Некоторые обобщения в задачах определения динамических реакций во взаимодействиях элементов механических колебательных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62- 752.64.883 Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., профессор, директор НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Артюнин Анатолий Иванович,

д. т. н., профессор, первый проректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: artyunin_ai@irgups. ru Большаков Роман Сергеевич, аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: bolshakov_rs@mail.ru

НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

S. V. Eliseev, A.I. Artyunin, R.S. Bolshakov

SOME GENERALIZATIONS IN TASKS OF DETERMINATION

OF DYNAMICAL RESPONSES IN INTERACTIONS OF ELEMENTS OF MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS

Аннотация. Рассматривается обобщенный подход в определении динамических реакций в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы. Динамическая реакция формируется как цепь обратной связи путем преобразования структурной схемы относительно объекта защиты, имеющего передаточную функцию интегрирующего звена второго порядка. В приложениях к задачам виброзащиты объект защиты отождествляется с твердым телом. Передаточная функция цепи обратной связи трансформируется при силовом входном и выходном сигналах в динамическую реакцию. Изложены основы методики расчетов. Показано, что в ряде случаев возможны упрощенные подходы, использующие технологии преобразований в теории цепей. В качестве примера выбрана механическая цепь с тремя степенями свободы.

Ключевые слова: динамическая реакция, передаточная функция, структурные преобразования, вибрационная защита.

Abstract. Generalized approach in estimation of dynamical responses in mechanical oscillation systems with several degrees of freedom is considered. Dynamical response is formed as feedback tie chain by transformation of structure scheme about the protection object which has transfer function of integrated link of second order. Protection object in applications to vibroprotection tasks is equated with rigid body. Chain feedback tie transfer function is transformed in force input and output signal in dynamical response. Foundations of calculation procedure are stated. It is shown that in number of cases reductive approaches using transformation technologies in

chain theory are possible. Mechanical chain with three degrees of freedom is chosen as an example.

Keywords: dynamical response, transfer function, structural transformations, vibratory protection.

Введение

При наличии в механических колебательных системах инерционных элементов и периодических внешних воздействий динамические взаимодействия формируют реакции, определяющие состояние объекта защиты, контакты с опорными поверхностями и уровень взаимной связи движений между элементами. Хотя в известных работах [1-3] многие аспекты динамических расчетов виброизоляторов получили достаточное освещение, ряд вопросов, в частности методика расчета динамических реакций, не нашел еще детализированного представления в печати. Вместе с тем безопасность и надежность эксплуатации современных машин существенным образом зависит от надежности работы виброзащитных систем. Предлагаемая статья посвящена методическим проблемам построения математических моделей для определения динамических реакций в элементах виброзащитных систем и разработке соответствующих методических подходов для получения необходимых аналитических соотношений, используемых в силовых расчетах элементов виброзащитных систем.

I. Общие положения. Постановка задачи исследования

Рассмотрим в качестве исходной расчетную схему виброзащитной системы в виде механической колебательной системы с тремя степенями свободы (рис. 1).

в

Уз

контур I Рис. 1. Расчетная схема для виброзащитной системы с тремя степенями свободы

Система совершает малые движения под действием периодических силовых и кинематических возмущений, которые могут прикладываться ко всем массоинерционным элементам -

Qi ( = 1, з). Кроме того, возможен учет возмущений 2к (к = 1,2), связанных с опорными поверхностями А и В (рис. 1). Выбрана неподвижная система координат у, у2, у; силы трения считаются пренебрежимо малыми, а движение элементов с массами т1, т2, т3 происходит по вертикали; через к, к2, к3, к4, к5 обозначены жесткости линейных упругих элементов. Контур I на рис. 1 определяет размещение виброзащитного устройства (ВЗУ); объект защиты имеет массу т. Опорная поверхность В вводится для построения более полной схемы: при необходимости к4 и к5, так же как б и ^, могут принимать нулевые значения.

Для построения математической модели используется стандартная методика на основе формализма Лагранжа [4]:

т1 у1 + У1 (к1 + к2 + кз)- к 2 У 2 к5 Уз = 61 + к1 21;(1)

т2у2 + У 2 (к 2 + к3 )-к2 У1 -к5 Уз = (2)

тзУз + Уз (кз + к4 + к5 )-

-к3 У2 -к5 У1 = бз + к4 22В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений (1)—(3) движения системы в координатах

У^ У 2 , Уз-

Если принять, что г1 = 0, 22 = 0, а Ф 0, б2 Ф 0, бз Ф 0, то связи между переменными У], У2, Уз и бь бз в операторной форме могут быть представлены в виде следующих выражений:

_ 61 (а22азз — а2заз2 )+ 6 2 (а1заз2 —

У1 = Л ...

\ п( - \ (4)

азза12 )+ 6з (а12а2з а1за22 )

_ 61 (а2заз1 аз1азз ) + 62 (а1 1азз У 2 = А '

— а1заз1)+ 6з (а1за 21 — а11а2з )

(а21аз2 — а22аз1 )+ 62 (а12аз1 — Уз = А '

— а11аз2 ) + бз (а 11а22 —а12а21)

(5)

(6)

А0 = а11а22азз а11а2заз2 азза12а21 /-,ч

где (7)

а22а1заз1 + а1за21аз2 + а12а2заз1

является характеристическим уравнением системы (система симметрична: а12 = а21, а1з = а2з, а2з = аз2).

Т а б л и ц а 1

аи а12 а1з

тр2 + к + + к 2 + к 5 — к 2 — к5

а21 а22 а2з

— к 2 тр2 + к2 + к3 к3

аз1 аз2 азз

— к5 к тр2 + к3 + + к^ + к5

г + й Qг г.2 + ^

(з)

Используя (4)—(6), можно построить необходимые передаточные функции. Для дальнейшего рассмотрения принято, что на объект защиты действует внешняя периодическая (гармоническая) сила бз Ф 0, остальные силовые факторы равны 0. Структурная схема системы, соответствующая уравнениям (1)—(з), приведена на рис. 2.

Задача исследования заключается в разработке метода определения динамических реакций, возникающих при движениях элементов виброзащитной системы при действии внешней силы б . При этом динамические реакции возникают между объектом защиты т и опорой В, а также между

инерционным промежуточным элементом т ВЗУ и опорной поверхностью А. Динамические реакции будут возникать между отдельными элементами системы.

II. Динамические свойства системы Используя выражения (4)—(6), запишем для структурной системы на рис. 2 передаточные функции:

Рис. 2. Структурная схема для виброзащитной системы на рис. 1 при Q3 Ф 0

W1(p)=

Q3

У1 _ al2a23 alзa22 .

А

(8)

Qз

ЦГ'^р^ — У1 — а13а32 а12аз3 .

Q2

лп

у2 _ а11а33 а13а31

Q2

А,

тЖГ'( — у3 _ а12а31 а11а32

^ _ 62 _ Л

Р) = у- = ■

°3

1

°11°23

а22а13 | 2а12а23а31

ГДе А1 = а11а22 - а122-

Воспользуемся табл. 1 и получим

w/ ( р) = # =

63 тр2 + к3 + к4 + к5

Щ ( Р) = = а13а21 а11а23 ; (9)

2(Р) 63 А

щ(Р) = у. = а11а22 -а12а21, (Ю)

где А0 определяется выражением (5). Поскольку структурная схема на рис. 2 является непланарной (к5 Ф О), то особый интерес представляет случай

нагружения О Ф 0 (О = 0, О = 0,= 0, г2 = 0,) . Запишем передаточные функции системы для этого случая:

Р2 + к2 + к3)

к^ 2к5к2к3

---\--

(16)

Здесь

А = (щр2 + к + к2 + к)х

(16')

(11) (12)

(13)

Выражения (10)—( 15) для передаточных функций могут быть использованы для преобразования структурной схемы на рис. 2.

1. Рассмотрим случай 63 Ф О, тогда выражение (10) можно привести к виду

х (тр2 + к2 + къ) - к2.

В свою очередь, по выражению (16) может быть построена [5] структурная схема, как показано на рис. 3. На этой схеме выделен структурный элемент, соответствующий объекту защиты т3.

Все остальные элементы вынесены в обратную связь, которая по своей физической сути представляет собой обобщенную пружину с жесткостью, определяемой выражением:

к2 (тр2 + к2 + к)+

Кр =(к3 + к4 + к5 ) 4 -

Л

+к32 (щр2 + к + к2 + к) + 2к2к3к5

(17)

(14)

(15)

У3

Рис. 3. Приведенная структурная схема для определения динамической реакции на объекте защиты

Отметим, что обратная связь в структурной схеме (рис. 3) будет иметь положительный знак. Размерность входного сигнала в обратной цепи

1

2

2

2

соответствует смещению, а выходной сигнал имеет размерность силы. То есть обратная связь, в физическом смысле, отражает взаимодействие с опорной поверхностью В, что соответствует реакции

Яв = к 4 Уз = к^з(Р)бз- (17')

Вторая часть динамической реакции опреде-

ляется взаимодействием упругих элементов к , а также дополнительным членом, котор выражении (17) имеет отрицательный знак:

{(к4 + кз + к5 )А

2 — |к5 Х

А5 ...

к

и

Ятз =

^2 р 2 + ^ + к 2 + кз у

+ к2

т р 2 + к + + к + к

+

(17'')

- + 2к2кзк5 ] 1 Уз6з-

Передаточная функция при силовом входе ^ и выходе — Ят имеет вид:

Кт

Р)

Q3

(кз + к 4 + к5 )А2 —

(

т2р +

+ к 2 + к3 У

+ к I

тр2 + к + + к2 + к5

+

(17''')

+ 2к2к3к5 ]

^3 (р ),

иметь две частоты «зануления». Отметим, что эти режимы совпадают с режимами динамического

гашения по координате У при действии на объект защиты силы ^ ^ 0 (О, = 0, ^ = 0, = 0, ^ = 0), что следует из выражения (10) или (16).

В данной ситуации возможны частные случаи, например, к и к могут быть приняты равными нулю. В этом случае выражение (17) преобразуется к виду:

к3А3 — к32 (тр2 + к + к2 )

к'пр -'

(18)

где

Аз =(т^,р 2 + к1 + к2 )(т2 р 2 + кз )+ (19)

+ к (тр 2 + к ) Зная (18), можно найти реакцию на т3:

Зз = кПдУз, (20)

где У3 = Жз(р)бз (к4 = 0, к5 = 0).

Таким образом, для объекта защиты могут быть найдены динамические реакции как для контактов с опорной поверхностью, так и для полной реакции. Если к4 = 0, к5 = 0, то также может быть найдено значение реакции при использовании (18).

2. Для того, чтобы найти динамическую реакцию на промежуточной массе т ВЗУ, необходимо воспользоваться выражением (8):

где Ж (р)з = -1

(к3 + к^ + к^ )аА 2 к5 Л.. „2 , Л

2 , Л

«2р +

4+ к2 + кз У

к2

тр +

+ к| + к ^ + к^ у

2 к к к

В свою очередь:

Ж (р) = ^ = ^ в (р) бз А0

(171У)

В общем случае из (17''') и (17^) следует, что амплитудно-частотные характеристики имеют по три резонанса, а также две частоты, на которых динамические реакции Я^ будут равны нулю. Это соответствует режиму, когда динамическая часть общей реакции на объекте защиты т будет

равна нулю, но при этом остается статическая часть реакций, определяемая силами веса тяжести элементов виброзащитной системы и предварительными поджатиями пружин. Что касается динамической реакции на опорной поверхности В, то в соответствии с (171У) реакция Яв также будет

где

Щ Р) = ^

Q3

к^к^ + к5

^ тр2 +

\+к2 + к3 у

/ А

(тр2 + к + к2 + к5)—•••

к52 (тр2 + к2 + к3)+

тр2 + к3 +

к4 + к5 У

к 2 + 2к2к3к5

А4 = (т2р2 + к + к )х х (т3р2 + к3 + к4 + к )— к2.

(21)

(22)

Структурная схема для случая приведения общей системы к промежуточному элементу щ имеет следующий вид (рис. 4).

з

Х

0

2

к

5

0

4

г

к2к3 + к5 щр + + к2 + к3 у

Л

23

Рис. 4. Структурная схема для определения динамической реакции на промежуточном элементе ВЗУ - m1

Отметим, что при определении передаточной функции (21) можно представить на входе системы некоторую внешнюю силу 6', которая имеет вид:

/ 9 \

(23)

П'_П к 2 к3 + к 5 (т2 Р 2 + к 2 + к3 ) 61 = 63 А4 .

кПр =-

(24)

(к1 + к 2 )

Ящ (Р) = к':рУ1 =■ ^

х (т3р2 +к3 + к4)-к3 ] — к2

х (т3 р 2 + к 3 + к 4 )

2

т р 2 + ч+ к 2 + к3 у

(26)

Щ/ (р)й"

Для определения Щщ (р) вводится с учетом 6', определяемой (23), и принимая к5 = О .

Аналогичным образом по динамическим реакциям на опорной поверхности А и промежуточном элементе т могут быть получены передаточные функции от внешней силы 6 по параметрам реакций КА и Я , а также передаточные функции по соответствующим динамическим реакциям при силовом входном воздействии 6 .

3. Перейдем к определению динамической реакции от 6 по координате У , связанной с

промежуточной массой т . В этом случае выражение (11) принимает вид с учетом данных, приведенных в табл. 1.

[к5 + к2 + к х

р) = ^ =

2 (щ р2 + к2 + къ )-

х (щр2 + к + к + к )] / А

(27)

В данном случае 6' является эквивалентной силой внешнего возмущения, перенесенной от объекта защиты т3 к промежуточной массе ВЗУ -

щ . В свою очередь, если считать, что возмущение в системе имеет вид (23), то можно определить передаточную функцию от ' по координате у3. Эквивалентные преобразования такого рода рассмотрены в [6]. Приведенная жесткость обобщенной пружины, а таковой является физическая суть цепи отрицательной обратной связи в структурной схеме на рис. 3, определяется (при к5 = О):

_ (к1 + к2 )А5 - к2 (т3

р 2 + к 3 + к 4 )

ч, А.

2

щр + к ч+к + к

щр + к

ч+к + к5

- 2ккк

А А

где А6 =(щр2 + к + к + к)х(щр2 + к + к)-к]- (27') Структурная схема системы для определения динамической реакции от 6 на промежуточном элементе т приведена на рис. 5.

к + к - ■■

где А5 = (т2р2 + к2 + к )(тзр2 + к3 + к4 )-к32. Что касается определения реакции Я , то она может быть найдена как

Яа = к^ = к1Щ* (р)б1, (25) здесь Щ* (р) определяется из (8) при к5 = О; то есть Щ* (р) = р) ^=о.

Динамическая реакция Я определяется уровнем взаимодействия с опорной поверхностью А (рис. 1). Динамическая реакция на промежуточном элементе может быть найдена как

г

к2 (щр1 + к + к + к)+

2

щр2 + к + +к +к

кк + к ["Ч"2 + к'+] 1+ к2 + к3 У

А

У 2

Рис. 5. Приведенная структурная схема для определения динамической реакции от 6

по координате У

Приведенная жесткость обобщенной пружины определяется по схеме на рис. 5; при к5 = О

„ (к + к М7 - к2 (щр2 + к +

к" = -

кпр =

А,

(28)

+ к)-Щ3р2 + к + кАк2

где А = (тхр2 + к + к2 )(т3р 2 + к3 + к4 ). (29) Найдем значения кпр, кпр, кпр непосредственно из расчетной схемы на рис. 1 при к = О , используя методику, изложенную в [4], и получим:

. = к к 3 [(щ1 р 2 + к1 к 2 +

кпр = к4 + ^ ^ 2 ...

(к1 + т1 р к 2 + т2 р х (30)

+ тр2 (щр 2 + к + к)] х (щр2 + к + к) + к2 (щр 2 + к + к 2)'

у

у

+

щр

2:

х

knp — k1 +

k2 [(m3p2 + k4 )fc3 +

22 + m2p (m3p

к4 + mp2 jfc3 + mp2 x

k n p —

_ k2 [(ml

+ k3 + k4 )]

x (m3p2 + k3 + k4 )+ k2 (m3p2 + k3 + k4)

2 [(miP +

2 1 kj )(m3p2 + k, +

(kl

+ k2 + m1p 2 )X

k 4))+

(31)

(32)

+ k3 (mjP2 + kj + k2 )(m3p2 + k4 )] x (m3p2 + k3 + к ) III. Метод прямых преобразований расчетной схемы

Делая соответствующие преобразования в выражениях (17) при k5 = 0 (24), (27'), можно показать, что выражения, полученные на основании предлагаемого метода и при использовании способов прямой свертки [1, 4], совпадают. Расчетные схемы для получения приведенных жесткостей показаны на рис. 6, а, б.

а)

б)

- в

и

m-

m

{{}}

'Уз

_Л, в

Л

(mi Р 2 )"

+ m2p

m1p + k + k2 {}k23

(33)

1-

{ }+ k3

которая приводит к выражению (31).

На рис. 7, а, б показано, как формируется приведенная жесткость, то есть определяется коэффициент жесткости обобщенной пружины (32) [7]. Это связано с определением эквивалентной внешней силы 63 по формуле (23), что приведено на рис. 4.

При определении приведенной жесткости обобщенной пружины {{ }} (рис. 7, б) использу-

ется следующая последовательность операции свертки структуры

(m3 p2 + k 4 ) —

f ]+ m2p2 }—

(m3 p2 + k 4 )k3 m3 p 2 + k3 + k4

" { }k 2 11

(34)

ц{}' + к 211

которая приводит к выражению (32), что схематично изображено на рис. 7, б. Общая жесткость определяется суммированием к и {{ }}*.

а)

б)

Q"i

/

m.

k"

.Л, B

Рис. 6. Принципиальная схема формирования приведенной жесткости по расчетной схеме (а) при

силовом возмущении 6з на объекте защиты; б - приведенная схема;

Отметим, что расчетная схема на рис. 6, б включает систему с двумя упругими элементами с коэффициентами жесткостей к4 и {{ }}0 соответственно. Отметим, что жесткость {{ }}0 формируется в следующей последовательности действий: (т р2 + к )к2

Рис. 7. Принципиальная схема формирования приведенной жесткости по расчетной схеме (а) при эквивалентном силовом возмущении

63 на элемент Щ ; б - приведенная схема Что касается определения приведенной жесткости, связанной с промежуточным элементом щ , то эквивалентная сила (рис. 5) определяется выражением

Q" — 0з

k2k5 + k (щр2 + k + k + k) (щр2 + k + к + k )(щр2 + к + к )" kl

(35)

При дальнейших расчетах принимаем к = 0.

Принципиальная расчетная схема и возможность приведения к упрощенному виду отражены на рис. 8, а, б.

а)

б)

Q.

///////¿'S/-///////////

-Л, В

Рис. 8. Принципиальная схема формирования приведенной жесткости обобщенной пружины по расчетной схеме (а); б -приведенная схема

В данном случае эквивалентная внешняя сила Q3 определяется из выражения (35). В свою очередь, общий коэффициент жесткости формиру-

*

k

Q

k

k

4

m

k

k

0

В

ется суммой двух жесткостеи

[ ] и [ f (рис. 8, б)

на основе реализации следующих последовательностей действий:

(m

m p +

а также (m3p2 +

ki ) k4 )-

(ml p 2 + k )k2 + k + k2 k 4 )k

m1p

m3 p' - + k 4 k

m3p2 + k3 + k4

(36)

(37)

что, в конечном итоге, приводит к выражению (32).

Таким образом, определение динамических реакций связано с оценкой приведенных жестко-стей обобщенных пружин, которые создают динамические жесткости, зависящие от частоты внешних возмущающих. Показаны два подхода, основанные на предлагаемом методе формирования цепи обратной отрицательной связи на выделенном массоинерционном элементе, а также на процедурах последовательной свертки с использованием исходных расчетных схем (рис. 6, а, 7, а, 8 а). Отметим, что свертка достаточно проста лишь для планарных систем, поэтому в данном случае принималось, что к = О . В тех случаях, когда непланарности приходится принимать в расчет, необходимо использовать ряд предварительных преобразований, что усложняет методику определения приведенных жесткостей, но приводит к аналогичным результатам.

Заключение

1. Предложен метод определения динамических реакций на объекте защиты, а также на инерционных элементах виброзащитного устройства (ВЗУ) и на опорных поверхностях А и В. Основой метода является преобразование структурной схемы системы к виду, соответствующему звену интегрирования второго порядка с формированием дополнительной отрицательной обратной связи, которая, по своей сути, и является динамической реакцией. В системе с тремя степенями свободы такие преобразования делаются в случае необходимости не только для объекта защиты, но и для промежуточных масс. Метод применим и для систем с большим числом степеней свободы, однако, при этом происходит заметный рост трудоемкости вычислений.

2. Структура дополнительной отрицательной обратной связи может быть получена более простым путем, если использовать характеристическое уравнение системы, входящее в соответствующую передаточную функцию. Уравнение трансформируется с выделением нужной парциальной системы с последующими преобразованиями структуры.

3. При построении таким образом приведенных структурных схем осуществляется перенос силы, приложенной изначально к объекту защиты, к промежуточному инерционному элементу. Такая сила является эквивалентной в том смысле, что передаточные функции, полученные с использованием, при переносе силы в новую точку дают тот результат, что и при обычном порядке.

4. Предлагаемый метод позволяет получать передаточную функцию динамической реакции элемента или опоры путем умножения соответствующего приведенного коэффициента жесткости обобщенной пружины (или динамической жесткости) на соответствующее смещение элемента в системе координат.

*Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 гг. (мероприятие 1.3.2 - естественные науки) № 14.132.21.1362.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Елисеев С. В., Московских А. О., Большаков Р. С., Савченко А. А. Возможности интеграции методов теории цепей и теории автоматического управления в задачах динамики машин // techomag.edu.ru: Наука и образование: электронное научно-техническое издание. №6. 2012. URL. http://technomag.edu.ru/doc/ 378699.html (дата обращения: 10.06.2012)

2. Вибрации в технике: справочник в 6 т. Т. 6. Защита от вибраций и ударов / под ред. К.В. Фролова. - М.: Машиностроение. - 1983. - 586 с.

3. Harris'C.M., Allan G. Shock and Vibration Handbook. USA / Mc Graw-Hill / New-York. 2002. -pp. 877.

4. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. - Иркутск: - ИрГУПС. 2012. - 276 с.

5. Елисеев С. В., Трофимов А.Н., Большаков Р. С., Савченко А. А. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний // techomag.edu.ru: Наука и образование: электронное научно-техническое издание. №5. 2012. URL. http://technomag. edu.ru/doc/378353.html (дата обращения: 10.05.2012).

6. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Методологические основы решения задач. Ме-хатронные подходы (часть I) // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Выпуск № 4(36). 2012. с. 8- 21.