CC BY
15
Оригинальная статья / Original article УДК 531.3:007, 534.014, 621.802, 62.752 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-32-53
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИАДЫ С РАЗНОРОДНЫМИ ПАРЦИАЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ
© А.В. Елисеев1
Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Предлагается новый подход к оценке динамических взаимодействий, формируемых в механических колебательных системах при силовых внешних возмущениях. Основой подхода является использование понятия о диаде. Диада представляет собой структурное образование, состоящее из двух массоинерционных элементов, связанных между собой упругими звеньями в виде пружин. Диада выделяется из структуры колебательной системы при ее изоляции от контактов с опорными поверхностями при обнулении жесткостей связывающих упругих элементов. Цель исследования заключается в разработке метода построения математических моделей диады и оценки ее динамических свойств, проявляющихся при взаимодействии с внешними структурами и элементами системы. МЕТОДЫ. Используется метод структурного математического моделирования, в рамках которого механическая колебательная система соотносится со структурной схемой, эквивалентной в динамическом отношении системе автоматического управления. Для оценки динамических свойств диад используются передаточные функции системы, правила преобразования структур и технология частотного анализа. При этом рассматриваются особенности динамических свойств системы, в которой парциальные блоки образуют смешанную группу: одна парциальная система осуществляет поступательное движение, а вторая - угловое вращательное колебание. РЕЗУЛЬТАТЫ. Показано, что не все виды колебательных систем могут содержать диады, в частности, это относится к колебательным системам в виде твердого тела на упругих опорах. Рассмотрены особенности математических моделей диад в разных системах координат. Показано, что диада является структурой основополагающего типа, определяющей возможности развития системы, формирующиеся при наложении связей. К числу таких свойств относятся режимы динамического гашения колебаний, особенности связей межпарциальных частот с собственными частотами колебаний и др. ВЫВОДЫ. Развитие представлений о диадах и их свойствах могут использоваться в решении задач динамического синтеза виброзащитных систем, синтезе механических цепей, в задачах робототехники, мехатроники, молекулярной механики и её приложениях. Ключевые слова: диада, парциальные системы, передаточные функции, динамическое гашение колебаний.
Формат цитирования: Елисеев А.В. Динамические свойства диады с разнородными парциальными системами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 5. С. 32-53. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-32-53
DYNAMIC PROPERTIES OF A DYAD WITH HETEROGENEOUS PARTIAL SYSTEMS A.V. Eliseev
Irkutsk State Transport University,
15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.
ABSTRACT. PURPOSE. A new approach is proposed to assess dynamic interactions formed in mechanical oscillating systems under external force perturbations. The approach is based on the concept of a dyad. The dyad is a structural unit consisting of two mass-inertial elements connected with each other by nonrigid linkages in the form of springs. The dyad is identified from the structure of the oscillating system when it is isolated from the support surfaces by zeroing the stiffness of connecting elastic elements. The purpose of this research is to develop a construction method of dyad mathematical model and estimation of dyad dynamic properties manifested under its interaction with external structures and system elements. METHODS. The method of structural mathematical modeling is used. In its framework it is assumed that the mechanical oscillating system correlates with the flow diagram dynamically equivalent to the automatic control system. The transfer functions of the system, rules of structure transformation, and the technology of frequency analysis have been used to estimate the dynamic properties of the dyads. The features of the system dynamical properties are considered under the condition when the partial blocks form a mixed group where one partial system is characterized by translational motion while the other - is characterized by angular rotational oscillation. RESULTS. It is shown that not all
1
Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: eavsh@ya.ru
Andrei V. Eliseev, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of the Scientific and Education Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eavsh@ya.ru
©
types of oscillating systems can contain dyads, in particular, it relates to the oscillating systems in the form of a solid body on elastic supports. Having considered the features of dyad mathematical models in different coordinate systems, we show that the dyad is the fundamental structure determining the possibilities of system development, which are formed under constraining. The modes of dynamical damping of vibrations, dependences of partial frequencies and eigen frequencies are fundamental properties of the dyads. CONCLUSION. Development of ideas about the dyads and their properties can be used in solving the problems of dynamic synthesis of vibration isolation systems, mechanical synthesis of mechanical chains in the problems of robotics, mechatronics, molecular mechanics and its applications. Keywords: dyad, partial systems, transfer functions, dynamic damping of oscillations
For citation: Eliseev A.V. Dynamic properties of a dyad with heterogeneous partial systems. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 5, pp. 32-53. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-32-53
Введение
Вопросам динамики механических колебательных систем с несколькими степенями свободы при наличии в их структуре связей, реализуемых введением дополнительных элементов, механизмов и устройств для преобразования движения, в последние годы уделяется значительное внимание [1-4]. Развитие получили новые подходы [5, 6] и методы построения математических моделей, основанные, в том числе, и на аналитическом аппарате теории цепей и теории автоматического управления [7-12]. Детализация представлений о динамических свойствах систем с использованием понятий о структурных математических моделях, передаточных функциях и их особенностях нашли отражение в работах последних лет, посвященных исследованиям связности движений, динамических жесткостей и приведенных массоинерци-онных характеристик структурных образований [13-17]. Расширение представлений о формах динамических взаимодействий элементов колебательных систем, проявлениях самоорганизации движений инициировали интерес к изучению особенностей установления определенных и характерных связей между координатами движения в системах с несколькими степенями свободы [18-21]. В этом плане можно вполне определенно отметить существенное значение форм преобразования взаимных движений элементов механических колебательных систем при различных формах внешних гармонических возмущений.
В предлагаемой статье развиваются методологические позиции в оценке взаимодействия элементов колебательных систем на основе представлений о диадах как определенных структурах, состоящих из двух массоинерционных звеньев, соединенных между собой упругим элементом с учетом различных форм движений на уровне межпарциальных связей и изоляции от контактов с опорными поверхностями.
Некоторые общие положения
Постановка задачи исследования. Полагая, что диада представляет собой структурное образование из двух массоинерционных элементов, соединенных между собой упругим элементом, отметим, что парциальные системы могут совершать либо одинаковые, либо различные по форме движения. Наиболее простые варианты связаны с рассмотрением двух твердых тел (материальных точек), совершающих прямолинейные движения. При этом диада имеет центр масс, а ее движение может рассматриваться в различных системах координат, в том числе и неподвижной. Аналогом такой диады может рассматриваться структурное образование из двух инерционных элементов, способных вращаться вокруг одной оси с учетом взаимных колебаний при упругих связях в относительных движениях [22, 23]. Вместе с тем возможны диады, в которых один массоинерционный элемент совершает прямолинейное движение, а второй - вращается относительно оси, перпендикулярной оси движения первого элемента (при этом оси пересекаются между собой). Подобного рода системы рассматриваются в работах, где колеблющееся твердое тело имеет присоединенный маятник [24, 25]. Наконец, диада может рассматриваться и в таком варианте парциальных взаимодействий,
©
которые характерны для несамотормозящихся винтовых механизмов: один из элементов диады (винт) реализует прямолинейные колебания, а второй (гайка-маховик) - совершает крутильные колебания относительно винта и формирует винтовые движения, при этом элементы диады связаны между собой пружиной [26, 27]. В этом случае ось вращения и направление прямолинейного движения совпадают. Таким образом, диада в своих простейших формах может быть представлена (на предварительном этапе исследования) четырьмя физическими простейшими вариантами и формами сочетаний движений, которые могут использоваться в задачах динамики механических колебательных систем.
Так, например, твердое тело как объект вибрационной защиты на упругих опорах с жесткостями к и к2, массой М и моментом инерции J может быть представлено принципиальной схемой, приведенной на рис. 1, а. В свою очередь на рис. 1, Ь и с приведены структурные математические модели объекта соответственно в системах координат у\, у2 и уо, ф, где у0 -координата центра тяжести, ф - угол поворота относительно центра тяжести.
b c
Рис. 1. Принципиальная схема объекта вибрационной защиты (а); структурные математические модели объекта: в координатах y1, y2 (b); в координатах y0, ф (с) Fig. 1. Schematic diagram of the object of vibration protection (a); structural mathematical models of the object:
in the coordinates y1, y2 (b); с) in the coordinates y0, ф (c)
Построение структурных математических моделей предполагает предварительное получение математических моделей в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях с последующим построением структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления; детализированные описания и примеры таких подходов приведены в работах [4, 28]. На рис. 1, b и c принято, что p = jw - комплексная переменная (j = V-T); знак «-» соответствует ее изображению по Лапласу.
При выводе уравнений движения и построении моделей учитываются связи между координатами: yo = ay1 + by2; Ф = c (y2 - yi); yi = yo - /1Ф; y2 = yo + /2Ф; a = lJ(lT +l2); b = lT/(lT +l2); c = T(l +12), где lx, l2 - расстояния до центра тяжести от точек крепления упругих элементов k1 и k2 (см. рис. 1, а).
Из рис. 1, b, c следует, что структурная математическая модель состоит из двух парциальных блоков. В системе координат y1t y2 парциальные системы имеют инерционную связь, что реализуется через звено межпарциальной связи с передаточной функцией Wmp (p) = (Jc2 -Mab)p2. В системе координат y0, ф парциальные системы формируются в
иной форме и их межпарциальные связи отображаются звеном с передаточной функцией Ш'пар{р) = к^ -к212. Межпарцильные связи носят упругий характер, их физический смысл соответствует жесткостям упругих элементов в угловых колебаниях объекта [4, 28].
Внешнее возмущение может быть представлено силовыми воздействиями ^ и £2, как
показано на структурной схеме (см. рис. 1, Ь). Входные воздействия создают возбуждение по двум входам в парциальные системы. Что касается внешних возмущений в системе в координатах у0 и ф (см. рис.1, с), то обобщенные силы будут представлены как Q и мо с соответствующей размерностью. В этом случае трансформация обобщенных сил должна соответствовать условию равенства работы обобщенных сил на виртуальных перемещениях в обеих координатных системах [29].
Связь между приложенными силами Q1, Q2 и ^ , моментом М0 в системах координат
д, у2 и Уо, ф имеет вид (при Ql = Q, ^ = Q):
Q =aQy(i -cMo, Q2 =bQyn + cMo;
Уо
(1)
Mo =Ш2 -Q, Qy=Qx + Q2.
(2)
Передаточные функции системы в координатах у1, у2 при Ф 0 (02 = 0) определятся выражениями:
W ( p ) = у1 =(Mb2 + J2) Р2 + k2 . 1 ( ) Qi A(p) '
(3)
(p ) = ^J^-M^f ; 2 (Р) Qi A(p) ;
(4)
W (p) = У2 = (Jc -Mab)p2 12 (p) y (Mb2 + Jc2)p2 + k2 '
(5)
где
A( p) = ((Ma2 + Jc2) p2 + k) ■ ((Mb2 + Jc2) p2 + k) - ((Jc2 - Mab) p2)2
(6)
- характеристическое уравнение системы.
Таким образом, задачей исследования является изучение особенностей построения математических моделей диад и возможностей оценки их динамических свойств в рамках концепции, предполагающей, что динамические свойства систем, имеющих связи с опорными поверхностями, определяются на основе фундаментальных свойств структурных образований, называемых диадами.
Динамические свойства диад
Как уже отмечалось, исследуемая механическая система может быть представлена структурными математическими моделями в разных системах координат. Получение диад может быть реализовано при обнулении жесткости элементов к1 и к2, которые связаны с опорными поверхностями. Для случая физического представления исходной системы (то есть
в виде твердого тела, обладающего массой М и моментом инерции Л) в системе координат у*, у2 диада примет вид, как показано на рис. 2. На структурных схемах принято, что действует
только одна внешняя сила ^, когда в результате преобразований исключается координата у2, при этом полагается, что = 0 (рис. 2, а). При этом массоинерционные свойства объекта защиты отражаются звеном с передаточной функцией Ж(р) = \1(Ма2 + Зе2')р2 интегрирующего звена 2-го порядка. На рис. 2, Ь представлена структурная схема той же системы, но при исключении координаты у*. В этом случае приведение всех внешних сил реализуется на мас-соинерционном элементе по координате у2. Внешняя сила 01 также преобразуется при пере-
носе к координате y2 с учетом, что Q = 0.
a b
Рис. 2. Структурная математическая модель диады при внешней гармонической силе Q: а - с исключенной координатой у2; b - с исключенной координатой y
Fig. 2. Structural mathematical model of a dyad under the external harmonic force Q : а - when the coordinate y2 is excluded; b - when the coordinate y is excluded
Соответственно запишем передаточные функции диады, используя выражения (3)-(5):
Л = (МЧ^; (7)
(p) = y, = (-Mgb)p ; 2 (P) Qi A(p) ;
(8)
W(p\ = У, = (Jc2 -Mgb)P2 .
Wl 2 (p) y Mb2 + Jc2 '
(9)
Здесь характеристическое частотное уравнение по сравнению с формой (6) упрощается до вида:
A(p) = ((Ma2 + Jc2)p2) ■ ((Mb2 + Jc2)p2) - ((Jc2 -Mab)p2)2 = MJc2pA.
(10)
Отметим, что передаточные функции диады существенным образом отличаются от передаточных функций системы, приведенной на рис. 1, Ь:
W (p ) = A = M + Jc ) ; Wi( p) Q MJc2 p2 '
(11)
/ ч y (Jc2 - Mab) W2"( p ) = ¿2 = V-—L
Q MJc2 p2
(12)
Рассмотрение передаточных функций (10)-(12) показывает, что они не отражают колебательные свойства диады, то есть механическая колебательная система, состоящая из твердого тела, совершающего плоское движение, не может быть представлена в виде диады из-за отсутствия упругих элементов. Наличие упругих элементов необходимо для накопления потенциальной энергии, поскольку колебательный процесс обеспечивает обмен энергией, которая при взаимодействиях переходит из одной формы в другую, оставляя постоянным значение полной механической энергии.
На структурной схеме диады, приведенной на рис. 2, а, звено, отражающее массои-нерционные свойства объекта, охвачено обратной связью, имеющей передаточную функцию
W0c ( p ) =
(Jc2 - Mab) p2 Mb2 + Jc2
(13)
Если с учетом этого обстоятельства преобразовать структурную схему на рис. 2, а, то после ряда упрощений получим передаточную функцию объекта защиты как интегрирующего звена 2-го порядка:
W0c ( p ) =
Mnpp2
(14)
где
_ Mb2Jc2 np = Mb2 + Jc2
(15)
Таким образом, твердое тело как объект защиты в упругой механической системе трансформируется в конечном итоге в массоинерционный элемент, который будет обладать
приведенной массой м и двигаться под действием силы Q по координате у1. Но такое движение не будет отражать свойство диады, поскольку не произошло ее преобразование.
При выборе системы координат у0, ф используется тот же подход, но при этом для структурной схемы, представленной на рис. 1, с, получим обобщенные силы в виде:
Q* = Q+Q2, аФ = Ш2 -Q = Mo
(16)
В данном случае, принимая Q = Q = Q, найдем, что ^ = 2Q ; м0 = Q(l2 -^).
Поскольку парциальные системы структурной схемы (см. рис. 1, с) получают возмущение по двум входам, то передаточные функции могут быть построены с учетом суперпозиции:
1
W01 =
01 Q
У о _ 2( Jc2p2 +kjl + k2l\ ) + (l2 - li )(kili - k2l2) .
A ( p )
(17)
w = Фо= 2(h -h)(Mp2 +ki + k2) + (kili -k2l2).
Q
A" ( p )
(18)
w = Фр= 2(l2 -li)(Mp2 +ki + k2) + (kili -k2l2) °2 Q 2(Jc2p2 +kH + k2lI) + (l2 - lx)(klll - k2l2)
(19)
где
A"( p) = (Mp2 + k + k )(Jc2p2 +k£ + kJl) - (kl - k2l2)
(20)
- характеристическое частотное уравнение в системе координат у, ф .
В качестве примера на рис. 3 показана структурная схема исходной системы (см. рис. 1, с) при исключении координаты ф (рис. 3, а) и координаты уо (рис. 3, Ь).
a b
Рис. 3. Структурная математическая модель исходной системы: а - при исключении координаты ф; b - при исключении координаты y0
Fig. 3. Structural mathematical model of the original system: а - when the coordinate ф is excluded; b - when the coordinate y0 is excluded
На структурных схемах внешние возмущения Q и M0 приводятся к соответствующему входу парциальных систем. При переходе к диаде необходимо принять, что к=0 и к2=0, тогда структурная схема на рис. 3 трансформируется, как показано на рис. 4, по координатам у0 (рис. 4, а) и ф (рис. 4, b) соответственно.
a b
Рис. 4. Структурная схема, полученная из структурных схем, представленных на рис. 3:
а - по координате y0 ; b - по координате ф Fig. 4. Flow diagram derived from the block diagrams represented in Fig.3: а - by the coordinate y0;
b - by the coordinate ф
Таким образом, диада в системе координат твердого тела по схеме рис. 1, а не образуется в координатах у, ф так же, как и в координатах у и у.
Механическая колебательная система с разделением форм движения
по парциальным системам
Вариант 1. Рассмотрим механическую колебательную систему с двумя степенями свободы, состоящую из двух твердых тел: одно с массой М, совершающее прямолинейное движение, и второе - с моментом инерции Л, имеющее возможность совершать угловые колебания относительно точки О, принадлежащей твердому телу М (рис. 5).
Рис. 5. Принципиальная схема механической колебательной системы с двумя парциальными блоками, совершающими прямолинейное (поступательное (y)) и вращательное (ф) движения Fig. 5. Schematic diagram of the mechanical oscillating system with two partial blocks performing a rectilinear (translational (y)) and rotational (ф) motions
Полагаем, что центр тяжести твердого тела Л совпадает с центром вращения. Тогда
З
это тело можно заменить материальной точкой с сосредоточенной массой т = —.
к
Примем, что у2 = /ф. Тогда кинетическая и потенциальная энергии определятся выражениями:
Т =Х-Му^Х-ту\-
(21)
П=1 Ку1+1 k2 ( У 2 - y 1 )2 ■
(22)
Уравнения движения системы в координатах у1, у2 могут быть записаны в виде [4, 28]:
М\У\ + Л {К + К)~кгУг = Q i
(23)
ту2+к2у2-к2у =0.
(24)
После преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях исходной системы уравнений (23), (24) построим структурную схему, как показано на рис. 6.
В данном случае используются эквивалентные преобразования, и исходная система (см. рис. 5) приводится к системе цепного типа с двумя степенями свободы (рис. 6, а). При
к1 = 0, что изолирует систему от внешних связей с опорными поверхностями, получаем диаду (рис. 6, Ь). Отметим, что эквивалентные преобразования в определенной степени стирают различия в физической природе парциальных систем.
a b
Рис. 6. А - структурная схема системы, представленной на рис. 5, в координатах y1, y2; b - принципиальная схема системы в операторной форме в виде диады с двумя парциальными системами поступательного прямолинейного движения Fig. 6. a - Block schematic diagram of the system represented in Fig. 5 in the coordinates y1, y2; b - schematic diagram of the system in operator notation in the form of a dyad with two partial systems
of rectilinear translational motion
Введем системы координат у?, ф, где ф = ———. В этом случае будем иметь:
(25)
П = 1КУ1 + 1 к2 (—2 - — 1 )2 = 1 + 1 k2^ll2 .
(26)
Используя известные приемы построения структурных математических моделей [4, 28], получим
Кр2 У1 + ¿1У1 = Q1;
(27)
Зфр2 + к212ф = 0.
(28)
Отметим, что у и ф могут рассматриваться как нормальные координаты. Этот случай
является особым и требует отдельного рассмотрения.
Вариант 2. Рассмотрим механическую колебательную систему, имеющую возможность совершать поступательные прямолинейные движения по координате у1 и вращательные движения твердого тела, представленного рычажными механизмами с двумя материальными точками т1 и т2, которые могут колебаться относительно центра тяжести (т. О) (рис. 7). Передаточное отношение рычага определится выражением / = 12 / 11.
Движение системы, представленной на рис. 7, может быть рассмотрено в нескольких системах координат: у1, у2; у1, ф и др. В координатах у1, у2 выражения для кинетической и по-
ш
тенциальнои энергии для данной системы принимают вид:
Т = \МЯ +\щУг +\тгШ ;
(29)
п =1 ку1+1к ( у 2 - y 1 )2+1к ( у2 - y 1 )2,
(30)
где у'2, у2 взаимодействуют между собой через рычажную связь с передаточным отношением
к
рычага второго рода к — = г, в котором
l
Ф = У2-У1 I
(31)
у2 = -/2-ф
( У2 - У1)
12 =-(У2 - У1 )• j
(32)
Рис. 7. Принципиальная схема механической колебательной системы с двумя степенями
свободы с парциальным блоком вращательного движения Fig. 7. Schematic diagram of the mechanical oscillating system with two degrees of freedom with
a partial block of rotational movement
Скорость материальной точки m2 в абсолютном движении определяется выражением
(33)
с учетом которого зависимости (29), (30) трансформируются к виду:
111 2
т = -Му[ +-щу22 +-m2\i-(\ + i)y,-y2ij ;
(34)
П = 1К1У1 + 1К2 (У2 - У1 )2 + 1К3 [У2 • (1 - i) + У1 (1 + i)]2 .
(35)
Уравнения движения системы в координатах yi, y2 запишутся в виде:
уг ■ {(м + m2-{\ + i)-f} + kl+k2 + k3 (l + /')")- у2 ■ {т2 ■ (l + /') • г + k2 - k3 (l - г)) = Q1(36)
I
m Машиностроение и машиноведение Mechanical Engineering and Machine Science
у •((/», + /»2-r) \p2 +K +k3(l-i) )-y-(nu •(l + /')-r-k3\ (1 - i2 )) = 0 . (37)
После преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях уравнения (36), (37) примут вид:
у • ((и + ш2 • (1 + г )2 • г2) р2 + к + к + Кг2) - у 2 • ({т2 • (1 +г) • г2)р2 + к + к3г2) = ^ ; (38)
у • ((»^ + т2 ■ 72)р2 + к2 + къГ') -у1 ■ фн2 ■ (1 + /)• 72)р1 + къГ') = О . (39)
Структурная математическая модель исследуемой системы (см. рис.7) приводится на
рис. 8.
Рис. 8. Структурная схема системы с двумя степенями свободы и рычажными связями Fig. 8. Block schematic diagram of the system with two degrees of freedom and lever connections
Вариант 3. Возможные упрощения при k3 = 0 (и др.) изменяют исходную математическую модель, как показано на рис. 9.
b c
Рис. 9. Преобразования исходной системы, представленной на рис. 7, при изменениях параметров: a - соответствует случаю k3 = 0; b - при k3 = 0 принимается, что m2 = 0; c - структурная схема диады с возможностями упругих межпарциальных взаимодействий
(при этом принимается, что k1 = 0) Fig. 9. Transformations of the source system represented on Fig. 7 under parameter changes: a - corresponds to the case k3 = 0; b - when k3 = 0, it is assumed that m2 = 0; c - structural scheme of a dyad with possibilities of interpartial elastic interactions (in this case it is assumed that k1 = 0)
При k3 = 0 диада в системе, где парциальные блоки отражают физические особенности двух видов движений (поступательного и вращательного), трансформируется в диаду, характерную для механической колебательной системы цепного типа с двумя степенями свободы.
Особенностью подхода является использование системы координат у1 и у2, что сводит задачу к исследованию цепной механической системы с последовательно соединенными парциальными системами прямолинейного поступательного движения. Отметим, что при малых колебаниях движения материальной точки т1 при наличии жесткого стержня (/1) можно рассматривать как прямолинейные движения.
Если принять, что к3 Ф 0, то в парциальных системах необходимы некоторые преобразования, связанные с тем, что передаточная функция звена межпарциальной связи должна быть выделена в парциальных блоках по координатам у1 и у2 таким образом, чтобы передаточная функция звена межпарциальной связи нашла отражение в передаточных функциях парциальных систем.
Структурная схема системы в этом случае примет вид, показанный на рис. 10.
Рис. 10. Структурная математическая модель системы по рис. 7 с отображением свойств симметрии структуры по аналогии с системами цепного типа Fig. 10. Structural mathematical model of the system according to Fig. 7 displaying structure symmetry
properties by analogy with chain-type systems
Обозначим передаточную функцию звена межпарциальной связи как кпр(р). Физический смысл кпр(р) заключается в том, что она отображает динамическую жесткость квазипружины, которая проявляется при кз Ф 0.
При кз Ф 0, т2 Ф 0 в диаде с соединяющим звеном, по сравнению с обычной ситуацией, звено между парциальными системами превращается в квазипружину, динамическая жесткость кпр(р) которой зависит от частоты внешних колебаний и может принимать нулевое значение на частоте:
al =
k2 + k3i
m2i
(l +1 )■
(40)
В этом случае диада распадается на два автономных фрагмента при действии одиночного внешнего возмущения.
Что касается элементов диады, то при к1 = 0 парциальные частоты диады определятся выражениями:
По =
+ k-J-
M + m-2 (1+i2 ) '
(41)
о k + ki
n = —2--—
П2 i . .2
( m + m— )
(42)
Вариант 4. При к3 = 0, т2 = 0 диада принимает обычный вид.
Свойства диады, как следует из вышеприведенных структурных схем, зависят от величин приведенных жесткостей и приведенных масс, а также от соотношения параметров системы, в том числе и в рычажных связях.
Запишем характеристическое частотное уравнение диады:
((M + m2i2 (1 + i) )p2 + k2 + kj2) • ((m + mi2)p2 + К + hi2) - (m42 (1+ i)p2 + К + kj2)2 = 0. (43)
или
(rp2+к + hi2) • (Rp2+h+hi2) - (Rp2+h+hi2)2 = о,
(44)
с помощью которого можно определить частоту собственных колебаний.
Поскольку при преобразовании уравнений (43), (44) можно получить циклическую координату, то относительно установившегося движения становится возможным колебательный процесс. Частота собственных колебаний таких процессов определяется выражением:
2 _(К + ki2) • (R + R - 2R)
^eug D D D2
R1R - R
(45)
где
R3 = m2/2(1+/), R2 = (mi + m2/2), R1 = M + m2/2 (1+/)2;
r+R - 2R = m+m+mi4;
(46)
rr = m (m+mi2)+mmi2 (1+i )2.
С учетом обозначений (46) получим уравнение, из которого определяется частота собственных колебаний:
2 _ (К + kj2) • (M + m + m2i4)
eug
м (m+mi2)+mmi 2(i+i)2'
(47)
при m2 = 0, k3 = 0
=
eug
k2 • (м+m)
Mml
(48)
что совпадает с известными результатами.
Таким образом, можно построить математическую модель диады в механической колебательной системе смешанного типа, используя координаты у и у2. В этом случае по существу строится эквивалентная математическая модель в форме механической колебательной системы цепного типа. Особенности исходной системы смешанного типа учитываются через передаточные отношения рычажной связи, реализуемой твердым телом, имеющим точку вращения на массоинерционном элементе М.
Особенности системы координат у1 и ф Вариант 1. Используя вышеприведенную принципиальную схему (см. рис. 5), перейдем к системе координат у1 и ф. В этом случае учитываются соотношения:
Ф = ^; У2
-ф/1 + yi; y = y + Ф12 = y+yVyL • i2 = y-(1 -/)+y2i,
i . ,.. „2 ^ , 2 ^ i ii ii
(49)
а также выражения для потенциальной и кинетическои энергии:
П=1 k2 [ л-ф - у ]2+1К [ л+Ф12 - л ]2;
Т = ^Му2 +^щ(у1-КФ)2 +\т2(у + 12ф)2.
(50)
(51)
Уравнения движения системы в координатах y1, ф принимают вид:
У1 •
(м+m+m) p2+к + ф • (щ12 - ml) p2=öi;
Ф • m^2+) p2++k^l + У! (mj,2 - ml) p2=о.
(52)
(53)
На рис. 11 приведены структурные схемы системы: а - в общем виде; Ь - схема с исключением ф; с - схема с исключением ф и введением рычажной связи.
b с
Рис. 11. Варианты преобразования структурных математических моделей Fig. 11. Transformation variants of structural mathematical models
Для исключения yi преобразуем систему (52) и (53) к виду:
(ml -mj2)/У, = (-^p О, jt^p4 ф;
(м+m + m) p + К (м+m + m) p + К
(54)
а
Ф_
1
((ml? + m2l^)p2 + k2/i2 + £,£)
(mili - m2l2 ) p2 У1.
(55)
Структурная схема системы при исключении координаты у приведена на рис. 12. Если принять к1 = 0, то на схеме, показанной на рис. 12, обратная связь будет определяться передаточной функцией:
w =(m2l2- mili )2 Р2
M + m + m2
(56)
то есть обратная связь будет не обычной пружиной, а массоинерционным элементом с приведенной массой:
(m2L - ml )2 пр M + m + m2
(57)
Рис. 12. Структурная математическая модель механической колебательной системы в системе координат y1, ф с исключением координаты y1 и эквивалентным переносом
внешней силы Q
Fig. 12. Structural mathematical model of the mechanical oscillating system in the coordinate system y1, ф with the exception of the coordinate y1 and the equivalent transfer of external force Q
Приведенная масса может иметь нулевые значения при условии m1l1 = m2l2. Как следует из рис. 12, диада будет работать в колебательных режимах. Что касается парциальных частот, то в системе координат y1 и ф получим:
Л О k/i ^ k-1о
п2 _ о ■ n _ -2J-
Пу1 _ 0 ■ Ф m£ + mj2 ■
ti
'TI
При этом характеристическое частотное уравнение для системы (52), (53) примет вид:
А (Р) = ((м + т + т2)р2 + к,)• ((тЦ + т2/22)р2 + к2/2г + к£)-(т/ -ш212)2р4 = 0. (58)
Если k1 = 0, то уравнение (58) преобразуется к виду:
m
p4((m+m+m )•( mtf+m2i] )-(mi- mh )2)+p2 (m+m+m )■ (hi2+Kil) = 0, (59) откуда можно получить частоту собственных колебаний:
(m+m+m )• (k2i\ + Kil) (m+m+m )• (K + K*2)
®éUg=-
m • (m^2+m^2 )+mm ( ii+h )2 m • (m+mi2 )+mm (i+i )2
(60)
Отметим, что результаты определения частот собственных колебаний в системе координат у1 и у2 совпадают с результатами, полученными в системе координат у1 и ф:
®eug =
(m+m+m )+mm • (k+k2i2) m • ( m+mi2 )+mm (i+i )2
(61)
о
В системе координат у и ф парциальная частота по системе [(М + т1 + т2)р ] в диаде равна нулю, поэтому парциальная частота по блоку [ (щ12 + т^) Р2 + К^2 + ] должна совпадать с частотой собственных колебаний, равной
2
2 _ k2 l1 + k3 l2 _ k2 + k3i
' Ф j2 J2 -2
щ2 + mi2 m + mi
(62)
«Конфликт» разрешается, так как система с двумя степенями свободы становится системой с одной степенью свободы. Исчезает парциальный контур (М + т1 + т2)р2 + к1. Если к1 = 0 - контура нет и нет парциальной частоты, но тогда вторая парциальная частота не будет являться таковой, то есть не может определяться как парциальная частота.
Вариант 2. Понятие парциальной частоты имеет смысл только для систем с числом степеней свободы больше 1. Если число степеней свободы равно единице, то вопрос отпадает по условию п2 + п2ф . Таким образом, диады в системе смешанного типа образуются,
однако, твердое тело на упругих опорах не может реализовать диаду как свой фундаментальный эффект.
В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1, у2.
Таблица 1
Коэффициенты уравнений движения системы в координатах y1, y2 The coefficients of system motion equations in coordinates y1, y2
Table 1
an a21
M + m2/2(1+/)2p2 + k1 + k2 m2/2(1+/)2p2 + k2 + k3/2
a21 a22
m2/2(1+/)2p2 + k2 + k3i2 0 0 о (m1+ m2r)p + k2 + k3/2
Обобщенные силы / Generalized forces
ôi =0 02=0
В табл. 2 приведены коэффициенты уравнений движения в координатах у, ф.
©
Таблица 2
Коэффициенты уравнений движения в координатах y1t ф
Table 2
The coefficients of motion equations in coordinates y1, ф
aii a2i
(M + m1 + m2)p2 + k1 (m2l2 - m^p2
a2i a22
(m2\2 - mili)p2 (mi+ m2i2)p2 + k2 + k3i2
Обобщенные силы / Generalized forces
qi = q M 0 = 0
В системе координат у?, у2 передаточная функция системы имеет вид:
У (м + т*2) р2 + к + к42
=—X)2 3; (63)
ВД^ = ; (64)
= = î2 (1 + Л 22+t+1 - <65»
y (M + mj j p + k2 + kj
Режимы динамического гашения колебаний определяются выражениями:
•2
2 k, + k-j
п2 ; (66)
m+mi2 (i+j j
П =-kr+ri---(67)
( m + mi2 j + k2+kj2
Характеристическое частотное уравнение для выражений (63), (64) может быть представлено в виде
А (р) = ((м+т4 2(\+i)2) р2 + к2 + к^2) • ((т+т* 2)2+К+к42) -
~(т4 2(\ + р2 + к2 + къ*2)2 = 0. Для системы координат у1, ф соответственно получим:
У _(т11+тЧ)р2+к211 + кз12.
(68)
W'(Р j= ^ = ^--Li ; (69)
1 ( j Qi A ' ( p j ; ( )
\ Ф (m+m + m j p2+k
W2'(p j = JL = ±-^ ,. VР-1 ; (70)
2 ( p j Q, A ( p j ; ( )
w> (p) = t = (M+щ + m2 )p2+k
12 y (ml\ + m2ll) p2 + k2l2 + k3l.
2
3l2
(71)
где
A (p) = ((m+mi2 (i+i)2) p2+k + kj2) • ((m+mi2 (i+i)2) p2 + k + k42) --(mi 2(1 + i)2 p2 + k2 + ki2)2 = 0.
(72)
Для парциальных частот получим соответсвенно:
П =
k
M + m + m2
(73)
^2 _ k2l1 + k3l2 _ k2 + k3i
2 ml2 + ml22 m + mi2
(74)
ем
Частотная энергетическая функция в системе координат у?, у2 определится выражени-
о)2 (а) = -
k + k2 (а -1)2 + k3 (а (1 - i) + (1 + i ))2
M + ma2 + m (i (i +1) - ai)2
(75)
Здесь а = — - коэффициент формы или коэффициент распределения амплитуд колебаний.
У\
Уравнение (75) может быть решено, что позволит определить две частоты собственных колебаний и одновременно значения а? и а2. Построение решения на основе графоаналитического способа через использование графиков —(а) и характеристического уравнения рас-
У\
смотрено подробно в работах [16, 30].
В системе координат у?, ф выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:
Т = hvtyl + ^m{у -КФ)2 + \™2(у + 12ф)2;
(76)
П = 1 ky +1 k2l2J2 +1 k^2 .
(77)
Частотная энергетическая функция в данном случае может быть записана в виде
о
)=
k + kl\a\ + kllal
m+m (1-a)2+m (1+la a)2
(78)
где
©
«0= у (79)
Ф
является передаточным отношением вибрационного рычага.
Между ао и а существует связь, выражаемая соотношениями:
У11 У7 ~ У Ф /ОП\
« = ^ ; Ф = ¿^И ; «0= «0= ——; « = «0/1 -1, (80)
У1 к У1 к
в которых ао имеет размерность радиан на метр (рад/м); а а является безразмерной величиной.
Физический смысл а - передаточное отношение рычажной связи, которое зависит от частоты ш, а ао - передаточное отношение, характеризующее отношение параметров в винтовом механизме. По существу, винтовой механизм является своеобразным рычажным механизмом, который можно назвать виртуальным рычагом с передаточным отношением в виде поворота на единицу перемещения, либо в виде смещения, происходящего за единицу углового поворота.
Заключение
Разработана методологическая основа для построения математических моделей диад в системах комбинированного типа, формирующихся из двух парциальных систем, отражающих особенности поступательных и вращательных движений. При этом диада рассматривается как «автономное» структурное образование из двух массоинерционных элементов с возможностями упругих взаимодействий между собой и имеет две степени свободы. Особенностью диады является изоляция ее движений от взаимодействия с опорными поверхностями и другими не входящими в диаду элементами.
На основе проведенных исследований получены следующие результаты:
1. Показано, что твердое тело на упругих опорах как механическая колебательная система с двумя степенями свободы, совершающая под действием внешних гармонических сил плоские колебательные движения, не может быть приведена к форме диады из-за невозможности организации колебательных движений в связях между парциальными системами.
2. Предложен метод построения математических моделей диад для механических колебательных систем, в которых между двумя массоинерционными элементами имеется связь, реализуемая кинематической вращательной парой пятого класса.
3. Исследованы возможности оценки динамических свойств диады на математических моделях, работающих в двух системах координат.
4. Предложен метод определения параметров связности движений в диаде между координатами на основе введения передаточной функции межпарциальных связей и частотой энергетической функции. Последняя представляет собой отношение потенциальной и кинетической энергий, экстремумы которого совпадают со значениями частоты собственных колебаний диады, что позволяет распространить его применение на системы, в которых диада приобретает связи с опорными поверхностями.
5. Особенностью диады является возможность аккумуляции энергии за счет упругих деформаций элементов при относительных движениях массоинерционных элементов, что предопределяет параметры движения механической колебательной системы, получаемой после присоединения диады к опорным точкам (или опоре).
6. Использование различных систем координат открывает возможности выявления но-
вых динамических эффектов, которые выражаются в виде новых динамических связей, отличающихся от связей в цепных системах, имеющих упругие межпарциальные взаимодействия.
Введение понятия о диадах и особенностях их взаимодействий при формировании механической колебательной системы может стать основой новых методов анализа и динамического синтеза не только в теории механических колебаний, но и других приложениях, например, наномеханике.
Библиографический список
1. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.
2. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Mехатронные подходы в динамике механических колебательных систем: монография; отв. ред.: П.А. Лонцих, А.В. Лукьянов. Новосибирск: Наука, 2011. 383 с.
3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing, Switzerland, 2016. 708 р.
4. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.
5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure. Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. 262 p.
6. Банах Л.Я. Колебания механических систем с самоподобной структурой II Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 52-53.
7. Коловский M.3. Автоматическое управление виброзащитными системами. M.: Наука, 197б. 320 с.
8. Дружинский И.А. Mеханические цепи: монография. Л.: Mашиностроение. 1977. 240 с.
9. Гальперин И.И. Автоматика как односторонняя механика: монография. M.: Энергия, 19б4. 2б4 с.
10. Eмельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. M.: Наука, 1997. 352 с.
11. Генкин M^., Рябой ВМ Упругоинерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. M.: Наука, 1988. 191 с.
12. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в ме-хатронике виброзащитных систем. Иркутск: Изд-во ИрГУПС. 2012. 288 с.
13. Harris, С.M., Сrеdе C.E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw — Hill Book Со, 2002. 1457 p.
14. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Импедансные подходы как одна из форм оценки динамических свойств механических колебательных систем в структурном математическом моделировании II Системы. Mетоды. Технологии. 2015. № 4 (28). С. 7-15.
15. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Развитие энергетического метода определения частот свободных колебаний механических систем II Современные технологии. Системный анализ. Mоделирование. 201б. № 1 (49). С. 8-19.
16. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Характеристическое частотное уравнение: структура, динамическая жесткость, особенности взаимодействия элементов системы II Современные технологии. Системный анализ. Mоделирова-ние. 201б. № 2 (50). С. 12-24.
17. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Упругие элементы: динамические свойства, возможности обобщенных подходов. Квазипружины II Системы. Mетоды. Технологии. 201б. № 2 (30). С. 7-17.
18. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Рычажные связи в механических цепях: динамические эффекты II Современные технологии. Системный анализ. Mоделирование. 201б. № 4 (52). С. 8-16.
19. Елисеев С.В., Артюнин А.И., Большаков Р.С. Mеханические цепи в структурных схемах виброзащитных систем. Mетодика определения динамических реакций II Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. 2015. № 1 (б9). С. 93-111.
20. Елисеев С.В., Паршута Е.А., Каимов Е.В., Кинаш Н.Ж. Mеханизмы в структуре виброзащитных систем: математические модели, оценка динамических свойств (Часть I) II Вестник ВСГУТУ. 2014. № б (51). С. 37-44.
21. Елисеев С.В., Паршута Е.А., Каимов Е.В., Кинаш Н.Ж. Mеханизмы в структуре виброзащитных систем: математические модели, оценка динамических свойств (Часть II) II Вестник ВСГУТУ. 2015. № 1. С. 52-60.
22. Тимошенко, С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Теория колебаний в инженерном деле. M.: Mашиностроение. 1985. 472 с.
23. Гуськов АМ, Пановко Г.Я., Шохин А.Е. Расчет стержневой пространственной системы виброизоляции твердого тела при транспортной вибрации II Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. № 2. С. 17-24.
24. Зоммерфельд А. Mеханика; пер. с нем. Т.Е. Тамм. M.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 3б8 с.
25. Ден-Гартог Д.П. Mеханические колебания. M.: Физматгиз, 1960. 574 с.
26. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical systems with additional ties. Irkutsk: Publishing Irkutsk State University, 2006. 316 p.
27. Елисеев С.В., Лонцих П.А., Кашуба В.Б., Паршута Е.А., Каимов Е.В., Нгуен Д.Х. Новые подходы в динамике механических упруго-инерционных систем с рычажными связями II Наука и образование в жизни современного общества: сб. науч. тр. по материалам Mеждунар. науч.-практ. конф.; в 12 ч. (г. Тамбов, 30 декабря 2014 г.).
©
Тамбов: Изд-во ООО «Консалтинговая компания Юком», 2015. С. 75-85.
28. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.
29. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.
30. Елисеев С.В., Каимов Е.В., Выонг К.Ч. Динамическая жесткость колебательной системы и ее связь с особенностями самоорганизации движения элементов // Вестник СамГУПС. 2016. № 3 (33). С. 17-27.
References
1. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000, 957 p.
2. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Mekhatronnye podkhody v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem [Mechatronic approaches to mechanical oscillation system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011, 383 p. (In Russian)
3. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing, Switzerland, 2016, 708 р.
4. Eliseev S.V., Artyunin A.I. Prikladnaya teoriya kolebanii v zadachakh dinamiki lineinykh mekhanicheskikh sistem [Applied oscillation theory in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2016, 459 p. (In Russian)
5. Banakh L., Kempner M. Vibrations of Mechanical Systems with Regular Structure. Berlin; Heidelberg: Springer, 2010, 262 p.
6. Banakh L.Ya. Kolebaniya mekhanicheskikh sistem s samopodobnoi strukturoi [Vibrations of mechanical systems with self-similar structure]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod]. 2011, no. 4 (2), pp. 52-53. (In Russian)
7. Kolovskii M.Z. Avtomaticheskoe upravlenie vibrozashchitnymi sistemami [Automatic control of vibration protection systems]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 320 p. (In Russian)
8. Druzhinskii I.A. Mekhanicheskie tsepi [Mechanical chains]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1977, 240 p. (In Russian)
9. Gal'perin I.I. Avtomatika kak odnostoronnyaya mekhanika [Automation as unilateral mechanics]. Moscow, Energia Publ., 1964, 264 p. (In Russian)
10. Emel'yanov S.V., Korovin S.K. Novye tipy obratnoi svyazi. Upravlenie pri neopredelennosti [New types of feedback. Cintrol under uncertainty]. Moscow, Nauka Publ., 1997, 352 p. (In Russian)
11. Genkin M.D., Ryaboi V.M. Uprugoinertsionnye vibroizoliruyushchie sistemy. Predel'nye vozmozhnosti, optimal'nye struktury [The elastically inertial vibration isolation systems. Extreme performance, optimal structure]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 191 p. (In Russian)
12. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Ermoshenko Yu.V. Sistemnyi analiz i matematicheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozashchitnykh sistem [System analysis and mathematical modeling in vibration isolation system mechatronics]. Irkutsk, IrGUPS Publ., 2012, 288 p. (In Russian)
13. Harris, С.М., Сrеdе C.E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002, 1457 p.
14. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B. Impedansnye podkhody kak odna iz form otsenki dinamicheskikh svoistv mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem v strukturnom matematicheskom modelirovanii [Impedance approaches as an estimation form for dynamical properties of mechanical oscillation systems in structural mathematical modeling]. Sistemy. Metody. Tekhnologii[Systems. Methods. Technologies]. 2015, no. 4 (28), pp. 7-15. (In Russian)
15. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Razvitie energeticheskogo metoda opredeleniya chastot svobodnykh kolebanii mekhanicheskikh sistem [Energy method development for mechanical system free oscillation frequencies determination]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 1 (49), pp. 8-19. (In Russian)
16. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Kharakteristicheskoe chastotnoe uravnenie: struktura, dinamicheskaya zhestkost', oso-bennosti vzaimodeistviya elementov sistemy [Characteristic frequency equation: structure, dynamical stiffness, features of interaction of system elements]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 2 (50), pp. 12-24. (In Russian)
17. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B. Uprugie elementy: dinamicheskie svoistva, vozmozhnosti obob-shchennykh podkhodov. Kvazipruzhiny [Elastic elements: dynamic properties, possibilities of generalized approaches. Quasi-springs]. Sistemy. Metody. Tekhnologii [Systems. Methods. Technologies]. 2016, no. 2 (30), pp. 7-17. (In Russian)
18. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Rychazhnye svyazi v mekhanicheskikh tsepyakh: dinamicheskie effekty [Lever ties in mechanical chains: dynamic effects]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2016, no. 4 (52), pp. 8-16. (In Russian)
19. Eliseev S.V., Artyunin A.I., Bol'shakov R.S. Mekhanicheskie tsepi v strukturnykh skhemakh vibrozashchitnykh sistem. Metodika opredeleniya dinamicheskikh reaktsii [Mechanical chains in structural schemes of anti-vibration systems. Dynamic response technique]. Vestnik Vserossiiskogo nauchno-issledovatel'skogo i proektno-konstruktorskogo instituta elektrovozostroeniya [Bulletin of All-Russian Scientific Research and Design Institute of Electric Locomotive Engineering (Vestnik of VELNII)]. 2015, no. 1 (69), pp. 93-111. (In Russian)
©
20. Eliseev S.V., Parshuta E.A., Kaimov E.V., Kinash N.Zh. Mekhanizmy v strukture vibrozashchitnykh sistem: ma-tematicheskie modeli, otsenka dinamicheskikh svoistv (Chast' I) [Mechanisms within the vibration isolation systems: mathematical models, assessment of dynamic properties (Part I)]. Vestnik VSGUTU [ESSUTM Bulletin]. 2014, no. 6 (51), pp. 37-44. (In Russian)
21. Eliseev S.V., Parshuta E.A., Kaimov E.V., Kinash N.Zh. Mekhanizmy v strukture vibrozashchitnykh sistem: ma-tematicheskie modeli, otsenka dinamicheskikh svoistv (Chast' II) [Mechanisms in structure of vibroprotective systems: mathematical models, assessment of dynamic properties (Part II)]. Vestnik VSGUTU [ESSUTM Bulletin]. 2015, no. 1, pp. 52-60. (In Russian)
22. Timoshenko, S.P., Yang D.Kh., Uiver U. Teoriya kolebanii v inzhenernom dele [Oscillation theory in engineering]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1985, 472 p. (In Russian)
23. Gus'kov A.M., Panovko G.Ya., Shokhin A.E. Raschet sterzhnevoi prostranstvennoi sistemy vibroizolyatsii tverdogo tela pri transportnoi vibratsii [The calculation of the spatial vibration isolation system of a solid body under transport vibration]. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal of Machinery Manufacture and Reliability]. 2012, no. 2, pp. 17-24. (In Russian)
24. Zommerfel'd A. Mekhanika [Mechanics]. Moscow-Izhevsk, NITZ "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika" [Research Center "Regular and chaotic dynamics"] Publ., 2001, 368 p. (In Russian)
25. Den-Gartog D.P. Mekhanicheskie kolebaniya [Mechanical vibrations]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960, 574 p. (In Russian)
26. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical systems with additional ties. Irkutsk: Publishing Irkutsk State University, 2006, 316 p. (In Russian)
27. Eliseev S.V., Lontsikh P.A., Kashuba V.B., Parshuta E.A., Kaimov E.V., Nguen D.Kh. Novye podkhody v dinamike mekhanicheskikh uprugo-inertsionnykh sistem s rychazhnymi svyazyami [New approaches in the dynamics of mechanical elastic-inertial systems with lever connections]. Sbornik nauchnykh trudov po materialam Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Nauka i obrazovanie v zhizni sovremennogo obshchestva" [Collection of scientific works on the materials of the International scientific and practical conference "Science and Education in the life of modern soci e-ty"]. Tambov, LLC "Yukom Consulting Company" Publ., 2015, pp. 75-85. (In Russian)
28. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P., Zasyadko A.A. Dinamicheskii sintez v obob-shchennykh zadachakh vibrozashchity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob"ektov [Dynamic synthesis of generalized problems of vibration protection and vibration isolation of technical objects]. Irkutsk, IGU Publ., 2008, 523 p. (In Russian)
29. Lur'e A.I. Analiticheskaya mekhanika [Analytical mechanics]. Moscow, GIFML Publ., 1961, 824 p. (In Russian)
30. Eliseev S.V., Kaimov E.V., Vyong K.Ch. Dinamicheskaya zhestkost' kolebatel'noi sistemy i ee svyaz's osobennosty-ami samoorganizatsii dvizheniya elementov [Dynamic rigidity of the oscillatory system and its relationship with self-organization features of elements motion]. Vestnik SamGUPS [Bulletin of SamGUPS]. 2016, no. 3 (33), pp. 17-27. (In Russian)
Критерии авторства
Елисеев А.В. получил, оформил научные результаты и несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Eliseev A.V. has obtained and formalized the scientific results and bears the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Елисеев А.В. заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
Eliseev A.V. declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 05.04.2017 г. The article was received 05 April 2017
©
