О построении структурных моделей виброзащитных систем с динамическим гасителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-техническое иэ д а н ие

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эд № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155Н 1994-0408_

О построении структурных моделей виброзащитных систем с динамическим гасителем # 08, август 2011 автор: Трофимов А. Н.

УДК 62.752

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС

г. Иркутск trofimov_an@irgups.ru

I. Введение. Динамическое гашение колебаний в конструкциях, силовых передачах и виброзащитных системах приборов и оборудования является одним из эффективных способов повышения надежности и безопасности работы технологических машин [1^3]. В теоретических и прикладных разработках, посвященных динамическому гашению колебаний, которые носят междисциплинарный характер, используются различные подходы, в том числе и основанные на применении аппарата теории автоматического управления соединения. Вместе с тем, многие особенности динамического гашения, рассматриваемые с позиции теории обратных связей и учета конструктивных форм реализации, остаются недостаточно изученными. В работах [4^6] представлены результаты исследований, связанные с рассмотрением динамических гасителей, вводимых как дополнительные Г-образные связи, имеющие специфичные формы закрепления упругих элементов. В связи с этим целесообразно обратить внимание на обобщение подходов к построению математических моделей динамических гасителей.

II. Постановка задачи. Рассмотрим виброзащитную систему с объектом защиты с массой М и динамическим гасителем колебаний т1 (рис. 1а), соединенных пружиной с жесткостью к; система может свободно перемещаться в направлении у, имея точку отсчета О (силы трения считаются малыми)

Для представленной на рис. 1 а схемы определим выражения для кинетической и потенциальной энергий:

Т = 1МУ2 + 2 ту2; (1)

П=2к (У " У2)2. (2)

Используя (1), (2) и известные приемы [7], составим дифференциальные уравнения движения в виде

М + кух - кУг = О ту2 + ку2 - ку 1 = 0,

(3)

и построим, в соответствии с (3), структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления (рис. 1б).

Если к = 0, то структурная схема (рис. 1б) распадается на два автономных фрагмента. Рассмотрим блок, обозначенный контуром I. Если к Ф 0, то структурную схему можно преобразовать к виду, как показано на рис. 1в.

а)

б)

в)

к

О

СГ^Х—р~п

Мр2

-1

Рис. 1. Общий вид системы из двух элементов в поступательном движении (а) и общая структурная (б) и приведенная (в) схемы

Отметим, что введение дополнительной колебательной структуры из двух элементов т и к эквивалентно введению дополнительной обратной связи для базового элемента с массой М (контур I на рис. 1б). Передаточная функция системы в этом случае может быть представлена

1

ж (р)=4 О

Мр2 + к

(тр2 + к)

1 -

к2

(Мр2 + к)(тр2 + к) - к2'

(Мр2 + к )(тр2 + к)

где частотное уравнение (знаменатель (4)) можно записать

Мтр4 + р2 [кМ + кт] = 0

и преобразовать к виду

р2 [Мтр2 + к (М + т)] = 0.

Здесь р = ]а>() =->/-!).

(4)

(5)

(6)

к

1

М

тр + к

т

}

к

Из (5), (6) следует, что частное решение - р = 0, соответствует наличию циклической координаты, а частота собственных колебаний определяется выражением

2 , (М + т)

б = -}-; (7)

Мт

если М = т, то

2 2к

б =- . (8)

т

При этом колебательное движение реализуется относительно циклического движения, определяемого р = 0. При равных массах частота колебаний определяется выражением (8). Отметим также, что в данной системе, состоящей из элементов с массами т и М, пружиной жесткостью к , реализуется преобразование, которое можно было бы отнести к «последовательному соединению масс по правилам механических цепей» [3]. Что касается правил параллельного соединения масс, то такой эффект можно наблюдать при соответствующем выборе системы обобщенных координат. Введем относительную координату у 2 _ У\ = 1, тогда (1), (2) можно записать в форме

Т = 2 Му2 + 2 ту 22 = 2 МУ2 + 2 т( ± + у)2,

2 2 2 2 (9)

1

П =1 к22 2

Используя (9), можно получить систему уравнений движения, которая отличается от (3):

M'y, + my, + mz = Q,

.. . , Л (Ю)

mz + myl + kz = 0.

Структурная схема системы в координатах y,, z, полученная на основе (10), приведена на рис. 1а; в этой системе координат структурная схема системы имеет другой вид по сравнению с рис. 1б; отметим, что перекрестные связи между парциальными системами y,, z носят инерционный характер. В данном случае можно наблюдать также эффект условного параллельного соединения элементов с массами M и m; при этих преобразованиях координат знаменатель передаточной функции остается неизменным.

а)

тр

тр

б) 10

1

(М + т) р

У1

1

к 2

тр

-1

Рис. 2. Структурная схема исходной системы в координатах г ;

а - исходная расчетная схема; б - приведенная расчетная схема

Преобразуем схему на рис. 2а к виду, как показано на рис. 2б, и найдем передаточную функцию:

1

ж (р)=4

(М + т) р2

тр2 + к

0 1 - (тр2)2

1

р2 [Мтр2 + к (М + т)\ (11)

(тр2 + к) (М + т)р2

Режим динамического гашения можно получить из числителя (11):

2к юи = —,

дин 3

т

а частота собственных колебаний определится, также, как и по формуле (7):

к (М + т)

(12)

Мт

(13)

Сравнение (12), (13) показывает, что частота динамического гашения будет меньше частоты

собственных колебаний, поэтому амплитудно-частотная характеристика А(ю) примет

вид, как показано на рис. 3. Перейдем к передаточной функции «вход - 0 — выход - г».

1

тр

тр

Ж (р) = 4 = (М + т) р (тр + к) =_

0 1 (тр2)2 (М + т) р 2(тр2 + к) — (тр2)2

(14)

1

(М + т)р (тр + к)

A(m)

M

m

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (4)

В этом случае, то есть в системе координат у15 г — амплитудно-частотная характеристика системы, соответствующая передаточной функции (14), будет иметь обычный вид (один резонанс, определяемый (13)). Если найти передаточную функцию «вход - Q — выход - у2 », то получим

_к_

к

W '=

Q

(mp2 + к)(Mp2 + к)

1

1

(mp2)2 mMp4 + p2 (кМ + km) + к2 - к

(mp2 + к) (Mp2 + к)

(15)

к

p2 (Mm + кМ) + кж

В системе, если учесть особенности знаменателя (15), имеется циклическая координата, как и при передаточной функции (11); частота собственных колебаний в обоих случаях одинакова, но режим динамического гашения по координате У2 уже не проявляется.

III. Введение упругой связи с основанием. Рассмотрим введение динамического гаси-

к

теля в схему с объектом массой M (Рис. 4), при этом вводится также пружина 0 (для массы m , как было и ранее, учитывается упругий элемент к .

/Ч/Ч/Ч

У1

О О

У2

M

к /

Рис. 4. Система с двумя степенями свободы с упругой связью ко

M + m

О)

m

z

т

к

Запишем для расчетной схемы на рис. 7 выражения для кинетической и потенциальной энергий, которые отличаются от (1), (2) и (9)

т — 2 М1 + 2 ту2;

П=1 ко • У 2 +1 к (У2 - У1)2.

(16)

(17)

Используя (16), (17) и процедуры, изложенные в [7], найдем (при ^ — 0) дифференциальные уравнения движения

Щ + коУ1 + кух - ку2 — б, (18)

ту2 + ку2 - кух — 0.

(19)

Структурная схема, соответствующая расчетной схеме на рис. 4, и уравнениям (18), (19) приведена на рис. 5, откуда может быть определена передаточная функция по координате у1 .

Рис. 5. Структурная схема системы в коорди- Рис. 6. Приведенная структур-

натах У1, У2

ная схема с дополнительной обратной связью

1

ж2( р)—4— б

Мр + к0 + к

1

к2

1

(тр2 + к) (Мр2 + к0 + к)

тр2 + к

(20)

(тр2 + к0 + к)(Мр2 + к0 + к) - к2

Преобразуем с учетом (20) структурную схему на рис. 5 к виду, как показано на рис. 6. В этом случае элементы т и к образуют колебательную структуру, вводимую как обратная дополнительная связь. В системе по координате у^, которая принимается как координата объекта защиты, будет наблюдаться режим динамического гашения при

к_ т

2 к

0)^ин = — . Примем ко = к, т = М, тогда получим частотное уравнение

(тр2 + 2к)(тр2 + к) - к2 = т 2р4 + 2ктр2 + ктр2 + 2к2 - к2 = = т 2 р 4 + 3ктр2 + к 2 = 0.

(21)

Решая биквадратное уравнение (21), найдем частоты собственных колебаний

к (3 -75)

С1соб = '

С2соб =

2т

к (3 + 75)

2т

(22)

(23)

2 к

При этом обратная дополнительная связь (рис. 9) на частоте С = — приобретает кот

эффициент усиления, равный да . В данной системе это соответствует режиму динамического гашения. На рис. 7 приведена амплитудно-частотная характеристика, соответствующая структурной схеме на рис. 6.

Рис. 7. Амплитудно-частотная характеристика системы, расчетная схема которой приведена на рис. 4, где м'1соб и с2соб определяются выражениями (22), (23)

Передаточная функция «вход - Q - выход - у2» с учетом (20) принимает вид:

p)=# =

к

Q ( mp2 + к ) ( Mp2 + к 0 + к ) - к2 '

а передаточная функция межкоординатной связи соответственно

_ 2

W4( p) = А = m^.

У2 к

(24)

(25)

Используя (20)^(26), можно найти параметры режимов динамического гашения с учетом особенностей внешнего возмущения.

III. Динамические свойства систем с несколькими степенями свободы. В работах, посвященных исследованиям деталей динамических взаимодействий, вызванных введением динамического гасителя колебаний, как присоединяемого через упругий элемент массой [7, 8], предполагается, что внешняя гармоническая сила и упругий элемент прикладываются непосредственно к объекту защиты. Вместе с тем, достаточно часто возникают ситуации, когда внешнее воздействие может принимать иные формы и передаваться на объект опосредованно. Рассмотрим систему с тремя степенями свободы (рис. 8), в которой объект защиты испытывает воздействие со стороны вибрирующего основания при наличии промежуточной массы m^. При этом объект имеет и динамический гаситель

колебаний (m3, к3).

z

Г

/\АЛАААЛ|

у

кi

m,

У1

Qi

о а

WWWN

m

У 2

Q2

Уз

2'

П П

sWvW-

q з

m3^

П~~П

Х^ч \\\

Рис. 8. Расчетная схема виброзащитной системы с динамическим гасителем и промежуточной массой

Запишем для расчетной схемы (рис. 8) выражения для кинетической и потенциальной энергий

гт 1 • 2 . 1 • 2 . 1 -2

T=2 mi у + 2 m2 У2 + 2 m3 Уз,

1 2 1 2 1 2

П = 2к1(У1 - z) + 2к2(у2 - У1) + 2к3(у3 - у 2 ),

(26) (27)

к

к

3

2

где к2, к^ — жесткости упругих элементов; г (?) — кинематическое возмущение. Система дифференциальных уравнений движения с учетом (26), (27) принимает вид

т У1 + У1(к1 + к2) — к 2 У 2 = к1 г

т2У2 + У2 (к2 + к3) — к2У1 — к3Уз = 0, (28)

тз уз + Узкз — к3 У 2 = 0. В унифицированной форме коэффициенты (28) приведены в табл. 1.

Коэффициенты уравнений движения (28)

Таблица 1

«11 «12 «13

Л т1 ^ + к1 + к2 —к2 0

«21 «22 «23

—к2 Л т2 ^ + к2 + к3 —кз

«31 «32 «33

0 —кз тз Р2 + кз

а Q2 Qз

к1г 0 0

Примечание: Q1,02, Q3 — обобщенные силы в системе координат У1, У2, Уз

Введем новую систему координат У1 — г = у| , У2 и у3, тогда можно записать, что У1 = у' + г, а выражения (26) и (27) примут вид

Т = 2 т1(у1 + ¿)2 + 2 т2 у 22 + 2 тзу з2, (29)

п = 2 к\ (У1' )2 + | кг(Уг — У' — г)2 +1 кз(Уз — У2)2. (30)

Запишем вспомогательные соотношения, используя (29), (30)

дТ . дТ . дТ . дП . , . , .

— = ту1 + т^ — = т2у2, — = тъуъ — = кхух + к2ух - к2у2 + к2г,

^ ду 2 ду з ду1

к2 у2 к2 у1 к21 + к3 у2 к3 y3, д = к3 у3 к3 у2-

ду

дуз

Система уравнений (28), таким образом, преобразуется к виду

т1 у1 + у1 (к1 + к2) - к2 у 2 = -к2 г,

т2 у2 + у2(к2 + к3) - к2 у1 - к3 Уз = к2 I

тз.уз + узкз - кзу2 = 0.

(31)

Коэффициенты уравнений (з1) приведены в таблице 2.

Значения коэффициентов уравнения (з1)

Таблица 2

а11 а12 а1з

Л т1 р + к1 + к2 -к2 0

а21 а22 а2з

-к2 т2 р + к2 + кз -кз

аз1 аз2 азз

0 -кз тз р2 + кз

Qí Q2 Q3

-к21 к21 0

Примечание: Q[,Q2,Q3 - обобщенные силы в системе координат у1,у2,уз

Структурная схема исходной системы (Рис. 8) приведена на рис. 9 а,б соответственно в системах координат у^ у2, уз и у1, у2, уз .

а)

к2

к2

Г

1

т1 р + к1 + к2

У1

—к2

г

1

т2 р + ¿2 + кз

-О-

т3 р + к3

У2

кз

Рис. 9. Структурные схемы виброзащитных систем: а - для системы координат

У1, У2, Уз , б - для системы координат у1, У2, Уз

Разница между структурными схемами на рис. 9а и рис. 9б заключается в том, что в первом случае возмущение представлено одной возмущающей силой Q2, к1 г, и во втором случае мы имеем возмущение по двум входам Q1' = —к2г, Q2 = к2г, что является существенным фактором влияния на характер динамических взаимодействий. Найдем передаточные функции виброзащитной системы, используя координаты У1, У2, Уз и у1, У2, Уз , принимая во внимание, что

у = Q1 (а22 азз — а2з) + Q2 (а1заз2 — а12 азз ) + ^ (а12а2з — а1за22 ) (з2)

у1 - а , (з)

_ &(а2заз1 — а21азз) + ^(а11азз — а1з) + &(а1за21 — а11а2з)

У 2 ='

а

(зз)

з

2

г

2

у = °1(^21^32 - а22а31) + °2(а12а31 - а11а32) + °3(а11а22 - а12) (34)

Уз~ а , (34)

где А = ап(а22а33 - а;?3) - а21(а12а33 - а13а32) + а31(а12а23 - а13а22) . С учетом значений коэффициентов из табл. 2 (32)^(34) принимают вид:

ж ( ) = У! = к1 [(т2р2 + к2 + к3 )(т3р2 + к3 ) - к32 ] (35)

2 А '

Ж2(р) = У2 = к1 [- к30 - (-к2)(т3р2 + к3)] = к2к1(т3р2 + к3) (36)

2 А А

т-г-г / ч У3 к [-к2(-к3)] к.кк

Жз(р) = 4 = Н 2А = (37)

2 А А

здесь

А = (т1р2 + к! + к2)[(т2р2 + к2 + к3)(т3р2 + к3) - к32]+ к2[(т3р2 + к3)(-к2)] =

2 2 2 2 2 2 2 = (тхр + к1 + к2)(т2р + к2 + к3)(т3р + к3) -к3 (тхр + к + к2) - к2(т3р + к3).

(38)

Из выражения (38), что соответствует объекту защиты, следует, что при кинематическом возмущении возникает режим динамического гашения на частоте

2 к3

= — (39) т

Параметры состояния виброзащитной системы по координатам У 1 и У3 могут быть определены по выражениям (35), (37), а частоты собственных колебаний из частотного уравнения (38).

Отметим, что даже при присоединении объекта к подвижному основанию через каскад из т1 и к1 режим динамического гашения реализуется. Будем полагать, что внешнее возмущение имеет не кинематический, а силовой характер в виде силы О}, приложенной к объекту Ш2. В этом случае можно полагать, что в выражении (33) О = 0, О3 = 0 , тогда

О О О

Ж( р) = Ук = а11а33 - а13 = (т1 р + к1 + к2)(т3р + к3) (40)

2 О1 А А '

Из (40) следует, что в системе в случае силового возмущения возможно два режима динамического гашения: первый из них на частоте

С

к + к 2

1Эин

(41)

тл

второй режим определяется выражением (41). При кинематическом возмущении структурная схема (рис. 9а) может быть преобразована к виду, как показано на рис. 10.

Рис. 10. Структурная схема виброзащитной системы (по рис. 9 а), приведенная к объекту защиты

Найдем передаточную функцию р) , используя структуру на рис. 10:

Ж2( р) = 2 = 2

1

V

ут2р2 + к2 + к3 ^т1 р2 + к1 + к

к\ к 2

2

1 -

к22

■ + ■

к

2

(т2р + к2 + к3) ут1 р + к1 + к2 т3р + к3у

Кк 2(т3 р2 + к3)

(42)

(т2р 2 + к2 + к3 )(т1 р 2 + к1 + к2)(т3р 2 + к3) -

- к22(да3 р2 + к3) - к32(да1 р2 + к1 + к2)

Из структурной схемы на рис. 10 следует, что при кинематическом возмущении динамический гаситель колебаний входит в структурную схему дополнительной обратной связью, в которой режим увеличения усиления С определяется из (41). В свою очередь, полагая т3р + к3 = 0, получим, что система превращается в структуру, показанную на рис. 11.

1

У1 У 2 = 0

Рис. 11. Расчетная схема виброзащитной системы (рис. 8) в режиме динамического гашения при кинематическом возмущении г

Амплитуды колебаний масс т1 и т3 могут быть получены из выражений (35), (37) и (42). Если возмущение носит силовой характер, когда г = 0, а возмущение Q будет приложено к объекту т2, то структурная схема виброзащитной системы, представленная на рис. 11, преобразуется к виду, как показано на рис. 12.

Рис. 12. Структурная схема исходной виброзащитной системы (рис. 11) при силовом возмущении

Из анализа схемы (рис. 12) следует, что в формировании режимов динамического гашения участвует более сложная структура, чем непосредственно объект защиты. Найдем передаточную функцию системы

w2( P) = Q =

v m2 p2 + к1 + к

2 У

1 -

1

к2

к2

(m2 p + к1 + к2) ^ m1 p + к1 + к2 m3p + к

3 У

(m1 p2 + к1 + к 2)(m3 p2 + к 3)

(m2 p2 + к1 + k2)(m2 p2 + к2 + k3)(m3p2 + к3) -

- k22(m3p2 + к3) - k32(m1 p2 + к1 + к2)

Выражение (43) можно получить, если использовать (33), полагая, что Q = 0, Q2 * 0, Q3 = 0.

При силовом возмущении Q в системе могут возникать два режима динамического

гашения на разных частотах, определяемых из выражений (39), (41). Таким образом, характер внешнего воздействия в механической колебательной системе предопределяет детализированные представления о режимах динамического гашения.

III. Некоторые обобщение подхода. Рассмотрим ситуацию с механической системой, которая может иметь большее, чем три, число степеней свободы (рис. 13).

\Ч\\ \\\\\\ Рис. 13. Расчетная схема виброзащитной системы с т степенями свободы с объектом защиты тп (п < т) при внешней силе возмущения

Возможности упрощения расчетных схем, подобных схеме на рис. 13, рассмотрены более подробно в работе [9]. Воспользуемся некоторыми приемами упрощения (рис. 14) для системы с несколькими степенями свободы, структура которой позволяет использовать свертки дополнительных цепей.

а) б)

Рис. 14. Расчетная схема с упрощениями: а - схема упрощенного вида с двумя степенями свободы; б - детализированная схема

Из рис. 14 видно, что контуры I и II формируют обобщенные пружины с соответст-

7 ' 1 "

вующими обобщенными жесткостями кпр и кпр [10]. Система уравнений движения для схемы на рис. 17 принимает вид

т0 У0 + Уо(кГ + кпр' + кпр") — кг У Г = & тг У г + кг У г — Уокг = 0,

откуда можно найти, что

2

У0 т г р + к г

Ж = =-1—-г-. (44)

0 9 ' " 2 2

(т0Р2 + кпр + кпр )(тгР2 + кг)— кг

Заключение. Таким образом, при силовом возмущении Q, приложенному к объекту тг, режим динамического гашения возможен. Однако при возмущении со стороны основания необходима реализация другой последовательности действий [10], поскольку необходимо учесть влияние переносных сил инерции. Упомянутое также связано и с тем, что

7 ' 1 "

кпр и кпр представляют собой дробно-рациональные выражения, которые, в конечном

итоге, переходят в числитель (44) и формируют дополнительные режимы динамического гашения. Введение динамического гасителя классического типа в виде подпружиненной массы, присоединяемой к объекту защиты, к которому приложена внешняя сила Q , обеспечивает несколько режимов динамического гашения. Последнее зависит от сложности системы в целом и ее структурных особенностей.

Библиографический список

1. Елисеев С.В. Динамические гасители колебаний / С.В. Елисеев, Г.П. Нерубенко. -Новосибирск: Наука. 1982. - 142 с.

2. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, Р.Ю. Упырь, В.Е. Гозбенко, И.В. Фомина // Иркутский государственный университет путей сообщения. - Иркутск. 2009. - 128 с. - Рус. Деп. В ВИНИТИ 27.11.09 № 738 - В 2009.

3. Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. - Иркутск. Изд-во Иркутского государственного университета. 2008. - 523 с.

4. Упырь Р.Ю., Ермошенко Ю.В. Межкоординатные дополнительные связи в системах балочного типа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. № 1 (25). ИрГУПС. Иркутск. 2010. С. 70-74.

5. Ермошенко Ю.В. Динамическое гашение колебаний в виброзащитных системах с использованием Г-образных рычажных связей / Ю.В. Ермошенко, И.В. Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. № 2 (22). ИрГУПС. Иркутск. 2009. С. 85-89.

6. Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления динамическим состоянием на основе введения дополнительных связей // Винеровские чтения. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. - Иркутск: ИрГТУ. 2009. С. 46-60.

7. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т.2 Динамика. - М.: Наука. 1968. 630 с.

8. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. М.: Высшая школа, 1975.— 163 с.

9. Насников Д.Н. Формы и особенности динамического взаимодействия звеньев в виброзащитных системах с расширенным набором типовых элементов // дис. ... канд. техн. наук. - Иркутск: ИрГУПС, 2009. - 184 с.

10. Елисеев С.В. Обобщенные пружины в задачах защиты машин и оборудования / С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь // Зб1рник наукових праць. Выпуск №3 (25). Том 1. - Полтава: Полтавский нац. технич. университет. 2009. С. 79-90.