Диады в механических системах: особенности динамических свойств. Часть II Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article

УДК 531.3:007, 534.014, 621.752.2, 629, 62.752, 621:534.833; 888.6, 656.2 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-22-37

ДИАДЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ: ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ. ЧАСТЬ II

© А.В. Елисеев1

Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

РЕЗЮМЕ. Формируется новый подход в задачах анализа и динамического синтеза механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Вводится понятие о механической диаде как о некотором структурном образовании, обладающем фундаментальными свойствами. ЦЕЛЬ исследования заключается в разработке научной гипотезы, определяющей физическую сущность понятий о связности колебаний по отдельным координатам, в том числе коэффициентов форм свободных колебаний. МЕТОДЫ. В рамках означенного подхода свойства обычных систем определяется свойствами диад и их связей с опорными поверхностями и возникающими отношениями при взаимодействиях с другими элементами систем. Используется аналитический аппарат теории линейных колебаний. РЕЗУЛЬТАТЫ. Определены динамические свойства механических колебательных систем, воспроизводство которых имеет значение при переходе к методам структурного математического моделирования. Статья состоит из двух частей. Во второй части вводится понятие о частотно-энергетической функции и ее связях с коэффициентами форм свободных движений. Особенности проявления динамических свойств рассмотрены в нескольких системах координат. ВЫВОДЫ. Показана возможность структурных математических моделей в оценке динамических свойств систем при одиночном и совместном действии гармонических внешних сил по каждой из координат. Предлагается графо-аналитический метод определения коэффициентов форм связи координат и частот собственных колебаний.

Ключевые слова: диада, коэффициент формы связи координат, передаточная функция, связность колебаний.

Формат цитирования: Елисеев А.В. Диады в механических системах: особенности динамических свойств. Часть II // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 8. С. 22-37. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-22-37

DYADS IN MECHANICAL SYSTEMS: FEATURES OF DYNAMIC PROPERTIES. PART II A.V. Eliseev

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

ABSTRACT. A new approach is formed to the problems of analysis and dynamic synthesis of mechanical oscillatory systems with several degrees of freedom. The concept of a mechanical dyad as a structural formation with fundamental properties is introduced. The PUPROSE of the study is development of a scientific hypothesis determining the physical essence of the concepts of oscillation coherence by individual coordinates including free mode coefficients. METHODS. According to the above approach, the properties of conventional systems are determined by the properties of dyads, their relationships with support surfaces and relations arising under the interactions with other system elements. The analytic apparatus of the theory of linear oscillations is used. RESULTS. Dynamic properties of mechanical oscillatory systems whose reproduction is important under the transition to the methods of structural mathematical modeling have been determined. The article consists of two parts. The second part introduces the concept of a frequency-energy function and its relationships with free mode coefficients. The behavioral features of dynamic properties are considered in several coordinate systems. CONCLUSIONS. The possibility is shown to use structural mathematical models in the estimation of dynamic properties of the systems under single and joint action of harmonic external forces on each of the coordinates. A grapho-analytical method is proposed to determine the coefficients of coordinate tie forms and eigen frequencies. Keywords: dyad, coefficient of coordinate tie forms, transfer function, oscillation coherence.

For citation: Eliseev A.V. Dyads in mechanical systems: features of dynamic properties. Part II. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 8, pp. 22-37. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-22-37

©

1

Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: eavsh@ya.ru

Andrei V. Eliseev, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of Scientific-Education Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eavsh@ya.ru

Введение

В первой части статьи (Вестник ИрГТУ, 2017, № 7) рассмотрены особенности динамических свойств, которыми в механических колебательных системах обладают так называемые диады. Внимание к особенностям динамических свойств структурных образований типа диады связано с попытками распространить представления о колебательных системах с сосредоточенными параметрами на задачи построения структур из типовых элементов, что характерно для теории цепей и теории автоматического управления с распределенными параметрами [1-3].

В последние годы внимание к подобного рода вопросам возрастает в направлениях, связанных с мехатроникой, робототехникой, вибрационными технологиями [4-9]. Вместе с тем многие вопросы динамики взаимодействия в системах с несколькими степенями свободы еще далеки от своего исчерпания.

Во второй части развиваются новые подходы к оценке возможностей колебательных систем - диад, как системообразующих структур, обладающих потенциалом к образованию более сложных систем. Цель продолжения исследований заключается в разработке методологических подходов в оценке возможностей и особенностей формирования коэффициентов форм колебательных процессов в диадах.

Нумерация рисунков и формул во второй части продолжает нумерацию рисунков и формул первой части статьи. Библиография во второй части статьи - отдельная.

Коэффициенты формы

Зависимость коэффициента формы от частоты. Для определения частоты, при которой коэффициенты форм совпадают между собой, необходимо относительно с разрешить уравнение

m+m2

ю

ю

ю

m m+m2

ю

(56)

m m + m2

m+m2

Данное уравнение относительно с имеет решение: с1 = 0 , с2 . Графический вариант решения представлен на рис. 2.

График коэффициента формы с2 как функции частоты внешнего возмущения с на рис. 2 представлен кривой (3). В точке с1 = 0 коэффициент формы с2 = 1. По мере роста частоты коэффициент формы сс2 убывает. Когда частота внешнего воздействия совпадает с частотой динамического гашения второй координаты х2, коэффициенты формы обнуляются, т.е. с2 = 0 . По мере дальнейшего роста частоты внешнего силового возбуждения колебание массоинерционных элементов происходит в противофазе. График коэффициента формы с1 представлен на рис. 2 кривой (4) с полюсом в точке с01. При частоте внешнего возбуждения с = 0 коэффициент формы с1 = 1. По мере увеличения частоты внешнего возбуждения с до частоты динамического гашение с01 по первой координате х1 коэффициент формы с1

неограниченно возрастает. После превышения частотой с силового возмущения частоты динамического гашения с01 массоинерционные элементы двигаются в противофазе. Дальнейший рост частоты с ^ ад приводит к убыванию коэффициента формы до нуля, т.е. ах^ 0.

Графики коэффициентов форм а1 и а2 пересекаются в тт. (1) и (2) при частотах внешнего

воздействия, совпадающих с собственными частотами системы с1, с2 соответственно.

Совпадение значений коэффициентов форм а1 и а2 на собственных частотах может быть

интерпретировано как свойство независимости коэффициентов форм от внешнего воздействия на частотах собственных колебаний. Таким образом, на частоте собственных колебаний форма движения диады не зависит от того, к какой массе приложена сила.

Рис. 2. Зависимость коэффициента формы а от частоты внешнего возмущения со: < , с2 - собственные частоты колебаний; <, ю02 - частоты динамического гашения Fig. 2. Dependence of the shape factor а on the frequency of external disturbance с : С - natural frequencies; <am , o02 - frequencies of dynamic damping

Свойства коэффициентов форм колебания. При заданной частоте внешнего воздействия с коэффициент формы колебания, представляющий собой отношение

х2( 1Yt)/x{1Yt) , соответствующий приложению силы Q1, имеет вид

а

щ

01

щ

01

щ

2 I

(57)

где щ01 _

шЛ

■ml _

m + m2

соответствующая частота динамического гашения.

По фиксированному коэффициенту формы колебаний а1 можно определить исходную частоту сд( 1} внешнего силового возмущения:

m

(a —1)

(1)

m

a

01 ■

(58)

Аналогично при силовом возмущении Q2, приложенном к массе т2, коэффициент формы а2 имеет вид

a

2 2 m02 -m

m

(59)

02

2 _ где m02 _

m

m+m2

2_ ,,2

wi - соответствующая частота динамического гашения колебаний.

По фиксированному коэффициенту формы колебания частота внешнего возмущения определяется согласно выражению

2 _ 2 2 m2) ~ m02 — a2m02

(60)

На рис. 3 представлены графики зависимости со( 1)2(а) и со(2}2(а) частот формы

от коэффициента формы колебания а . График функции квадрата частоты с в зависимости от коэффициента формы а1 представлен кривой (1) на рис. 3. График функции квадрата частоты в зависимости от коэффициента формы а2 представлен кривой (2). Данные кривые пересекаются в точках с координатами (а>Щ2) и (а2,ю22) (тт. (3), (4) на рис. 3).

(2)

Рис. 3. Зависимость частоты со от коэффициента формы a: С, ф2 - собственные частоты колебаний; с01, сот - частоты динамического гашения Fig. 3. Dependence of the frequency со on the coefficient of shape a : С, с - natural frequencies, rnm, - frequencies of dynamic damping

2

Приравнивание выражений со( 1)2(а) , со(2}2(а) приводит к уравнению относительно коэффициента форм а в виде

а2аЮп + (Ю - а>12)а - ю^ = 0.

(61)

Таким образом, коэффициенты форм а выражаются в виде:

ц = 1, а2 =

ю

01

ю

(62)

02

Учитывая зависимость частот динамического гашения от масс, коэффициент формы можно представить как

тл

а2 =~

т„

(63)

Диада: динамические эффекты

К динамическим эффектам следует отнести динамическое гашение колебаний соответствующей координаты, резонанс, биения, перераспределение энергии по массоинерцион-ным элементам системы и др.

«Зануление» координаты при силовом возмущении. Под частотой «зануления» соответствующей координаты х1 понимается частота внешнего возмущения ф 0ф 0),

такая, что х1 = 0. Частотами «зануления» соответствующих компонент служат величины С 01,

С 02:

2 2 т1 ql + q2

Ю = Ю -1-—-=:-=-

ю z 01 ю2

т + т Qi m2 Q1 + Q2 m1 + m2 Q2

(64)

(65)

2

Используя полученные выражения для частот «зануления», можно показать, что выполняется соотношение

т т т + т9

+ = 1 2 2 . (66)

С01 С202 С2

Соотношение (66) показывает, что для всевозможных сочетаний силовых факторов Q1, Q2 частоты «зануления», представленные точками (сг01, с02), на плоскости, образуют

на рис. 4 кривую (1). На рис. 4 представлены особые точки: т. (2) с координатами (с01, с02) и

т. (3) с координатами (со2,с2). Частотам динамического гашения колебаний с01, с02 соот-

ветствуют предельные случаи приложения сил (Q1 Ф 0, Q2 = 0) и (Q1 = 0, Q2 ^ 0). Таким образом, на плоскости (с01 ,сг02) частоте динамического гашения колебаний с01 соответствует предельная точка (с01 ), а частоте динамического гашения с02 - предельная точка

(^С02) ■

Рис. 4. Геометрическое место точек с координатами (oz01 ,az02): (1) - кривая точек частот «зануления» при различных отношениях сил Q, Q; т. (2) - точка с координатами частот динамического гашения колебаний (щ01 ,с02) ; т. (3) - точка с координатами (щ ,щ) Fig. 4. Geometrical locus of points with the coordinates (oz01 ,oz02): (1) - curve of neutralizing frequency points under various relations of forces Q, Q2; point (2) - a point with the coordinates of frequencies of oscillation dynamic damping (щ,щ) ; point (3) - a point with the coordinates (щ,щ)

Биения. Биения диады рассматриваются в системе координат Vj,v2. Компоненты (30), (31), которые по координате v2 формируют биение при нулевых начальных условиях и силовом возмущении F = 0, f2 ф 0, имеют вид:

v(b)(t) = 0;

v(b)2 (t) =

с(F'

Mn(o — m2)

sin( m2t) sin( mt)

2 i ( У

(67)

m

m

Процесс периодических биений может быть интерпретирован как колебательный процесс с частотой с(Ь), периодом Т(Ъ) и максимальной амплитудой колебания Л(Ъ):

Cb) =(—с;

t =

2ж

(о2 — с

(68) (69)

На рис. 5 представлен характерный процесс биения, соответствующий компоненте 2(I) (частота приложенной силы составляет ю» 1,83 га^/Б.).

о-1.S3 33

Рис. 5. Биение в относительной системе координат vl,v2: (1) - график эффекта биения; (2) - максимальная амплитуда биения Fig. 5. Beating in the relative coordinate system v1,v2: (1) - graph of beating effect; (2) - maximum amplitude of beating

В общем случае приложение внешних сил и наличие начальных условий формируют сложное движение диады. На рис. 6 приведен пример движения диады с учетом силового

возмущения с частотой о« 1,91 rad./s. в системе координат y ,y2. На рис. 6. показано движение диады при нулевых начальных условиях под действием внешней гармонической силы. Частота появления эффектов биения составляет о« 0,09 rad./s.

Mn(ю2 -ю)ю2

(70)

ш= 1.9167

t, S.

Рис. 6. Эффект биения в системе координат y1,y2 Fig. 6. Beating effect in the coordinate system y1,y2

Таким образом, движение диады имеет ряд признаков колебательного процесса, реализующихся в маятниковых системах, для которых характерны эффекты динамического гашения колебаний, биения и перераспределения энергии колебания [10].

Диада: структурное математическое моделирование

Рассматривается компонента движения диады, образованная гармоникой с частотой внешнего силового возбуждения при нулевых начальных условиях.

Структурная математическая модель. Система уравнений движения в операторной форме (после преобразования Лапласа при нулевых условиях) может быть записана как

(ЩР2 + k2 M - k2У2 = Qv -k2 y + (m2 p2 + k2 )y2 = 0,

(71)

(72)

<

где р = - комплексная переменная ] = >/-1. Значок <-> над переменной означает преобразование по Лапласу [11].

На основе (71), (72) может быть построена структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления [12, 13] (или структурная модель системы), что приводится на рис. 7.

|а

Рис. 7. Структурная схема диады (рис. 1) в координатах у17у2 : (a) - схема общего вида; (b) -структурная схема с исключением координаты y2 ; (c) - структурная схема с выделением объекта m и приведенной пружиной (приведение структурной модели к системе с одной степенью свободы) Fig. 7. Structural diagram of the dyad (Fig. 1) in the coordinates y, y2 : (a) - overview diagram; (b) - block

diagram with the exclusion of the coordinate y2 ; (c) - block diagram with the selected object m and a reduced spring (structural model is reduced to the system with one degree of freedom)

Структурные преобразования на рис. 7 отражают динамические свойства диады. В частности, для диады можно записать передаточные функции по координатам у1 и y2 при силовом возмущении Q # 0, Q = 0 :

W =à =-2 m2p + k2-, ; (73)

Q1 (m2P + k2)(miP + k2) - k2

w2 = b-

Q1 (m2P + k2)(miP + Ю - k2

(74)

Собственные частоты ю1, ю2 определяются из характеристического уравнения А(р) = (т2р2 + к2)(т1 р2 + к2) - к\ = 0 и равны соответственно:

Ю = 0, ю2

ki

IM

(75)

п

На частоте внешнего возбуждения Ю

01

V

m„

реализуется режим динамического га-

шения колебаний по первой координате у1.

Передаточная функция межпарциальных связей имеет вид

W = —

W21 —

k„

У1 m2P + k2 '

(76)

Система (рис. 7, а) в координатах у1 и у2 состоит из двух парциальных блоков с парциальными частотами:

Ю01 =

V

ko

m„

(77)

Ю02 =

m.

(78)

Парциальные блоки (система) имеют упругую связь, реализуемую звеном с передаточной функцией р) = к2.

Передаточные функции диады. На основе передаточных функций (73), (74), (75) могут быть построены амплитудно-частотные характеристики у(ю) , у2(ю) , У2(ю) путем

у1

замены

P = Ю, j = уЛ :

У г ю; Öi(

-m2 ю + k2

(—m2 ю + k2)(-mx ю + k2) — k2

(79)

У ю)

Qi

k\

(—m2 ю + k2)(—mx ю + k2) — k2

(80)

2

2

^ (со) = У1

К

- m2 а + k2

(81)

На рис. 8 представлен график амплитудно-частотной характеристики у(с) при силовом возмущении (Q1 ^ 0, Q2 = 0), приложенном к массоинерционному элементу т1. В точке (1) на рис. 8, в которой график функции пересекает ось абсцисс, отмечена частота динамического гашения с01 координаты у1. В точке с = 0 находится первая собственная частота системы с. В т. (2) на рис. 8 располагается вторая собственная частота с1. Разрыв второго рода отражает эффект резонанса в точках с= с1 и с= с2.

Рис. 8. Амплитудно-частотная характеристика У (а)

Q

Fig. 8. Amplitude- frequency response У (а)

Q\

У2

На рис. 9 представлен график амплитудно-частотной характеристики -=2(с) . В точках

с = с1 и с = с2 реализуется эффект резонанса и смены формы колебания.

На рис. 10 изображен график межпарциальной амплитудно-частотной характеристики

у2 / i

— \с). На собственных частотах с = с1 и с= с2 функция принимает конечные значения. Разрыв второго рода, отражающий эффект динамического гашения колебаний по первой координате у1 (амплитуда колебания координаты у2 конечна) и эффект смены формы колебания, отражен в точке с = с01.

Таким образом, амплитудно-частотные характеристики отражают основные свойства диады, свойственные механическим колебательным системам: эффекты динамического гашения, явление резонанса и смену формы колебаний.

У? / 1

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика (ю)

У7 / 1

Fig. 9. Amplitude- frequency response (ю)

Qi

(ю.

Qi

Рис. 10. Амплитудно-частотная характеристика (о)

У1

У? / ^

Fig. 10. Amplitude- frequency response (о)

У1

Частотно-энергетическая функция

Частотно-энергетическая функция определяется на основе свойств кинетической и потенциальной энергий, зависит от выбранной системы координат.

Частотно-энергетическая функция в системе координат у1 и у2. Кинетическая и потенциальная энергии в системе координат у1 и у2 равны соответственно:

Т = У? +^т2У2 \П = \К(У2- Ух)2.

(82)

Полагается, что система совершает собственные колебания: y2 = A sinmt,

y = A sin mí. Отношение амплитуд составляет а = A1¡Ax. Можно показать, что максимум кинетической и потенциальной энергии совпадают:

Т = П

(83)

Таким образом, частотно-энергетическая функция имеет вид

ю

2 _

к2 (а-1/

m +а m2

(84)

Для определения экстремальных значений частотно-энергетической функции считается производная:

д(со2) _ 2к2(а-1 )(m + am2)

да

(m +a2m2f

(85)

m.

Производная (85) обращается в ноль в двух точках: а1 = 1 и а2 =---.

т2

В найденных точках а1, а2 частотно-энергетическая функция принимает экстремальные значения, равные квадратам собственных частот ®С и С соответственно:

ю

2 . , m + m~

(а) = о, с (а) = к2m—2.

mxm2

(86)

При а = 0 и а^ю частотно-энергетическая функция равна квадрату частоты динамического гашения С и приближается к частное динамического гашения по второй коор-

динате ю02:

ю2 (0) = ^ , lim ю2 (а) = .

m

m

(87)

На рис. 11 изображена частотно-энергетическая функция в системе координат У1 и у2 . Частотно-энергетическая функция зависит от коэффициента формы а . Максимум и минимум энергетической функции С(а1 = 1) и а2 =-1/3) определяют квадрат собственных частот. При а = 0 и а^ю частотно-энергетическая функция определяет парциаль-

2 2 ные частоты с01 и с02.

Рис 11. Частотно-энергетическая функция в системе координат уру2: кривая (1) - график частотно-энергетической функции; прямая (2) - асимптота частотно энергетической функции при a ^w, равная частоте динамического гашения колебаний <у01; прямая

(3) пересекает частотно энергетическую функцию в значении частоты динамического гашения колебаний <; прямая (4) пересекает график частотно-энергетической функции в точке максимума Fig. 11. Frequency-energy function in the coordinate system yvy2: curve (1) - a graph of the frequency and energy function; line (2) - asymptote of the frequency-energy function at a ^w equal to the frequency of oscillation dynamic damping <am ; line (3) crosses the frequency-energy function in the value of the frequency of oscillation dynamic damping <o02; line (4) crosses the frequency-energy function graph at the maximum point

Частотно-энергетическая функция в координатах vx,v2. Рассматривается система координат V и v2. Кинетическая и потенциальная энергии определяются соответственно:

1

Т = -(т] +m2Jv; +

1 т,т0 л lo

--L^vv n = -k2v2-.

2 /7/, + т0

2

(88)

Полагается, что система совершает собственные колебания: v2 = B2 sinot, Vj = Bj sinat. Отношение амплитуд составляет / = B2¡Bx. Из соотношения Tmax = Птах, представленного в переменных / , Bx, получается соотношение:

(m + m2)a>2 B2 +

1 mm2 0)2ß2в2 = 1 ^ß2в2 .

2 m + m2

(89)

Полученное выражение может быть преобразовано к виду

1

1 1

■ + —;

2 п2

<ß

а

а

л ,

(90)

2

где а =

m+m2

2

Таким образом, частотно-энергетическая функция имеет вид

а

о г г г

2 _ ß а с

Г)2 2 , 2 "

р с + с

(91)

Для выявления экстремальных значений определяется производная:

д( сС ) _ 2 ßa24с

dß ( ß2a0 2 +а2 2)2

(92)

Функция с2 монотонно возрастает на положительной полуоси /3> 0. Если коэффициент формы Д = 0, то функция с2 достигает локального минимума, равного нулю. Если

с

коэффициент формы стремится к бесконечности Д ^ ю, то функция с , с2

На рис. 12 изображена частотно-энергетическая функция для системы координат, в которой собственные числа совпадают с парциальными частотами:

^Л2 2 ^Л2 2

с 1 = с01 , с 2 = с02

(93)

Рис. 12. Частотно-энергетическая функция в системе координат v1,v2 '■ кривая (1) - график

2 2

частотно-энергетической функции; прямая (2) с ординатой с 2 = с02 - асимптота графика 1 при

Д ^ +Ю ; т. (3) - значение частотно-энергетической функции равно С 1 = С01 Fig. 12. Frequency-energy function in the coordinate system v1,v2 curve (1) - graph of the frequency-energy

function; line (2) with the ordinate с 2 = с02 - asymptote of the graph 1 at

2 2

point (3) - value of the frequency-energy function equals to

Кривая (1) на рис. 12 представляет собой вариант частотно-энергетической функции, обладающий рядом особенностей, связанных с совпадением собственных частот колебания и

парциальных частот. Минимум функции достигается в т. (3) на рис. 12 при Д = 0 и равен

2 2 сс 1, совпадая с квадратом частоты динамического гашения колебаний с01 . Максимум

функции вырождается в предельное значение при Д ^ +ю , так как функция монотонна на

интервале (0,+да) и ограничена квадратом второй собственной частоты с 2. Прямая (2) на рис. 12, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в т. (4) и является асимптотой графика (1) при Д ^ +ю .

Итак, во второй части статьи предлагается метод определения коэффициентов форм и частот собственных колебаний. Рассмотрены особенности динамических эффектов в форме биений с использованием аналитических решений исходных уравнений диады. Разработана технология преобразования структурных схем диад и их передаточных функций, отражающих специфические динамические свойства. Предложена технология использования частотных характеристик для определения параметров диады. Автором введено понятие частотной энергетической функции диады, показаны возможности трансформации уравнений, определяющих основные параметры диады.

Заключение

Диада является некоторой структурой, обладающей набором свойств, в которых проявляются динамические свойства, характерные для механических колебательных систем вообще. Если механическую колебательную систему рассматривать как расчетную схему технического объекта, который в своих движениях имеет связи с опорными поверхностями, то, в этом отношении, диада является структурой с особыми свойствами. Диада отражает свойства, которыми колебательная система могла бы обладать в условиях изоляции. В то же время в динамике систем с несколькими степенями свободы диада участвует как некий системообразующий элемент, что проявляется в возможностях суммирования переносного и относительного движений. Диады могут иметь аналоги, реализующие движения во вращательной форме, а также в формах несамотормозящихся винтовых движений элементов. При этом предполагается, что система не участвует в реализации более сложных видах движений. При соединениях через промежуточные элементы с опорными поверхностями диада формирует механическую колебательную систему с несколькими степенями свободы и предопределяет ее механические свойства.

Понятие диады можно рассматривать как обобщение представлений о парциальных системах, используемых для построения математических моделей механических колебательных системах с несколькими степенями свободы.

В отличие от обычных парциальных систем, диада представляет собой структуру с двумя степенями свободы, имеет два массоинерционных элемента, соединенных линейной пружиной. Диада, в ее изначальном представлении, не связана с опорными поверхностями, т.е. не имеет внешних связей.

Предложены приемы построения структурных математических моделей, отражающих основные динамические свойства и возможности определения значений парциальных и собственных частот колебаний.

Динамические свойства диад образуют некоторую фундаментальную основу для построения механических колебательных систем конкретного назначения, что может найти применение в использовании динамических эффектов, возникающих в сочетаниях поступательных, вращательных и винтовых видов движения.

Исследования представляют интерес для специалистов, работающих в области приложения теории цепей, в направлениях теории колебаний, автоматического управления технологическим оборудованием.

©

Библиографический список

1. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами. М.: Мир, 1978. 288 с.

2. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными. М.: Наука, 1976. 320 с.

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. Москва: Наука, 1965. 476 с.

4. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в ме-хатронике виброзащитных систем. Иркутск: ИрГУПС. 2012. 288 с.

5. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection, Springer International Publishing, Switzerland, 2016, 70B p.

6. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.

7. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск: Наука, 2014, 357 с.

B. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В., Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудерживающих связей: монография. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.

9. Елисеев С.В., Артюнин А. И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем, Новосибирск: Наука, 2016, 459 с.

10. Зоммерфельд А. Механика. М.: Ижевск: НИЦ РХД, 2001, 368 с.

11. Лурье А.И. Операционное исчисление и применение в технических приложениях. М.: Наука. 1959. 368 с.

1. Lenk A. Jelektromehanicheskie sistemy. Sistemy s sosredotochennymi parametrami [Electromechanical systems. Systems with lumped parameters]. Moscow, Mir Publ., 1978, 288 p. (In Russian)

2. Kolovskij M.Z. Avtomaticheskoe upravlenie vibrozashhitnymi sistemami [Automatic control of vibration isolation systems]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 320 p. (In Russian)

3. Butkovskij A.G. Teorija optimal'nogo upravlenija sistemami s raspredelennymi parametrami [Optimal control theory for the systems with distributed parameters]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 476 p. (In Russian)

4. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Ermoshenko Ju.V. Sistemnyj analiz i matematicheskoe modelirovanie v mehatronike vibrozashhitnyh sistem [System analysis and mathematical modeling in mechatronics vibration isolation systems]. Irkutsk, IrGUPS, 2012, 288 p. (In Russian)

5. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing, Switzerland, 2016, 708 p.

6. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.

7. Eliseev S.V., Khomenko A.P. Dinamicheskoe gashenie kolebanij: koncepcija obratnoj svjazi i strukturnye metody ma-tematicheskogo modelirovanija [Dynamic damping of oscillations: feedback concept and structural methods of mathematical modeling]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2014, 357 p. (In Russian)

8. Eliseev A.V., Sel'vinskij V.V., Eliseev S.V. Dinamika vibracionnyh vzaimodejstvij jelementov tehnologicheskih sistem s uchetom neuderzhivajushhih svjazej [Vibratory interaction dynamics of technological system elements subject to unilateral constraints]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2015, 332 p. (In Russian)

9. Eliseev S.V., Artjunin A.I. Prikladnaja teorija kolebanij v zadachah dinamiki linejnyh mehanicheskih system [Applied theory of oscillations in the problems of linear mechanical systems dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2016, 459 p. (In Russian)

10. Zommerfel'd A. Mehanika [Mechanics]. Moscow, Izhevsk, NIC RHD Publ., 2001, 368 p. (In Russian)

11. Lur'e A.I. Operacionnoe ischislenie i primenenie v tehnicheskih prilozhenijah [Перевод]. Moscow, Nauka Publ, 1959, 368 p. (In Russian)

References

Критерии авторства

Елисеев А.В. подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Eliseev A.V. have prepared the article and bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The author declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.

Статья поступила 23.05.2017 г.

The article was received 23 May 2017