = у р р У

Р ' К1 ■ К2 1

К

КР + КР у

+К

К р = ¿1,

К р = к 2

(11 +12 )

(50)

(51)

(52)

Рис. 13. Расчетная схема с двумя рычагами второго рода.

2

1

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

К3 - к з

(¡1 +12 ) 2 (1 з +14 )

(53)

Произведем подстановку выражений (51), (52) и (53) в (50) и после некоторых преобразований получим:

к1к2 к3

К -

(11 + 12 ) (13 + 14 )

(54)

к2 + к3

(13 + 14 )

(11 + 12 ) (13 + 14 )

Докажем справедливость выражений (37)-(41). Для этого запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии для схемы, приведенной на рис.4:

Т -1 ту2 + 2 JlФ2 + 2 32 Ф ^

(55)

П -1 к (у -Ф1 (11 +12 ))2 +

+ 2 к2 (ф 2 (13 +14 ) -Ф 112 ) 2 + 2 к312 Ф 2 .

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода, запишем дифференциальные уравнения движения данной системы

(56)

(57)

тУ + к1 У - к1 (11 +12 )Ф 1 - ^ 31Ф1 - к (11 +12 )у +

-Ф1 (к (11 + 12 )2 + к2122)-к212(13 +14 )Ф2 -0,

3 2 Ф 2 +Ф 2 (к2 (13 +14 ) 2 + к3142 )- (58) -к2 12 (13 +14 )Ф 1 = 0.

Приняв (1 -

11 +1

1 +

получаем

окончательное выражение для приведенного коэффициента жесткости системы:

к1к 2 к 3 '(1 '( 2

КР -

к1 (к2 + к3 '(2 )+ к2 к3 '(1 '(2

(60)

Подход может быть распространен на механическую колебательную систему, содержащую п рычажных связей второго рода. В этом случае выражение, для коэффициента приведенной жесткости, примет вид:

К-

к1 к2 ....

к [...[ к„[к„ - 1( кп + к„ + 1 ' II )+ кпкп + 1 ' (11 ' (Щ ] +

_....к4 '((2 ' )_

+ кп - 1 кпкп + 1 ' (п-2 ' (п- 1 ' (п ]....]+ к2 к3 ... кп + 1 '((1 ' (2 ."(п )

(61)

Рис.14. Структурная схема системы содержащей две рычажные связи второго рода.

Структурная схема эквивалентной САУ для расчетной схемы, приведенной на рис.13, приведена на рис.14, а соответствующая ей структурная интерпретация в виде дуальной механической цепи показана на рис.15.

Если принять 31Ф1 - 0, 32 Ф 2 - 0, то применяя алгоритм, использованный выше, выразим коэффициент приведенной жесткости системы:

к1к2 к3 '

Кр -

_Л___

(11 + 12 )2 (13 + 14 )2

(59)

к2 + к3

(4 + 14 )2

+ к2 к3

(11 + 12 )2 (13 + 14 )

Рис.15. Дуальная механическая цепь систе мы, содержащей две рычажные связи перво го рода.

1

2

4

и =

2

2

1

1

2

4

2

2

1

1

2

4

2

2

2

1

1

1

4

4

1

1

1

4

4

III. Определение частот собственных колебаний и периода колебаний рассмотренных систем.

3.1. Механическая колебательная система, содержащая рычажную связь первого или второго рода.

Выражение для определения частоты собственных колебаний системы, приведенной на рис.1 и 10, с учетом (10), можно записать в виде:

ю =

^ + i 2 к.

=4

Ю • A

(62)

где Л =

*L + i 2

а, +1

•2

i может принимать зна-

I

чения: для рычагов первого рода i — —; для ры-

ние А. Причем, при увеличении 1, нелинейные свойства уменьшаются.

Выражение для периода собственных колебаний получим в виде:

2л

. (63)

T —

m k k.

1 + i2

3.2. Механическая колебательная система, содержащая две рычажные связи первого или второго рода.

Выражение для определения частоты собственных колебаний системы, приведенной на рис.4 и 13, с учетом (24), можно записать в виде:

к

i 2 • i 2 i1 i2

кк

— + —

кк

— aKi • A ,(64)

22 + ii • i2

чагов второго рода i —

ll +12

Задаваясь рядом числовых значений /1 ,

12 ,к1, к2, т, построим зависимости возможных значений коэффициента А, как это показано на рис.16 и 17.

Зависимости, приведенные на рис.16, обладают явными нелинейными свойствами, причем при увеличении а нелинейные свойства уменьшаются. Область построения можно условно разделить на три зоны: 1- зона резкого увеличения А при малых изменениях 1; 2- зона равномерного изменения А при соответствующих изменениях 1; В 3-ей зоне А асимптотический приближается к единице. При при постоянных 1 (рис.17) происходит заметное изменение А при малых а. В последующем, при изменении а происходит уменьше-

где

22

22

Л=

^+^ i2 k 3 k 2

22 + ii2 * i22

а + а, * i2 ] + ii2 • i2 '

11 и ¿2 могут принимать значения: для рычагов

• / 2 • / 4

первого рода 11 = —, 12 = —; для рычагов второго

1 /1 2 /3

рода i1 =

12 i = _! , i2 — I + 12 13 + 14

Выражение для периода собственных колебаний получим в виде:

2л

Т =-—-= . (65)

22

+ ii2 ^

2

Юс =

1

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

3.3. Механическая колебательная система, содержащая три рычажные связи первого или второго рода.

Выражение для определения частоты собственных колебаний системы, запишем в виде:

k1 i2 ■ i2 ■ i2 Ч 12 13

m _ к + k Кз i2 + К1 ■ '22 ■ '3 k2 _ 222 + ii ■ ¡З ■ ч

-=>с, ■ А , (66)

где

А =

k 222

_ k4 4--L k3 «3 4 T1 ■ h ■ «3 k2 _ + 12 ■l2 ■*3

рычагов второго рода ii =

1.

2

/

4

А + h

h + h

и

[-2 -2 -2П -2 -2 -2

«3 + a2 ■ г3 + а1 ■ г2 ■ г3 J+ 'l ■ г2 ■ г3

z'j, i2 и i3 могут принимать значения: для

■ h ■ h ■ 4

рычагов первого родац =—, i2 = —и i3 = —;для

А 13 4

Используя (55), получим выражение для периода собственных колебаний системы, имеющей п рычажных связей первого или второго рода, в виде:

Т - . 2л . (69)

— - л

т

Выводы по статье:

1. При введении рычажных соединений происходит уменьшение резонансной частоты и соответственно уменьшение периода колебаний системы.

2. Рычажные соотношения имеют одинаковую форму как для рычагов первого, так и второго рода.

3. На основе введения рычажных связей появляется возможность создания управляемых гасителей колебании, действующих путем изменения количества рычажных связей и длин плеч каждой из них.

БИБЛИОГРАФИЯ

h + h

Запишем выражение для периода собственных колебаний, используя (66):

T =

2л

k, i2 ■i2 -i2 ч 12 ' 3

m " k1 _ k 4 4 — i32 k 3 3 ki .2 -2 + ■i 22 ■i32 k 2 +i2 ■i2 -i2 4 '1 ' 2 ' 3

,(67)

Полученные результаты можно распространить на системы с п рычажными связями. Тогда, выражение, позволяющее определить частоту собственных колебаний, для систем с п рычажными связями первого или второго рода, запишется в виде:

шс =J— ■ А ■ A, V m

(68)

где

А=

k1 k. .2 k. + — г2 +—L ■ i21 • 2 k -2-2 ■ i2 +...+ — ■ i2 ■ i2 ■. ■i2 22 ■i 2

L k + ! k n k kn kn-1 k2 12

[ап + ап_ 1- 12п + ап_2- г2_ 1- 12п +...+а-г^ -гз2-.„-гп2] + г2 -г22' ^ , г'2 ... гя передаточный коэффициент для рычагов первого и второго рода.

1. Елисеев С.В., Засядко А.А., Упырь Р.Ю. Новый подход в оценке возможностей последовательного соединения элементов в структурных интерпретациях механических колебательных систем// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС.- 2007.№1(13).-С.88-99.

2. Драч М.А. Динамический синтез и моделирование в задачах оценки и изменения вибрационного состояния крутильных колебательных систем// Автореф.канд.дис-сертации.- ИрГУПС.-2006.-24с.

3. Димов А.В., Елисеев С.В., Хоменко А.П. Обобщение задач виброзащиты и виброизоляции на основе структурных методов математического моделирования// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС.- 2006.№2(10).-С.6-17.

4. Иванов Б.Г. Разработка методов расчета динамики и прочности агрегатов транспортной техники с рычажно-шарнирными кинематическими связями// Автореф. докт.диссертации. - СамГУПС. - 2007. -4 8с.

z =

I

6

h =