CC BY
20
Машиностроение и машиноведение
УДК 62.752, 621:534;833; 888.6
СТРУКТУРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ВИБРАЦИОННОЙ ЗАЩИТЫ: МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
© С.В. Елисеев1, Р.С. Большаков2
Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
Предлагается метод определения динамических реакций в соединениях элементов системы между собой и с опорными поверхностями в задачах вибрационной защиты машин и оборудования. Метод основан на использовании структурных математических моделей дифференциальных уравнений, отражающих динамическое состояние виброзащитных систем. Разработана технология структурных преобразований для выделения объекта защиты и цепи обратной отрицательной связи. Передаточная функция такой цепи, в физическом смысле, интерпретируется как приведенная динамическая жесткость системы, определяющая с учетом координаты движения объекта защиты параметры динамической реакции. Метод может быть распространен на механические колебательные системы с несколькими степенями свободы. Возможности метода иллюстрируются на примере системы с двумя степенями свободы.
Ключевые слова: структурная схема; математическое моделирование; динамическая реакция; структурные преобразования.
STRUCTURAL MATHEMATICAL MODELING IN VIBRATION PROTECTION PROBLEMS: METHOD FOR CONNECTION DYNAMIC RESPONSE DETERMINATION S.V. Eliseev, R.S. Bolshakov
Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article proposes a method to determine dynamic responses in the connections of system elements between each other and with bearing surfaces in the problems of vibration protection of machines and equipment. The method is based on the use of structural mathematical models of differential equations reflecting the dynamical condition of vibroprotection systems. The technology of structural transformations for the identification of a protection object and a negative feedback circuit is developed. Physically the transfer function of this circuit is interpreted as a unit dynamic stiffness of a system, which determines dynamic response parameters taking into account the coordinate of protection object movement. The method is applicable to mechanical oscillation systems with multiple degrees of freedom. The potential of the method is disclosed on the example of the system with two degrees of freedom.
Keywords: structural scheme; mathematical modeling; dynamic response; structural transformations.
Задачи динамики большинства технических объектов, работающих в условиях вибрационных нагрузок различной природы, решаются на основе использования расчетных схем в виде механических колебательных систем с одной или несколькими степенями свободы. Известен ряд работ, в которых развита методологическая основа динамического синтеза виброзащитных систем, включающих в свой состав пассивные и активные типовые элементы [1, 2]. Вместе с тем обеспечение задач повышения надежности машин и безопасности их эксплуатации требует дальнейшего развития теоретического базиса поисковых и пред-проектных исследований в плане создания способов и средств оценки динамического состояния объектов вибрационной защиты и определения динамических реакций, возникающих во взаимодействиях элементов
виброзащитных систем между собой, а также с объектом защиты и с опорными поверхностями.
В предлагаемой статье рассматриваются возможности метода структурного математического моделирования.
В рамках развиваемого подхода виброзащитной системе сопоставляется расчетная схема в виде соответствующей линейной механической колебательной системы, которая, в свою очередь, интерпретируется на основе метода динамических аналогий как структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления [3].
Общие положения. Постановка задачи исследования
Теоретическое обоснование подхода, основанное на общности математической модели динамического
1 Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, директор, главный научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел.: 83952598428, 89025665129, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
Eliseev Sergey, Doctor of technical sciences, Professor, Director, Chief Researcher of the Research Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel.: +73952598428, +79025665129, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
2Большаков Роман Сергеевич, кандидат технических наук, младший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел.: 83952638326, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru Bolshakov Roman, Candidate of technical sciences, Junior Researcher of the Research Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel.: +73952638326, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru
40
ВЕСТНИК ИрГТУ № 9 (104) 2015
ISSN 1814-3520
Машиностроение и машиноведение
состояния задач вибрационной защиты и управления динамическим состоянием в рамках системных представлений о динамике систем автоматического управления, представлено в работах [4, 5]. Каждое типовое элементарное звено (пружина, демпфер, массо-инерционный элемент и др.) в теории автоматического управления определяет передаточная функция, отражающая свойства и параметры элемента. На рис. 1 представлены используемые типовые элементы, их передаточные функции, а также правила их соединения в простейшие структуры или блоки.
На рис. 2, а-в приведены принципиальные схемы, отражающие особенности построения виброзащитных систем, заключающиеся в необходимости выделения в системе специального устройства, называемого виброизолятором (ВЗУ). Такое устройство формирует силовые взаимодействия между объектом защиты и элементами системы, форма которых зависит от конструктивно-технических особенностей объекта. При
взаимодействии объекта с ВЗУ и опорными поверхностями, как это следует из рис. 2, а-в, возникают динамические реакции связей. На рис. 3, а, б приведены расчетная схема виброзащитной системы (ВЗС) (рис. 3, а) и ее структурная математическая модель (рис. 3, б). Передаточная функция W{p) (рис. 3, б) отражает динамические свойства системы при силовом 0(0 и кинематическом возмущениях (выражения (1) и (2)).
Структурное математическое моделирование
На рис. 4 представлена методика определения динамических реакций связей в механических колебательных системах с одной степенью свободы.
Для удобства пользования рис. 4 приведен на отдельном листе, где показана последовательная система причинно-следственных связей. Более подробное изложение методики определения динамических реакций приводится в работах [5, 6].
I. Пропорциональное звено (пружина) II. Дифференцирующее звено - параллельно
к1 ■ к2 - последовательно к + к
1-го порядка Ь - Ь р + Ь р - р(Ь+ Ь) - параллельно
Ьр ■ Ь2р ь ■ ь2 Ь - Ь р+Ь2 р - Ь + Ь2 'р - последовательно
III. Дифференцирующее звено 2-го порядка ь-цр2 + ^р' -р'(ц + ц) - параллельно
Ьр2 ■ ь2 р2 ь ■ ь2 2 ь - 2 2 - ч ■ р - последовательно Ьр + Ь р (Ь + ь2)
IV. Интегрирующее звено А - А + А - А + А - параллельно р р р
1-го порядка А ■ — . . , - последовательно 1 р р А ■А 1 AL + AL (А + А) р р р
V. Интегрирующее звено А - А+А - - параллельно р р р
2-го порядка А ■ Ат , , , - последовательно 1 р р А'А2 1 А+А (А + А) р' р' р'
Рис. 1. Типовые звенья и их соединения (коммутация)
0\ /"'
Рис. 2. Обобщенные представления о задачах вибрационной защиты
k| ^ I
bp + k 1
\ У bp + k W (p) = rz = —jL-
z mp + bp + k
У 1
w2( p)=y=
Q тр + Ьр + к Рис. 3. Расчетная (а) и структурная (б) схема ВЗС
(1) (2)
а
Q
-1
б
в
¿2(/)| ш/тцш (и
гщ///Шн//// ев
* т. А
Щ(р) = = =
1
Л 0*0*! =0.12 =0.(13)
И,, (р)Л = -
Кл/Л ?
V тр +к\+к2
КВ _ к2
ту"+ (кх +к2)у = = кХ2Х+к121+0ШЪ)
п 2--(5)
У тр +к\ +А"2
= ^ = -.(6)
2\ тр +к\ +А"2
Щ = ^ = -.(7)
22 тр + к'1 + А"2
V тр +к\ +к'2
(14)
(15)
\тр2у + (к1 +к2)у = | \=к121+к222+0:{А)\
У = 0Щ(Р),(%) ж
Я 4 = к\У, (9) КВ =*2У,(10)
Ща | = 1- (П) |Дв |= Щв\ |- (12)
0 = 0.21 ^0^2=0,(17) М Я 4 к\
2\ тр +к'1+к'2
ЩВ(Р) = ^= 21к2
2\ тр +к'1+к'2
ПА *ЛВ,(20)
(кг + к2)г т
К А
У
0 = о
.к, + к.
77777777777/
•0,11)
.(18) .(19)
0 = 0.2! =0.г2 Ф 0,(21)
ДА _ к\к2 22
Н
тр +к'1 + А2
.(22)
22 тр + к\ + к2
Ка=КвЛЩ
.(23)
0 = 0.2! =22 = 2,(25) 0
, ч кх+к2
Щ п (Р) = = —у—-— 2 тр + к\ + А"2
(26)
кх + А"2
2 трА + к\ + А"2
Ки =ЯА+ИвЛ2«)
.(27)
Рис. 4. Принципиальные позиции метода определения динамических реакций: а - расчетная схема системы с одной степенью свободы; б - дифференциальное уравнение движения системы; в - дифференциальное уравнение движения в изображениях Лапласа; г - структурная схема системы при кинематическом возмущении; д - структурная схема при силовом возмущении; е - передаточные функции для различных сочетаний входных и выходных воздействий; ж - определение реакций в различных точках системы; з, и, к- трансформация системы с двумя опорными поверхностями к одной при идентичном кинематическом возмущении; л, м, н, о- передаточные функции реакций связей при различных сочетаниях силовых и кинематических воздействий
На представленном русунке показан последовательный переход от позиции 4, а до позиции 4, о. Стадии преобразований исходных математических моделей приведены также в выражениях (3)-(25). Для реализации методики определения реакций в выбранных точках на основе расчетной схемы (рис. 4, а) составляется дифференциальное уравнение (3), которое трансформируется после преобразований Лапласа в уравнение (4), а затем - в структурные схемы на рис. 4, г, д. При этом р = ]ш - комплексная переменная, а значок (-) над переменными означает изображение по Лапласу. Физическая сущность метода заключается в том, что объект защиты при действии различных возмущений выделяется на структурной схеме как звено с передаточной функцией типового интегрирующего звена второго порядка. В свою очередь, типовые звенья виброзащитной системы представляют собой элементы структурной теории в следующих связях: пружина - звено с передаточной функцией усилительного звена; демпфер - звено с передаточной функцией дифференцирующего звена; промежуточный мас-соинерционный элемент - звено с передаточной функцией дифференцирующего звена второго порядка. Динамическая реакция представляет собой произведение приведенной динамической жесткости в заданной точке на координату ее смещения. Приведенная динамическая жесткость фомируется цепью отрицательной обратной связи относительно объекта защиты, что достигается преобразованиями, правила которых характерны для аппарата теории автоматического управления.
Математическое моделирование и определение динамических реакций в механических колебательных системах с двумя степенями свободы
В данном разделе излагаются основные положения методики определения именно динамических реакций. В практических задачах вибрационной защиты движения объекта рассматриваются как малые колебания относительно положения статического равновесия. Вместе с тем статическая нагрузка в ВЗС формирует соответствующие статические реакции. Полная реакция в характерных или выбираемых точках определяется суммой двух компонент. При равенстве нулю полной реакции в точках возможно возникновение зазоров при неудерживающих связях, что требует в случае необходимости соответствующего контроля за величинами реакции. Особенности определения статических реакций рассмотрены в работе [7].
В системах с двумя степенями свободы методика определения динамических реакций остается прежней, то есть выделяется объект защиты, внешние силы приводятся к объекту, производятся структурные преобразования, в рамках которых формируется цепь обратной отрицательной связи относительно объекта защиты, представленного интегрирующим звеном второго порядка. Коэффициент динамической жесткости обратной связи (или ее коэффициент усиления) при умножении на смещение (или координату) позволяет определить реакцию связи. Общее представление о последовательности действий при определении реакций дают рис. 5, а, б; рис. 6, а, б рис. 7, а, б и рис. 8, а, б. Более подробно процедура определения динамических реакций в механических колебательных системах описана в источниках [8, 9].
т. В
//////////////
Q2 (')
т. В
m2
Q (t) т. А 2
т. В
т. А
У2
У1
т. А ^^ к1 /////7?///////
Qi
Г i
V mp2 + k + k2
Рис. 5. Расчетная (а) и структурная (б) схемы виброзащитной системы
к
2
m
б
а
(+) 1
mp2 + k + k
-О
k • (mp2 + ki + k2)+ k2 • (mp' '+ k)
mxp + k + k2
1
mp2
Q 2
Q2
б
Рис. 6. Преобразования исходной структурной схемы, приведенной на рис. 5, б, относительно элемента т1
2
2
а
m2p + k2 + k
V (+)
Q2
k2
mp + k+k2
а
k • (m2 p1 + k2 + k )+ k2 • (m2 p2 + k3 )
m2p2 + k2 + k3
m1f
mp + k2 + k3
Q2
б
Рис. 7. Структурные схемы при последовательном преобразовании парциальных систем
относительно элемента т2
У1
б
Рис. 8. Структурная схема для определения силы инерции элемента т2
Заключение
1. Исследованы особенности формирования статических и динамических реакций в механических колебательных системах на основе использования аналитического аппарата теории цепей и теории автоматического управления и применения структурных интерпретаций систем и их передаточных функций.
2. Предложен и разработан метод определения динамических реакций в механических колебательных системах при действии гармонических внешних сил, основанный на использовании структурных схем и соответствующих передаточных функций.
3. Динамические реакции в виброзащитных системах могут рассматриваться как параметры, характеризующие динамическое состояние также как и координаты, скорости и ускорения объекта защиты и элементов систем. Кроме того, динамические реакции могут рассматриваться в представлениях амплитудно-частотных характеристик. При этом часть динамических реакций изменяется по законам изменения координат систем, а часть динамических реакций имеет ряд особенностей. Эти особенности проявляются при
возникновении динамических режимов, при которых приведенная жесткость определенной цепи системы стремится к бесконечности. Для определения динамических реакций промежуточных элементов используется тот же подход к рассмотрению инерционного звена в качестве отдельного элемента, относительно которого производятся структурные преобразования с выделением цепи обратной связи. Таким образом, структурная интерпретация метода основана на выделении объекта защиты (или другого инерционного звена) как элемента с передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка. Передаточная функция обратной связи для такого звена соответствует динамической жесткости обобщенной пружины и определяет ее динамическую реакцию.
Исследования выполнены по гранту в рамках Федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 20122013 гг. (мероприятие 1.3.2. - естественные науки) № 14.132.21.1362.
Статья поступила 02.07.2015 г.
Библиографический список
1. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с.
2. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1985. 286 с.
3. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.И. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.
4. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.
5. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2012. 288 с.
6. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Метод струк-
турных преобразований и его приложения в задачах динамики виброзащитных систем. Определение реакций связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 1 (41). С. 8-23.
7. Особенности статического и динамического нагружения в механических колебательных системах. Задачи вибрационной защиты / С.В. Елисеев, Р.С. Большаков, А.В. Елисеев, Е.А. Паршута // Вестник УГАТУ. 2014. № 1 (62). С. 37-47.
8. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В. Обоснование и возможности определения динамических реакций в виброзащитных системах с объектом защиты в виде твердого тела // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 2 (18). С. 7-15.
9. Большаков Р.С., Елисеев С.В. Методологические основы задач определения реакций связей в механических колебательных системах / Деп. в ВИНИТИ РАН 29.11.2013, № 336-В2013. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2013. 64 с.
У 1
44
ВЕСТНИК ИрГТУ № 9 (104) 2015
ISSN 1814-3520
