Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности систем при исключении переменных динамического состояния Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-52 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел./факс: 8(3952)63-83-11 Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел./факс 8 (3952)59-84-28, e-mail: [email protected]

КВАЗИЭЛЕМЕНТЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ. ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ПРИ ИСКЛЮЧЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

A.P. Khomenko, S. V. Eliseev

QUASI-ELEMENTS IN MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS. FEATURES OF SYSTEMS AT THE EXCLUSION OF COORDINATES OF DYNAMICAL CONDITIONS

Аннотация. Рассматриваются возможности исключения переменных состояния в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы. Показано, что математические модели могут быть построены на основе использования более сложных парциальных систем. Предлагаются приемы построения квазипружин. Такие элементы представляют собой структуры, состоящие из элементарных звеньев, соединяемых по определенным правилам. Квазипружины обладают приведенной жесткостью, зависящей от частоты внешней гармонической силы. В предельных случаях приведенные параметры пружин становятся параметрами обычных типовых элементов. Предлагаются метод и рекомендации по построению математических моделей.

Ключевые слова: квазипружины, приведенная жесткость, структурная схема, виброзащитные системы, математические модели.

Abstract. Possibilities of an exclusion of coordinates in mechanical vibrating systems with several levels of freedom are considered. It is shown that mathematical models can be constructed on the basis of use of more difficult partial systems. Receptions of creation of quasi-springs are offered. Such elements represent the structures consisting of elementary links connected by certain rules. Quasi-springs possess the given rigidness depending on the frequency of external garmonical force. In limit cases the specified parameters of springs become parameters of usual standard elements. Method and recommendations about mathematical models creation are offered.

Keywords: quasi-springs, given rigidness, structural scheme, vibroprotection systems, mathematical model.

Введение. Динамическое гашение колебаний является одним из направлений теории и практики вибрационной защиты машин, оборудования и приборов [1+4]. Детализированное представление о свойствах динамических гасителей колебаний связаны с задачами, в которых объект защиты в виде твердого тела с одной степенью свободы приводится к режиму, обеспечивающему значительное уменьшение колебаний объекта на некоторой фиксированной частоте внешнего гармонического возмущения. В таких случаях динамический гаситель рассматривается как присоединяемая структура (в простейшем случае - массои-нерционный и упругий элементы), добавляющая системе еще одну степень свободы движения.

Динамический гаситель может иметь более сложную конструкцию и обладать несколькими степенями свободы, тогда как объект защиты представляет собой твердое тело с одной степенью свободы. Подобные вопросы рассматриваются в работах [5, 6].

В меньшей степени разработаны вопросы защиты объектов, состояние которых описывается несколькими переменными. В частности, к таким задачам может быть отнесено динамика транспортных устройств. В простейших вариантах таких устройств объект защиты представляют собой твердое тело на упругих опорах. Его движение может быть описано в нескольких системах координат [7+9].

На рис. 1 а, б приведена расчетная схема механической колебательной системы с тремя степенями свободы. Схема имеет достаточно общий вид и отражает возможности силовых воздействий Ql, Q2, Qз по координатам уь у2, у3, а также кинематических возмущений z1(t) и z2(t) со стороны опор-

а)

01

к,

-ГУ 1

тх

а 2

2

т2

03

2 к.

р-У 3

т3

б) /// к 31

к 2

1

т1р2 + к + к2

к 1

-21

т2р + к2 + к3

к 3

1

тр2 + к2 + к3

к

Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схемы в виде механической колебательной системы

с тремя степенями свободы

ных поверхностей I и II (рис. 1, а). На рис. 1, б показана структурная схема, состоящая из трех парциальных систем. Движение системы описывается в обобщенных координатах, связанных с неподвижным базисом. Такая система может быть использована для моделирования эффектов динамического гашения колебания в виде объекта с одной или двумя степенями свободы.

На рис. 1, а через т1, т2, т3 обозначены мас-соинерционные элементы; к1, к2, к3, к4 отражают упругие свойства системы; у1, у2, у3 связаны с неподвижной системой координат. Система совершает малые движения; силы сопротивления считаются малыми. Внешние воздействия могут по мере необходимости рассматриваться как кинематические (г1 и г2) или силовые гармонические возмущения, приложенные к соответствующим массам.

В предлагаемой статье исследуются возможности изменения динамических свойств виброзащитных систем на основе использования

дополнительных связей и вариации структурных построений.

I. Общие положения. Постановка задачи исследования. Если объект защиты - система имеет две степени свободы, то структурная схема на рис. 1 , б может быть приведена к виду, как показано на рис. 2. При этом координата у3 как отдельный фактор наблюдения исключается.

Полагая, что объект имеет сложную структуру, найдем передаточные функции:

Щ (р) = ^ = 21

к1к 2 (

т3 р + к3 +

кА.

(1)

где

А = (т1Р2 + к + к2 )• [(т2р2 + к2 + къ )• ((т3р2 + къ + к4)—к2 ]— - к2 • (т2р2 + к2 + к ) - (2)

характеристическое уравнение системы.

Преобразуем структурную схему на рис. 2 к виду, показанному на рис. 3.

В свою очередь, структурная схема на рис. 3

к 2

(+К

1

щр + к + к2

■ 21

п+)

т2р2 + к2 + к3

к 2

"У 2

тър + к3 + к4

Рис. 2. Структурная схема виброзащитной системы с двумя степенями свободы (у1, у2)

2

2

2

к

2

4

1

3

0

1

1

k 2

1

mp + k + k2

kl

■z 1

1

mp1 + k + k_

к

mp + k+k

^2

Рис. 3. Структурная схема системы с тремя степенями свободы при исключении координаты

k 2

1

mp2 + k + k2

"1

z 1

1

mp 2 + k2 + k з (mp W

mp + k + k4

Рис. 4. Структурная схема системы по рис. 3 с дополнительной пружиной, обладающей динамической жесткостью

может быть преобразована к виду, показанному на рис. 4.

Отметим, что в структуре схемы на рис. 4 вторая парциальная система (координата у2), в отличие от традиционных элементов, содержит в своем составе обобщенную пружину (или квазипружину) с жесткостью:

^Ак^. (3)

ш3р + к3 + к4 Квазипружины обладают жесткостью, которая зависит от частоты внешнего воздействия. При частоте

к

Ю = -

m.

(4)

такая пружина обладает нулевой жесткостью, и парциальная система по координате у2 будет работать с участием упругого элемента к. На частоте

ю2 =

k^ + k4 m.

(5)

жесткость пружины становится бесконечно большой, и влияние этой парциальной системы на движение по координате у1 уменьшается. Таким образом, при исключении координат у3 свойства системы будут отличаться от действия обычной системы с двумя степенями свободы.

Отметим также, что при р = 0 (р = - комплексная переменная [6]) динамическая жесткость будет соответствовать жесткости обычной пружины, определяемой (1):

k'np (p )= k3 k4

k^ + k4

При р ^ да получим соответственно

k'' (p ) = k3.

пр

(6)

(7)

Так как жесткость пружины стремится принять значение то система переходит во взаимодействия с более жесткой пружиной.

Целью настоящих исследований является изучение особенностей систем формирования динамических свойств при исключении одной из координат с последующим уменьшением общего числа степеней свободы и появлением в структуре системы дополнительных связей.

II. Технология построения математических моделей. Система на рис. 4 имеет передаточную функцию

W (p) = i2 = k,k2

Z1

/ (mp + k + k2 )'

mp2 + k2 +

k3 (m3 p2 + kl)

mp + k +

- k 2

(8)

которая может быть приведена к виду

W(p) = = k -(m3p2 + k3 + k4)• k2/

Z1

/ (mp2 + k + k )•

[(m2 P + k 2 Mm3 P + k3 + k 4 ) + k3 (m3 P ' + ki )J-

- k2 (m3p2 + k3 + К ). (9)

Из (9) следует, что при кинематическом возмущении z1 = z10 sin Ш по координате у2 возможен режим динамического гашения:

&дин =

к^ + к ^ т„

(10) - - -

В свою очередь, из частотного характеристического уравнения (то есть знаменателя (9)) следует, что в системе по координате у2 возможно существование трех режимов резонанса. Таким образом, исключение координаты не означает, что динамические свойства системы изменятся. Отличие заключается в уменьшении числа наблюдаемых координат. При этом в число элементов механической колебательной системы входит обобщенная пружина (или квазипружина) с жесткостью, определяемой выражением (1). При таком подходе необходимо принимать во внимание то обстоятельство, что изменяется форма самой парциальной системы, то есть парциальная система может представлять собой более сложное образование. По существу, такая парциальная система является системой с двумя степенями свободы. Так, из структурной схемы на рис. 4 можно найти передаточную функцию парциальной системы по координате у2:

Ж"(р) = (т2р2 + к2)'(т3р2 + кз + к4)+ кз •(тзр2 + к4)/

/ тр2 + к3 + к4 . (11)

Соответствующим образом будут изменяться и свойства парциальной системы.

Так же, как и в простых формах, в парциальной системе расширенного типа имеется режим резонанса с соответствующим влиянием на общие свойства системы. Вместе с тем парциальная система приобретает две частоты, на которых «обнуляется» выражение (11). В этом случае разрушается связь с движением по координате у1, что соответствует особым режимам динамических взаимодействий между парциальными системами, когда движения между координатами у1 и у2 будут несвязанными.

Развиваемый подход позволяет сформулировать постановку задач виброзащиты и виброизоляции, когда объект защиты может представлять собой систему с двумя степенями свободы; при этом часть координат исключается, а внешние силы, действующие по исключенным координатам, «приводятся» к наблюдаемым движениям.

III. Особенности свойств. Возможности построения симметричных структур. Полагаем, что математическая модель системы с тремя степенями свободы характеризуется системой уравнений в области преобразований Лапласа:

апУ\ +а12У 2 +а1зУ з = &; (12)

а21у1 +а22У 2 +а2зУ з = ё 2; (13)

а31у1 +а32у 2 +аззУ3 = бз. (14)

Последовательное исключение координат У1, У2, У3 из уравнений (12)^(14) может производиться только в определенной последовательности, иначе получаемых на основе преобразований (12)^(14) структурные схемы не будут иметь симметрию в перекрестных связях между парциальными системами. Отметим, что, принимая во внимание расчетную схему исходной механической системы в виде, как показано на рис. 1, а, коэффициенты системы уравнений (12)^(14) ап, а22, а33 отражают свойства соответствующих парциальных систем:

ап — тр2 + к + к2; а22 — тР2 + к2 + к3; а33 = тр2 + к3 + к4 .

Это нашло отражение в построении структурной схемы, приведенной на рис. 1, б.

С целью получения более точных результатов в последующих расчетах будем полагать, что между координатами у1 и у3 учитывается упругая связь к13. В этом случае координаты системы уравнений (12)^(14) примут вид ап = тр2 + к + к2 + к13; а22 = тр2 + к2 + к3; а33 — тр2 + к3 + к4 + к13;

^^ — ^21 — ; ^а^з къ; ^^^з к13.

Соответствующим образом изменится и вид передаточных функций парциальных систем по координатам у 1 и у3.

Принимаем, что из (12):

У1 =— (я1 -а12У 2-а1зУ 3 ) , (15) а11

и подставляя (15) в (13), (14), получим систему двух уравнений движения в координатах У и

У

3 •

У21 а22--1+ Уз I а

а1з • а211 = я _ Я Он.; (16)

У 2

+ У 3

,2 Л

—Яз _ ё, ^. (17)

"41 у

На основе системы уравнений (16), (17) может быть построена структурная схема, показанная на рис. 5.

Для доказательства того, что исключение У1

необходимо ввести только с использованием (15) рассмотрим соответственно на рис. 6, а, б структурные схемы системы с исключенными координатами У , но с преобразованиями, сделанными

соответственно на основе не уравнений (12), а (13) и (14).

2

а

а,,а

з1 12

з

а_

а_

з2

зз

а

к, к2

тр + к + к + кз

а)

к

* Шгр + к + к--2--

* т^ + к + к + кз

тгрг + к + к - " 02

к,

т^ + к + к + кз

01

кз -

тр + к + к+кз

^3 Р + к3 + к4--2,1 1

тр +к+к +к

(М^

03

к,.

т1р + к + к2 + к13

0

Рис. 5. Структурная схема системы при о^ = а^ ф 0 и исключении У 2

б)

а31а22 а32 + 32 а21

- - + -

•Уз

о-«

01

1

-Гн

а22

а31

03

Уз

01

0 2

а31 « 02

а21

ап 03

а31

б 2

Уз

0 3

Рис. 6. Варианты структурных схем в координатах у2 и у3: а) при получении у1 из уравнения (13); б) при получении у1 из уравнения (14)

Из структурных схем на рис. 5 и на рис. 6, а, б видно, что преобразования, связанные с исключением у1, основанные на использовании уравнений (13) и (14), дают отрицательный результат; системы теряют свойства симметричности связей. Таким образом, сделанное выше предположение о правилах выбора уравнений для исключения координат доказывается преобразованиями и соответствующими структурными построениями на рис. 6, а, б.

Аналогичным путем могут быть исключены координаты у2 и у3, что может быть представлено системами уравнений для описания движения по координатам у! и у3 (при этом координата у2 исключается):

( г, г, \

-О—а„ +-

О-«

01

У1

о-«

0 3

У3

а12 0 2

а 22

а32 0 2

а 22

У1

У1

+ У 3

Ч3 Я12Я23^

22

•*22 У

а,,

= -01 -0 2 —, (18) а

а„ --

+ У 3

■*22 У

22

— — а„

= 03-0 2~. (19)

122 У

a^

Рис. 7. Структурная схема системы в координатах у1 и у3 (с исключением координаты у2)

Отметим, что при исключении координаты у! использовалось выражение (15). Соответственно, для исключения координаты у2 используется уравнение (13), откуда следует:

Соответственно структурная схема имеет следующий вид (рис. 7).

- _0 2 -а21 • У1 -а31 • У 3 У 2

а00

(20)

1

1

2

21 33

а

31

1

1

а,а

31 22

а32 +

а, а

а

а

31 ~ 32

12

13

а

а

а

а

22

33

а

21

33

а

а

а

11

21

11

2

2

а

а

11

21

а

а

31

21

а32 а21

-а13 +

а

22

2

а

а,„ а

12

32 21

32 23

а11

а33

а

а

а

22

22

22

а11

Сравнение (15) и (20) позволяют определить, что исключение промежуточной координаты производится с применением соответствующих уравнений, дающих возможность перевести оператор Оц, а также а22 в знаменатель соотношением (15), (20).

Аналогично, для исключения координаты у3, из (14) можно получить, что:

У з = 0 з "

«31 • У1 - а32 ■ У 2

(21)

а

Подстановка (21) в (12) и (13) с соответствующими преобразованиями позволяет получить искомую систему уравнений движения.

При исключении координаты у3 получим математическую модель:

|+ У 2 I О21

У11 «1

У11 аз

"33

+ У3| а33 --

"33

а,~а

- & - О3 , (22)

1^"23 /-Л /-Л "32

- 0 3 - 0 2

- о. 031. .(23) а

13 31

а,,

0-4

вг

1

а22 а23 а32

а 33

О 2

У 2

03

а23 . О 3

а33

Рис. 8. Структурная схема в координатах у1, у2 (при исключенной координате у3)

Таким образом, исключение переменных в системах с несколькими степенями свободы приводит к тому, что «упрощенная» система (по числу степеней свободы) сохраняет все свойства колебательных систем, отображаемых структурными схемами [10]. Вместе с тем необходимо отметить, что «упрощение» приводит к введению новых понятий, которые связаны с представлениями о возможности использования звеньев нового типа. Такие звенья строятся как некоторые блоки, структуры или компакты из известных типовых элементов в виде массоинерционных звеньев, пружин, демпферов, а также устройств для преобразования движения [11] на основе правил структурных преобразований аппарата теории автома-

Соответственно, на основе (22) и (23) можно построить структурную схему, как показано на рис. 8.

тического управления [6]. В рассмотренных выше случаях такие образования входили в состав структурных схем на рис. 4^8, а анализ показывает, что подобного вида сложные или составные звенья могут включать в свой состав, кроме пружин и другие типовые элементы, образуя в конечном итоге компакт или квазипружину. Последние названия представляются вполне уместными, поскольку рассматриваемые образования являются приведенными пружинами с динамической жесткостью, зависящей от частоты возбуждаемых колебаний. Понятие «квазипружина» связано, в частности, с тем, что квазипружина, если иметь в виду возможность входить в состав блоков, ведет себя как обычный типовой элемент (пружина, демпфер и др.) [10]. Некоторые подробности таких подходов изложены в [12].

Приведенные выше преобразования отражают некоторые общие свойства механических колебательных систем, основанные на представлениях о том, что парциальные системы определяются как необходимые этапы построения более сложных структур, алгоритм развития которых опирается на принципы Даламбера. С этим, в частности, и связаны свойства симметричности связей между парциальными системами. Постановку таких задач можно обнаружить, в частности, в работе [13].

IV. Варианты отображения квазипружин в расчетных схемах механических колебательных систем. Полагая, что на рис. 1, а представлена базовая расчетная схема механической колебательной системы с тремя степенями свободы, можно показать, что исключение координат связано с введением новых структурных элементов.

Развернутая на рис. 9, а расчетная схема содержит дополнительный элемент - пружину к13, которая соединяет массоинерционные элементы т1 и т3, что можно преобразовать, выделяя особенность системы в том, что пружина к13 работает в параллельном соединении (рис. 9, в) с цепочкой к3, т2, к2. Такое параллельное соединение может быть преобразовано или свернуто в квазипружину с динамической жесткостью, определяемой выражением

кпр - к13 + "

2, (24)

тр + к2 + к13 Варианту расчетной схемы по рис. 9, а соответствует схема на рис. 9, в. Расчетная схема на рис. 9, в в этом случае примет вид, как показано на рис. 10, б. Преобразования системы приводят к тому, что на расчетной схеме изменяются внешние силы (они приводятся к координатам). Кроме того, в схеме появляются квазипружины, как парал-

3 3

а

22

22

а„ а

23 31

— а„ +

21

а

33

а„,а

23 31

- а21 +

а

11

а

33

а

13

а

33

а)

Уз

У2

У1

2 \

\

тз

22 1

1

тщ

^к2 2Л <

1

б)

Уз

к/ кз4

02

2 з

1 \

1 тъ

с13 У1

01

У2

в)

2 з

\

т \

У2

'1 01

>к1

г)

У1

1Уз

К

22

21

2 з

т

' У2

Рис. 9. Варианты расчетных схем для механической системы с тремя степенями свободы: а) расчетная схема цепного типа; б) вариант исключения к +__

к 2 к1з

в) вариант исключения у2: к13 +

кз к 2

тр + к2 + к3

тр + кх + к2 + к13 .; г) вариант исключения у3: к, 1 ^^

2 тр2 + к3 + к4 + к13

лельные дополнительные пружины (по отношению к к4) между опорной поверхностью II и массой т3 (рис. 10, б).

Передаточная функция квазипружины имеет

вид

тр2 ■ к3

Жз (р ) = -

(25)

тр + к2 + к3

Между массоинерционным элементом т1 и опорной поверхностью I также появляется квазипружина (рис. 10, б) с передаточной функцией:

жт1р':к2, . (26)

тр + к2 + к3

Отметим также, что изменения происходят в передаточной функции межпарциальной связи (рис. 10, б), которая приобретает вид

Ж (р ) =

к ' к 2

тр2 + к2 + к3

(27)

ответствующие преобразования. В частности, можно показать соответствие структурных схем на рис. 10, а и рис. 2. Обе схемы отражают свойства систем с двумя степенями свободы. Характерным для структурной схемы на рис. 2 является наличие к2 в передаточных функциях парциальных систем, а также в прямой цепи - элемент к2. Аналогичное можно наблюдать и на структурной схеме, приведенной на рис. 10, а, а также на расчетной схеме (рис. 10, б), где выделено звено с параметрами

к1з +

к2к3

тр2 + к2 + к3

. Что касается парциальных

Между структурной схемой системы на рис. 10, а и ее расчетной схемой на рис. 10, б взаимнооднозначное соответствие. Параметры структурной схемы по рис. 10, а могут быть получены путем прямых преобразований, основанных на правилах теории механических цепей или структурной теории виброзащитных систем [6, 10, 13]. На рис. 10, в и 10, г показаны структурные схемы систем в координатах у2, у3 (рис. 10, в) и в координатах уь у2 (рис. 10, г).

Из приведенных на рис. 10, а, б, в, г структурных и расчетных схем видно, что квазипружины входят в параллельные соединения с типовыми элементами кь к2, к3 и к4. При этом возможны со-

систем, то соответствующие элементы легко выделяются простыми преобразованиями.

V. Влияние дополнительных упругостей.

При решении ряда задач, связанных с оценкой влияния различных видов соединения упругих элементов, возникают вопросы учета особенностей и форм взаимодействий. На рис. 11 показана расчетная схема с тремя степенями свободы, которая имеет сходство с расчетной схемой на рис. 1, а, но отличается набором упругих элементов.

В табл. 1 приведены коэффициенты системы уравнений движения в координатах уь у2, у3.

Из табл. 1 следует, что вводимые пружины к01, к04 не влияют непосредственно на межпарциальные связи, определяемые жесткостями упругих элементов к2, к3, к13.

Отмеченные особенности имеют значение при проведении преобразований структурных схем, в том числе при исключении переменных.

г

г

2

к

4

т

т

к

з

т

т

к

к

2

к

к

1з

к

т \ 2

к

к

4

2

т

г

2

г

а)

б)

+

кк

щр + к + к

к2 КР' + КТ

тр + к + к

У1

к3 +

к2к3

щр2 + к + к

01

к

тр + к+к

02

трг I к I к I ^РР + ^

тр + к13 + к4 + 2 , ,

тр + к + к

б 2

_

т2р2 + к + к

б

3 к.

т2р2 • к

тр + к + к

к • к

тр + к + к

б,

к

т2р + к + к

02

*

т т 1

>1

в)

г)

пл* 01 '<

тр + к + к-

Т 01

тр • к

тр2 + к + к

Д 1 к13к2

3 тр1 + к + к + кз

' тр2 + к + \ (щр2+к) тр + к + к + к13

к3 щр2 к2+к

0 2

У2

к

тр + к+к+к-

01

к„ [тр2 + к1 + к2)

тр2 + к + к + к1з У"1р + к1 + к

щ р + + »4 + + к + + ^

0,

к?

тр + к + к + кз

01

и , к13к3

тр + к + кА+к3

•щр'+к+к+тр+к+к4)

щр + к + к + кз

к+—-

тр + к+к + кз

01

ТУ1

к,

тр + к+к + кз

03

2 . кт3 р2 + к + к,3)

щр + к + 3Ч -4-^

т3р + к + к + кз

03

тр + к+к+кз

03

-о

т

Рис. 10. Структурные схемы системы с расчетной схемой по рис. 1, а в координатах у1 и уз (а) и расчетной схемой с квазипружинами (б); структурные схемы систем по координатам у2, уз (в) и координатам У1 и У2 (г)

Ат.,

к

21 > V V \

—"У 1

щ

П~гт тт

/ V 03

\

т3

гг 3 п—л

к01

Рис. 11. Расчетная схема системы с тремя степенями свободы с дополнительными упругими элементами

0

т

к

4

к

04

Т а б л и ц а 1

Коэффициенты уравнений движения в координатах у,, у2, у3._

а11 «12 «13

тр2 + к + к2 + кз -к2 -к1з

«21 «22 «23

-к2 тр2 + к2 + к3 + к01 -кз

аз1 «32 «33

-к1з -кз т3 р2 + к3 + к4 + к04

Примечание: Q1, Q2, Q3 - обобщенные силы по координатам у1, у2, у3

Рассмотрим более сложный пример в виде расчетной схемы системы с четырьмя степенями свободы, имеющей более широкий набор упругих связей (рис. 12).

В табл. 2 приведены коэффициенты уравнения движения (линейная система) в координатах у1 у4.

Из табл. 2 следует, что, так же, как и в предыдущем случае, введение дополнительных связей приводит к заполнению матрицы, и она не принимает вид ленточной структуры. Иными словами, механическая система не является цепной, и в ней присутствуют непланарные связи, что делает преобразования более громоздкими. Что касается дополнительных связей в целом, то они подразделяются на два вида: связи между координатами (к13, к14, к42) и связи между координатами и опорными поверхностями (к35).

Отметим, что связи первого вида входят

в структуру парциальной системы (а11, а22, а33, а44), а также занимают позиции в матрице, которые определяют межпарциальные взаимодействия.

Связи второго вида, например пружина с жесткостью к35 (это могут быть и любые другие элементы с контактами на опорных поверхностях), входят только в парциальные блоки (в нашем случае в блок а33 : к4).

Заключение. Исключение координат в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы является формальным приемом упрощения систем, который приводит к уменьшению числа переменных, но не изменяют математическую модель в целом. Вместе с тем предлагаемые подходы могут оказаться полезными в нескольких направлениях. Первое из них связано с возможностями представления парциаль-

' V V / V / V / АЛЛ / V У\ ллл / vvvvv\ к42 ЛЛЛЛЛЛ ллл /УУ ллл

р -"У 1 е 2, 6з, (п

_"У 3 *У4

МЛ к1 т1 МЛ к 2 т2 МЛ к3 т3 лм к4 т4 мл к5

() ( ) () ( ) () () () ( )

млмлллмамлм к„ мл . ЛЛЛ\ ллл к.. ллwл

ммлмамлммлламлллалл

ки

Рис. 12. Расчетная схема системы с четырьмя степенями свободы

Т а б л и ц а 2

«11 «12 «13 «14

т1 р2 + к1 + к2 + к13 + к14 -к2 -к13 -к14

«21 «22 «23 «24

-к2 тр2 + к2 + к3 + к42 -к3 -к42

«31 «32 «33 «34

-к13 -к3 тр2 + к3 + к4 + к13 + к35 -к4

«41 «42 «43 «44

-к14 -к42 -к4 тр2 + к4 + к5 + к42 + к41

к

14

ных систем в виде более сложных структур, имеющих вид систем с двумя степенями свободы. Это позволяет рассматривать задачи виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования в более сложной постановке, обеспечивающей контроль за динамическим состоянием системы по двум независимым переменным. При этом сохраняются возможности использования приемов, методов и средств структурной теории виброзащитных систем.

Второе направление для дальнейших приложений связано с тем, что технологии исключения координат (или переменных) вводят в рассмотрение блоки или компакты, состоящие из соединенных между собой по определенным правилам типовых элементов; получаемое «образование» можно назвать квазипружиной. Такой составной элемент ведет себя как обыкновенная пружина, если иметь в виду правила его взаимодействия и сопрягаемости при преобразованиях структурных схем. На самом деле квазипружина обладает приведенной (или динамической) жесткостью, зависящей от частоты. Вместе с тем квазипружины обладают параметрами, объединяющими их с обычными пружинами. Эти параметры проявляются при условиях: р ^ 0 или р ^ то.

В-третьих, удобство предлагаемых подходов основано на том, что учет диссипативных факторов, а также дополнительно вводимых массоинер-ционных устройств или звеньев связан с простыми приемами добавления вводимых элементов параллельно к имеющимся упругим звеньям, что детализировано в достаточной мере в работах по структурной теории виброзащитных систем.

В целом предлагаемый подход можно рассматривать как методологическую основу нового метода преобразования механических колебательных систем и развития доказательной базы в представлениях о том, что набор типовых звеньев может быть расширен за счет квазиэлементов, которые отличаются большим многообразием, но имеют простые принципы построения и правила структурных преобразований.

Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012 - 2013 г.г. (мероприятие 1.3.2. - естественные науки) № 14.132.21.1362.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коренев Б.Г., Резников П.М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М. : Наука. 1968. 535 с.

2. Елисеев С.В. Динамические гасители колебаний / С.В, Елисеев, Г.П. Нерубенко. Новосибирск : Наука. 1982 142 с.

3. Harris C.M. Shock and Vibration Handbook. Fifth edition. Cyril M. Harris, Allan G. Piersol McGraw - Hill. Handbooks. USA. 2006. 970 p.

4. Вибрации в технике: справочник : в 6 т. М. : Машиностроение. 1981. Т.6: защита от вибраций и ударов / под ред. К.В. Фролова. 456 с.

5. Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления динамическим состоянием колебательных систем на основе введения дополнительных связей // Винеров-ские чтения: Материалы IV всерос. науч.-практ. конф. Иркутск : ИрГТУ. 2009. С.46-60.

6. Елисеев С.В., Трофимов А.Н., Большаков Р.С., Савченко А.А. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний / Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. №36. С.19-19. URL http://technomag.bmstu.ru/

7. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Кашуба В.Б. Возможности динамических взаимодействий механических колебательных систем при связанных внешних силах // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4. С.29-35.

8. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Кашуба В.Б. Математическое моделирование в механических колебательных системах. Ме-хатронные подходы // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2011. №3 С. 70-78.

9. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями. Метод построения математических моделей. // Известия Транссиба. 2012. № 2. С. 36-45.

10. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ, математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 274 с.

11. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.

12. Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. №4. С.61-70.

13. Дружинский И.А. Механические цепи. М. : Машиностроение. 1977. 244 с.