Научная статья на тему 'Нетрадиционные подходы к построению математических моделей механических колебательных систем с рычажными связями'

Нетрадиционные подходы к построению математических моделей механических колебательных систем с рычажными связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
92
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Известия Транссиба
ВАК
Область наук
Ключевые слова
СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ / РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ / КВАЗИПРУЖИНЫ / ПРИВЕДЕННЫЕ ЖЕСТКОСТИ / STRUCTURAL MODELS OF MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS / LEVER TIES / KWAZISPRINGS / GENERALIZED STIFFNESS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Хоменко Андрей Павлович, Елисеев Сергей Викторович

Рассматриваются вопросы построения структурных моделей виброзащитных систем с рычажными механизмами или связями. Показано, что системы с твердыми телами могут быть приведены к общему виду, и предложены подходы к учету свойств рычажных механизмов. Вводятся новые понятия о структуре механической колебательной системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Хоменко Андрей Павлович, Елисеев Сергей Викторович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

NONTRADITIONAL APPROACHES IN CREATURE OF MATHEMATICAL MODELS OF MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS WITH LEVER TIES

Questions of creature of structural models of vibroprotection systems with lever mechanisms or ties are considered. Possibilities of reducing of systems with lever ties to generalized type are shown. Approaches to account of particularities of lever ties are offered. Some new notions about structure of mechanical oscillation systems are introduced.

Текст научной работы на тему «Нетрадиционные подходы к построению математических моделей механических колебательных систем с рычажными связями»

3. Вольдек, А. И. Электрические машины: Учебник [Текст] / А. И. Вольдек. - Л.: Энергия, 1974. - 840 с.

4. Харламов, В. В. Методы и средства диагностирования технического состояния кол-лекторно-щеточного узла тяговых электродвигателей и других коллекторных машин постоянного тока [Текст]: Монография / В. В. Харламов. - Омск, 2002. - 233 с.

5. Осис, Я. Я. Диагностирование на граф-моделях (на примерах авиационной и автомобильной техники) [Текст] / Я. Я. Осис. - М.: Транспорт, 1991. - 244 с.

УДК 621.01; 534

А. П. Хоменко, С. В. Елисеев

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С РЫЧАЖНЫМИ СВЯЗЯМИ

Рассматриваются вопросы построения структурных моделей виброзащитных систем с рычажными механизмами или связями. Показано, что системы с твердыми телами могут быть приведены к общему виду, и предложены подходы к учету свойств рычажных механизмов. Вводятся новые понятия о структуре механической колебательной системы.

Возможности различных форм соединения наиболее распространенных звеньев механических колебательных систем в виде пружин и демпфирующих устройств нашли отражение в работах по теории механических цепей [1], теории подвесок транспортных средств [2], что связано с рассмотрением эквивалентных пружин и демпферов. Начальные представления о возможностях объединения свойств типовых элементов механических колебательных систем можно найти в работах по теории механизмов и машин, где упомянутые подходы использовались для определения приведенных масс и приведенных жесткостей. Приведенные характеристики получили применение не только в решении задач динамики механических систем, но и в статике в связи с задачами приведения силовых факторов. Широкое распространение задачи приведения сложных расчетных схем в динамике агрегатов, в частности, силовых передач, нашли отражение в работах [3, 4].

В более развитой форме вопросы формирования структур из типовых элементов рассматриваются в теории цепей и ее приложениях применительно к электрическим системам [5]. Возможности упрощения исходных механических систем и их математических моделей, в большей части линейных, стали основой ряда подходов, связанных с разработкой алгоритмов автоматического составления математических моделей и реализации идей автоматизации научных исследований и проектирования систем конкретного назначения [6]. Многие вопросы упрощения исходных структур с использованием идей блочного построения динамических структур были развиты в связи с развитием робототехники [7].

Вместе с тем, несмотря на значительное число работ, в которых в той или иной форме используются представления о возможностях построения приведенных или эквивалентных структур как направления создания некоторой основы для преобразования математических моделей, и технологии упрощения еще не получили должного внимания. В этом плане многое объясняется конкретными особенностями систем, определяемых физической природой составляющих элементов, а также целями и задачами исследования.

В динамике механических колебательных систем, являющихся расчетными схемами для многих задач, в частности, вибрационной защиты машин и оборудования, определенные перспективы имеют структурные методы исследования, связанные с применением аналитического аппарата теорий цепей и автоматического управления. Основной идеей метода является введение расширенного набора типовых элементарных звеньев механических систем. У

таких типовых элементов есть свойство при входном сигнале в виде смещения иметь выходной сигнал в виде силы. В качестве типовых элементов выступают устройства с передаточными функциями усилительных дифференцирующих и интегрирующих звеньев первого и второго порядков [8], из которых могут формироваться структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Заложенная в исходных позициях однородность типовых звеньев по «входу» и «выходу» создает основу для построения приведенных структур, состоящих из блоков, которые, в свою очередь, также могут рассматриваться как своеобразные типовые элементы, но более сложного вида. В таких случаях они могут рассматриваться как типовые элементы второго уровня и т. д. Посуществу учет особенностей механических колебательных систем, в которых имеет место динамическое взаимодействие массоинерционных и упруго-диссипативных сил, естественным образом предопределяет возможности структурирования системы на блоки с учетом формы внешних возмущений и задач исследования. В наибольшей степени такие подходы удобны для систем с конечным числом степеней свободы; в меньшей степени пока развиты технологии блочного построения к системам с распределенными параметрами, хотя в этом направлении известны работы [9, 10]. Широкое распространение получили аналитические подходы и прикладные программные комплексы в разработке методов конечных элементов, однако оценка динамических свойств механических систем и в настоящее время остается сложной проблемой [11].

Упругие элементы в виде различных пружин широко используются в решении многих задач обеспечения динамического качества машин и технологического оборудования. Наиболее известны представления о свойствах пружин, имеющих идеальные характеристики, соответствующие в теории цепей и теории автоматического управления обычным усилительным устройствам. Существуют и более общие подходы, опирающиеся на расширение понятия упругого элемента путем соответствующих соединений с демпферами и устройствами для преобразования движения [12]. В работах [13, 14] рассмотрены отдельные аспекты приведения упругих систем к обобщенным пружинам, связанные с понятиями о динамической жесткости. Последняя определяет свойства системы при действии гармонических внешних возмущений. Конструктивным началом в таких подходах является использование динамических моделей в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, к которым применяются методы преобразования Лапласа с последующим построением структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении структурным схемам систем автоматического управления [1]. Получаемые в последующих этапах передаточные функции дают возможность оценивать не только динамические свойства систем, но и их статические характеристики при «занулении» в передаточной функции системы частоты внешнего воздействия.

Однако многие вопросы использования возможностей структурных подходов еще не получили должной детализации и развития, особенно в тех разделах, которые связаны с изучением рычажных связей, т. е. динамического взаимодействия звеньев в виде твердых тел, соединенных в достаточно сложные структуры. Предлагается комплексное исследование, ориентированное на создание методологических основ построения математических моделей обобщенных упругих структур, возникающих при рассмотрении действия сил в механических колебательных системах. Предполагается, что методологическая основа может быть распространена на ситуации, характерные для периодических внешних сил, что связано в частности с выделением образующихся квазиструктур, упрощающих рассмотрение сложных механических систем.

Рычажные механизмы в составе механических колебательных систем характеризуются особенностями, которые проявляются в изменении динамических свойств по отношению к системам обычного вида. Ряд вопросов рассмотрен в работах [1, 14] в связи с учетом типа рычажных механизмов и их инерционно-упругих свойств. Отметим, что рычажные механизмы в структуре механической системы влияют на условия формирования соотношения меж-

ду координатами движения элементов системы и на формы упругих связей [1]. В частности, малоизученной представляется задача составления математических моделей систем с рычажными связями в различных координатах, что характерно для систем, включающих в свой состав звенья в виде твердого тела.

Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы (см. рисунок 1,а, б), в составе которой используются рычаги 1-го рода (см. рисунок 1,а) и связка рычагов через зубчатое зацепление (см. рисунок 1,б). Введение рычажных связей в механические цепи приводит к определенным сложностям в использовании аппарата теории цепей, что обсуждалось в работах [3, 5], однако в этих исследованиях нашли отражение лишь отдельные аспекты проблемы. Больший интерес представляет сравнительный анализ систем с рычагами в их сопоставлении с известными схемными решениями в виде цепочки из двух тел и твердого тела на упругих опорах.

Р

У

У2

у у у у /А

т

п

у !Г

у у у у /А 2

а б

Рисунок 1 - Расчетные схемы механических колебательных систем с рычажными связями: а - рычаг 1 -го рода; б - рычажная связь с зубчатым зацеплением

Система, представленная на рисунке 1,а, состоит из двух элементов массой т1 и т2, которые взаимодействуют через рычаг 1-го рода. Рычаг имеет центр вращения в виде неподвижной точки О и плечи 11 и 12. Внешнее возмущение представлено движением основания ) и 7) гармонического вида, жесткость пружин обозначена соответственно кх,

k2,

Для вывода уравнений движения примем, что рычаг обладает моментом инерции I относительно точки вращения и что передаточное отношение г = —; учтем также, что переда-

11

точное отношение характеризует в данном случае изменение направления скорости движения по концам рычага. При рассмотрении движения свойства системы предполагаются линейными, трение отсутствует, а движения элементов системы малые.

Для построения математической модели системы (см. рисунок 1,а) введем систему координат у1 и у2 (относительно неподвижной базы) и угол поворота рычага с моментом инерции I вокруг точки 0 в виде р . Тогда выражения для вычисления кинетической и потенциальной энергии системы примут вид:

Т = 2 т1у2 +1 т2у 2 +11Ф2;

3

1

п = -кх(ух - ^)2 +-к2(у\ - у)2 +-к2(у2 -У2У +-к3у2

2 1-х ^ 2 ^^ 2 2

где у!,у2 - координаты концов рычага, у1 = ¡1^,у2 = ¡2ф в соответствии с рисунком 1,а,

г г

22 ) = 0. Отметим, что между у! и у2 имеется соотношение — = —, из которого следует,

¡1 ¡2

что у2 = У (/' = -—). Перепишем уравнения (1), (2) с условием связи координат: ¡1

Г 1 "2 + 1 "2 + 1,

т=^ т1 У! + 2 т2 у2 + ^1

Г • г \

У1

V 1 У

П =1 к1( У1- ^1)2 + 2 к2( у1 - У1)2 + 2 к2 (/У1 - У 2)2 + 2 к з У22.

После ряда преобразований получим уравнения движения:

т1у + У1(к1 + к2) - к2 У1 = к1

т2 ""2+у2 (кз + к2) - к2/у1 =0;

(//¡12).У"; + у;(к2 + к2/'2) - к2у - к2г>2 = 0. Коэффициенты уравнений движения (5) - (7) представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Коэффициенты уравнений движения (5) - (7)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

а11 а12 а13

т1 р + к1 + к2 0 -к 2

а21 а22 а23

0 т1 р2 + к2 + к3 -к 2'

а31 а32 а33

—к 2 -к 2' (I / ¡2) р2 + к2 + к 2/2

01 02 03

к1 0 0

Примечание: Ql - Qз - обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам.

Используя уравнения (7) при I = 0, найдем, что у1(к2 + к 2'2) - к2 у1 - к'2/у2 = 0, откуда

к 2 у + к 2'у 2

у1 =

г -2

к 2 + к 2'

= яу1 + Ьу2,

где

а = к2/ • Ь = к2у

/к + к 2/' 2); /(к2 + к 2'2).

Произведем преобразования уравнений (5), (6) и получим:

т1 у1 + у1 (к1 + к2) - к2 (ау + ьУ 2) = к1 ;

(8)

(9)

(10)

4(12)

№ 2012

2

т2у2 + У2 (к2 + Ю — к2Каух + = (11)

После приведения к унифицированной форме получим таблицу 2 коэффициентов уравнений (10), (11).

Таблица 2 - Коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1 и у2

а11 а12

т1 р2 + к1 + к2 — к2 а —к 2Ь

а21 а22

к 2 /а т2 р2 + к2 + к3 — к2/Ь

01 02

к1

Проверим соотношение между коэффициентами а21 и а12 :

, т кЛ'4 —кЛ!Л

-КЬ = «12 =- Ц, .2 % +\2.2; (12)

к2 + к2г к2 + к21

,. к2 к 2/ — к2га = «21 = - 2 Д .2. (13)

к2 + к2/

Таким образом, симметрия матрицы коэффициентов уравнений (см. таблицу 2) сохраняется. Структурная схема системы при I = 0 представлена на рисунке 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к'2га

Рисунок 2 - Структурная схема механической системы с рычажными связями при I = 0 Распишем выражения для приведенной жесткости:

к к2

кпр1 = к1 + к2 — к2а = к1 + , 2 ]'_, ,.2

В свою очередь

к2 + к'21

кпР = к3 + к2 — к2/Ь = к3 + —'2 2 _.

ПР2 3 2 2 3 к2 + к'212

(14)

Если IФ 0, то структурная схема системы примет вид, изображенный на рисунке 3.

к

к/

Г1

1 у 14 /

т1 р + к1 + к2

т2 р2 + к2 + к3

1

(X) р2 + к2 + к'2/2

72

к1

Рисунок 3 - Структурная схема системы с инерционным рычагом

Особенность системы заключается в том, что в ней отсутствуют связи между парциальными системами по координатам у1 и у2. Принимая, что к12Х = Q1, можно найти передаточную функцию системы:

Г ?2\ 2 , 7_ , 7_г 2 |/ 2 , 1_г , 7_ \ /7_1 -\2

, (16)

ж (р) = = [(1 / ¡12)р2 + к 2 + к2/2 ](т2 р2 + к2 + к3) - (к2/)2

(р) 0 л

где ^ - характеристическое уравнение,

Л = (т1 р2 + к1 + к2 V ^^ р2 + к2 + к2'2 I (т2р2 + к2 + к3 )

(17)

-(к'21)2 (т1 р2 + к1 + к2 ) - к2 (т2 р2 + к2 + к3).

Из уравнения (16) следует, что приведенная упругость, т. е. жесткость упругого компакта в системе, представленной на рисунке 1, при приложении статической силы 0 к элементу

с массой т1 определится по выражению:

/ к2 кг к3

кпр =

к 2 к2 + к3 к2 + к 2 к3 /

2 '

(18)

Аналогичное выражение можно получить непосредственно из расчетной схемы, изображенной на рисунке 1, полагая I = 0, т2 = 0:

^ к'2к3 ^ V к2 + к3 У

/2 к.

/ к2к'2к3

пр

^ к'2к3 ^ V к 2 + к 3 У

/2 + к

к2 к' + к2 к3 + к2 к3'

(19)

Алгоритм получения выражения (19) заключается в выделении двух каскадов из последовательно соединенных упругих элементов и учете свойств рычажного соединения.

Для получения выражения (18), если использовать (16), (17), необходимо также принять

р = 0 в парциальных системах т2р2 + к'2 + к3 и р2 + к2 + к'2/2, затем привести систему к

виду: т1 р2 + к1 + кпр. На рисунке 4 показано, что с учетом преобразований компакт (квазипружина) из упругих элементов в случае действия статической нагрузки в расчетной схеме занимает место обычного упругого элемента.

4(12)

№ 2012

1

2

При г = 1 выражение (19) принимает вид последовательно соединенных упругих элементов. В свою очередь при г = 0, что соответствует 12 = 0, система принимает упрощенный вид, при котором кпр = 0 . При этом взаимодействия с остальными элементами через рычаг не происходит. Если пода , т. е. если считать, что масса т

Рисунок 4 - Расчетная схема механической колебательной системы с упругим компактом

лагать, что к'2 непосредственно связана с рычагом, то

к2 к3г2

к = —^^-

пр 1 , 1 -2 '

к2 + к^г

(20)

что совпадает с ранее полученными результатами [1].

Принимая I = 0, можно преобразовать структурную схему, представленную на рисунке 2, к виду, изображенному на рисунке 5. В этом случае взаимодействие между парциальными системами будет осуществляться через упругий компакт с жесткостью

Ж' (р) = к2к2г

к2 + к2г

2

(21)

к2к2г

2 к2 + к^г

Рисунок 5 - Структурная схема системы с рычажными связями

Используя структурную схему, прведенную на рисунке 5, можно провести преобразование, которое придает рассматриваемой системе вид обычной цепной структуры, содержащей компакты из упругих элементов, соединенных рычажными связями. Структурная схема с преобразованными элементами приведена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Структурная схема системы, приведенной к цепному виду

Соответствующая расчетная схема на уровне использования отдельных звеньев с учетом их физической природы приведена на рисунке 7.

Особенностью системы, изображенной на рисунке 7, является то, что рычажные связи оказались введенными в структуру компакта упругих элементов, что ранее в научной литературе не предполагалось возможным в таком представлении [1]. В теории цепей для учета рычажных связей применяются специальные приемы, которые не отражают общей природы динамических связей [1, 5].

Отметим также, что связь между парциальными системами, в физическом смысле, реализуется через рычажный механизм, который превращает вращательное усилие в силовые факторы взаимодействия между массами т1 и т2 в соответствии с теоретическими положениями механики.

Таким образом, система с рычажными связями может быть представлена цепной системой с упругими элементами, образующими некоторые компакты; связи между парциальными системами имеют упругий характер; при этом массоинерционные свойства рычага для статических расчетов полагаются малыми. Тип рычажного устройства имеет значение для построения передаточных функций системы, поскольку рычаги первого рода (как в рассматриваемом случае) имеют передаточное отношение со знаком «минус». Это имеет значение для определения вида

привносимой рычагами дополнительной обратной связи, которая может быть отрицательной или положительной. Последнее имеет значение в связи с изменениями характеристического уравнения.

В соответствии со структурной схемой на рисунке 6 можно отметить, что частоты парциальных систем и собственных колебаний системы и динамические свойства будут зависеть от типа рычажных связей, что, в частности, нашло отражение в работах [10, 14].

Для проверки правильности подхода определим статическую жесткость системы, представленной на рисунке 7:

Рисунок 7 - Расчетная схема системы, приведенной к цепному виду и содержащей рычажные связи

[к3 (к2 + к2'2) + к 2 к2(1 -i)] к2 к 2'

к =_(к2 + к 2?'2)

пр к3 (к2 + к 2'2) + к2 к'2 (1 -')

2

к2 + V

(к 2 + к 2'2)

+

к 2 к2'

+

к 2 к2'

к 2 к 2 к 3'

2

к2 + к2'

2

к2 к'2 + к3 к2 + к3 к'2'

(22)

(к 2 + к2'2)

что совпадает с выражением (19).

Учет динамических свойств системы с инерционным рычагом требует самостоятельного рассмотрения, но производится аналогичным образом.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При использовании рычага первого рода скорости концов рычага имеют разные направления, поэтому если принять ' < 0, то в соответствии с уравнениями (5) - (7) обратные связи в структурных схемах будут отрицательными. Это предполагает в характеристическом уравнении (по рисунку 6) знак «плюс» перед последним членом. При этом надо принять во внимание, что знак «минус» у передаточного отношения не изменяет параметры парциальных систем, т. е. рычаг первого рода в данном случае при свертках системы обеспечивает отрицательную обратную связь.

Если использовать рычаг второго рода, в котором i > 0, то обратная связь в системе будет положительной, что изменяет знак в характеристическом уравнении системы - он становится отрицательным (знак «минус»). Учет особенностей рычажных связей приводит к тому, что динамические свойства систем будут различными при различных типах рычажных связей.

Рассмотрим механическую систему, содержащую более сложную систему рычажных связей, включающую в себя зубчатое зацепление (см. рисунок 1, б). Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии, полагая, что компоненты рычажных связей имеют моменты инерции !х и 12 соответственно и неподвижные точки вращения 01 и 02 (см. рисунок 1,б):

1 2 1 • 2 1 • 2

Т = 2 т1у + 2 т2у2+ 2+ 2

21 2 2 1 2 22 1 1 2 (23)

П = 2к1(У1 - 21) + 2к2(у'1 " У1) + 2к'2(у'2 " у2) + 2 к3(У2 " 22) ,

где р и р1 - угловые координаты поворота элементов зубчатого зацепления.

Введем ряд необходимых для дальнейших расчетов соотношений: ф = —; ф1 =—;

1 Iз

/2 ф = ф^; У1 = У2 • у; у2 = уу2; / =; =; ^ = ф у. С учетом приведенных соотно-

£-1 ¿о ¿Л 1/Л V л ¿л »л

шений выражения (23) примут вид:

Т = | т1 у12 + 2 т2 у22 + | 1Ф2 + | 72 Ф1

_2 V 2 у

(24)

П = 2 к1(У1 - 21)2 + ^ к2(р1 - У1)2 + 2 к2 (р1//1 - У 2 )2 + | к3 (У 2 - ^2)2. (25)

Так как /2 = //1, а /2 = —, то можно ввести соотношение:

/2 • • /1 •

У = ^Т" = ^ (26)

/2 /3

Уравнения движения в данном случае примут вид:

т1у1 + У1 (к1 + к2) - к2ф /1 = к1^1; (27)

т2У2 + У2 (к2 + к3) - к2//1/1 ф = к3^ (28)

р(11 + 12 Ь2) + р[к2 /12 + к2(/1//1)2 ]-к 2 /1У1 - к2 /1//1У 2 = (29)

Если /1 = 0,12 = 0, тогда

ф = АУ1 + Ьу 2, (30)

где

к/

а = 21

к2/12 + к2(/1//1)2

ь =

к2№

к21х + к2(/л)

С учетом выражений (30) - (32) уравнения (27), (28) преобразуются к виду:

щух + (к1 + к2)у -

к22/12

___к211к2(/1//1 ) У2

к2/12 + к^ (/1''1 )2 к2/12 + к^ (/1/''1 )2

= к1

(33)

(к 2 )2 (11гг1 )2 У 2 к2/1к2(/1г''1)

т2у2 +(к2 + к3)У2 -

к2/1 + к'2(11И1) к2/1 + к'2(11и1У

В таблице 3 приведены коэффициенты уравнений (33), (34).

Таблица 3 - Коэффициенты уравнений в координатах у1, у 2

т1 р2 + к1 +

к 2 к 2 1 ) к2^1 + к2 (11/ /1)

21

к 2 к2^1 (11'''1) к 2^1 + ВД'^Г

01

к1

к 2 к 2^1 (11//1) к 2^12 + к 2 (/1//1)2

22

т2 р2 + к3 +

к 2 к 2^1

к 2^1 + к2(/'1)2

02

к 2 ^2

Примечание: 01, 02 - обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам у1 и у2.

Структурная схема системы по рисунку 1,б приведена на рисунке 8.

(34)

у2

Рисунок 8 - Структурная схема системы по рисунку 1, б

Из структурной схемы, приведенной на рисунке 8, следует, что введение рычажных и упругих элементов формирует систему, в которой парциальные блоки имеют связь с передаточной функцией:

W'(р) =

к2 к2 (гг1) к 2 + к 2(''1)2

(35)

В структурной схеме на рисунке 8 можно произвести ряд эквивалентных преобразований (рисунок 9), приняв, что

а

а

(36)

)- А2 + А2/0 -(

Рисунок 9 - Структурная схема системы по рисунку 1, б, приведенная к цепному виду

Отметим, что приведенные преобразования для расчетной схемы на рисунке 1, б аналогичны преобразованиям для схемы на рисунке 1,а. Если не принимать во внимание знаки передаточного отношения, то для схемы на рисунке 9 представлена система, в которой для связи парциальных блоков вводится положительная обратная связь. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

т1 р2 + А1 +

АЛ'Л

2

'2 2 0

^ + ^ у

т2 р2 + А3 +

^ + ^

( А2 А2/0 )2 (k2 + ^ )

= 0.

(37)

Рассмотрим более подробно структуру /0 = //. Отметим, что / = —— передаточное отно-

¡1

шение рычага первого рода (см. рисунок 1,б), для которого / = -—. В свою очередь /1 =

К 12

является передаточным отношением зубчатой передачи с наружным зацеплением, обеспечи-

к

¡2'

вающим вращение элементов передачи в противоположных направлениях, поэтому /1 =

Комбинация двух передаточных отношений будет, таким образом, всегда положительной. Изложенное позволяет сделать вывод о том, что соединение двух рычагов первого рода через наружное зубчатое зацепление превращает весь блок в рычаг второго рода, что само по себе является нетрадиционным представлением особенностей рычажных связей.

Таким образом, рычажные связи в структурах механических систем, содержащих упругие и массоинерционные элементы, создают пространственные (в данном случае - двумерные) взаимодействия.

При анализе статического равновесия система может рассматриваться на уровнях выделения структурных образований из упругих элементов и рычагов, в свою очередь соединенных между собой зубчатым механизмом. Такие структурные образования можно назвать компактами, или квазипружинами, которые могут иметь достаточно сложные схемы и состоять из различных комбинаций рычагов и пружин. Главным является то, что квазипружина ведет себя в статических преобразованиях, например, при определении приведенной жесткости механической системы (жесткость в точке положения силы), так же, как обычная пружина в виде типового элементарного звена.

//1 ¿0

г

2

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

Рассматриваемые структурные представления позволяют предложить метод определения приведенных жесткостей на основе использования для этих целей передаточных функций. Передаточные функции, вычисленные путем простых преобразований, позволяют получить необходимые данные о приведенных жесткостях системы и тем самым учитывать конструктивно-технические особенности системы.

Предложенный метод для решения задач динамики открывает возможность введения и учета рычажных связей в структурных интерпретациях механических колебательных систем, основанных на аналитическом аппарате теорий цепей и автоматического управления.

Список литературы

1. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. - 394 с.

2. Климов, А. В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывистым демпфированием: Дис... канд. техн. наук / А. В. Климов. - Орел, 2001. - 186 с.

3. Фролов, К. В. Вибрации в технике. Защита от вибраций и ударов [Текст] / К. В. Фролов. - М.: Машиностроение, 1981. - Т. 6. - 456 с.

4. Вейц, В. А. Колебательные системы машинных агрегатов [Текст] / В. А. Вейц, Е. А. Кочура, А. К. Федотов / Ленинградский гос. ун-т. - Л., 1979. - 256 с.

5. Бакалов, В. П. Основы теории цепей [Текст] / В. П. Бакалов, В. Ф. Дмитриков, Б. И. Крук. - М.: Радио и связь. - 1998. - 469 с.

6. Елисеев, С. В. Исследование и проектирование виброзащитных систем средствами специализированных пакетов прикладных программ [Текст] / С. В. Елисеев, А. А. Засядко, Г. Д. Карпухин // Проблемы механики железнодорожного транспорта. Повышение надежности и совершенствование конструкций подвижного состава. Сб. докл. всесоюзной конф. / Днепропетровский нац. ун-т ж.-д. трансп. - Днепропетровск, 1988.

7. Елисеев, С. В. Математическое и программное обеспечение в динамике многоманипу-ляционных систем [Текст] / С. В. Елисеев, М. М. Свинин. - Новосибирск: Наука, 1992. - 298 с.

8. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник и др. / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2008. - 523 с.

9. Бутковский, А. Г. Структурная теория распределенных систем [Текст] / А. Г. Бутков-ский. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

10. Ольсон, Г. Ф. Динамические аналогии [Текст] / Г. Ф. Ольсон. - М.: Мир, 1967. -224 с.

11. Соболев, В. И. Дискретно-континуальные математические модели в алгоритмическом и программном разрешении проблем подавления вибраций конструкций и оборудования [Текст]: Автореф. дис. доктора техн. наук. Иркутск, 2003. - 36 с.

12. Елисеев, С. В. Динамика механических систем с дополнительными связями [Текст] / С. В. Елисеев, Л. Н. Волков, В. П. Кухаренко. - Новосибирск: Наука. - 1990. - 214 с.

13. Елисеев, С. В. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и оборудования [Текст] / С. В. Елисеев, С. В. Белокобыльский, Р. Ю. Упырь // Сб. науч. тр. / Полтавский национальный техн. ун-т. - Полтава, 2009. - № 3 (25). - С. 79 - 89.

14. Елисеев, С. В. Рычажные связи в задачах вибрационного воздействия на машины и оборудование [Текст] / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко, Р. Ю. Упырь // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2009. - № 3 (23). - С. 104 - 119.

! 4(12)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.