Особенности обратных связей при колебаниях систем с рычажными связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Пассажирский электровоз ЧС4 [Текст] / В. А. Каптелкин, Ю. В. Колесин и др. -М.: Транспорт, 1971. - 303 с.

References

1. Kosarev A. B., Nazarow O. N. Problems of development of high-speed traffic [Problemy razwitija skorostnogo dwigenija]. Electrifikazija i nauchno-tehnicheskij progress na geleznodorog-nom transporte: Materialy wtorogo megdunarodnogo simpoziuma eltrans 2003 (Electrification and scientific and technical progress in the railway transport: Materials of the Second International Symposium eltrans). - St. Petersburg 2003, pp. 42 - 54.

2. Rozenfeld W. E., Isaew I. P., Sidorow N. N. Teorija elektricheskoj tjagi (Electric traction theory). Moscow: Transport Publ., 1983, 328 p.

3. Prawila tjagowih raschetow dljapoezdnoj raboty (Rules of traction calculations for train operation). Moscow: Transport Publ., 1985, 287 p.

4. Grebenjuk P. T., Dolganow A. N., Skworzowa A. I. Tjagowije raschety (Traction calculations). Moscow: Transport Publ., 1987, 272 p.

5. Electrowoz EP1. Rukowodstwopo ekspluatazii (Electric locomotive EP1. The manual). Vol. 1. Nowocherkask, 2006, 527 p.

6. Podoproswetow A. W., Moroschkin B. N. Features of electrical circuits electric locomotive EP2K [Osobennosti electricheskih shem electrowoza EP2K]. Locomotiv - The Locomotive, 2013, no. 2, pp. 26 - 28.

7. Soltus K. P. Meet the electric locomotive EP20 [Znakomtes: electrowoz EP20]. Locomotiv -The Locomotive, 2013, no. 4, pp. 34 - 37.

8. Rakov V. A. Passazhirskii elektrovoz ChS2 (Passenger electric ChS2). Moskow: Transzheldorizdat. 1963. 360 p.

9. Kaptelkin V. A., Kolesin Iu. V. Passazhirskii elektrovoz ChS4 (Passenger electric ChS4). Moskow: Transport. 1971. 303 p.

УДК 629.4.015;656.2;621.0;534.014

С. В. Елисеев, Н. Ж. Кинаш, Д. Х. Нгуен

ОСОБЕННОСТИ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМ

С РЫЧАЖНЫМИ СВЯЗЯМИ

Предлагается метод построения математических моделей для механических систем с дополнительными обратными связями, которые формируются рычажными механизмами различного рода. Показано, что математические модели могут быть получены путем упрощения более сложной системы с твердым телом, имеющим неподвижную точку вращения. При построении модели рычажные связи формально проявляются, если уменьшать момент инерции промежуточного твердого тела до малых значений. Показано, что механическая колебательная система может быть приведена к эквивалентной схеме, соответствующей системе цепного типа. Эквивалентные расчетные схемы могут иметь межпарциальные связи различного вида. Предложены и обоснованы возможности использования квазипружин. Такие сложные образования состоят из упругих звеньев, соединенных между собой рычажными механизмами. Приведенная жесткость квазипружин определяется по правилам преобразования структурных математических моделей. Основой математического моделирования является использование преобразований Лапласа с последующим построением эквивалентных в динамическом отношении структурных схем систем автоматического управления. Получены аналитические соотношения, характеризующие возможности реализации особых динамических режимов.

Обратные связи в динамике механических колебательных систем разнообразны в своих проявлениях, что нашло отражение в ряде работ последних лет [1, 2]. Введение в структуру механических систем рычажных механизмов в определенном смысле расширило представления о возможных формах динамических взаимодействий элементов виброзащитных си-

14 ИЗВЕСТИЯ Транссиба ^^ № 3(23) 2015

= _

стем [3]. В работах [4, 5] приведены результаты, характеризующие влияние рычажных связей, формируемых механизмами различных видов, также в этих источниках нашли отражение задачи динамики рычажных механизмов, работающих во взаимодействии с пневматическими и гидравлическими устройствами. Вместе с тем ряд вопросов, связанных с физическими формами реализации обратных связей, не получил достаточной детализации рассмотрения.

В предлагаемой статье развивается методологический базис для оценки возможностей рычажных связей в формировании динамических свойств, характерных для виброзащитных систем оборудования и машин.

I. Общие положения.

Рассматривается механическая система с двумя степенями свободы, в составе которой имеется устройство (рисунок 1) для преобразования движения. Интерес представляет сравнительный анализ систем с рычажными связями в их сопоставлении с известными схемными решениями в виде цепных структур из твердых тел, совершающих вертикальные колебательные движения в последовательной связке с упругими элементами (см. рисунок 1).

Отметим, что в системах имеются особенности динамических взаимодействий. Важным обстоятельством для оценки возможных форм динамических взаимодействий являются соотношения форм движения по отдельным координатам.

В общем случае твердое тело, имеющее точку вращения О (т. О), обладает моментом инерции J; центр тяжести твердого тела совпадает с т. О. В дальнейшем предполагается возможность малости значений момента инерции, что позволяет переходить к оценке рычажных связей «занулением» параметра J.

Рычаг имеет центр вращения в виде неподвижной точки О и плечи 1\ и 12. Внешнее возмущение представлено движением основания гармонического вида; жесткости пружин обозначены соответственно к1, к2, к'2, к3. Для вывода уравнений движения принимается, что рычаг обладает моментом инерции J относительно точки вращения - передаточное отношение г = /2//1 -и характеризуется в данном случае изменением направления скоростей движения точек по концам рычага; свойства системы предполагаются линейными, трение отсутствует, а движения элементов системы считаются малыми.

Для построения математической модели системы (см. рисунок 1) вводится система координат у1 и у2 (относительно неподвижного базиса) и угол поворота рычага, обозначенный через ф. Полагаем, что выражения для расчета кинетической и потенциальной энергии можно представить в виде:

Рисунок 1 - Расчетная схема с рычажной

связью, обеспечивающей взаимодействие между двумя массоинерционными элементами системы

1 9 1 - 2 1 2

(1)

1

1

П = -к(у! - 2Х)2 +-¿2 (У - у)2 +-к (у2 - У2)2 +-кзу2 .

(2)

В данном случае у'1, у'2 являются координатами концов твердого тела J или рычага второго рода, обладающего массоинерционными свойствами, поэтому у'1 = /1ф, а у'2 = /2ф. Внешние возмущения представлены кинематическим возмущением 21{() опорной поверхности I (см. рисунок 1). Выбирается система координат, связанная с неподвижным базисом (у1, у'1, у2). Между координатами у'1 и у'2 существует связь, формируемая устройством для преобразования движения.

№203(253) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 15

Если учесть рычажные связи, привносимые твердым телом J, то можно получить соотношение между координатами у \ и у'2 у'1/11 = уУ?2, откуда следует, что

У'2 = Уь (3)

где г = /2//!. При этом скорости у[ и у2 направлены в противоположные стороны. Существенное значение для определения кинетической энергии имеет учет возможных форм деформации упругих элементов к2 и к'2 при соответствующих сочетанияху'! иу!, а такжеу'2 иу2. Если принять, что в упругом элементе к2 потенциальная энергия определится как

Пк2 = 1 к2 (у'~ у )2, (4)

то такая форма нагружения пружины к2 предполагает, что у! и у'! двигаются синфазно, поэтому можно полагать деформацию пружины в виде у'! - у! (тогда потенциальная энергия определится выражением (4)). Однако при определенных условиях может возникнуть ситуация, при которой движения по координатам у! и у'! будут происходить в противофазе, тогда деформация пружины определится суммой координат у! + у'!. В этом случае потенциальная энергия для упругого элемента к2

1 т

П =1 к2(у1 + у!)2. (5)

Значения потенциальной энергии, определяемые из уравнений (4) и (5), будут различными.

Вместе с тем при выборе определенных форм деформации элемента к2 возможны разные формы нагружения упругого элемента к'2. Возможные варианты соотношения форм деформации элементов к2 и к'2 можно представить следующим образом:

1) случай I: при у! -у'! иу'2 -у2 или ¡у\ -у2;

2) случай II: приу1 -у'1 имеему'2 + у2 или -гу\ -у2;

3) случай III: при у1 + у'1 имеему'2 -у2 или гу\ -у2;

4) случай IV: при у1 + у'1 имеему'2 + у2 или -1у\ -у2.

Задача исследования заключается в оценке особенностей обратных связей, которые рассматриваются в структурных математических моделях, отражающих динамические свойства исходных механических систем.

II. Построение математических моделей.

Отметим, что твердое тело (см. рисунок 1), обладающее массоинерционными свойствами (момент инерции J), является в рамках поставленной задачи исследования рычажным устройством, обеспечивающим преобразования движении элементов системы. Математическая модель может быть построена на основе уравнения Лагранжа второго рода в предположении, что кинетическая энергия системы равна в данном случае сумме кинетических энергий составляющих частей. При этом особое внимание должно уделяться учету форм деформации упругих элементов. Предполагается, что в линейной системе силы трения отсутствуют, а движения системы являются малыми колебаниями относительно положении статического равновесия. Гармоническая сила прикладывается к элементу т1 или через колебания

опорной поверхности I (см. рисунок 1). Если рассматривается система на рисунке 1, то выражения для вычисления кинетической и потенциальной энергии принимают вид с учетом определенных соотношений между координатами у1, у'1, у'2 и у2.

В зависимости от того, какой случай из приводимых вариантов рассматривается, будут получаться различные математические модели.

Рассмотрим математические модели и их структурные аналоги, относящиеся к расчетной схеме на рисунке 1, т. е. при связях, реализуемых рычажным механизмом второго рода [6].

1. Для случая I при у1 - у'1 и гу'1 - у2 уравнения движения имеют вид:

16 ИЗВЕСТИЯ Транссиба ^^ № 3(23) 2015

ЩУ\ + У\ (к\ +к2)-к2 У\ =к\2ь

< (./ /Г[)у[ + у[(к2 + к'2Г)-к^у2-к2у] = 0; т2у2 + у 2 (к 2 +къ)~ к'21у[ = 0.

2. Для случая II при у1 —у'1 и —/у'х -у2 соответственно получим:

щу\ + у\ (к\ +к2)~ к2 у[ = к1г1;

< (./ / /Г + (к2 + к'2Г) - к2ух + к'21у2 = 0; т2у2 + >'2 + к3) + ¿204 = 0.

3. Для случая III при у1 + у'1 и /у\ — у2 уравнения движения принимают вид:

щу\ + у\ (к\ +к2)+к2 у[ = ;

< (./ /)Я + (^2 + к'2Г) + к2Ух -к'21у2 = 0; т2у2 + у 2 (к2 +к3)~ кыу\ = 0.

4. Для случая IV при у1 + у'1 и —/у'1 — у2 соответственно получаем, что

ЩУ\ + Л + к2) + к2у[ = к^; <(Л\1 )у[ + у{ (к2 + ку2) + к2ух + Щу2 = 0; т2)}2 + Уг (к2 +к3) + кУу{ = 0.

(6)

(7)

(8)

(9)

На рисунке 2 приведены структурные схемы систем с тремя степенями свободы, соответствующие математическим моделям (6) — (9).

-ш-

г

1

т.р1+*, + *!

-ш-

1 1

—/+*, +0" 1,' Н ^ Ь-о-

—с

ЕЕ^-

1 ■

И ч< Но—

Рисунок 2 — Варианты структурных схем механической систем с рычажными связями при различных соотношениях форм движения по координатам у1 и у2: а — деформация пружин по условиям у1 — у'1 и /у\ — у2; б — условия у1 — у'1 и — /у\ — у2; в — условия у1 + у'1 и /у\ — у2; г — условия у1 + у'1 и —/у'1 — у2

а

б

в

г

Сравнение вариантов показывает, что между случаями I - IV имеются определенные зависимости, отражающие разные виды межпарциальных связей:

1) У1 - У'1 и iy'i - У2 => +k2, +k2'i;

2)У1 -y'i и -iy'i -У2 => +k2, -k2%

3) У1 + y'1 и iy'1 - У2 => -kl, +k2'i; (10)

4) У1 + y'1 и -iy'1 -У2 => -k2, -k2'i.

III. Исключение координаты ф, или y\ (у'г).

1. Рассмотрим случай I при J^-0. Используя соотношение, полученное из системы (6) для определения y'1, найдем, что

У1 = ffi2 = аУ + ^ k2 + к21

(11)

где

a = к2/(к2 + k'2i2) ; b = k'2i! (к + k'2i2).

(12) (13)

В этом случае система уравнений (6) трансформируется к виду (после преобразований Лапласа):

y1 (mp2 + к + k - ak2) - bk2y2 = kxzx;

(14)

y2 (m2p2 + k'2+ k - bk2i) - ak2iyl = 0,

(15)

гдер = ja - комплексная переменная, значок <-> соответствует изображению по Лапласу [1].

Структурная схема системы приведена на рисунке 3, из которой можно найти передаточные функции вида:

wx (р)=^=mp2 + k2 + k3 - bk2i.

kizi

Ш p) =

A

y2 _ ak2i

kizi A

(16) (17)

где - частотное характеристическое уравнение:

A =

m p + k + V+ k2 — ak2 J

m p2 + k2 + k3 - bk2i

- abk2k'2i = 0.

(18)

Рисунок 3 - Структурная схема системы при исключении координаты у\ и J^•0 С учетом уравнений (12) и (13) частотное уравнение (18) может быть приведено к виду:

/ 2 m1p + k1 +

+k -

\ f ">

m2 p + k'2 +

k2 + k'/ j

+k3 -Щ

V k2 + k2i j

2

k2k2i v k2 + k2i2 j

= 0.

(19)

18 ИЗВЕСТИЯ Транссиба ^^ № 3(23) 2015

= _

Отметим, что при кинематическом возмущении в системе возможен режим динамического гашения на частоте

k2 + k3 -

iM

k2 + 2

, к2к'2

2 +-

k2 + k22

(20)

2. Для случая, когда выполняется условие у1 - у\ и -1у\ - у2, система уравнений движения при J^■0, примет вид:

( ,2 Л

Л

mx Р + кх + ^2 -

¿2 + у

k^ k^ i _ т

■ 22 2 • У2 = kizi; ¿2 + k2i2

У2

2 , (k2 i)2 ^ m2p2 + k2+ k3 ~ V V, 2 k, + k2l

¿2 k2 i

¿2 + k'2i

7-2 =

(21)

(22)

Структурная схема системы в данном случае приводится к виду, показаному на рисунке 4. Для межпарциальных связей выполняется условие - к'2га = к2Ь, что приводит к соотно-

шению

k2k 2?

k^k 2 i

— . Таким образом, симметрия межпарциальных связей сохраняется.

к2 + к 2? к2 + к 2 ?

3. Для случая III выражение для потенциальной энергии имеет вид

п =1 к^2 +1 к2(ух + у2)2 +1 к2(У -у2)2 +1 к3у22,

2

а для случая IV соответственно:

1

2

2

2

п = -kiy2 + -k2(yi + y')2 + -k2(-iy1 -У2)2 +-k^y2-

(23)

(24)

чия.

Уравнения движения в системах координат y1 и y2 приобретают соответствующие разли-1. Для случая III получим, что

У1

m' p + k' + k2 -

k2 + k2i2 у

_kakaL k2 + k2i:

-У2 = kizi;

У2

Ш2p2 + k2 + ¿з -

(k2)

2

k9 + k2i2

k2 + k2i2

(25)

(26)

2. Для случая IV соответственно:

У1

У2

mi p 2 + ki + k2 -

¿2 + k2i2 у

k2k2i

¿2 + k'2i

72 У2 = kizi;

m2 p + k2 + ¿3 -

(k2i)

2

k0 + k2i

2

т^я= k2 + k2/2

(27)

(28)

На рисунке 5 приведены структурные схемы, из которых следует, что учет форм движения по отдельным координатам, в частности, у1 и у2, связан с появлением межпарциальных связей того или иного знака. Отметим, что структурные схемы на рисунках 3 и 5, б, а также на рисунках 4 и 5, а совпадают, что отражает свойства симметрии межпарциальных связей. Соотношение знаков таковы, что при случаях I и IV межпарциальные связи имеют положи-

2

т

тельные знаки. В случаях II и III знаки межпарциальных связей отрицательные, что характеризует формы движения элементов ш1 и ш2 в плане определения особенностей движения элементов по признакам: движения с одинаковой фазой или движения противофазны.

Рисунок 4 - Структурная схема системы с исключенной координатой >>'1 при 3 = 0

б

Рисунок 5 - Структурные схемы для случаев III и IV при исключенных y'i: а - отрицательная межпарциальная связь; б - положительная межпарциальная связь

IV. Особенности соотношения форм совместных движений. Структурные схемы, представленные на рисунках 2 - 5, могут быть использованы для построения эквивалентных расчетных схем, когда механическая система с рычажными устройствами может интерпретироваться как механическая колебательная система цепного вида. Отдельные аспекты эквивалентных представлений в механических колебательных системах рассмотрены в работах [7, 8].

На рисунке 6 показаны варианты представления расчетных схем системы с рычажными устройствами с учетом ранее рассмотренных случаев I - IV соотношений в формах движений по координатам y1 и y2. На рисунках 6, а, б показана обычная расчетная схема цепного типа при упругой связи между координатами y\ и y2 через упругий элемент с жесткостью к2. На рисунках 6, в, г представлены расчетные схемы систем, имеющих рычажные связи, приведенных к эквивалентным схемам цепного вида с упругими элементами более сложной структуры.

Расчетная схема, приведенная на рисунке 6, в, соответствует случаям II и III, для которых характерны деформации упругих элементов к2 и к'2 по соотношения координат yi - y'1 и iy\ - y2 соответственно, что связано с отрицательной межпарциальной связью, определяемой

приведенной жесткостью —к^22 .

к2 + к2 i2

На рисунке 6, г представлена расчетная схема для механической системы с рычажной связью при учете взаимного расположения координат по упругим элементам к2 и к2 в виде y1 + y'i и -zy'i - y2 соответственно. В таком случае межпарциальная связь является положитель-

ной и определяется приведенной жесткостью +

k2lk2i

',■2

k2 + k'2i

, как показано на рисунке 6, г.

а

20 ИЗВЕСТИЯ Транссиба ^^ № 3(23) 2015

= _

а б в г

Рисунок 6 - Сопоставление расчетных схем механических систем с обычными и дополнительными (рычажными связями): а - расчетная схема цепного вида с упругими элементами к1, к2, к3; б - расчетная схема с упругими элементами, отображаемыми блоками; в - расчетная схема для системы с отрицательной межпарциальной связью (сл. II, III); г - расчетная схема системы с положительной межпарциальной связью (случаи I - IV)

В отличие от представлений, связанных с оценкой динамических свойств обычной цепной системы с двумя степенями свободы (рисунки 6, а, б), рычажные связи привносят изменения, которые затрагивают значения парциальных частот, собственных частот и частот динамического гашения.

Если для сопоставления выбрать соотношения координат по случаям I и IV, как соответствующие естественной форме самоорганизации движения, то парциальная частота в соответствии со структурной схемой на рисунке 6, б определяется так:

п =

п2 = ^

к1 (к2 + к'212) + к2к'2? • (? +1) т (к2 + к2?2 )

к3 (к2 + к2?2)+к2к2? • (? -1) т2 (к2 + к2? 2 )

При г = 1 из выражения (29) следует, что

п =

к[к2 + кк + 2к2к2 т1(к2 + к2)

к+

2к,к,

к2 + к-

2 У

т

Приведенная жесткость в парциальной системе имеет вид:

2к2к2

кпр, = к1 +

к + к 2 '

(29)

(30)

(31)

(32)

что соответствует определению квазипружины [9]. Во второй парциальной системе приведенная жесткость:

кпр2 = кз-

(33)

Что касается коэффициента жесткости межпарциальной связи, то он определяется как параметр последовательного соединения пружин к2 и к2' при г = 1.

V. Некоторые особенности проявления рычажных связей в динамике механических колебательных систем. Отметим, что учет рычажных взаимодействий, в методологическом плане, проводится на основе упрощенных представлений о взаимодействиях, привносимых твердым телом с неподвижной точкой опоры (см. рисунок 1), где т. О является неподвижной. В исходной ситуации механическая система имеет три степени свободы и затем упрощается при моменте инерции твердого тела J^■0, при этом из уравнения движения исключается координата у'1. Наличие в исходной ситуации трех степеней свободы предопределяет большое

разнообразие движений, что является основой формирования рассмотренных выше соотношений координат деформации пружин к2 и к2, относящихся к случаям 1-1У. На рисунке 7 приведена расчетная схема, в которой представлены соотношения координат, соответствующие случаю I (и случаю ГУ при инверсии движения). Потенциальная энергия системы определяется выражением:

1

1

1

1

п = -к (у - ^)2 +-к2(у; -у)2 +-к2(У - у2г + -к3у2.

(34)

Рисунок 7 - Расчетная схема для системы с рычажными связями для соотношений по случаям I и ГУ

В данном случае движения реализуется первая форма колебаний для системы с двумя степенями свободы, когда два элемента имеют возможность колебаться синфазно с одной частотой. В исходной системе (см. рисунок 1) - при 3^-0.

Передаточная функция системы при входном сигнале Q1 = к12 и входном - у имеет вид:

р)=у=-

У1

_ т2Р2 + к +

к2к27(/ +1)

к 2 + к 2?

А

(35)

где определяется выражением (18). Частота динамического гашения может быть найдена по уравнению:

®1дин =

к (к + к'?-) + кк? (? +1)

т2 (к2 + К? 2 )

(36)

что совпадает с парциальной частотой п2 из выражения (30).

При возмущении Q1 на частоте Ю1дин реализуется режим динамического гашения колебаний; при возрастании частоты колебаний внешней силы Q1 до значения ю1дин элементы т1 и т2 колеблются синфазно; при этом значения амплитуды колебаний по координатам у1 и у2 будут по величине равными, но они образуют первую форму колебаний. При переходе через режим динамического гашения элементы т1 и т2 начнут двигаться в противофазе, образуя другую форму колебаний (встречного движения) на более высоких частотах.

При изменении соотношения движений по координатам у1 и у2, что может быть достигнуто специальными приемами, состояние системы будет определяться потенциальной энергией в измененной форме в соответствии с выражением:

П =1 К(У1 -2г)2 +1 к2(У -У1)2 +1 к2(-У -У2)2 + -къу2г.

2

2

2

2

(37)

В этом случае парциальная частота системы п2 останется неизменной по отношению к рассмотренной выше ситуации, той же остается и частота динамического гашения. Таким образом, можно полагать, что учет деталей взаимодействия элементов подтверждает возможность представления эквивалентных расчетных схем по отношению к исходной схеме (см. рисунок 1) в двух формах, использующих отрицательные и положительные межпарциальные связи.

Рычажные связи в динамике механических колебательных систем играют существенную роль, акцентируя внимание на динамические состояния с устойчивыми соотношениями, соблюдаемыми в движениях по отдельным координатам.

1. Учет рычажных связей и их особенностей, если иметь в виду построение математических моделей, возможен на интерпретациях рычажного механизма, создающего определенные связи, предварительным введением твердого тела с неподвижной точкой опоры. Такое промежуточное звено при уменьшении момента инерции ^ ^ 0) обеспечивает необходимый формализм упрощения системы и выделения рычажных связей.

2. Рычажные связи, создаваемые механизмами различного вида, по существу являются аналогичными. Однако различия между типами рычажных механизмов имеют конструктивно-технические основы, определяющие возможности динамического синтеза конкретных систем, например, в различных задачах динамики машин, в том числе вибрационной защиты.

3. Различие между типами рычажных механизмов и возникающих при этом связей имеет значение при учете особенностей, возникающих при различных типах внешних возмущений, в частности, со стороны опоры рычага. В таких ситуациях рычажные связи будут зависеть от типа рычажного механизма.

4. Рычажные связи выступают в качестве средства, формирующего упругие комплексы, приведенная жесткость которых зависит от передаточных отношений рычага, определяя приведенную жесткость. Такие упругие комплексы могут быть названы квазипружинами, поскольку сами по себе такие структурные образования ведут себя в преобразованиях структурных математических моделей, как обычные пружины.

5. Механической колебательной системе с рычажными связями может быть сопоставлена эквивалентная в динамическом отношении расчетная схема с приведенными жесткостями и межпарциальными связями двух типов (положительными и отрицательными).

6. Рычажные связи привносят в исходные механические системы новые динамические свойства и режимы динамических состояний при действии различных периодических внешних возмущений.

Список литературы

1. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. -384 с.

2. Елисеев, С. В. Динамическое гашение колебаний. Концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования [Текст] / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко. -Новосибирск: Наука, 2014. - 357 с.

3. Механизмы в упругих колебательных системах: особенности учета динамических свойств, задачи вибрационной защиты машин, приборов и оборудования [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев и др. / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2013. - 187 с.

4. Лаврусь, В. В. Совершенствование пневматических рычажно-шарнирных систем железнодорожного транспорта [Текст]: автореф. дис... канд. техн. наук. - Орел, 2006. - 20 с.

5. Иванов, Б. Г. Разработка методов расчета динамики и прочности агрегатов транспортной техники с рычажно-шарнирными связями [Текст]: автореф. дис. д-ра техн. наук. - Самара, 2007. - 48 с.

6. Крейнин, П. Г. Справочник по механизмам [Текст] / П. Г. Крейнин. - М.: Машиностроение, 1986. - 512 с.

7. Елисеев, С. В. Динамические свойства колебательных систем. Связность движений [Текст] / С. В. Елисеев, А. И. Артюнин // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Труды XIX Байкальской всерос. конф. 2014, С. 89 - 99.

8. Хоменко, А. П. Возможности эквивалентных представлений механических систем с угловыми колебаниями твердых тел [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. -Иркутск, 2014. - № 2 (42). - С. 8 - 15.

№ 3(23) ЛАИ Р ИЗВЕСТИЯ Транссиба 23

=2015 ■

9. Хоменко, А. П. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности систем при исключении переменных динамического состояния [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2013. - № 2 (38). - С. 8 - 17.

References

1. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Mehatronnye podhody v dinamike me-hanicheskih koleba-tel'nyh sistem (Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical vibrations-enforcement systems). Novosibirsk: Nauka, 2011, 384 p.

2. Eliseev S. V., Khomenko A. P. Dinamicheskoe gashenie kolebanii. Koncepcija obratnoi svjаzi i struk-turnye metody matematicheskogo modelirovanijа (Dynamic vibration damping. The concept of feedback and structural methods of mathematical modeling). Novosibirsk: Nauka, 2014, 357 p.

3. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Artyunin A. I., Parshuta E. A., Kaimov E. V. Mehanizmy v uprugih kole-batel'nyh sistemah: osobennosti ucheta dinamicheskih svoistv, zadachi vibracionnoi zashity mashin, priborov i oborudovanijа (Mechanisms in elastic-Cola vibrational systems: the features of the account of the dynamic properties, the problem of the vibration protection of machines, instruments and equipment). Irkutsk, 2013, 187 p.

4. Lavrov V. V. Sovershenstvovanie pnevmaticheskih rychazhno-sharnirnyh sistem zheleznodorozhnogo transporta (Perfection pneumatic lever-hinge rail systems). Ph. D. thesis, Orel, 2006, 20 p.

5. Ivanov B.G. Razrabotka metodov rascheta dinamiki i prochnosti agregatov transportnoi tehniki s ry-chazhno-sharnirnymi svjаzjаmi (Development of methods for calculating the dynamics and strength of units of transport equipment with lever-hinge connections). Ph. D. thesis, Samara, 2007, 48 p.

6. Kreynin P. G. Spravochnik po mehanizmam (Manual mechanisms). Moscow: Mechanical engineering, 1986, 512 p.

7. Eliseev S.V., Artyunin A.I. Dynamic properties of oscillating systems. Connectivity movements [Dinamicheskie svoistva kolebatel'nyh sistem. Svjаznost' dvizhenii]. Informacionnye i ma-tematicheskie tehnologii v nauke i upravlenii (Information Technology and Mathematical Sciences and Management). - Irkutsk, 2014, pp. 89 - 99.

8. Khomenko A. P., Eliseev S. V. capabilities equivalent representations of mechanical systems with angular oscillations of solids [Vozmozhnosti yеkvivalentnyh predstavlenii mehanicheskih sistem s uglovymi kolebanijаmi tverdyh tel]. Sovremennye tehnologii. Sistemnyi analiz. Modeliro-vanie - Modern technologies. System analysis. Simulation, 2014, no 2 (42), pp. 8 - 15.

9. Khomenko A. P. Eliseev S. V. Quasielementy in mechanical vibrating systems. Features of systems to the exclusion of the dynamic state variables [Kvaziyеlementy v mehanicheskih kolebatel'nyh sistemah. Osobennosti sistem pri isklyuchenii peremennyh dinamicheskogo sostojаnijа]. Sovremennye tehnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Simulation, 2013, no 2 (38), pp. 8 - 17.

УДК 629.471

И. И. Лакин

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА В СИСТЕМЕ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ ЛОКОМОТИВНОГО КОМПЛЕКСА

В статье предлагается использовать теорию нечетких множеств в системе поддержки принятия решений (СППР) информационно-управляющих систем локомотивного комплекса. Для этого предлагается метод

24 ИЗВЕСТИЯ Транссиба ^^ № 3(23) 2015

= _