Возможности эквивалентных представлений механических систем с угловыми колебаниями твердых тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел ./факс: 8(3952)63-83-11 Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, г. н. с., директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел ./факс: 8(3952)59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

ВОЗМОЖНОСТИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УГЛОВЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

A. P. Khomenko, S. V. Eliseev

OPPORTUNITIES OF EQUIVALENT REPRESENTATIONS OF MECHANICAL SYSTEMS WITH ANGULAR OSCILLATIONS OF RIGID BODIES

Аннотация. Рассматриваются вопросы взаимодействия между парциальными образованиями в механических системах. Показано, что вращательная система из двух твердых тел, имеющих неподвижные точки поворота, может быть приведена к эквивалентной в динамическом отношении системе с поступательными движениями парциальных составляющих. Обосновано, что такие вращательные системы являются аналогами цепных механических систем поступательного типа.

Предложен метод построения адекватных математических моделей, основанный на соблюдении определенных правил симметричности свойств парциальных систем. Показано, что динамические свойства систем с парциальными образованиями вращательного типа обладают, благодаря наличию рычажных связей, большим набором особенностей движений. Предложены уравнения для выбора параметров систем, обеспечивающих статическую устойчивость.

Приведены примеры определения параметров квазиупругих элементов.

Ключевые слова: парциальные системы, межпарциальные связи, эквивалентные преобразования механических систем, квазиупругие элементы, рычажные связи.

Abstract. Questions of interaction between partial formations in mechanical systems are considered. It is shown that rotational system of two rigid bodies, which have fixed points of rotation, can be adducted to equivalent in dynamical relation system with translational motions of partial components. It is justified that such rotational systems are analogues of mechanical systems of translational type.

Method of construction of adequate mathematical models based on compliance of certain rules of symmetry ofproper-ties of partial systems is offered. It is shown that dynamical properties of systems with partial formations of rotational type have more set offeatures of motions due to availability of lever ties. Equations for choice of systems parameters, which provide statical stability, are offered. Examples of definition ofparameters of quasi-elastical elements are given.

Keywords: partial systems, between-partial ties, equivalent transformations of mechanical systems, quasi-elastical elements, lever ties.

Введение

Вопросы эквивалентных преобразований механических колебательных систем достаточно подробно рассматривались в работах, связанных с развитием современной динамики машин и теории механизмов и машин [1-3]. В последние годы появились ряд публикаций [4-6], в которых большое внимание уделяется формированию в структурах механических систем рычажных связей и их соответствующему отображению с помощью структурных математических моделей [7-9].

В этом плане исследование особенностей динамики систем с рычажными механизмами можно отнести к актуальным направлениям современной динамики машин. Оценка возможностей структурных преобразований механических систем, в которых парциальные образования совершают возвратно-качательные движения; до сих

пор представляет определенную сложность и требует развития методологического базиса.

В предлагаемой работе изучаются возможности преобразования вращательных форм движения в их соотношении со структурами механизмов, имеющих парциальные блоки поступательного типа.

ГОбщие положения. Постановка задачи

Рассмотрим механическую колебательную систему, состоящую из двух твердых тел, имеющих каждое неподвижную точку вращения (т. О1, О2), при наличии связей, реализуемых упругими элементами (рис. 1).

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий:

Т = 1 ^ +1 з2 .(¿2 ^ , (1)

Если искать аналогии для системы на рис. 1 с системой с двумя степенями свободы (например, цепного типа), как показано на рис. 3, а, б, то было бы целесообразно обратить внимание на структуру парциальных блоков (рис. 3, б), в которых нашло отражение в знаменателях передаточных функций блоков параметра к2.

Этот параметр отражает характер связей для системы определенного типа. В данном случае (рис. 3, а) при координатах у1 и у2 связь между парциальными системами называется упругой. Наличие к2, повторяющегося в структурах на рис. 3, б, предопределяет правила трансформации структурных схем, полученных на основе преобразований Лапласа [10], что использовалось при выводе уравнений (3), (4) и построении схем (рис. 2, рис. 3, б). Для последующих исследований произведем ряд преобразований уравнений (3), (4).

твердыми телами ^ и .У2.

П = 1 к1 -(фЛ )2 + 1 к2 -(-Ф112 )2 +

2 2 (2)

+ 1 к3 • (Ф213 - ФЛ )2 + 1 к4 • (- Ф214 - ФЛ )2.

После обычных для формализма Лагранжа преобразований запишем уравнения движения: •• / \ ^ Ф + Ф • (к^2 + к2/2 + къ/^ + к^/2)-

-Ф2 -(к31113 - к41214 )= к11121>

'2 Ф2 +Ф2 -(к3132 + к4142 )--Ф1 -(кзУз - к41214 ) = к 212 2 2-

Структурная схема системы имеет вид, как показано на рис. 2.

В рассматриваемом случае связи между парциальными системами, в физическом смысле, соответствуют упругим взаимодействиям между

(3)

(4)

> 1 кз/з/1 - ¿4/4/2

) р + к1/ + к2/2 + къ1 з + к412 Ч,

к111

Ф1

2 р2+ I- к212

' 2Р + к 1,1з + кА12

-О-►Фг

■2 2

1

Рис. 2. Структурная схема системы в координатах Ф1, <р2 (вращательные движения)

а)

2,

У1

1

т

ш1

>2

2

т

ш2

///

п п

з

т

///

б)

Рис. 3. Расчетная (а) и структурная (б) схемы для системы цепного типа с поступательными парциальными блоками

Изменим выражения для парциальных систем на схеме, приведенной на рис. 2.

Л Р 2 + /\ (к + к ) + /2 к + К ) +

+ (кз/1/з - к4/2/4 )-(кз111з - к414 ) =

= Лр2 + к/2 + к/1 +

(5)

+ къ/х •/ -/3)+ к/2 • (/2 + /4)+ + (кз111з - к4/2/4 )-

В свою очередь, для второй парциальной си-

стемы:

(6)

Л 2р + къ/з + к /2 + + (кз/1/з - к41214 )-(кз111з - к414 ) =

= Л2р2 + • / - А )+

+ к4/4 •(/2 + /4 ) + (кз/1/з к4/2/4 ).

Отметим, что структурная схема на рис. 2

преобразуется к виду, показанному на рис. 4.

Такая структурная схема отображает взаимодействия между углами поворота твердых тел

Ф и ф2 , так же как если бы Ф и ф2 были координатами поступательного движения. В данном случае наглядно проявляется свойство аналогии между вращательными и поступательными движениями. Внешнее воздействие учитывается обычным способом и на структурной схеме, приведенной к твердому телу МпР1 = , соответствует кинематическому возмущению со стороны основания (г1 Ф 0, z2 = 0).

Используя входное воздействие М пр , можно построить соответствующие передаточные функции. Структурной схеме на рис. 3 соответствует расчетная схема, которая приведена на рис. 5.

Из рис. 5 можно сделать такой вывод, что система на рис. 1 является такой же цепной системой, как это показано, в частности, на рис. 3, а.

Отметим также, что расчетная схема на рис. 5 является аналогом расчетной схемы на рис. 3, а. Используя схему на рис. 5, можно построить структурную схему на рис. 4 таким же образом, как строится структурная схема на рис. 3, б для расчетной схемы на рис. 3, а.

Расчетная схема на рис. 5 является эквивалентной схемой по отношению к схеме на рис. 1. Отличия заключаются в том, что угловые координаты ф1 и ф2, в данном случае, отражают (в условном плане) поступательное движение. То есть угловое движение выступает аналогом поступательного движения. При этом и ^ на данной схеме являются аналогами масс в поступательном движении. В качестве внешнего возмущения выступает момент силы, сформированной движением основания ^ Ф 0) (принимается, что z2 = 0, что не снижает общности рассмотрения динамических

Рис. 4. Структурная схема системы с двумя твердыми телами, имеющими точки вращения

по схеме рычага второго рода

2

2

к

к

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

к2/2 г 2 (М12)

кз1з (13 -/1)

к414 (14 + 12 )

Л

к111 г 1 (М1)

к 31311 к41412

Л

к111.

к2122

'//У "У/У

-1 1- -1 »-

кз/з(з - к ) ^4 (/4 + ¡2 )

-< »-7- "7-7-<

ф1

Рис. 5. Приведенная расчетная схема, эквивалентная исходной системе на рис. 1

Ф

состояний).

Упругие элементы в исходной системе, обозначенные коэффициентами жесткости к1, к2, к3, к4, при переходе к системе-аналогу трансформируются в упругие элементы-аналоги: к^2, , которые, в физическом смысле, определяют упругие свойства взаимодействия во вращательном движении. Основное отличие подхода по сравнению с исходными представлениями (рис. 1) заключается в том, что система, реализующая взаимодействие парциальных систем вращательного типа, трансформируется в схему взаимосвязей, характерных для поступательных движений.

II. Особенности взаимодействия систем с рычажными связями Используя структурную схему на рис. 4, найдем передаточную функцию системы при выходном сигнале ф2 и входном сигнале М1 - моменте внешних сил, создаваемых движением основания ^ (г2 = 0). Таким образом:

Ъ = ^ = Л2р 2 + кз/з2 + к4/42

М1 /

/([Лр2 + к/1 + к2/\ + к^ + к Л ]• (10)

[/2Р 2 + кз/2 + к4 42 ] (кз/1/з к4/2/4) .

Если воспользоваться расчетной схемой на рис. 5, которая является схемой-аналогом по отношению к вращательному движению, то можно получить такой же результат. В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений движения (3), (4), преобразованные для получения необходимых соотношений между схемами-аналогами.

Т а б л и ц а 1 Коэффициенты уравнений движения по координатам

Ъ =Ц- = Л 2 Р 2 + кз/з •(/з - А ) + М1

+ к4/4 • (/2 + /4) + (кз/1/з - к4/2/4)/ /[4И-(кз/Л - к4/2/4),

где

л = Лр2 + К/I + + к3А • (/3 - А)+

+ кА/2 •(/2 + /4)+

(кз/1/з к4/2/4

5 = Лр2 + •/ -/х) + кА/А •(/2 +/4) +

+ (кз/1/з - к4/2/4 ).

После преобразований получим, что:

(7)

(8) (9)

аи а12

А = Лр2 + к /2 + к/1 + +кз/ •(/з - / )+ к4^2 •(4 + ^4 ) + +(кз/1/з - к4/2/4) (кз/1/з к4/2/4 )

а21 а22

(кз/1/з к4/2/4) Л2р2 + к3/з •/-/) + + к4/4 •(/г + /4) + + (кз/1/з - к4/2/4 )

Ql Q2

М1 = к^! кггг2г

Примечание: Q1, Q2 - обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам ф1, ф2.

Используя расчетную схему на рис. 5 и соответствующие параметры коэффициентов уравнений (табл. 1), можно получить аналогичное (7) выражение для определения передаточной функции Ж1(р).

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

В данном случае интерес представляет рас- присоединения упругих элементов, создавая про-

смотрение механической колебательной системы, состоящей из двух парциальных систем, совершающих вращательные движения по координатам ф1 и ф2.

При соответствующих преобразованиях структурные и расчетные схемы такой исходной системы становятся схемами-аналогами по отношению к системам, которые имеют парциальные блоки, совершающие только поступательные движения. В этом случае крутильные жесткости упругих элементов соответствуют жесткостям обычных пружин, а момент инерции твердых тел и ^ являются аналогами твердых тел в поступательном движении. Если ввести в рассмотрение пере-

12 • 14

даточные отношение /х = — и /2 = —, то выра-

А 1з

жение для передаточной функции можно преобразовать к виду:

Ж1 (Р )=Ф = /з2 •( Лз! /з2 + кз + к4^2 ) /

странственную систему взаимодействия элементов.

/12 • /з2 • [—1//12 + к1 + к2'12 + 4 • (кз + ^2 )] > >(— 2/ /з2 + кз + к4(22 )-(кз - )2

(11)

А

(12)

где /1з =

А

В свою очередь:

Щ (р )= А = к, •( Лз/ /з2 + кз + к4/22 ) /

'[—1//2 + к1 + к2'12 + 4 • (кз + к4;22 )] > ^

X (—2 //з2 + кз + к4/22 ) - (кз - к4/1/2 )2

Выражения (11), (12) можно преобразовать, используя соотношения у =ФА , у2 = Ф2А,

ш1 = —1, ш2 = —^ . При таком подходе массои-

/, к

Рис. 6. Расчетная схема эквивалентной системы, состоящей из двух материальных точек т1 и т3, расположенных в т. А и В

Эквивалентная схема на рис. 5, если ее использовать для вывода уравнений движения, дает такой же результат, что и приведенные выражениями (3) и (4).

Если полагать, что т2 = 0, то (13) преобразуется к виду:

т (р )=у=к •( кз+к4/2) / ГГ 2 , 21 2 .2 Л , ,М Л (14)

/

[ш1 р2 + к1 + к2/12 + /12з • (кз + к4/22 )] >

<( кз + к4/22 )-(кз - к4/1/2 )2

Выражение (14) можно привести к виду:

т (р )=^=к1/ 21

^шр + к + кз/2 + • (к + к/2)] -- (15)

(кз - к4/1/2 )2 , (кз + к4/2 )

Используя знаменатель (15), можно построить расчетную схему одномассовой системы (т1 Ф 0, нерционные параметры приводятся к концам ры- т2 = 0), которая имеет вид, показанный на рис. 7. чагов с соответствующими длинами ¡1 и /3: Отметим, что при т2 = 0 упругая система

т (р)==к • (ш2р2 + к + к/2) / 21

^^шр2 + к + к/2 + 4 • (к + к/2 )] ^

х (ш2р2 + к + к/2) - (к - кА^ )2

На рис. 6 приведена преобразованная схема, соединении. В данном случае расчетная схема на на которой показано, что массы т1 и т2 находятся рис. 7, где имеется кинематическое возмущение,

(13)

/

превращается в структуру, состоящую из квази-

;2\ ¡и , /,„-2 1 ,-2 (кз - к4/1/2) "з 1 к4А2 ,

Квазипружины находятся в параллельном

пружин: (к! + к2/12 ), (кз + к4/22 )-^ , (кз ^| .

(кз + к4А2 )

с одной стороны точек вращения (т. О, О2); при этом т. А и В связаны соответственно с массами т] и т3. В свою очередь, точки Ах и Вх используются для

может быть приведена к эквивалентной силовой (рис. 8).

,т.

1

к2^1

Аз (кз + к4г2 )

У/9// /// 9 ///

_(к;

з к4?1?2

(кз + к4г22

~777~

■777"

Рис. 7. Расчетная схема с квазипружиной

г1 =

/// V//---/// V//

Рис. 8. Эквивалентная расчетная схема с силовым возмущением и тремя квазипружинами

Каждая из квазипружин (имеются в виду выражения для приведенной жесткости) отражает особенности структуры рычажных связей, то есть общая приведенная жесткость определится выражением:

к„р = к1 + ^ + 4 •(кз + к4*2 )-

к 4*2

Тогда:

к пр = к1 + к 2

(19)

к

'пр ' ' 2 к2 • г

к 4 г2

з - + / 2 2 + г1з

г1з ' (кз + к4г2 )' г1з .

(кз - к4г1г2 )2 кз + к4г22

(16)

При = 1, /2 = 1, /13 = 1, кпр = 4к (предполагается, что к1 = к2 = к3 = к4 = к). В выражении (16) один из элементов квазипружины имеет отрицательный знак. Выражение (16) может быть развернуто относительно коэффициента упругости к4, что дает уравнение при кпр = 0, исследование которого определяет возможности обеспечения статической устойчивости соответствующим выбором параметров системы (к1 - к4, /ь /2, /13). При

к^ — к (17)

приведенная жесткость принимает вид:

кпр = к1 + к2г12 + г12з • (кз + к4г22 ) . (18) Из (18) следует, что можно найти недостающие параметры, задавая значение известных:

Наибольший интерес представляет исследо-

(20)

вание кпр = 0.

+

кпр = [к + к2г1 + г1з • (кз + к4г2 )] •

•( кз + к4г22 )-(кз - к4г1г2 )2 = 0.

г2 I-4 _ 42-2-2 I к4 • г2 г2 г1 71З ] +

к А • [(^1 + к2г х )• г 2 + г 13 к-^г 2 + ]

+ (к^ + к/^ )• кз + къ г 2 к3 — 0

+

или

(21)

к4г2 (г2 г1 г1 з ) +

+к4 ['2 (к + кг7'2) + к3 (г^г + )] +

+к32 (4 -1) + к3 (к + к2г? ) = 0.

Уравнение (21) может быть использовано для оценки статической устойчивости.

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Выражение к/^ — k4l4l2 является, по своей

сущности, крутильной или вращательной жесткостью во взаимодействиях вращений твердых тел J1 и J2 по координатам ф! и ф2.

Можно отметить, что соответствующие крутильные жесткости твердых тел Ji и J2, рассматриваемых относительно неподвижных опорных поверхностей, имеют достаточно сложный вид, что определяется пространственным расположением твердых тел и упругих элементов, составляющих, в целом, комплекс рычажных связей.

III. Выбор объекта защиты в виде J2

Найдем передаточную функцию по ф2 от

M i

W (Р) = ФГ = ksAls —k2l2lj

Z, =о M1

'[ JlpР

'k1l1

kl2

kl2

-k4l4 ]х

х ( J2Р + kl3 + k^l^ ) (k3lxl3 k^t^l^) Так как y2 = ф2 • l3, то:

W2'(p) = У2 = kili2l32 •(k3 —k2iii2)/

J1 =0, z2 =0 Z1

/l12l32 • [ki + k2i22 + i'2 • (k3 + k4i22 )] •

• [m2p2 + k + ki2 J — (k — k4iji2 )2.

(22)

(23)

Преобразуем (23):

- Г W "( p ) = У2 =

Zl

k + k^j>2 + i 3

•( k3

" k^ )

m2p2 + k + ki'2 —

_(k3 — k4i1i2 )

k + k^ii + i

( k3 + k4i22 )

(24)

Расчетная схема системы с объектом ./2 при •Л = 0 представлена на рис. 9.

777"

777

777"

■777"

Рис. 9. Расчетная схема системы при J1 = 0

Особенность расчетной схемы заключается в том, что массоинерционные свойства всей системы при = 0, • Ф 0 могут быть отображены

—2

поступательным движением элемента ш2 = —— .

/з

В данном случае кинематическое возмущение приводится к массе т2 (материальная точка, присоединенная к подвижному концу рычага /3):

б 2 = к1 -(кз к4/1/2 )- . В более простой физической форме расчетная схема приведена на рис. 10.

т.Б1

т. В

Рис. 10. Расчетная схема системы с одной степенью свободы при 11 = 0

На данной схеме (рис. 10) можно принять, что объект виброзащиты совершает возвратно-качательные движения вокруг точки О2. При этом на объект действует сложная структура из упругих элементов.

Рассмотрим возможности системы, используя выражение (22).

В самом общем виде при • Ф 0 (3\ = 0) приведенная жесткость определится выражением:

(кз - к4/'1/2 )

knp = k3 + k4i2 "

¡. (25)

к1 + к2/1 + /12з -(кз + к4/2 ) После преобразований уравнение для определения критических значений к4 принимает вид:

к42/22 •(/12з/22 -/12 ) +

+к • [/2 (к + к) + к/з/'2 + Кьь ] + (26) +к (к + к4\)+к (к + к4\)+к22 - к2 = о,

или:

+

2 k4 • [?22 (k1 + k2/ 2 )+ k3i123i22 + k3i1i2 ]

k 4 + i 2 2—i 2) i 2 • i13 i 2 i1

k (k + k i 2 ) + k (k + k i 2 ) + k 2 (i 2 1)

+

(27)

• (i13i2 i1 )

= 0.

2

2

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Критическая ситуация возникает при значении к4, соответствующем нулю.

Система может быть неустойчивой даже в статическом состоянии, если выполняются определенные условия.

Заключение

Таким образом, вращательная система с двумя степенями свободы, состоящая из двух твердых тел с точками вращения, как показано на рис. 1, то есть по схеме соединений рычагов второго рода, может быть приведена к эквивалентной системе в виде цепной системы с двумя степенями движения поступательного типа. Системы эквивалентны в том смысле, что они приводятся к расчетным схемам, из которых по одним и тем же правилам могут быть получены передаточные отношения.

Предлагается метод согласования подобия расчетных схем, который основан на соблюдении наличия в структурных схемах парциальных систем одинаковых членов, то есть соотношений, соответствующих передаточной функции звена межпарциальной связи. При выравнивании таких соотношений система вращательного типа ведет себя так же, как система поступательного типа, с соответствующими аналогиями.

Вместе с тем динамика систем с парциальными образованиями вращательного типа основана на более сложных взаимодействиях.

Показано, что построение математических моделей для задач виброзащиты и виброизоляции зависит от выбора положения объекта защиты, который может быть выбран в верхнем каскаде (т. О2) или в нижнем каскаде (т. О1).

Обеспечение устойчивости системы зависит от соотношения параметров, что требует проверки путем решения уравнения второго порядка относительно коэффициентов жесткости упругих элементов верхнего каскада. Предложены соответствующие аналитические формы. Отметим, что свойства систем зависят также от соотношения видов рычажных связей.

Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 гг. (мероприятие 1.3.2 - естественные науки) № 14.132.21.1362.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С.

Динамика механических систем. Рычажные и

инерционно-упругие связи. Санкт-Петербург. : Политехника, 2013. 319 с.

2. Елисеев С.В., Артюнин А.И., Каимов Е.В. Эквивалентные преобразования в структурах механических колебательных систем, содержащих материальные точки // Информационные и математические технологии в науке и управлении : труды XVIII Байкал. Всерос. конф. Ч. I. Иркутск : изд-во ИСЭМ СО РАН, 2013. С. 173182.

3. Конструирование и расчет рычажно-шарнирных средств и агрегатов / под ред. О.П. Мулюкина. Самара : СамГУПС. 2006. 86 с.

4. Махутов Н А., Петров В.П., Куксова В.И., Москвитин Г.В. Современные тенденции развития научных исследований по проблемам машиноведения и машиностроения // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2008. №3. С. 3-19.

5. Елисеев С.В., Пискунова В.А., Савченко А.А. Взаимодействие твердых тел в системах с упругими связями и сочленениями при действии внешнего вибрационного возмущения [Электронный ресурс] // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 1. URL: http://technomag.edu.ru/doc/486 817.html (дата обращения 21.01.2013).

6. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Некоторые вопросы обеспечения адекватности расчетных схем и структурные интерпретации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. №1 (33). С. 8-13.

7. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 288 с.

8. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб : Политехника, 2013. 374 с.

9. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Нетрадиционные подходы к построению математических моделей механических колебательных систем с рычажными связями // Известия Транссиба. 2012. № 4. С. 75-86.

10. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.