Метод структурных преобразований и его приложения в задачах динамики виброзащитных систем. Определение реакций связей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62- 752 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения

Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, главный научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования Иркутского государственного университета путей сообщения,

тел. 8(3952)598428, e-mail: [email protected] Большаков Роман Сергеевич,

младший научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования Иркутского государственного университета путей сообщения, e-mail: [email protected]

МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ

A.P. Khomenko, S.V. Eliseev, R.S. Bolshakov

THE METHOD OF STRUCTURAL TRANSFORMATIONS AND APPLICATIONS IN TASKS OF DYNAMICS OF VIBROPROTECTION SYSTEMS. DETERMINATION OF RESPONSES OF TIES

Аннотация. Предлагается метод определения реакций связей в виброзащитных системах, состоящих из объекта защиты и виброзащитных устройств (ВЗУ). В простейшей форме ВЗУ представлены в виде упругих элементов, к которым могут присоединяться диссипативные звенья и устройства для преобразования движения, в том числе и рычажные механизмы. Показано, что ВЗУ могут иметь достаточно сложную структуру. При этом реакции на входе и на выходе ВЗУ могут совпадать, если в его составе не имеется массо-инерционных элементов с независимыми координатами движения. В противном случае динамические реакции связей на входе и на выходе будут различными, что зависит от особенностей инерционных сил, возникающих при движении промежуточных элементов.

Сущность метода заключается в том, что при использовании структурных моделей в виде структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении системам автоматического управления, становится возможным выделение объекта защиты в виде интегрирующего звена второго порядка. В этом случае динамическая реакция связей интерпретируется как обратная отрицательная связь. Коэффициент усиления связи соответствует коэффициенту жесткости механической системы, сформированной в результате структурных преобразований. Статические реакции определяются на той же алгоритмической основе при «занулении» комплексной переменной с учетом расположения постоянно действующих сил. Полная реакция связей определяется как сумма статической и динамической составляющих. Приводятся примеры преобразований и приложений.

Ключевые слова: реакции связей в механических колебательных системах, структурные модели, преобразование структурных моделей, структурный метод определения динамических реакций связей.

Abstract. Method of definition of responses of ties in vibroprotection systems composed ofprotection object and vi-broprotection devices (VPD) is offered. In simplest form VPD is presented as elastic elements which can join dissipative links and devices for motion transformation, including lever mechanisms. It is shown that VPD can have a rather complicated structure. The responses at the inlet and at the outlet of VPD may coincide if VPD composition doesn't include of massinertial elements with independent coordinates of movement. Otherwise, the dynamic responses of ties at the inlet and at the outlet will be different which depends on the features of the inertial forces generated by movement of the intermediate elements.

While using structural models in the form of structural schemes equivalent in a dynamic relation automatic control system, it becomes possible to separate the protection object in the form of integration link of second order. In this case dynamical response of ties is interpeted as negative feedback. Coefficient of gain of tie corresponds to a coefficient of rigidity of the mechanical system formed as a result of structural transformations. Statical responses are define on same algo-rithmical base at «nulling» a complex variable taking into account the location of constantly operating forces. Full response of ties is defined as the sum of static and dynamic components. Examples of transformations and applications are given.

Keywords: responses of ties in mechanical oscillation systems, structural models, transformation of structural models, structural method of definition of dynamical responses of ties.

Введение

Учет вибрационных нагрузок традиционно занимает заметное место в задачах динамики машин, что предопределяет интерес к разработке способов и средств контроля и управления дина-

мическим состоянием сложных механических систем. В этом плане актуальным направлением научных исследований и разработок является развитие существующих и создание новых методов, которые обладали бы возможностями обобщения

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

и рационального применения в комплексных задачах, связанных с учетом взаимодействия разнородных систем, состоящих из элементов различной природы [1-4]. Ряд научных направлений, развитие которых было заложено в предшествующие периоды, еще не получили должного освещения и могли бы быть продолжены в интересах создания обобщенных подходов в решении специфических задач динамики машин в направлениях виброзащиты и виброизоляции, мехатроники, ро-ботехники и вибродиагностики. Это связано, в частности, с дальнейшей детализацией представлений об использовании приведенных параметров механических систем [5-7]. В этом плане актуальными являются дальнейшие разработки приложений к задачам динамики методов теории цепей и автоматического управления, как некоторого достаточно общего подхода в решении широкого класса задач, связанных с оценкой динамических свойств систем и определением их динамических параметров [4,8-10].

В предлагаемой статье рассмотрены возможности разработки метода математического моделирования динамических взаимодействий в механических колебательных системах и определения динамических реакций между типовыми элементами или звеньями механических систем на основе структурных подходов.

I. Некоторые общие положения

На основе сравнительного анализа работ в области динамики машин можно отметить, что расчетные схемы в задачах динамики, в том числе виброзащиты и виброизоляции, представляют собой механические колебательные системы с одной, двумя и более степенями свободы. В состав этих систем входят типовые элементы. Наиболее известными из них являются массо-инерционные и упруго-диссипативные. Вместе с тем развитие подходов в разработке способов и средств вибрационной защиты приводит к расширению представлений о наборе типовых элементов. В частности, это связано с детализацией рассмотрения динамических свойств виброзащитных систем, имеющих в своем составе более сложные структуры в виде устройств для преобразования движения и механизмов. Анализ способов и средств виброзащиты и виброизоляции технических объектов показывает, что большинство технических реализаций упругих и диссипативных элементов используют механизмы, привносящие динамические особенности даже в простейшие задачи виброзащиты [11-13].

Развитие обобщенных представлений виброзащитных систем различного конструктивно-

технического исполнения позволяет сформулировать доказательную основу для расширения набора типовых элементов за счет введения новых звеньев, интерпретируемых в символике теории автоматического управления как дифференцирующие звенья второго порядка. Для построения более сложных систем используются правила структурных преобразований. В механических системах основными являются правила параллельного и последовательного соединения пружин, объединяемые с правилами обратной связи. Отметим, что определение статических и динамических характеристик системы, в частности реакций, достаточно рационально реализуется на основе структурных методов [13-15]. На рис. 1, а-в приведены некоторые обобщенные представления о задачах вибрационной защиты, что связано с выделением виброзащитных устройств (ВЗУ) как некоторых элементов системы. В рамках такого подхода достаточно просто выделяются особенности и формы реализации реакций связей. Более детально эти вопросы рассмотрены в работах авторов [15-17].

a)

б)

Q

ВЗУ

R'

объект защиты

Q(t)

ВЗУ

объект защиты

R'

ш ВЗУ R' объект

*-

защиты

Рис. 1. Принципиальная схема виброзащитной системы

с одной степенью свободы: а - общий случай; б - силовое возмущение; в - кинематическое возмущение (R представляет собой реакцию связи)

Реакции, возникающие в точках контакта элементов виброзащитного устройства, достаточно разнообразны и имеют статическую и динамическую составляющие. Статические реакции формируются под действием постоянных сил, в том числе и сил тяжести.

На рис. 2, а-е показана последовательность преобразований при детализации постановок задач для определения реакций. Под силой Q понимается сила веса.

Из рис. 2 следует, что выбор опорных поверхностей I и II предопределяет особенности реакций, которые могут рассматриваться как отдельные взаимодействия или как происходящие в параллельном соединении и др. Структурные схемы системы на рис. 2, г, д, е относятся к случаю динамических взаимодействий. В работах [15-17] предлагаются методические подходы, в которых

R

R

У

У

У

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Рис. 2. Принципиальная схема отношения опорных поверхностей (а - раздельные, б - раздельные и параллельные, в - общие) и соответствующие структурные схемы (г - раздельные пружины, д -пружины в параллельном соединении, е - пружины как дополнительные обратные связи)

На рис. 3 приведена расчетная схема системы с двумя степенями свободы.

структурные схемы могут использоваться для определения как статических, так и динамических реакций; при р^0 математическая модель отражает статические свойства системы. Последнее связано с определением соответствующих приведенных жесткостей, которые нужны для расчета статических реакций. а) "Т^"'/ ®

Расположение постоянных сил имеет существенное значение для определения реакций связей. При одновременном действии нескольких сил используется метод суперпозиции.

На рис. 4, а—г приведены расчетные схемы для определения реакций от сил веса (^ и Q2).

ч т. В _

а) /////¿////// (¡л

б)

У,

1 / 1

1 т. А т. А

в,

в,

>777777777777 т. А

© 77/777 ///>//(¡¡) т. А т. В

в)

У,

1 /

1 т.т. А, А

в, Г)

т.т. _А, А

т. В, к

т.т. А, В

в,

к, +-

1 К 2 + К3

(в2 = 0)

т.т. А, В 777777Т7777777

©'© т. В

Рис. 4. Принципиальная схема для расчета статических реакций от действия сил веса: а - расчетная схема с двумя силами веса Q¡ и Q2; б - преобразованная схема с разделенными опорными поверхностями; в - схема с общей опорной поверхностью; г - схема при условии Qг = 0

©

т.А1

®

т

тт

т.А.

]т.Б,

Рис. 3. Принципиальная схема системы с упругими связями k2, kз и постоянными силами F1 и F2

Реакция в т. В, то есть между упругим элементом к3 и опорной поверхностью II, определяется выражением

Р\к 2 кз

Дв = кз У 2 ='

(1)

к(к^ + к2) + кхк2 При этом | Д | = Д |, а Дв | = Д |. Что касается пружины с жесткостью к2, то усилие ее деформации может быть найдено:

Д'2 = (У -У,)к2 = К(-

(к2 + к3 -к2)к2 =

КК + кк + кк3

(2)

Кк2кз

кк + кк + кк

Из (2), в частности, следует, что ЩА = Дв .

Если опорные поверхности I и II (рис. 4, а) разделены, то можно ввести некоторую детализацию в построение структурной схемы, как это показано на рис. 5, что соответствует введению дополнительной обратной связи.

к

1 1 /1

тр2

к2

тр +к+к

к

тр + к + К

в2

Рис. 5. Детализированная структурная схема для определения статических реакций, связанных с элементом m1 При взаимодействии с опорной поверхностью I (точка А) статическая реакция от действия

силы тяжести (в данном случае) в определится

т

к

т

т

к

К

К

к

т.А

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

К'А = кхух, чему соответствует обратная отрицательная связь с передаточной функций к (рис. 5). Физический смысл такой обратной связи заключается в том, что она соответствует величине жесткости пружины между элементами Ш\ и опорной поверхностью I (рис. 4, а при = 0). Что касается силы Q2 (рис. 5), то она формирует

Я = ку = к1Ж1(р)й2 (при Q1 = 0) что при р = 0

к

к2 + к3 кхк2

Q2, (Ао - ха-

дает ЯАА = к1 ■

к2 + к3 А0 А0

рактеристическое частотное уравнение системы). Окончательно получим (используя принцип суперпозиции, имея два входа ^ и Q2):

Л =

к1(к2 + кз)& | Q2k1k2 (3)

А0 Ло

Важным обстоятельством является то, что статические реакции в необходимых точках механических систем могут определяться на основе использования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Отметим, что использование структурных подходов связано с определенными условностями, так как структурные схемы, в обычном понимании, применимы при периодических сигналах и используются в частотном анализе. Однако необходимые для определения статических реакций соотношения между упругими элементами и правила преобразования структурных схем сохраняются при р = 0. В этом случае нет противоречий, поскольку в преобразованиях Лапласа линейные дифференциальные уравнения движения при гармонических воздействиях преобразуются в алгебраические, а принцип кинетостатики при равенстве нулю сил инерции трансформируется в уравнение статики. Отметим также, что при рассмотрении задач статики и статических реакций, вызванных силами веса или специальными постоянными силами, формирующимися специальными устройствами, используемые передаточные функции представляют собой отношения изображений по Лапласу выходных сигналов в виде смещений при входных сигналах в виде постоянных сил. Разработанный метод может быть распространен и на системы, в которых массо-инерционные элементы могут быть представлены не только материальными точками, но и твердыми телами.

II. Особенности виброзащитных систем с объектом защиты в виде твердого тела

Рассматривается механическая система, состоящая (рис. 6) из твердого тела массой М и мо-

ментом инерции расположенного на упругих опорах жесткостью к1 и к2.

1 г 1п ^ ' Ф

т. О '^т. О ,

У2

М, J т- БК

2Я т/7^7©

Рис. 6. Расчетная схема механической системы, содержащей твердое тело

Силовые воздействия могут быть заданы в виде моментов сил или сосредоточенных сил в привязке к рассматриваемым координатам. После соответствующих преобразований найдем, что в точке А1 будут действовать суммарные силы

л = (Т+Ж +

А + 12

/1 + ^2

я ^ + Т к Т/о

(4)

(5)

+ 12 + 12 Для опорных реакций в т. А и В выполняются условия |лА1| = \яА\, \ят\ = |ЛБ | . Таким образом,

статические реакции в т. А, Аь В и В1 в системе координат у иу2 определяются выражениями (4) и (5). При этом статическая реакция зависит не только от силы веса, приложенной в центре тяжести, но и от дополнительной силы Т , которая приложена в т. Оь смещенной на величину /0 относительно центра тяжести т. О. Статические реакции системы могут быть определены с использованием структурных схем и передаточных функций с учетом особенностей, возникающих при условии р ^ 0.

В [15] рассмотрена расчетная схема системы, которая имеет, в отличие от рис. 6, дополнительную массу т, опирающуюся на упругий элемент жесткостью к3, как показано на рис. 7 (расстояние ОА2 = /0).

Определение статических реакций в т. А, А1, В и сводится к предыдущей задаче. Отличие заключается в том, что статические реакции возникают также в т. А2, А3. При этом |ЛА2| = |ЛА3|.

Для определения статической осадки т можно воспользоваться структурной схемой, которая в данном случае может быть построена на основе системы дифференциальных уравнений, получаемых обычным способом.

2

к

2

т. , т,

* ¡1 т. 4 10 ^^ Ф 4

^ О ( , 5

У 2

М, J т. В1

т. В

структуры системы, числа и вида связей. Методические основы определения динамических реакций могут быть рассмотрены на примере механической колебательной системы с двумя степенями свободы (рис. 8, а, б, в), совершающей малые колебания относительно положения статического равновесия. а)

/77777 /77777

Рис. 7. Расчетная схема системы с дополнительной массой

Таким образом, предлагаемый обобщенный подход к оценке реакций связей связан с выделением по отношению к объекту виброзащитного устройства (ВЗУ). Реакции в точках контакта с опорными поверхностями совпадают между собой только при отсутствии в конструкции независимо двигающихся массо-инерционных элементов. В общем случае реакции не равны между собой, а их определение должно учитывать особенности структуры виброзащитной системы. При этом конкретная реализация системы расположения сил влияет на величины статических реакций. Для определения необходимых значений реакций в технологии их нахождения используются передаточные функции системы, которые при обнулении комплексной переменной р = дают необходимые данные о свойствах системы при передаче статических усилий.

III. Механическая цепь из двух массо-инерционных элементов

В простейших вариантах построения виброзащитных систем объект защиты соединяется с окружающей средой, создающей силовые и кинематические возмущения, с помощью виброзащитных устройств (ВЗУ), которые сами по себе не содержат в своем составе инерционных элементов, то есть соединительные устройства представляют собой идеализированные пружины и демпфера. В таких случаях виброизолирующее устройство между объектом защиты и основанием или опорой имеет динамические реакции, которые равны между собой, что соответствует представлениям о том, что «действие равно противодействию» [1-3]. Если соединение между объектом защиты и опорой является более сложным и представляет собой, к примеру, механическую цепь, включающую инерционные элементы, то виброизолирующее устройство уже не будет обладать симметрией динамических взаимодействий. Динамические реакции, вызванные внешними возмущениями, в общем случае, как уже было упромянуто, будут различными, что зависит от мест приложения сил,

к2 кз <2-2

к3 + к2 1 щр2

.22

Рис. 8. Расчетная схема (а) виброзащитной системы с инерционным элементом (от2): детализированная (б) и обобщенная (в) структурные схемы

Структурные схемы построены на основе математической модели в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений движения:

т1у1 + (к1 + к2 )У1 " к2 У 2 = й ()+к1 (), (6) т2У2 + к + к3 )у2 - к2у1 = Q2 ()+к3г2 (?). (7) Для построения структурных схем использовалось преобразование Лапласа (р = /ю - комплексная переменная).

Принимается, что система является линейной, силы трения - пренебрежимо малы; т2 - объект защиты; т! - масса виброизолирующего устройства; к1, к2, к3 - упругие элементы. Окружающая среда такова, что система имеет две опоры (или контакты) с основаниями (I и II). На систему действуют силовые факторы в виде гармониче-

к

2

2.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ских сил Q1 (1) и в2 (?). Через (г) и г2 (г) обозначены известные (гармонические) движения основания.

Структурная схема на рис. 8, б отражает детализированные представления о динамических взаимодействиях в системе на уровне поэлементного рассмотрения. Точки 1, 2, 3, 4 являются характерными и используются в структурных преобразованиях, позволяющих установить связи между внешними воздействиями (или входными сигналами) и характеристиками динамического состояния (смещения, скорости, реакции) или выходными сигналами. Структурная схема на рис. 8, в является результатом некоторой «сборки» исходной математической модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений, в которых выделены два блока, называемые парциальными системами. Вариант структуры на рис. 8, в отражает основные особенности динамической связи между парциальными системами, в данном случае они носят упругий характер. При выборе других систем координат связи между парциальными системами будут носить иной характер. Будем полагать, что в рассматриваемых случаях действует только одно из возмущений, а остальные принимаются равными нулю. Совместное действие нескольких возмущений, например двух, решается на основе принципа суперпозиции. Ниже рассматриваются вопросы обоснования и методика определения динамических реакций в т. А, В, соответственно опорных поверхностей I и II (рис. 8, а).

IV. 1. Определение динамических реакций в виброзащитной системе

Полагаем, что т2 является объектом защиты, а система элементов к1, к2, к3, т1 представляет собой виброзащитное устройство (ВЗУ), которое формирует динамические реакции на опорных поверхностях, а также на массо-инерционных элементах т2 и т1, то есть динамические реакции в т. А и В (рис. 8, а) и динамические реакции в т. 1, 3 (рис. 8, б).

Примем, что в ф 0, а в = 0, = 0 и = 0 . Тогда уравнения (6) и (7) примут вид:

тхУ + (к + к2)• У! -к2у2 = 0, (8) т2У2 + к + кз )у2 - к2у! = Q2 . (9)

После применения преобразований Лапласа из (8) можно найти, что

У1 = У 2 •

к

тр + к + к2

(10)

После подстановки (10) в (9) и разрешения уравнения относительно т2р2 • у2 получим урав-

нение кинетостатики (соответствующее принципу Даламбера), из которого следует, что динамическая реакция на массе т2 (или реакция связи) определяется:

Дт2 = у 2

к3 +

(т)Р2 + к )• к2

тр2 + к + к2

(11)

Система уравнений (8), (9) дает возможность найти передаточные функции системы:

^ )=в-=А-

2 "0 2

^2 (Р) = ^ = в 2

у 2 тр + к + к2

(12) (1з)

где

(14)

А = (тр2 + к + к )х

х (т2р2 + к + к )- к2 является характеристическим уравнением. Полагая, что у2 = W2 (р)^ в, как это следует из (13), получим выражение для определения динамической реакции на объекте защиты т2:

йт —

(тр2 + к )• к тр2 + к + к

тр2 + к

А«

к• в2- (15)

Из (15) следует, что динамическая реакция Ят2 имеет две компоненты. Одна из них связана с упругим элементом жесткостью кз и составляет:

(^ )' = к3 •(т1р2 + к1 + к2 ) .

Q2,

(16)

что соответствует динамической реакции в т. В на опорной поверхности II (рис. 8, а). Вторая компонента (15):

(Дт2 )" = (т1р 1 + к1 + '2 )^2 (17)

А

является динамической реакцией на объекте защиты без учета действия пружины кз. Таким образом, получим, что:

(-^ )" = кз \т1р2 + к1 + к2)

Дв = (Дт

А)

(18)

Полная динамическая реакция на объекте защиты определяется суммой двух динамических реакций :

н

Яш2 = + (йт2 ) =

к • (тр2 + к + к)+

А "' + (т^2 + к, )• к2 -

(19)

0

При отсутствии пружины к3 схема упрощается, контакт с опорной поверхностью II (рис. 8, а)

нарушается. Тогда Ящ = (ящ ) .

Используя (12), (13), можно найти передаточные функции для динамических реакций:

г

Яв (Ятг) к •(тр2 + к + к)

У (р) = 7Г = Чг- = 3 ( + ) • (20)

22 22 А0

_Ятг _кз •( ЩР2 + к1 + к2 ) + (т1Р2 + к1 )• к2 _ УУ т — ~=- — - —

22 А

(щр2 + к )• (к2 + к)+к • к3

(21)

)' = ) = к2 • (^р2 + к1)

"2 ^ . (22) Q 2 А0 )

Из анализа (20)-(22) можно сделать вывод, что динамические реакции будут иметь максимальные значения в резонансных режимах, вызванных действием внешней силы 2 . Вместе с тем на амплитудно-частотных характеристиках будут наблюдаться режимы, при которых отношение Я / ^ будет иметь нулевые значения. Отметим, что такие частоты определяются следующими значениями:

1) для динамической реакции ЯБ

2 к1 + к 2 . (О = - ;

щ

(23)

2) для полной динамической реакции на элементе т2

^2 = к2 • к3 + к1 • (к2 + к3 ) .

2 0 , \ ; (24)

т1р • (к2 + к3 )

3) для динамической реакции на элементе т2 без учета действия пружины к3 (или к3 = 0)

2 к тл

(25)

ям «зануления» динамических реакций, при этом в точках контакта остаются статические компоненты полных реакций, которые формируются статическими силами, определяющими положение статического равновесия. Координаты движения системы У1 и У2 при выполнении условий (24), (25) могут иметь и ненулевые значения.

IV. 2. Особенности динамических взаимодействий с опорной поверхностью I (рис. 8, а)

Используя уравнения (8), (9), которые при преобразованиях Лапласа превращаются в алгебр аические , можно ввести соотношение:

2 2 + к 2 У1

У 2 =

щр2 + к2 + к3

(26)

что после подстановок и преобразований позволяет получить выражение для динамической реакции

Я т , которая формируется от действия внешней силы Q 2 на массоинерционном элементе с массой т\. Такой элемент (щ ф 0) отражает инерционные свойства вибрационного устройства. Таким образом:

к +

к2 •(т2 р 2 + к3 )

щр 2 + к + к3

• У

1 •

(27)

Динамическая реакция Ят имеет также две

компоненты Ящ = (Ящ ) + (Ящ ) , которые соответственно определяются:

(Ящ ) = ЯА = к1 У1

(Я )" = к2 • (т2 р2 + к3 ) У

(Ят2 ) =1-Т^-П ^ У1.

Щ2 р + к2 + к3)

Принимая, что У1 = У1 • 2 =

к 2 • 2 2

А,

это следует из выражения (12), запишем:

„ кл • к-, _

О . _ 1 2 /О

Я А =

• 2 2 ,

Рассмотренные режимы связаны с динамическими реакциями, поэтому они могут отличаться от известных форм режимов динамического гашения колебаний [1-3]. В частности, режим «зануления ЯБ» (то есть къ ф 0) совпадает с режимом динамического гашения по координате У2 от действия гармонического силового возмущения Q2. В этом случае масса т2 становится неподвижной, поэтому и реакция с опорной поверхностью II (точка В) будет иметь нулевое значение, хотя к3 ф 0.

Что касается режимов, определяемых выражениями (24), (25), то они соответствуют услови-

(ят2 ) =

к22 •(т2 р 2 + к3 )

А0 •(т2Р 2 + к2 + к3 ) 2

(28)

(29)

как

(30)

(31)

Полная динамическая реакция на инерционном элементе ВЗУ имеет вид:

• (т2р2 + к3 )

Ящ —

к1 • к2

+

10 А0 • (т2р2 + к + к3 Из соответствия (18) и (30) можно отметить, что реакции ВЗУ на опорных поверхностях (I) и (II) (рис. 8, а) будут различными, что совпадает с оценкой свойств ВЗУ с инерционными элементами. Выражения для амплитудно-частотных харак-

к).

• Q2. (32)

0

Ящ —

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

теристик динамической реакции Ящ по входному возмущению в2 имеют вид:

г(р) _кт _ к • К •(тр1 + к2 + т в2 А) •(т2р2 + к2 + кз)

+к ) + к22 • (т2рг + к ) (ж (р))' = (Дт^)_==

( т1 (р))= Q 2 = Q 2 = А ,

(33)

(^^т, (р))

а

" _(Кт, ) _ К2 •Ц/ + кз )

в А • (т2р2 + к + к + к)

(34) . (35)

Отметим, что реакции в системе (рис. 8, а) отличаются большим разнообразием. Например, реакция в т. А не принимает нулевых значений. Из (33) и (35) следует, что возможны частоты, на которых могут наблюдаться режимы «зануления» реакций:

1) для полной динамической реакции на элементе т1

&2 _ к2 • к3 + к1 • (к2 + к3 ) .

т.

•(к1 + к2 )

(36)

2) для массоинерционного элемента т1, взаимодействующего с объектом т2 через пружину к2

2 к3

(37)

Особенность динамических реакций, рассматриваемых на инерционном элементе ВЗУ (т{) заключается в том, что амплитудно-частотные характеристики, определяемые (33) и (35), имеют экстремальные значения не только на частотах собственных колебаний, определяемых из частотного уравнения А0 , но и на парциальной частоте объекта защиты т2. Такая частота может быть найдена из выражения:

2 к 2 + к3 Ш =-

т-,

(38)

Отметим в качестве общего свойства, что при параметрах системы, когда к = к2 = к = к и т = т2 = т, система приобретает частные свойства, требующие отдельного рассмотрения.

IV. 3. Структурные подходы в определении динамических реакций

Преобразуем расчетную схему, приведенную на рис. 8, а, к виду показанному на рис. 9, а. Для построения структурных схем на рис. 9, б, в, г сделаны преобразования структурных схем на рис. 8, б и рис. 8, в.

а)

вгО

1

- 1

Г

г2 /^уМ^

▼ т. В т. А "

б)

(к+тр2 )• К

в 2

1

тгр 2

У2 = 0,

-1

в)

(к+ тр2 )• к2

тр2 + к + к2

г 1

тр1 + к

У2

в 2

г)

(+)

к1

т1 р + к2

1

тх р 2 + к 2 + кз

У2

в 2

Рис. 9. Расчетная схема (а) с выделением механической цепи ^ ^ m1; структурная схема (б) с дополнительной отрицательной обратной связью и выделением парциальной системы m2, kз; структурная схема с выделением положительной (г) обратной связи и пар циальной системой m2, Ь2, kз Опорные поверхности I и II, показанных на рис. 8, а, введено для получения более полной конфигурации исходной расчетной схемы, что, в частности, отражается через наличие упругого элемента к3. В дальнейших расчетах к3 может быть приравнен к нулю без потери общности выводов. На рис. 9, а показано, что исходная расчетная схема может быть преобразована к виду, когда объект защиты опирается на два упругих элемента. Один из них представлен упругим элементом к3, а другой - сложным упругим элементом, состоящим из двух пружин к1 и к2, а также промежуточной мас-

т

к

т

к

к

2+к, + к.

тр + к+К

к

3

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

к

тр + к + к2

. Приведенное отражает относи-

Жос (р) = к3

+ -

(39)

т1 р2 + к + к2 Что касается динамических реакций для других элементов и ситуаций, то это зависит от

сы ть Такое представление виброзащитной системы имеет свои преимущества, связанные с возможностями прямого использования методов теории цепей для построения комплексных сопротивлений или приведенной жесткости [4]. В этом плане показательна структурная схема на рис. 9, б, на котором выделен объект защиты вместе с упругим элементом к3, образующим парциальную систему частного вида. В этом случае упруго-инерционная структура оставшейся части механической системы может быть интерпретирована как положительная обратная связь для элемента с передаточной функцией —1—-, то есть объекта за-

т 2 Р

щиты, что можно в физическом смысле сопоставить с некоторой пружиной, имеющей динамиче-

(к + щ р 2 )• к2 скую жесткость к = ——1—'—2. При этом

тр + к + к2 пружина с динамической жесткостью будет работать в параллельном соединении с пружиной с постоянной жесткостью к3, но эта пружина будет отображаться уже отрицательной обратной связью. Выбор знака обратной связи может быть соотнесен с детализацией представлений о прямых и обратных связях, как показано на рис. 8, б, в.

Из структурных схем рис. 9, в и г следует, что структурная схема на рис. 9, б может быть свернута так, чтобы основой структуры стала парциальная система с передаточной функцией 1

-г-, тогда в схеме остается только один

щр + к3

упругий элемент (рис. 9, в). В свою очередь, парциальная система может также включать и упругий элемент к2, тогда структурная схема на рис. 9, г будет иметь положительную обратную связь, а ее передаточная функция упростится и примет вид

соответствующего выбора места динамических контактов.

1. Для определения динамической реакции в т. В можно воспользоваться структурной схемой на рис. 9, б. Учитывая то обстоятельство, что имеется элемент с передаточной функцией Ж(р) = к3, приведенная динамическая жесткость цепи обратной связи к (рис. 9, б), определится выражением:

= Щ1р2 + к )• к2

кпр 2 1 1 .

т р 2 + к + к

Кроме того, обратная связь является отрицательной по отношению к элементу с передаточной

(40)

функцией Ж (р) = . В

свою очередь, можно

т2 р

привести структурную схему на рис. 9, б к виду, показанному на рис. 9.

Рис. 10. Структурная схема виброзащитной системы с выделением объекта защиты т2

Передаточная функция отрицательной обратной связи (рис. 10) представляет собой динамическую реакцию на объект защиты (т2):

к +

= к3 У 2 + У 2

(к + тхр2 )• к 2 т1 р2 + к1 + к2

(к1 + Щр2 )• к2

т р 2 + к + к

• У 2 =

(41)

тельность понятий о знаках обратной связи в системе, что зависит от выбора вида парциальной системы и форм их упрощения до передаточной функции объекта защиты. Очевидно, что динамическая реакция на объекте защиты Я^ (р) может

быть найдена по структурной схеме на рис. 9, б. В этом случае необходимо сформировать цепь обратной связи:

(^р2 + к )• к2

что совпадает с выражением (11).

Динамическая реакция Я т на объекте защиты имеет две составляющие. Одна из них Я'т2 = кУг совпадает с выражением (16). Физический смысл этой составляющей динамической реакции заключается в том, что она формируется взаимодействием объекта защиты т2 с неподвижной опорой В (рис. 8, а). Вторая часть динамической реакции на объекте защиты определяется выражением (17), которое соответствует приведенной жесткости упруго-инерционной системы (виброзащитное устройство - ВЗУ) между объектом защиты и неподвижным основанием (или опор о й А ) (р ис . 8 , а) .

Будем полагать в данном случае, что

У 2 = Ж2 2 2, тогда:

Ят2 —

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Ятг = ^ (р)^ кз • в2 + (р)-в2 X

(к + тр2 )• к к •(тр2 + к + к) 4 2 — ' т р + к + к А

к2 •(к: + щр2)• в2

(42)

хв2

А

Из (42) можно найти передаточную функцию динамической реакции Я т по внешней силе

в 2:

_ ' I т,

^ ( ) = кз ^тр2 + к+к)+

Я"2 ( ) в2 А

(43)

+к •( к + тр2)

—* к • (т р^ +

где Ят2 = Я в + Ят2, Дт = -

к )• Q2

А)

к пр = к3 +

(к1 + т^р 2 ) к2

2 , , (44)

т р 2 + к + к Динамическая реакция на объекте защиты имеет вид Я* = кпру2, что приводит к выражению (41). Приведенная жесткость может определяться также как комплексное сопротивление в механических и электрических цепях [4]. Для определения динамических реакций на промежуточном элементе т1 преобразуем структурную схему на рис. 8, в к виду показанному на рис. 11, а, б, в, г.

а)

б)

к

т2р + к2 + к3

т р + к2 + кз

•о-—

тр + к+к

в)

- - к - к2 + "

т1 р

У1

в 2

г)

К -{т2р2 + к + к)+ к '{т2р2 + к) т?р2 + к + к

1

2 т1 р

У1

кг „в 2

*2 р2 + к + Кз

Выражение (43) полностью совпадает с выражением (20).

2. Структурная схема на рис. 9, а дает также возможность найти динамическую реакцию на объекте защиты непосредственно через определение приведенной жесткости обобщенной пружины [9]. В данном случае жесткость такой пружины определится как

Рис. 11. Последовательное преобразование структурных схем при определении реакций на промежуточной массе

Структурные схемы на рис. 11 , а, б, в, г связаны между собой соответствующими преобразованиями. На рис. 11 , а основным элементом является парциальная система, образованная промежуточной массой т1 и двумя упругими элементами к1 и к2. Оставшаяся часть механической системы (т2, к2к3) образует положительную обратную связь, в которой находится точка приложения силы в , что может быть преобразовано к структурной схеме на рис. 11 , б. Упругие элементы к1 и к2 могут быть из схемы на рис. 11 , б переведены в обратную положительную связь; при этом коэффициенты жесткости к1 и к2 принимаются отрицательными (так же, как на рис. 11, в). Конечным итогом преобразований является переход к структурной схеме на рис. 11 , г, где в прямой цепи обозначено

звено с передаточной функцией -- . Положите

тельная обратная связь в этой системе соответствует динамической реакции Я т . Из рис. 11 , г следует, что обратная отрицательная связь представляет собой приведенную жесткость к' , определяющую искомую динамическую реакцию на промежуточной массе т\.

к' = к +

к •(т2р2 + к )

т2 р2 + к2 + к3

(45)

Передаточная функция системы имеет вид:

к

к

тр + к+к

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Ж (Р ) = = -2 2

т1 р2 (щр2 + к + к)

1+-

т1 р

к • ( щр2 + к + к)+к • ( щр 2 + к)

(тр1 + к + к)

(тр2) • (щр2 + к + к)+

• (тр2 + к + к) +

__к2

(46)

Я щ =

+ -

А0 ^ + к2 + к3

-хЖ( р )• 22, (47)

к1

11 /ТУ// 77777-1

т. В т. А

б)

2 2

к

щр2 + к + к

(к3 + т2р2 )• к2

т2 р2 + к2 + кз

-б1

т1 р

+к2 •(т2р2 + к3 4) тогда реакция на промежуточной массе т1 может быть найдена как произведение у1 на к 'пр и получим:

кхкг2г к2 •(т2р2 + кз)

Рис. 12. Расчетная (а) и структурная (б) схемы для определения динамических реакций

Динамическая реакция по промежуточной массе т1 может быть определена прямо по расчетной схеме на рис. 5, а, для чего необходимо, как и в случае с массой т2, воспользоваться приемами определения комплексных сопротивлений, как это делается в электрических (или механических) цепях [4]:

к' = к +

(Щ2 р2 + к з )• к 2

(50)

откуда

Я к к к2 • (щ р2 + к )

Ж (р) = ^ = 55. + 2 ( ^-• (48)

т1 (р) 22 А) (тр + к+кз)• А) • ( )

что полностью совпадает с выражениями (32) и (33).

Отметим, что на рис. 11 , г элемент структурной схемы с передаточной функцией

Ж22 (р) =-^---(49)

щр + к2 + к3

отражает эквивалентный перенос усилия 2 , приложенного к объекту защиты т2 при определении динамической реакции на промежуточной т1, в новое место - масса т1 . На рис. 12 приведена расчетная и структурная схемы для определения динамической реакции на промежуточной массе ть

а)

22 2 ^ , тр + л2+к

т2 р + к2 + кз что совпадает с выражением (45).

V. Сравнительный анализ амплитудно-ч а с т отных характеристик

Возможные формы амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) для динамических реакций при силовом внешнем воздействии 2 (рис. 8, а) представлены на рис. 13, а, б, в, г при различных сочетаниях величин т1 и т2, а также коэффициентах жесткости пружин к1, к2, к3, которые варьируются в пределах от 1000 Н/м до 10000 Н/м. На всех амплитудно-частотных характеристиках введены обозначения: А1 () соответствует динамической реакции на опорной поверхности I (точка А - о пор а пружины к на поверхность А) (рис. 8, а); А2 (() соответствует динамической реакции в т. В, в которой упругий элемент к3 опирается на поверхность II (рис. 8, а); А3 () соответствует динамической реакции, возникающей у элемента массой т2 с механической колебательной системой; А4 (() соответствует динамической реакции на элементе с массой т1.

Из анализа АЧХ можно сделать ряд выводов. В частности, на всех рисунках (кривые А1 () и А2 (()) можно наблюдать, что реакции в т. А и В различны, эти АЧХ имеют по два резонансных пика. Для А2 (() возможен режим «динамического гашения», при котором реакция в т. В может стать равной нулю; частота зависит от жесткостей к1 и к2 и изменяется в пределах от 77,46 до 122,74 1/сек. Отметим, что динамическая реакция в т. В при силовом возмущении 2 совпадает с парциальной частотой колебаний системы ть к, к2 (значения параметров приведены на рис. 13, а, б, в, г).

к

1

1

х

0

х

к

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

а)

А1(ы) A2(w) A3(u) A4(u,)

1* - [1.11

Ж" 1.1 . - lh У4'"1 г ' Д '-/.У :Л ч„ * .t, - 1 - зосо -

V V'

лад""1 А2(">

10 20 30 ад 50 60 70 SO 90 100 110 120 130 140 350

б)

ту =1

« 1 Я И'' i ki = 3000

jt 1 ■»/ * A4(ш> Д =5000 ЧВ к3 = 3000 " ' / У

* •., ч Г. \ ' 4 % Ь

\

/ AJ(ffl) 1 AI (о>)

10 20 30 40 50 60 70 80 30 100 110 120 130 140 150

в)

г)

^ = 1

пи -10 -

i, -10000

411 -Jf\ Al(ffl) 1 *=-5001)" \ 1 t;- 3000

A4 (и) \

............... И ii

AJ(co) \

1(1 20 30 40 50

70 S0 30 100 110 120 130 140 150

Рис. 13. Амплитудно-частотные характеристики для динамических реакций при различных сочетаниях

величин m1 и m2, а также коэффициентах жесткости пружин: а) т1 = 1, m = 10, k1 = 1000, k2 = 5000, k3 = 3000;

б) m1 = 1, m2 = 1(2, k1 = 3000, k2 = 5(200, k3 = 3(300;

в) m1 = 1, m2 = 10, li1 = 5000, k2 = 5000, k3 = 3000;

г) m1 = 1, m2 = 10, k1 = 10000, k2 = 5000, k3 = 3000

Амплитудно-частотная характеристика динамической реакции по массе т2, обозначенная на рис. 13, а, б, в, г через А3 (ю), имеет также две резонансные частоты, определяемые из характеристического уравнения (14); кроме того, в системе возможен режим, при котором динамическая реакция становится равной нулю. Частоты таких режимов в зависимости от кх могут изменяться в пределах от 53,619 до 108,972 1/сек.

Особенности в АЧХ могут быть отмечены для динамической реакции по массе тх (рис. 13, а, б, в, г), которая имеет три резонансных пика. Два из них совпадают с частотой резонанса по координатам у и у2, что вполне объяснимо. Что касается

к^ ^ к-> 2 3 (это со-

резонансного пика на частоте а =

m-,

ответствует парциальной частоте системы т2, к2, к3), то этот случай соответствует достижению бесконечно больших значений коэффициентом приведенной жесткости. Этот параметр (к пр) определяется дробно-рациональным выражением и зависит от частоты. Кроме того, динамическая реакция по т\ имеет режим, при котором динамическая реакция может принимать нулевые значения, как показано на рис. 13, а, б, в, г (кривая А4 (ю)).

Таким образом, динамические реакции, если их рассматривать как некоторые параметры динамического состояния объекта защиты и виброзащитной системы в целом, имеют в определенных ситуациях свои особенности, что объясняется зависимостью приведенного коэффициента жесткости в виброзащитной системе не только от расположения упругого элемента в системе и его связей, но и от частоты внешнего воздействия, поскольку динамическая реакция является специально созданным параметром, в отличие от координат системы и ее производных.

VI. Приложения структурной теории виброзащитных систем. Прикладные задачи

Рассматривается методика структурных преобразований, которая позволяет реализовать метод построения математических моделей механических колебательных систем с учетом сил демпфирования (вязкое трение) и взаимодействий при учете свойств устройств для преобразования движения. Таким образом, приняв за основу структуру из объекта защиты и упругих элементов, можно определить влияние дополнительных связей. Учет влияния дополнительных связей при работе с передаточными функциями достаточно прост и связан с добавлением в соответствующие

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

кпр =

тр2 + к + к2

(51)

а

2

Рис. 14. Расчетные схемы - базовая (а) и упрощенная (б) с введением обобщенной пружины

При р^0 обобщенная пружина превращается в обычный блок, состоящий из двух последовательно соединенных пружин к и к2. Аналогичным образом могут «упрощаться» и более сложные системы с учетом того, что учет сил вязкого трения и динамических сил от устройств для преобразования движения приводит к более сложным построениям, однако их реализация достаточно проста и опирается на правила параллельного и последовательного соединения пружин. Так, при

выражения параметров вязкого трения и массо-инерционных преобразований.

В работах [4, 9, 10] введено понятие обобщенной пружины как некоторого блока, состоящего из упругих элементов и промежуточных массо-инерционных элементов. Рассматриваются системы, имеющие две и более степеней свободы. Если объект защиты, а не система в целом, имеет одну степень свободы, то структурная схема виброзащитной системы упрощается до системы с одной степенью свободы. При этом формируемая цепь обратной связи может рассматриваться как обобщенная пружина. В передаточную функцию такой цепи входят параметры промежуточных массо-инерционных звеньев. При «обнулении» промежуточных масс обобщенная пружина характеризует упругие статические свойства системы, приведенные к объекту защиты. В использовании метода упрощения структур необходимо избегать приложения сил к промежуточным массам. В этом случае реализуется технология эквивалентного переноса сил от промежуточной массы к объекту защиты.

На рис. 14, а, б показана расчетная схема системы с двумя степенями. В случае преобразования схемы на рис. 14, а в схему на рис. 14, б параметры обобщенной пружины (в том числе характеризующие ее динамическую жесткость) имеют вид:

(^р2 + к)к

введении в структурную схему на рис. 14, а в каждый из каскадов соответственно Ьь Ь2 и Ь3 (где Ьь Ь2, Ь3 - коэффициенты вязкого трения) получим

к = (т, р2 + V+к )(к + ¿2 р) (52)

пр т1 р 2 + (Ь1 + Ь2) р + к + к2 Общая динамическая жесткость для схемы на рис. 14, б составит

кобч = к3 + Ь3р + кпр . (53)

Таким образом, компакт с приведенной жесткостью ведет себя как обычный типовой элемент из расширенного набора виброзащитных систем. В свою очередь, выражение (52) может быть записано в виде

д. = Кр2 + \р + к1)(Ь2 р + к2) ^

пр (щр2 + +к)+(Ь2р+к)

что отражает обнаруженное свойство, которое можно было соотнести с технологиями построения фракталов.

Развиваемая методологическая основа может быть развернута по отношению к системам более сложных структур, в том числе с учетом введения рычажных связей. Такие структурные образования можно было назвать компактами или квазипружинами в связи с их свойством превращаться в статических условиях в приведенные жесткости систем.

VII. Некоторые практические приложения

Рассмотрены возможности построения на основе пневмомеханических элементов системы вибрационной защиты оператора транспортного средства. Система состоит из последовательно соединенных пневматических баллонов и механизма преобразования движения рычажного типа. На рис. 15, а-е приведены расчетные принципиальные схемы системы.

Передаточная функция компакта может быть записана в виде:

к = (к0 + ь0 р)к1 ^ к0 + ь0 р + к1

(55)

При р ^ 0, то есть в низкочастотной обла-

к0к1 .

при р ^ да соответственно

CTИ, кпр ,

к0 + к

кпр ^ к. В общем виде зависимость приведенного коэффициента жесткости от ( можно записать:

К\ = А() = .

(к0 к1)2 +(Ь0 к1()2

V (к0 + к, )2 + (¿0®)2 '

(56)

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

м

объект

щ

в)

ш

Рис. 15. Расчетные схемы: а - пневматической подвески сидения оператора; б - упрощение подвески; в - соединение упругих элементов (компакт)

График зависимости коэффициента приведенной жесткости от частоты ш определялся экспериментально при удовлетворительном совпадении с теоретическими расчетами. На рис. 16, а, б в качестве примера приведены результаты вычислительного моделирования.

а) А(со)

(, Гц

о, Гц

Рис. 16. Амплитудно-частотные характеристики системы при различных значениях параметров: а) М = 100 ,

г = 0,33, к0 = 10000 , т — 20, Ь0 = 10000 ; б) М = 100 , I = 0,зз, к0 = 20000 , т — 40, Ь0 = 10000 ; (кривая 1 - а = 2, кривая 2 - а = 3 , кривая 3 - а = 4)

При изменении соотношений объемов рабочей и демпферной камер увеличивается разница между граничными значениями жесткостей пнев-мобаллона. На рис. 13, а показано семейство характеристик при М = 100, / — 0 ,зз , к0 = 10000, т = 20 , Ь0 —10000; а = 2,3,4 (кривые 1, 2, 3 соответственно), на рис. 13, б - при прочих равных параметрах, к0 = 20000, т — 40. При увеличении параметра а происходит сдвиг резонансных пиков влево. С ростом частот в системе наблюдаются режимы динамического гашения с выходом на «запирание» при больших значениях ( . Увеличение массы т делает процессы (рис. 16, б) более рельефными, при этом амплитуда резонансных пиков уменьшается. При увеличении а , то есть расширении границ изменения жесткости системы, амплитуда резонансных пиков на АЧХ увеличивается по мере движения к низшей частоте границы. При больших значениях т влияние на величины р езо нансных пиков выражено слабее, однако характеристики существенно раздвигаются по оси частот [18].

На рис. 17 приведены средние для трех скоростей движения транспортного значения А^ю), определенные соответственно для пар «выход-вход»; подвижная скоба - основание кресла, собственная частота колебаний пневмоподвески равна 1,25 Гц.

Рис. 17. Сопоставление результатов эксперимента и теоретических расчетов для системы пневматической подвески кресла оператора транспортных средств

Анализ А (() показывает, что наибольший

провал АЧХ на низких частотах обеспечивает пневмоподвеска с УПД с массой инерционного элемента щ — 9 кг и щ —12 кг . Виброизолирующий эффект этих систем проявляется в диапазоне частот 1,0...4,5 Гц. Обработка экспериментальных данных подтверждает в целом удовлетворительное совпадение математических моделей

У

г

к

щр

пневмомеханической системы защиты человека-оператора и в качественном и в количественном аспектах; подтверждены эффекты динамического гашения, проявляющиеся через провалы амплитудно-частотных характеристик, связанные с преобразованием движения, обеспеченного рычажными связями, а также «запиранием» системы при увеличении частот.

Заключение

1. Исследованы особенности формирования статических и динамических реакций в механических колебательных системах на основе использования аналитического аппарата теории цепей и теории автоматического управления и применения структурных интерпретаций систем и их передаточных функций.

2. Доказано, что для оценки статических реакций, связанной с определением положения статического равновесия механической колебательной системы, формируемого действием сил веса и дополнительных постоянных сил, могут использоваться структурные схемы и передаточные функции системы в предположении, что комплексная переменная в соответствующих передаточных функциях принимает нулевое значение.

3. Предложен метод построения математических моделей, на основе которого показано, что в статическом состоянии приведенная жесткость механической системы определяется на основе использования соответствующей передаточной функции системы с последующим «обнулением» параметров массо-инерционных элементов. Понятие приведенной жесткости системы может применяться для определения статических реакций, возникающих между элементами системы и при их взаимодействиях с опорными поверхностями.

4. Предложен и разработан метод определения динамических реакций в механических колебательных системах при действии гармонических внешних сил, основанный на использовании структурных схем и соответствующих передаточных функций. Показаны возможности построения математических моделей обобщенных упругих элементов, свойства которых определяются динамическими жесткостями.

5. Динамические реакции в виброзащитных системах могут рассматриваться как параметры, характеризующие динамическое состояние, так же как и координаты, скорости и ускорения объекта защиты и элементов систем. Кроме того, динамические реакции могут рассматриваться в представлениях амплитудно-частотных характеристик, при этом часть динамических реакций изменяется по законам изменения координат систем, а часть

динамических реакций имеет в формах своего изменения ряд особенностей. Эти особенности проявляются при появлении динамических режимов, при которых приведенная жесткость определенной цепи системы стремится к бесконечности (при отсутствии сил трения). Для определения динамических реакций предложен метод, основанный на выделении объекта защиты (или любого инерционного элемента) в качестве отдельного элемента, относительно которого разрешается уравнение кинематики по выбранной координате. Структурная интерпретация метода основана на выделении объекта защиты (или другого инерционного звена) как звена с передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка. Цепь обратной связи для такого звена представляет собой динамическую реакцию.

Исследования выполнены по гранту в рамках Федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 гг. (мероприятие 1.3.2 - естественные науки) № 14.132.21.1362.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС. 2012. 288 с.

2. C. M. Harris, A.G. Piersol. Shock and vibration Handbook. Fifth Edition. McGraw Hill. New York, 2002.

3. Вибрации в технике Т. 6. Защита от вибраций и ударов : справочник / под ред. К.В. Фролова. М. : Машиностроение, 1981. 456 с.

4. Возможности интеграции методов теории цепей и теории автоматического управления в задачах динамики машин [Электронный ресурс] / С.В. Елисеев и др. // Science and Education : electronic scientific and technical periodcal. 2012. № 6. URL. http:// technomag.edu.ru/doc/378699. html (дата обращения: 10.06.2012).

5. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности системы при исключении переменных динамического состояния // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С.8-17.

6. Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Ситов И.С. Приведенная жесткость цепи обратной связи. Определение динамических реакций в механической колебательной системе // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 2 (18). С. 15-22.

7. Елисеев С.В., Паршута Е.А., Большаков Р.С. Передаточные функции механических колеба-

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

тельных систем. Возможности оценки приведенной жесткости // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. №1. С. 11-18.

8. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы Ч. I // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 1-20.

9. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы Ч. II // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 1 (37). С. 8-22.

10.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Некоторые вопросы обеспечения адекватности расчетных схем и структурные интерпретации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1 (32). С. 8-13.

11. Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 61-70.

12. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Упругое звено в рычажных соединениях с устройством для преобразования движения // Системы. Методы. Технологии. 2013. №4 (20). С. 7-10.

13.Елисеев, С.В., Большаков Р.С. К вопросу об обратных связей механических колебательных систем // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2013. № 1. С. 2428.

14.Елисеев С.В., Артюнин А.И., Большаков Р.С. Некоторые обобщения в задачах определения динамических реакций во взаимодействиях элементов механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 44-50.

15.Белокобыльский С.В., Елисеев С.В. Обоснование возможностей определения динамических реакций в виброзащитных системах в виде твердого тела // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 2 (18). С. 7-15.

16.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Защита от вибраций для объекта с двумя степенями свободы. Динамические реакции // Известия Транссиба. 2013. № 3 (15). С. 74-86.

17.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Динамические реакции в механических колебательных системах. Структурные интерпретации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 8-22.

18.Елисеев С.В., Логунов А.С., Большаков Р.С. Некоторые формы динамических взаимодействий в пневмомеханических системах вибрационной защиты. Экспериментальные подходы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 12. С. 12-17.

УДК 519.1 Кузьмин Олег Викторович,

д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой «Теория вероятностей и дискретная математика» ИМЭИИГУ, тел. (3952)242226, e-mail: [email protected]

Малакичев Артем Олегович, магистрант ИМЭИ ИГУ, e-mail: [email protected]

КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ФРАКТАЛЬНОЙ ПЕРКОЛЯЦИИ

ПЛОСКИХ СТРУКТУР

O. V. Kuzmin, A.O. Malakichev

COMBINATORIAL MODEL OF PLANAR STRUCTURES FRACTAL PERCOLATION

Аннотация. Теория разрушений сочетает в себе знания из различных областей, таких как математика, механика и физика. Одной из основных проблем теории разрушений является задача о распространении трещин. Широко применяемые решения указанной задачи построены в основном на численных методах, математического анализа, дифференциальных уравнений, теории графов, теории просачивания. В силу своей общности указанные подходы характеризовались большой трудоемкостью и не всегда гарантировали достаточную точность. Поэтому в последнее время интенсивно используются методы фрактальной геометрии, что обусловлено в первую очередь самоподобной структурой трещины. В данной работе авторами разрабатывается комбинаторный подход к решению одной из важных задач теории трещин, а именно моделирование процесса фрактальной перколя-ции плоских структур. Процесс построения модели разбивается на три этапа. Первый этап связан с построением фрактальных структур треугольника Паскаля, возникающих при рассмотрении вычетов по модулю заданного