CC BY
31
УДК 62.752, 621:534;833; 888.6, 629.4.015;02 Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)598428, e-mail: homenko@irgups.ru Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, директор - главный научный сотрудник НОЦ современных
технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ЧАСТОТНОЕ УРАВНЕНИЕ: СТРУКТУРА, ДИНАМИЧЕСКАЯ ЖЕСТКОСТЬ, ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
A. P. Khomenko, S. V. Eliseev
CHARACTERISTIC FREQUENCY EQUATION: STRUCTURE, DYNAMICAL STIFFNESS, FEATURES OF INTERACTION OF SYSTEM ELEMENTS
Аннотация. Предлагается метод построения математических моделей для оценки динамических свойств систем и особенностей взаимодействий элементов на основе использования частотных характеристических уравнений. Рассматриваются линейные механические колебательные системы с одной и несколькими степенями свободы и их структурные математические модели в виде схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления.
Представлен метод детализированного анализа характеристического частотного уравнения в его связи со структурой системы, набором элементов и способами их соединения. Показано, что динамическая жесткость элементов, их структурных образований или блоков (то есть квазипружин) является более общим понятием по отношению к свойствам типовых элементарных и составных звеньев систем. Такие свойства элементов с учетом правил их возможного соединения проявляются в том, что входное возмущение имеет размерность и сущность как входное смещение; выходной сигнал рассматривается в виде усилия.
Приведены примеры структурных преобразований систем в задачах динамического синтеза виброзащитных систем. Показано, что в решении задач динамики, связанных с оценкой и управлением динамическим состоянием, объект защиты выделяется как отдельный массоинерционный элемент, передаточная функция которого интерпретируется как интегрирующее звено второго порядка.
Предлагается методика упрощения систем путем формирования относительно объекта защиты цепи обобщенной обратной связи. Физический смысл такой связи интерпретируется и соотносится с понятием динамической жесткости по отношению к объекту защиты. В таком рассмотрении взаимодействующие элементы системы приводятся к одной обобщенной пружине (квазипружине). Динамическая жесткость такой пружины определяется параметрами цепи обратной связи. Предлагаются приемы графоаналитических решений для определения частот собственных колебаний.
Ключевые слова: характеристическое частотное уравнение, динамические жесткости, структурные математические модели, самоорганизация движения элементов.
Abstract. A method of building mathematical models for estimation of dynamical properties of systems and features of interactions of elements based on using of frequency characteristic equations is offered. Linear mechanical oscillation systems with one and several freedom degrees and their structural mathematical models as schemes of automation control systems equivalent in dynamical ratio are considered.
The method of detailed analysis of characteristic frequency equation in its connection with system structure, elements set and approaches to their connections is provided. It is shown that dynamical stiffness of elements, their structures or blocks (quasi-springs) is a more general term relating to properties of typical elements and composite links of systems. These properties of elements with account of rules of their possible connecting are shown in the fact that internal disturbance has dimension and essence as internal bias. External signal is considered in as force.
Examples of structural transformations of systems in tasks of dynamical synthesis of vibroprotection systems are given. It is shown that protection object with transfer function of integrated link of second order stands as a separate mass-inertial element in solving of dynamics tasks connected with estimation and control of dynamical condition.
Method of systems simplifying by forming generalized feedback tie on protection object is offered. Physical meaning of this tie is interpreted and correlated with definition of dynamical stiffness in regard to protection object. Interacting elements of systems are reduced to one generalized spring (quasi-spring) in this consideration. Dynamical stiffness of this spring is identified by parameters of feedback tie chain. Techniques ofgraph-analytical solvings for identification of own oscillations frequencies are offered.
Keywords: characteristic frequency equation, dynamical stiffnesses, structural mathematical models, self-organization of elements movement.
Введение
Математическое моделирование широко используется в решении разнообразных задач, связанных с оценкой динамического состояния технических объектов [1-3]. Методы структурного математического моделирования представляют
собой достаточно развитое направление, определяемое междисциплинарным пространством, определяемsм методами теории систем, теории автоматического управления, теории цепей, теорией графов в их различных формах приложений [4-9].
Механика
Динамика механических колебательных систем с сосредоточенными параметрами нашла отражение во многих работах по теории линейных и нелинейных колебаний, что, в определенном смысле, предопределило интерес к формированию и особенностям связей, возникающих в динамических взаимодействиях между элементами системы при периодических воздействиях. Известен ряд достаточно развитых приложений, относящихся к решению задач теории вибрационной техники, вибрационных технологий, задач транспортной динамики, виброзащиты и виброизоляции технических объектов [10-17].
Интерпретация динамических взаимодействий элементов механических систем, отображаемых структурными схемами эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления, стала основой формирования нетрадиционных подходов, которые инициировали введение в рассмотрение ряда новых вопросов, связанных с идеями расширения представлений о наборе типовых элементов, способов их соединения, возможностей структурных преобразований и выявления динамических особенностей [4, 9, 15, 17, 18-22].
В предлагаемой статье рассматриваются вопросы о связи между характеристическими частотными уравнениями линейных механических колебательных систем с сосредоточенными параметрами и представлениями о возможных структурных формах реализации соединений между отдельными элементами системы или их структурными аналогами.
Общие положения.
Постановка задачи исследования
Одним из направлений структурного математического моделирования является использование в качестве математических моделей структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Подход основан на динамических аналогиях, возникающих при взаимодействиях элементов механических колебательных систем различной природы и соответствующих взаимодействиях между элементами системы автоматического управления.
Общность взаимодействий в системах определяется взаимнооднозначными связями с исходной математической моделью в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Подход обобщается и может быть распространен на системы с распределенными параметрами [4, 7, 23-27].
На рис. 1 (а-е) приведены различные интерпретации в представлениях исходной физической модели в виде механической колебательной си-
стемы с одной степенью свободы. Подобного рода модели находят широкое применение в задачах динамики машин и защиты оборудования и аппаратуры от вибраций, ударов и др. [6, 9, 11, 13]. Механическая система на рис. 1, а состоит из так называемых типовых механических элементов в виде пружины (к), демпфера (Ьр) и массоинерцион-ного звена (т). Массоинерционный элемент может рассматриваться как объект управления (в задачах виброзащиты - объект защиты), что предопределяет возможности использования аналогии между системами автоматического управления [4, 5, 9, 13, 15].
Математическая модель системы (рис. 1, а) при силовом возмущении в виде гармонической силы Q имеет вид
ту" + Ьу' + ку = ф). (1)
После преобразования Лапласа по отношению к (1) при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение (1) преобразуется к виду
mp2 y + bpy + ky = Q
(2)
где р = /и - комплексная переменная, символ «-» означает изображение по Лапласу [13, 15, 27].
По аналогии с основами теории автоматического управления структура системы на рис. 1 , а трансформируется в структурную схему, приведенную на рис. 1, б. Типовым элементам т, Ь и к на структурной схеме (рис. 1 , б) соответствуют типовые звенья системы автоматического управления (САУ) соответственно в виде звеньев с передаточной функцией интегрирующего звена второго рода (объект защиты) - тр2, дифференцирующего звена первого рода (демпфер) - Ьр и усилительного звена (пружина) - к. Структурная схема на рис. 1 , б отображает состав не только систем (наличие типовых звеньев), но и связей (прямые, обратные и др.). Типовые звенья на структурной схеме могут соединяться между собой и формировать соответствующие связи, что показано на рис. 1, в и г.
Структурная схема исходной механической колебательной системы на рис. 1 , а может быть представлена в обобщенном виде, как это показано на рис. 1, д. Отметим, что элементы Ьр и к (рис. 1, д) могут быть переведены в «статус» обратных отрицательных связей. В физическом смысле отрицательная обратная связь (рис. 1, е) интерпретируется как жесткость упругого элемента (к). Поскольку при входе в сумматор (точка 1 на рис. 1 , е) формируется силовое воздействие ку , то обратная отрицательная связь (-к) отражает действие упругого элемента по возвращению объекта (т) в начальное положение при наличии отклонения. Демпфер, как звено с передаточной функцией Ьр, в физическом
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
В) Q
к
(-) \
1 mp2
(-)
bp
д) Q
т.(1)
-к
\
-bp
/ \
1
mp2
смысле отображает действия силы вязкого сопротивления. При этом обратная отрицательная связь с передаточной функцией дифференцирующего звена первого порядка (Ьр) так же, как и пружина (к), формирует силовое воздействие.
Таким образом в т. (1) на рис. 1, е можно составить уравнение кинетостатики
утр2 + уЬр + ук = 2 . (3)
Выражение (3) является формой представления принципа Даламбера [27].
, _Q
i к
y
m
передаточной функции интегрирующего звена второго порядка. Что касается остальных массои-нерционных элементов (их можно назвать промежуточными), то они принимают вид дифференцирующих звеньев второго порядка со свойствами входить в соединения между собой и опорными поверхностями по тем же правилам, что и пружины и демпферы. Более детально такие вопросы рассмотрены в работах [5, 9, 13, 15, 28].
Перевод исходной математической модели в структурный аналог и соответствующие преобразования создают возможности использования развитых методов частотного анализа и динамического синтеза систем различного прикладного назначения, в том числе и виброзащитных систем [4, 13, 23, 24, 29].
Задача исследования заключается в развитии подхода в оценке динамических свойств механических колебательных систем на основе использования частотного характеристического уравнения и понятий о динамических жесткостях элементов, их структурных образований и системы в целом. Развитие структурных представлений механических систем
Переход к структурным схемам, как это показано на рис. 1, а-е, предопределяет использование передаточных функций (рис. 1, ó). В простейшем виде (рис. 1, а, б) передаточная функция системы при силовом возмущении Q имеет вид
Рис. 1. Расчетная и структурные схемы механической колебательной системы с одной степенью свободы при силовом внешнем возмущении: а - расчетная схема; б - структурная схема с отображением действия двух
элементов; в - структурная схема с обобщенным элементом (к + Ьр); г - структурная схема с упругими и демпфирующими элементами как обратными отрицательными связями; д - структурная схема системы в обобщенном виде; е - схема, отражающая особенности перевода элемента из прямой в обратную связь
Для дальнейших исследований важным является то обстоятельство, что из (3) следует возможность представления элементов (Ьр) и (к) как звеньев, входным сигналом для которых является смещение у, а выходным - определенный силовой
фактор. Последнее можно трактовать как возможность рассмотрения названных элементов в «статусе» пружины с соответствующей жесткостью. Если для пружины к жесткость элемента не зависит от ю (то есть от частоты возмущения), то для элемента Ьр «жесткость» элемента зависит от частоты ю. В этом случае жесткость может быть названа динамической. В системах с несколькими степенями свободы в задачах виброзащиты один из массоинерционных элементов выбирается в качестве объекта защиты, что отображается видом
w (p)=y =
i
л ,". (4)
2 тр + Ьр + к Знаменатель передаточной функции (4) используется как частотное характеристическое уравнение
mp2 + bp + к = 0 .
(5)
При подстановке р = уравнение может быть решено с определением частоты собственных колебаний. В простейшем случае (Ь = 0) частота собственных колебаний определяется
ш2 = к, (6)
т
что следует из соотношения
-тш2 + к = 0 . (7)
Если произвести инверсию (4), то с учетом (7) можно отметить, что именно на частоте собственных колебаний динамическая жесткость системы в целом принимает нулевое значение. В этом постулате предполагается, что массоинерци-онный элемент при рассмотрении силового нагружения системы, при котором динамическая жесткость, определяемая как отношение смещения объекта защиты к приложенной силе, может при-
Механика
нимать значение, равное нулю (при Ь = 0 или Ь ^ 0).
Таким образом, из частотного уравнения (5) при соответствующих условиях может определяться общее свойство системы, формирующееся при динамической жесткости, равной нулю, и наличии гармонической возмущающей силы. Этот же динамический эффект рассматривается и как резонансные колебания. В рамках предлагаемого подхода динамическая жесткость представляет собой свойство, распространяемое не только на отдельные элементы системы, но и на систему в целом. Последнее связано с понятием передаточной функции, в котором выделяется входное воздействие (или сигнал) и выходной сигнал (в данном случае - смещение у). Вместе с тем приведенное понятие передаточной функции может быть расширено за счет вариации представлений о входных и выходных сигналах, как это показано в работе [30].
В физическом смысле частотное характеристическое уравнение (5) в операторной форме представляет собой сумму динамических жестко-стей, соотнесенную с параметрами массоинерци-онного элемента m. Если эта сумма равна нулю при определенной частоте внешней силы, то это означает равенство нулю динамической жесткости системы в целом (в данном случае система представлена материальной точкой с массой m и упру-
гим элементом k при Ь = 0). Вместе с тем при наличии более широкого набора типовых элементов локальные (или частные) динамические жесткости могут и не быть равными нулю. Важным обстоятельством является наличие связи между такими динамическими эффектами, как уменьшение жесткости систем в целом до нуля (или до какого-то значения) при определенных частотах, что ассоциируется с представлениями о резонансных процессах. Такие подходы, в частности, закладываются, в основу методов определения частот собственных колебаний технических объектов [31].
Системы с двумя степенями свободы
Механические системы с двумя степенями свободы достаточно многообразны по своей физической природе и конструктивно-техническим формам, что находит отражение в разнообразии математических моделей и используемых систем координат. На рис. 2, а-г представлены механические колебательные системы цепного типа (рис. 2, а), твердого тела на упругих опорах (рис. 2, б), а также их структурные схемы на рис. 2, в-д. Для получения структурных математических моделей используются методы, изложенные в [5, 9, 13, 15].
При рассмотрении движений твердого тела на упругих опорах (рис. 2, б) используются две системы координат у1, у2 и уо, ф, что связано с вы-
б)
У1
4
б!
м, j
т.о Ж" у
уо
/////Я///////
в)-т
ЩР' -
д)
о
У 2
©
\к111 - к212\-
к
а
/ -МаЬ)р:
1 /сс2 - МаЬ)р2
(Маа + /с2) р2 + к
уТ
1
(МЬ2 + /с2) р2 + к
У 2
б2
Рис. 2. Системы с двумя степенями свободы: а - расчетная схема системы цепного типа; б - расчетная схема системы с твердым телом; в - структурная схема цепного типа в координатах у1, уг; г - система с твердым телом в координатах уо, ф; д - структурная схема системы в координатах у1 и уг
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
делением центра масс, учетом момента инерции твердого тела и угловых колебаний. Системы с двумя степенями свободы имеют в своем составе парциальные блоки (системы) и соответствующие выбранной системе координат формы межпарциальных связей. В общем случае типовые элементы механических колебательных систем имеют тот же вид, что и типовые элементы систем с одной степенью свободы, однако связи между элементами, включая и парциальные системы, отличаются большим разнообразием. Отметим также, что набор типовых элементарных звеньев механических систем может быть расширен путем введения звеньев с передаточными функциями в виде дифференцирующих звеньев второго порядка, а также за счет других элементов, передаточные функции которых соответствуют передаточным функциям аналогичных элементов. В данном случае под типовым элементом с некоторой передаточной функцией понимается устройство, которое при описании не распадается на отдельные составляющие, то есть в некотором смысле типовой элемент рассматривается как «неделимый».
При использовании правил преобразования структурных моделей типовые элементарные звенья могут использоваться для построения более сложных структур, которые могут состоять из нескольких связанных элементов и обладать динамической жесткостью. В структурных преобразованиях такие составные структуры называют квазипружинами.
Квазипружины в структурных преобразованиях ведут себя так же, как обычные типовые элементы, однако их динамическая жесткость в общем случае зависит от частоты внешней силы [21, 22, 32].
В системах с твердым телом (рис. 2, б) координаты у1, у2 и уо, ф связаны соотношениями Уо = ау-1 + Ъу2, ф = с( у2 - у), у1 = Уо -¡ф
У 2 = Уо + ^ а =
и
¡1+¡2
, ъ =-
¡
¡1 + ¡2
, с = ■
1
(8)
¡1 + ¡2
Параметры структурных математических моделей представлены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1 Коэффициенты структурных математических моделей систем на рис. 2, а, б
Система цепного типа (рис. 2, а)
ац а12
тр + к\ + к2 -к2
а21 а22
-кг т2р2 + к2 + кз
Обобщенные силы
Ql Q2
Система с твердым телом (координаты у1, у2) (рис. 2, б)
ац а12
(Ма2 + Л2)р2 + к1 (МаЬ - Л2)р2
а21 а22
(МаЬ - ^р2 (МЬ2 + Зе2)р2 + к2
Обобщенные силы
Ql Q2
Система с твердым телом (координаты уо, ф) (рис. 2, б)
ац а12
Мр2 + к1 + к2 к2/2 - МА
а21 а22
к2/2 - МА ^2р2 + Ы12 + к2/22
Обобщенные силы
Ql Q2
1. Для структурной схемы на рис. 2, в при силовом возмущении Ql Ф 0 передаточные функции определяются выражениями:
ж ( р) = А = т2 Р2 + к2 + к3 в: А( р)
Ж2(р) = Ь = ,
в1 А(р)
(9) (1о)
где А(р) = (тР + к + к2 )(т2Р + к2 + к3) - к2 . (11)
В качестве обобщенных сил в системах на рис. 2, а, б могут использоваться как силовые, так и кинематические возмущения со стороны опорных поверхностей I и II.
Выражение (11) определяет характеристическое частотное уравнение для механической колебательной системы на рис. 2, а. Из сравнения (9) и (10) видно, что передаточные функции могут быть различными в зависимости от выбора точек приложения внешних возмущений и выбора выходных сигналов, дающих представление о динамическом состоянии системы.
При решении конкретных задач динамики расчетная схема системы принимает определенный вид, например, в задачах виброзащиты, что сопровождается выбором объекта защиты. Полагая, что объект защиты от внешнего воздействия Ql соотносится с массоинерционным элементом Ш1, приведем частотное уравнение (11) к виду
(тр2 + к + к2) -Преобразуем (12):
к
(тр + к2 + к3)
2 к2(т2 р + к 3)
щр + к1 +—2—-—— тр + к2 + к3
= 0
= 0. (12)
(13)
Механика
Структурная математическая модель механической системы, приведенной на рис. 2, а, может быть получена преобразованием структурной схемы на рис. 2, в, что показано на рис. 3, а, б.
а)
к2 (щр2 + къ)
щр2 + к2 + к
й,
(-) 1 \ У1
? щр1+к
| к2(Щ Р + к) щр2+к+к
а1
(-) 1 \ У1
? щ р
(к + к )щр2 + кк + кк + кк
щр2 + к + к
1 \ У1
? щр
а
Рис. 3. Варианты структурных схем механической колебательной системы цепного типа (рис. 2) при исключении координаты у1: а - структурная схема при исключении координаты уг при базовой модели Ш1, кг, б - структурная схема с выделением объекта защиты; в - структурная схема с обобщенной обратной связью по отношению к объекту защиты
Сопоставление структурных схем на рис. 3, а-в дает возможность отслеживать характеристики отрицательной обратной связи по отношению к объекту защиты (ш). На рис. 3, а отрицательная обратная связь, в физическом смысле, представляет собой динамическую жесткость квазипружины, которая отражает динамические свойства определенной части механической системы, связанной с промежуточной массой m2.
2. Динамическая жесткость квазипружины
К» (Р) =
к2(щ2 Р 2 + к3)
щр + к2 + к3 может быть равной нулю при частоте
к
&2 = ■
Щ-,
(14)
(15)
ном смысле, нейтрализует динамическое действие части системы. С другой стороны, динамическая жесткость квазипружины на частоте
к2 + к3 Щ-,
(16)
принимает бесконечно большое значение, что соответствует режиму динамического гашения. В этом случае движение по координате у1 останавливается (у1 = 0).
При переходе к структурной схеме на рис. 3, б объект защиты рассматривается в схеме опирания на две параллельные пружины с жестко-стями М и k2. Суммарная динамическая жесткость такой квазипружины составит
—, _ (к! + к2)щ2р + к1к2 + к2к3 + к1к3 ^"¡^
пр щр2 + к2 + к3
Динамическая жесткость системы в таких условиях имеет нулевое значение при частоте
^2 = к1к2 + к 2к3 + к1к3 (18)
3 (к1 + к2)щ2 .
При частоте ©2 из (16) сохраняется режим динамического гашения.
Таким образом, при «обнулении» динамической жесткости квазипружины, если вести рассмотрение в плане последовательного освобождения объекта защиты ml от дополнительных связей, будут наблюдаться различные характерные формы самоорганизации движения элементов системы.
3. На основе (12) может быть составлено условие
щр2 + к + к2 =
к2
щр + к2 + к3
(19)
которое позволяет определить на основе графо-
22
аналитического подхода при подстановке p = -©2 значения частот собственных колебаний, как показано на рис. 4.
В этом случае система (рис. 2, а) работает при действии внешней силы Ql Ф 0 таким образом, как если бы исходная система трансформировалась в систему с одной степенью свободы с элементами ml и Обратная связь (15), в определен-
кпр (а У
к1 + к2
к\
к2 + к3 1к2 + к3 V щ щ ®
0 ш1со6 п-Г-\ к + к2 N V щ <г
Рис. 4. Принципиальная схема графического решения условия (19)
2
®2 =
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
также парциальные частоты щ =
2 _ к1 + к2
т
Пересечения графиков зависимостей, составляющие условие (19) и обозначенные точками т. 1 и 2, определяют частоты, на которых динамическая жесткость системы в целом будет равна нулю. Такие точки пересечения определяют частоты собственных колебаний. На рис. 4 показаны
угловые колебания, обозначенные у1 и у2, при соответственно «остановленных» движениях по уг и у1, что вполне допустимо при малых углах поворота относительно центра масс.
Полагая, что внешнее воздействие в системе осуществляется гармонической силой Ql, приложенной в точке с координатами у1 (^2 = 0), запишем передаточные функции
2 к9 + к
п2 = —-3, расположение которых соответствует
т2
известным положениям теории колебаний [33].
4. Физический смысл частотного характеристического уравнения в форме (12) соответствует представлениям о суммировании всех сил, действующих на объект защиты. При этом каждый из элементов (12) по существу представляет собой произведение приведенной к т1 динамической жесткости на у, поскольку у2 исключается путем структурных преобразований. В принципе это также совпадает с известными положениями принципа Даламбера [34].
Особенностью рассмотренных цепных систем является однородность физической природы парциальных систем. В данном случае (рис. 2, а) парциальные системы совершают прямолинейные малые колебания, а связи между парциальными системами являются инерционными.
При рассмотрении систем с большим числом степеней свободы методика определения динамических свойств и их связи с частотами, виды совместных форм движения элементов остаются теми же с учетом усложнений, привносимых повышением порядка частотного характеристического уравнения.
Системы с двумя степенями свободы, содержащие твердые тела При рассмотрении механической системы на рис. 2, б можно отметить, что форма парциальных систем зависит от выбора системы координат.
1. Если в качестве координат движения выбираются у1 и у2, то структурная схема на рис. 2, г имеет парциальные системы с движениями одного вида. В структуру парциальной системы 2 входит приведенная масса Ма2 + Л2, относимая к координате у1. Для второй парциальной системы имеем приведенную массу МЬ2 + Ле2, относимую к координате у2. Связи между парциальными системами являются упругими.
Отметим, что парциальные системы с координатами у1 и у2 на самом деле отражают малые
Щ Р) = = 01
у (МЬ2 + Л2) Р2 + к2
Л( Р)
^ (р) = А = ("МаЬ)р 2
0!
4( р)
где
А (р) = [.Ма2 + Лс2) р2 + к ]х : \(МЬ2 + +3с2)р2 + к2 ]- [(Лс2 -МаЬ)р2 \.
(20)
(21)
(22)
Из (22) получим частотное уравнение в координатах у1, у2:
[(Ма2 + Лс2) р2 + к \(МЪ2 + Лс2) р2 + к2 ]-
-[(Лс2 - МаЬ)р2 \ = 0.
(23)
На рис. 5, а-в показаны варианты преобразований структурной схемы на рис. 2, г при исключении координаты ф.
2. Из анализа структурной схемы на рис. 5, в можно сделать вывод по аналогии с предшествующими выкладками, что выделенный объект, динамическое состояние которого оценивается, определяется передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка. Объект охвачен обратной связью, имеющей дробно - рациональную передаточную функцию. При частоте
к
ю3 =.
(24)
¡МЬ2 + Лс2
в системе возможен режим динамического гашения. В этом случае выполняется условие у1 = 0 при действии силы Ql. В свою очередь, числитель передаточной функции обратной связи представляет собой биквадратное уравнение относительно р2, что предопределяет возможности получения нулевого значения числителя передаточной функции обратной связи. При такой частоте внешнего воздействия система обладает параметрами движения системы с одной степенью свободы, что проявляется в определенных формах совместных движений [35]. Отметим, что обратная связь (рис. 5, в) определяет значение динамической жесткости не всей системы в целом, а только ее части, которая принимает форму квазипружины.
и
Механика
а)
[(Лс2 -МаЪ)р2]2
(МЬ2 + Лс2) р2 + к2
в,
1 \ У1
(мь2+Л с2) р2+к
--к +
[(Лг -МаЬ)р2]2
1 (мь2+Л2) р2 + к
в, в)
(-) 1 \ У1
? (Ма2 + Л с2) р2
(Лс2 + МаЬ) р4 - к [(мЬ + Лс2 ) р2+к ] - кк
(мь + ЛО р2 + к
1 \ У1
(Ма2 + Лс2) р2
в,,
Рис. 5. Варианты формирования обратных связей в структурных схемах, использующих координаты у1 и у2: а - структурная схема системы с исключением координаты у2; б - структурная схема с выделением обратной связи по отношению к объекту с приведенной массой (Ма2 + 1ег)рг; в - структурная схема с обобщенной обратной связью
3. Для определения частот собственных колебаний запишем частотное характеристическое уравнение системы (23) в виде
(Ма2 + ./с2)р2 + к - [(Л2 -М°Ъ)р2 \ = о. (25) 1 (МЬ2 + Лс )р2 + к
Так как р = /ю, то (25) преобразуется:
, ^2 г 2ч 2 \(Лс2 -МаЬ)\а>4
к, - (Ма1 + Лс2 )ш2 = ---^—
1 к - (МЬ + Лс2)а2
(26)
кпр И1
Рис. 6. Принципиальная схема определения частот собственных колебаний в системе с двумя степенями свободы с твердым телом в координатах у1, у2
4. При выборе системы координат у0 и ф характеристическое частотное уравнение принимает вид
\мр2 + к + к2 \лр2 + к+ к212 ]-
(к111 к212 ) = 0. Преобразуем (27):
(27)
Мр2 + к + к -
(к111 к212 ) 2 Лр2 + кг12 + к^2
= 0. (28)
Принципиальная схема графоаналитического решения представлена на рис. 7 и определяется условием
(к1112 - к211)2
к + к - Ма2 =■
к!х + к212 - Ла
(29)
кпр (а)
При графоаналитическом решении пересечение графиков зависимостей для левой и правой частей условия (26) определяет частоты собственных колебаний (рис. 6).
По оси ординат на рис. 6 откладываются значения динамических жесткостей соответствующих фрагментов системы. Пересечение графиков определяет суммарное значение динамической жесткости всей системы, равное нулю.
Отметим, что частотное характеристическое уравнение (23) в данном случае представляет собой сумму приведенных сил, действующих на систему в целом при выборе материальной точки с приведенной массой Ма2 + Ле2 в качестве точки приведения с координатой уь Аналогичные результаты можно получить при выборе точки приведения с координатой у2 и приведенной массой МЬ2 + Ле2.
Рис. 7. Принципиальная схема определения частот собственных колебаний системы в координатах уо, ф
Из анализа (26) следует, что исходная система (рис. 2, б) в координатах у0 и ф имеет парциальные частоты
П =
к + к2 М
(29)
2 _ кА + к212
4 = Л
(30)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
При частоте «42 из (30) возможен режим динамического гашения колебаний, когда при действии Ql движение по координате у2 не происходит. Вместе с тем имеется значение частоты внешней силы, при которой обратная связь по отношению к объекту с массой M принимает нулевое значение. В этом случае
2 _ (к + к2 ХУ,2 + к21; ) - {кх1х - к212 )2 _
J (к + к2) к1к2{11 + /2)2
(31) (к, + к2) 7
На этой частоте система движется под действием внешнего возмущения как система с одной степенью свободы. В данном случае динамическая жесткость части системы, образующей квазипружину, будет равна нулю, что, в физической интерпретации, проявляется как некоторая форма совместного движения (форма самоорганизации совместного движения элементов системы). При этом динамическая жесткость системы в целом не является нулевой (на этой частоте).
Физический смысл частотного характеристического уравнения (27) при умножении на координату у0 заключается в том, что оно представляет собой сумму приведенных сил, возникающих при движении системы как материальной точки, обладающей массой M, совершающей движение по координате Уо.
Аналогичные результаты могут быть получены при использовании угловой координаты. В этом случае характеристическое уравнение представляет, сумму моментов сил, возникающих при движении относительно центра приведения (то есть относительно центра масс - т. О).
В этом случае материальное твердое тело, обладающее моментом инерции J и массой M, имеет неподвижную точку вращения т. О, где сосредоточена масса. Использование момента инерции J в расчетах предполагает понимание организации совместных движений как действий, происходящих в определенном пространстве, то есть с учетом пространственной метрики расположения
(32)
действующих сил.
Методологические позиции в детализации представлений о взаимодействиях элементов системы с учетом пространственной метрики нашли отражение в работах [36-39].
О влиянии выбора системы координат
В рассмотренных выше случаях системы с двумя степенями свободы с твердым телом в разных системах координат имели разные частотные характеристические уравнения, поскольку выбор системы координат предопределяет вид парциальных систем, особенности межпарцильных связей и др., что достаточно наглядно отображается на структурных математических моделях, приведенных на рис. 2, г, д.
Характеристическое частотное уравнение, полученное из структурной схемы на рис. 2, г имеет вид
[(Ma2 + Jc2) p2 + к \(Mb2 + Jc2) p2 + к2 J-
-[(Jc2 - Mab)p2 J2 = 0.
Выражение (32) может быть приведено к виду, удобному для преобразований:
|(Ma2 + Jc2 - Mab)p2 + к [Mb2 + Jc2 -
1 Г Ъ . (33)
- Mab)p2 + к2 J-[( Jc2 - Mab)p2 J2 = 0.
После подстановки значений a, b и c из выражения (8) характеристические уравнения в системах координат yi, y2 и yo, ф принимает тождественный вид.
Системы с тремя степенями свободы
Развивая вышеприведенный подход, принимая в качестве исходной механическую колебательную систему с тремя степенями свободы, как показано на рис. 8, в табл. 2 представлены коэффициенты уравнений движения в координатах yi, y2, y3.
Рассматриваемая система является замкнутой в том смысле, что соединяемые элементы системы mi, m2, m3 образуют замкнутый контур. Система обладает линейными свойствами и совершает малые колебания при отсутствии сил трения относительно положения устойчивого равновесия при действии внешней гармонической силы.
О
<\ЛЛА
mi
ллллллллллллллллллл/
yi y2
k2
МЛ/VJ
m2
k3
fWSAJ
y3
m3
_U_U_
®
Рис. 8. Расчетная схема системы с тремя степенями свободы
k
Q
к
У 1 / к2 1 1 к3 1
■ щр2 + к + к2 + к5 \ щр2 + к2 + к щр2 + к + к4 + к5
а
У 2
к.
Рис. 9. Структурная математическая модель (структурная схема) для механической колебательной системы
Т а б л и ц а 2 Коэффициенты уравнений движения системы
а\\ 0\2 а\з
m\p2 + k\ + +k2 + k5 -Ы -k5
02\ а22 а2з
-k2 m2p2 + k2 + kз -kз
аз\ аз2 азз
^5 -kз mзp2 + kз + k4 + + k5
Обобщенные силы
Q\ 0 0
- +
2а12а23а31 _ д
[Щ-Щ] [«2 щ\ [«2 щ\
Щ2Щ3] = а22а33 " а23 •
(35)
(36)
Таблица коэффициентов может быть использована для построения структурной схемы, например для случая силового возмущения Q\. Структурная схема системы (или ее структурная математическая модель) приведена на рис. 9.
Передаточные функции системы и частотное характеристическое уравнение могут быть определены непосредственно по структурной схеме. В частности, характеристическое уравнение в данном случае имеет вид
_ 2 _ 2 _ а11а22а33 а11а23 а22а13 ^^
а33а 12 + 2^2^23^^ — 0*
Выражение (34) дает представление о том, что система может быть построена из парциальных систем а\\, a22, азз, которые входят во взаимодействия между собой через определенные связи (рис. 9).
Если выбрать объект для контроля динамического состояния (например, а\\, для вибрационной защиты), то уравнение (34) может быть преобразовано к виду
где
В предыдущих рассмотрениях характеристическое частотное уравнение может интерпретироваться как сумма динамических жесткостей ее отдельных составных частей (или квазипружин). Такие подходы развиты в ряде работ, например [37, 40]. Отметим при этом, что выражение (36) представляет собой характеристическое уравнение системы с двумя степенями свободы ^2, mз, k2, kз, k4)•
Это позволяет ввести в рассмотрение парциальные системы обобщенного вида. В этом случае структурная модель системы в целом может строиться не только из обычных парциальных систем с одной степенью свободы, но и с привлечением парциальных систем более общего вида с двумя степенями свободы.
В развитие такого подхода можно иметь в виду, что возможны комбинированные подходы, в рамках которых может быть реализовано взаимодействие парциальных систем двух типов. Для более сложных систем могут быть введены парциальные системы с тремя степенями свободы, что дает возможность создания некоторого методологического базиса для рассмотрения закономерностей динамических взаимодействий в многомерных системах.
Заключение
Структурное математическое моделирование, если иметь в виду его направление, связаное с использованием аппарата теории автоматического управления и теории механических цепей, по сравнению с другими методами математического моделирования обладает определенными преимуществами. Они заключаются в том, что математическая модель, в силу особенностей своего по-
к
2
к
5
2
2
а22а13
а33а21
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
строения, позволяет ввести в рассмотрение не только особенности связей между типовыми элементами, но и регулирующие воздействия, отражающие влияние структуры. В целом можно было бы отметить и ряд принципиальных позиций, которые можно было бы развивать автономно, предопределяя возможности получения новых результатов, что связано, в частности, с идеями расширения набора типовых элементов, введения дополнительных связей и преобразования структурных моделей и др.
Развитие структурного моделирования в теории колебаний механических линейных систем ориентировано на использование аппарата преобразований Лапласа, методов частотного анализа и динамического синтеза.
1. Характеристическое частотное уравнение, являющееся основой для определения передаточных функций, обладает возможностями оценки состояния систем через параметры динамической жесткости. В этом смысле характеристическое уравнение может рассматриваться как сумма динамических жесткостей, приведенная к соответствующей точке системы, движение которой соотносится с определенной координатой.
2. Динамическая жесткость упругого элемента или некоторого структурного образования из типовых элементов не только является обобщением свойств упругого элемента в виде идеализированной пружины, но и включает в себя представления о других формах взаимодействия при соблюдении условия, что входное воздействие в форме смещения инициирует выходной сигнал в виде силы. Собственно, на таких представлениях и сформирован набор типовых элементов в линейных системах, когда выделяются массо-инерционные, диссипативные, упругие и другие элементы.
3. Понятие динамической жесткости распространяется как на элементарные звенья, так и на структурные блоки или образования из отдельных элементов, получивших название квазипружины.
4. Система в целом также обладает динамической жесткостью. Если под действием возмущающей силы динамическая жесткость становится равной нулю, то частота возмущения соответствует режиму резонанса.
5. Если нулевое значение принимает динамическая жесткость части системы или некоторого структурного блока, то в системе реализуется динамический режим, отражающий возможности проявления определенных форм самоорганизации совместных движений элементов.
6. Системы с двумя степенями свободы в различных системах координат проявляют различные формы совместных движений, возникающие на соответствующих частотах. Вместе с тем характеристические уравнения в разных системах координат приводятся к тождественному виду, что предопределяет частоты собственных колебаний в виде инвариантов системы.
7. Характеристическое уравнение при детализированном представлении отражает структурные свойства системы, к которым можно отнести пространственную метрику системы, особенности форм движения парциальных систем, особенности взаимодействия элементов системы и структурных образований между собой.
8. Построение структуры системы отличается разнообразием, что основано на использовании определенных методов преобразования моделей и выделении особенностей динамических свойств в зависимости от постановки задачи исследования.
9. Использование парциальных систем обобщенного вида представляет интерес в связи с перспективами создания единой минимальной по сложности методологической основы, позволяющей создавать технологии динамического синтеза систем путем наращивания числа присоединяемых на определенных условиях блоков.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем : учебник для вузов. Минск : ДизайнПРО, 2004. 640 с.
2. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М. : Физматлит, 2005. 320 с.
3. Лонцих П.А., Елисеев С.В. Динамическое качество машин и оборудования как инструмент обеспечения надежности производства и конкурентоспособности процессов Прикладная теория виброзащитных систем. Иркутск : Ир-НИТУ, 2014. 322 с.
4. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. - 320 с.
5. Елисеев СВ., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 384 с.
6. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб. : Политехника, 2013.364 с.
Механика
7. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М. : Наука, 1977. 320 с.
8. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами. М. : Мир, 1978. 283 с.
9. Хоменко А. П., Елисеев С. В. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск : Наука, 2014. 357 с.
10. Быховский И.И. Основы теории вибрационной техники. М. : Машиностроение, 1968. 362 с.
11. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем М. : Машиностроение, 1985. 286 с.
12. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Теория колебаний в инженерном деле / пер. с англ. Л.Г. Корнейчука ; под. ред. Э.И. Григолюка М. : Машиностроение, 1985. 472 с.
13. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П., За-сядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск : Изд-во ИГУ. 2008. 523 с.
14.Хохлов А.А. Динамика сложных механических систем. М. : МИИТ. 2002. 172 с.
15.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС. 2012. 288 с.
16. Генкин М.Д., Рябой В.М. Упруго-инерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. М. : Наука, 1988. 191 с.
17. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно-упругие связи. СПб., Политехника, 2013. 319 с.
18. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Сочленения звеньев в динамике механических колебательных систем. Иркутск : ИрГУПС, 2012. 156 с.
19. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом не-удерживающих связей. Новосибирск : Наука, 2015. 332 с.
20. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Метод структурных преобразований и его приложения в задачах динамики виброзащитных систем. Определение реакций связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1. С. 8-23.
21.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Возможности эквивалентных представлений механических си-
стем с угловыми колебаниями твердых тел // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 2 (42). С. 8-15.
22.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности систем при исключении переменных динамического состояния // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С. 8-17.
23.Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск : Наука, 1978. 212 с.
24.Дружинский И.А. Механические цепи. М. : Машиностроение, 1977. 240 с.
25.Гальперин И.Н. Автоматика как односторонняя механика. М. : Машиностроение, 1968. 340 с.
26.Шаталов А.С. Структурные методы в теории управления и электроавтоматике. М. : Госэнер-гоиздат. 1962. 280 с.
27.Лурье А.И. Операционное исчисление и применение в технических приложениях. М. : Наука, 1959. 368 с.
28.Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties. Irkutsk. : ISU, 2006. 315 p.
29.Возможности интеграции методов теории цепей и теории автоматического управления в задачах динамики машин [Электронный ресурс] / С.В. Елисеев, А.О. Московских, Р.С. Большаков, А.А. Савченко // Наука и образование : электрон. науч.-техн. изд. 2012. № 6. URL. http:// technomag.edu.ru/doc/378699. html (дата обращения: 10.06.2012).
30.Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Импедансные подходы как одна из форм оценки динамических свойств механических колебательных систем в структурном математическом моделировании // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 4 (28). С. 7-15.
31.Вибрации в технике : справочник. В 6 т. Т.5. Измерения и испытания / под ред. М.Д. Генки-на. М. : Машиностроение. 1981. 496 с.
32.Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 61-70.
33.Бабаков И.М. Теория колебаний. М. : Наука, 1968. 650 с.
34.Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : ГИФМЛ, 1961. 824 с.
35. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. теоретические аспекты / С.В. Елисеев, С.В. Бе-локобыльский, Р.Ю. Упырь, В.Е. Гозбенко. Иркутск, 2009. 258 с. Деп. в ВИНИТИ 27.11.2009 №737-В 2009.
36. Каимов Е.В. Некоторые приложения теории рычажных связей / Е.В. Каимов, Н.К. Кузнецов, С.В. Елисеев. Иркутск, 2015. 43 с. Деп. в ВИНИТИ 05.10.2015 №160-В 2015.
37. Елисеев С.В., Кинаш Н.Ж., Каимов Е.В. Рычажные связи механических колебательных систем // Вестник Всерос. науч.-исслед. и про-ектн.-конструкт. ин-та электровозостроения. 2015. № 1 (69). С. 112-126.
38.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Каимов Е.В. Виртуальный рычажный механизм: динамическое гашение колебаний как форма проявления ры-
чажных связей // Изв. Транссиба. 2014. № 4 (20). С. 61-71.
39.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Особенности взаимодействия парциальных систем в виброзащитном контуре с двумя степенями свободы: рычажные связи в динамическом гашении колебаний // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 3 (43). С. 8-19.
40. Соотношения координат движения элементов механических колебательных систем как форма проявления рычажных связей / С.В. Белоко-быльский и др. // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 3 (27). С. 7-14.
УДК 531.391
Банщиков Андрей Валентинович,
к. ф.-м. н., доцент, с. н. с.,
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН,
тел. (3952) 45-30-56, е-mail: bav@icc.ru
СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫИ АНАЛИЗ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИИ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ВЫТЯНУТОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА
A. V. Banshchikov
SYMBOLIC-NUMERICAL ANALYSIS OF NECESSARY CONDITIONS OF THE STABILITY OF RELATIVE EQUILIBRIUMS OF A PROLATE AXISYMMETRIC GYROSTAT
Аннотация. Исследуется динамика спутника-гиростата, движущегося в ньютоновском центральном поле сил по кеплеровой круговой орбите. Рассматривается случай, когда постоянный вектор гиростатического момента лежит в одной из главных центральных плоскостей инерции. В соответствии с идеями Ляпунова об исследовании устойчивости движения по уравнениям первого приближения, в пространстве введённых параметров выделены области, в которых возможна гироскопическая стабилизация одного класса относительных равновесий указанного в заголовке орбитального гиростата. Проведен параметрический анализ условий гироскопической стабилизации неустойчивых равновесий. Сформулировано утверждение о решении соответствующей системы неравенств в виде интервалов значений параметра, определяющего одну из двух ненулевых компонент вектора гиростатического момента. Исследование выполнено с помощью программного комплекса LinModel и функций символьно-численного моделирования пакета компьютерной алгебры Mathematica.
Ключевые слова: положения равновесий, степень неустойчивости, гироскопическая стабилизация, системы неравенств, компьютерная алгебра.
Abstract. The focus of the study is the motion of satellite-gyrostat on Keplerian circular orbit in central Newtonian field offorces. The paper considers the case in which the constant vector of gyrostatic moment lies on one of the principal central planes of inertia. With the application of Lyapunov's approach to the investigation of the stability of the motion by the first order approximation equations, the regions, where the gyroscopic stabilization for the certain class of equilibriums of the orbital gyrostat mentioned in the title is ensured, are singled out in the space of the inputted parameters. The parametrical analysis of the conditions of gyroscopic stabilization of the unstable equilibriums was carried out. The statement about the solution of a corresponding system of inequalities in the form of intervals of values of the parameter defining one of two nonzero components of a vector of gyrostatic moment was formulated. The research was conducted with LinModel software and Mathematica built-in tools for symbolic-numerical modelling.
Keywords: equilibrium positions, degree of instability, gyroscopic stabilization, system of inequalities, computer algebra.
Введение вание, опубликованное в [1], где для осесиммет-
Твердое тело с зафиксированной в нем осью ричного вытянутого гиростата получены условия вращающегося с постоянной относительной угло- на параметры системы, обеспечивающие устойчивой скоростью маховика, уравновешенного стати- вость или неустойчивость относительных равно-чески и динамически, является гиростатом. Си- весий, и рассмотрен вопрос о возможности их ги-стема движется по кеплеровой круговой орбите в роскопической стабилизации при четной степени центральном ньютоновском поле сил вокруг при- неустойчивости. тягивающего центра. Работа продолжает исследо-
