К вопросу о теории рычажных связей в динамике механических колебательных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

раметров. Это обусловлено нелинейностью целевой и ограничительных функций, а также выходом некоторых варьируемых параметров на границу параметрических ограничений. Тогда, при стабилизации числа активных ограничений, более эффективным становится метод сопряженных переменных.

2. Если при решении оптимизационной задачи мы используем линейные аппроксимации, то за аппроксимируемые па-

раметры состояния целесообразно принимать функции, близкие к линейным. В большинстве случаев этого можно добиться соответствующим выбором варьируемых параметров. Если же параметры состояния существенно нелинейны, то при построении явных задач оптимизации рациональнее использовать аппроксимации 2-го порядка.

Статья поступила 23 ноября 2015 г.

1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 448 с.

2. Дмитриева Т.Л. Аппроксимация параметров состояния в задачах оптимизации систем, подверженных нестационарным динамическим воздействиям // Современные технологии. Системный анализ. Мо-

кии список

делирование. 2008. № 1. С. 110-114.

3. Дмитриева Т.Л. Параметрическая оптимизация в проектировании конструкций, подверженных статическому и динамическому воздействию: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. 176 с.

4. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

УДК 629.4.067; 62-752; 621.01; 534-16

К ВОПРОСУ О ТЕОРИИ РЫЧАЖНЫХ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

1 л 4

© С.В. Елисеев', Н.К. Кузнецов2, Е.В. Каимов3

13Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются вопросы выявления и учета особенностей проявления рычажных связей в механических колебательных системах. Предлагается подход в оценке свойств систем, базирующийся на рассмотрении определенных соотношений между параметрами состояния объекта в виде координат или реакций связей в характерных точках. Разработана методика оценки рычажных связей на основе построения частотных характеристик, связывающих параметры состояния выбранных точек.

Ключевые слова: рычажные связи; рычажные механизмы; передаточные отношения; виртуальные рычаги; парциальные системы.

TO THE THEORY OF LEVER TIES IN MECHANICAL OSCILLATING SYSTEM DYNAMICS S.V. Eliseev, N.K. Kuznetsov, E.V. Kaimov

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia.

1

Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел.: (3952) 638326, +79025665129, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Eliseev Sergey, Doctor of technical sciences, Professor, Chief Researcher, Director of the Research Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel.: (3952) 638326, +79025665129, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

2Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: +7(3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu

Kuznetsov Nikolay, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu

3Каимов Евгений Витальевич, младший научный сотрудник, тел.: +7(3952) 638399, доб. 02-96, e-mail: Eugen-Kaimov@yandex.ru

Kaimov Evgeniy, Junior Researcher, tel.: +7(3952) 638399, ext. 02-96, e-mail: Eugen-Kaimov@yandex.ru

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The problems of identification and allowance for lever ties behavioral mode in mechanical oscillating systems are discussed. An approach is proposed to the assessment of system properties that is based on the consideration of certain ratios between the parameters of the state of an object in the form of coordinates or reactions of ties in representative points. The technique is developed for lever ties assessment through building frequency characteristics that connect the parameters of state of selected points.

Keywords: lever ties; lever mechanisms; transfer relations; virtual levers; partial systems.

Введение

Транспортные средства, в частности подвижной состав железных дорог, можно отнести к числу сложных технических объектов, надежность работы и безопасность эксплуатации которых отслеживаются на всех стадиях жизненного цикла [1, 2]. При предварительных исследованиях оценка динамических свойств, как правило, производится на расчетных схемах в виде механических колебательных систем с несколькими степенями свободы с учетом конструктивно-технических особенностей, характерных для транспортных систем [3-5]. Большое значение при этом имеет учет особенностей и форм взаимодействия элементов систем, в которых реализуются различные динамические связи.

В этом плане определенный интерес представляют рычажные связи, проявления которых особенно заметны в сложных движениях узлов и элементов, совершающих, в частности, комбинированные угловые и поступательные колебательные движения [6, 7].

В большинстве расчетных схем транспортных объектов значение имеют вопросы рационального размещения мас-соинерционных, упругих и диссипативных элементов, образующих в целом некоторую пространственную структуру динамических взаимодействий, что связано с расширением представлений о формах проявления динамических эффектов и преобразования движений взаимодействующих элементов. Ряд разработок в задачах динамического синтеза виброзащитных систем приведен в работах [8-10].

Ниже рассматриваются вопросы, связанные с обоснованием существования рычажных связей, являющихся формой проявления устойчивых соотношений между параметрами движения механических

колебательных систем с различным числом степеней свободы.

Формирование структур с использованием парциальных систем

При этом используется методологическая основа структурной теории виброзащитных систем, в рамках которой линейная механическая колебательная система может быть приведена к структурной схеме эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. В данном случае структурная схема отображает (как структурный аналог) свойства обычной математической модели в виде системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [8-10]. Если механическая колебательная система имеет несколько степеней свободы, то ее структура формируется на представлениях о парциальных системах и связях между ними. Переход к структурным математическим моделям построен на преобразованиях Лапласа [8, 11, 12].

Понятие парциальных систем связано с представлениями о простейших системах с одной степенью свободы, которые можно получить в результате упрощения более сложной исходной механической колебательной системы. Если исходная механическая система описывается несколькими обобщенными координатами, то при остановке движения по всем обобщенным координатам (их занулении), кроме одной, можно получить парциальную систему. При рассмотрении многих задач динамики машин и оборудования, в частности задач вибрационной защиты, ограничиваются представлениями о движении объекта и элементов системы в плоскости. В этом случае парциальные системы имеют обычно вид материальной точки, совершающей прямолинейные колебания на упругом

элементе, опирающемся на опорную поверхность, или если материальная точка находится на невесомом жестком стержне, который способен совершать угловые колебания относительно неподвижной точки вращения. При вертикальном подвесе стержня может быть получена модель математического маятника. В общем случае можно рассматривать две физические модели парциальных систем: с поступательными и угловыми движениями, которые являются аналогами, при этом уравнения движения в линейных и угловых координатах имеют один и тот же вид.

Парциальная система угловых колебаний обычно связана пространственными формами проявления движений, а параметры движения зависят от расположения типовых элементов системы, вида их соединения и мест приложения внешних возмущений. Ось вращения массоинерционно-го элемента парциальной системы углового движения обычно перпендикулярна плоскости рассматриваемого движения. Но это не всегда так, поскольку существуют и другие формы вращений, когда, к примеру, ось вращения лежит в плоскости движения, а не перпендикулярна ей. Возможны и обобщенные представления о формах парциальных систем, если принять во внимание, что обобщенная координата часто характеризует винтовое движение. Физические формы таких парциальных систем могут быть реализованы, например, в виде би-филярного подвеса или винтового несамотормозящегося механизма. В таком случае более сложная система будет состоять из нескольких парциальных систем. Рассматривая сочетания парциальных систем различных видов, можно «собирать» более сложные структуры или системы, которые способны стать моделями различных технических объектов.

Такой подход может быть реализован как на представлениях о более сложных парциальных системах (например системах с двумя степенями свободы), так и на расширении представлений о формах и сути межпарциальных связей.

В теории механических колебаний в качестве соединительных звеньев массои-нерционных элементов используются пружины и устройства диссипативной природы (или демпфера, в которых возникает вязкое сопротивление). Более сложные структуры выстраиваются из элементарных типовых звеньев с помощью определенных правил соединения элементов и соблюдения законов механики или теории цепей. Детали таких подходов нашли отражение во многих работах по теории колебаний и ее различных приложениях.

Выбор элементарных звеньев. Рассмотрим несколько примеров формирования структур с использованием парциальных систем, где используются абстракции физических свойств материальных объектов в виде «связок»: материальное тело поступательного движения - материальная точка; твердое тело вращательного (или углового) движения - материальная точка на невесомом стержне, закрепленном с возможностями вращения в плоскости. Упругие элементы рассматриваются в рамках обычных представлений об абстракциях свойств. На рис. 1, а-з приведены возможные виды и сочетания парциальных систем.

Характерной особенностью в выборе форм, построении парциальных систем и их простейших взаимодействиях является то обстоятельство, что движения элементов систем реализуются в определенном пространстве. Такие свойства сопровождаются необходимостью фиксации представлений о местах закрепления элементов, длинах плеч рычагов, расположении точек вращения и др. Даже при использовании простейших типовых элементов в виде идеальных пружин две парциальные системы могут формировать достаточно сложные структуры, которые могут создавать при различных внешних возмущениях различные динамические режимы и эффекты. При всей условности представлений о простоте парциальных систем следует отметить, что взаимодействия парциальных систем могут быть не так просты, и

m

В \У к

/ / / '/ Т/

а

,m,

В

//////

^—^— '.к,

с

/ B

y* \£ / O

777777в

777777"

г

■j^foC

Уи

У4

///'/// е

O,

h O^f i mi с

с D А

/ В

/

m,

У

///У//

ж 3

Рис. 1. Варианты представления парциальных систем и виды связей между парциальными системами: а - поступательная; б - вращательная; в - последовательное упругое соединение двух поступательных парциальных систем; г - соединение поступательной и вращательной систем; д - вращательная система рычажного типа; е - соединение двух вращательных систем; ж - соединение вращательной системы рычажного типа и системы поступательного типа с твердым телом (а не материальной точкой); з - соединение вращательной системы рычажного типа с точкой вращения на твердом теле, совершающем поступательное движение

m

б

m

д

к

к

m

к

0

A

это требует развития некоторых методологических положений. В качестве таковых предлагается рассматривать возможности расширения набора элементарных звеньев механических колебательных систем путем введения элементарных звеньев, дополняющих свойства упругих и диссипативных элементов, через возможности, привносимые рычажными связями и устройствами для преобразования движения. Данные подходы получили развитие в структурной теории виброзащитных систем. Объединение типовых элементов в компакты. Еще одним направлением развития концепции использования взаимодействия парциальных систем могло бы стать введение в структуру межпарциальных связей элементов обобщенного вида, формируемых по определенным правилам из типовых соединений элементов расши-

ренного набора. Возможности таких элементов в течение последних лет обсуждались как формы обобщенных пружин с приведенными жесткостями, а также как квазиупругие элементы, компакты или квазипружины [13]. В детализации представлений о взаимодействиях такого рода нашли применение подходы, развитые в [14, 15].

Взаимодействия парциальных систем

Возможные формы взаимодействия парциальных систем представлены структурами, как показано на рис. 2, а-е.

Анализ принципиальных схем на рис. 2, а-е дает представление о возможностях преобразования исходных позиций, что может быть реализовано на основе использования методов структурного математического моделирования.

//////

m i

\ M /

1 г \ /

//////

l l

У V

^^т. O

г д е

Рис. 2. Варианты построения систем с двумя степенями свободы: а - система поступательного типа с упругими связями; б - система с вращательным телом, взаимодействующим с объектом поступательного движения; в - схема рычажного динамического гасителя на объекте поступательного движения; г - система рычажного типа с разнесенными поступательными движениями; д - твердое тело на упругих опорах; е - два вращательных твердых тела с упругими связями

Рассмотрим в качестве примера механическую колебательную систему на рис. 2, г. Если принять, что m2 = 0, то система преобразуется в структуру с одной степенью свободы с упругим блоком, который будет состоять из трех пружин с жест-к к

костями к2, —^^, соединенных рыча-

к3 + к4

гом второго рода. После ряда преобразований система может быть приведена к виду обычной системы с одной степенью свободы массой m1 и некоторой обобщенной пружины с приведенной жесткостью. Наличие рычажной связи 11П2 существенно влияет на значения приведенной жесткости. На схеме на рис. 2, г рычаг второго рода может рассматриваться как предельная форма состояния некоторого твердого тела, которое при имеющихся точках крепления упругих элементов к2 и kз и точке вращения O обладает моментом инерции ^ 0. Такой формальный прием при определенных условиях подходит в качестве иллюстрации формирования рычажной связи [6, 7].

В общем случае рассматриваемые свойства носят более сложный характер, а приведенные характеристики системы становятся зависимыми от частоты внешних воздействий. Заметим, что в развиваемых подходах рассматриваются только линейные системы.

Рычажные связи в механических колебательных системах с одной степенью свободы. Наличие рычажных связей, формируемых в механических колебательных системах, в которых используются твердые тела с угловыми колебаниями, дает возможность для достаточно простой идентификации и интерпретации необходимых соотношений между параметрами статических и динамических состояний. На рис. 3, а представлена механическая колебательная система с массоинерционным элементом массой m и координатой у1, пружинами к1 и к2, силой внешнего воздействия 0, кинематическими возмущениями z1(t), z2(t), заданных известными законами движения, с опорными поверхностями I и II.

i m

т. O

к

к

б

а

в

M, J

z

z

z

гл "' я "A z (t)

т.

f

/ - 1

Ф)

k2

k2

kl

i 1

mp2

-1

ki

k2

а б в

Рис. 3. Система с одной степенью свободы: а - расчетная схема; б - структурная модель системы; в - структурная модель с выделенным объектом защиты т

При кинематическом возмущении со стороны опорной поверхности I (г^) Ф 0, г2(() = 0) передаточная функция системы имеет вид

W(p) = ^ =

(1)

тр +к1 +к2 где р = уш - комплексная переменная (ш - частота внешнего возмущения) [14].

Если полагать, что система находится в положении статического равновесия и р ^ 0, то выражение (1) можно представить в форме

h =

k1 + к2

(2)

Соотношение (2) можно рассматривать как проявление рычажной связи. В данном случае ¡1 интерпретируется как передаточное отношение рычажной связи, формируемой виртуальным рычагом первого рода (г2 = 0, 0 = 0). Если принять г1 = 0, 0 = 0, то получим:

h2 =

У

Z 2

_ '"2

к I f к-^

В этом случае i2 может интерпретироваться как передаточное отношение виртуального рычага первого рода. Разница объясняется тем, что используются разные пары «вход-выход». В статическом варианте (Q = 0, z1 = const или z2 = const попеременно) передаточное отношение i1 и i2 отражает присущие колебательным системам рычажные связи.

В случаях действия гармонических

кинематических возмущений передаточное отношение рычажной связи, определяемое из (1), будет зависеть от частоты возмущения (р = уш Ф 0); тогда

hi (Р) =

Q=0, z2=0

h2 ( Р ) =

Q=0, z1=0

yi К

zi mp2 + k} ■ к

yi k2

Z2 mp1 + kx vk2

(3)

(4)

На рис. 4, а, б приведены графики /)(ш) и /2(ш), характерными точками для которых являются частоты резонанса

О кЛ ^ ^л

®20б = "-^ ■

т

Отметим, что при переходе через резонанс и с ростом частоты ш меняется характер связей от рычага первого рода к рычагу второго рода. В данном случае (рис. 4, а-г) графики зависимостей для передаточных отношений рычажных связей совпадают с амплитудно-частотными характеристиками системы при кинематическом возмущении. Важным обстоятельством является то, что передаточное отношение рычажной связи зависит от частоты внешнего кинематического возмущения, а значит, и может ею регулироваться.

При силовом возмущении 0 Ф 0 (г1 = 0, г2 = 0) передаточная функция принимает вид

У 1

О тр

Отметим, что при переходе через резонанс и с ростом частоты ш меняется характер связей от рычага первого рода к

2

к

2

рычагу второго рода. В данном случае (рис. 4, а-г) графики зависимостей для передаточных отношений рычажных связей совпадают с амплитудно-частотными характеристиками системы при кинематическом возмущении. Важным обстоятельством является то, что передаточное отношение рычажной связи зависит от частоты внешнего кинематического возмущения, а значит, и может ею регулироваться.

При силовом возмущении 0 Ф 0 ^ = 0, z2 = 0) передаточная функция принимает вид

У 1

Q тр

/i | + /i 2

(7)

В этом случае могут быть найдены

(рис. 3, а) динамические реакции я в тт. А и В. При этом

\RA\ = \kl-y\ =

K-Q

тр + кг+к2

(5)

Ы=М1=—(6)

1 1 тр + кх+к2

Из (5)-(6) можно найти передаточные отношения рычажных связей при силовых возмущениях, используя соотношения между внешним воздействием и динамической реакцией связи. Таким образом,

к (p ) = г = — zi mp

к

к

mp + к1 +к2 У

:(Р ) = ^ =

+ к + к

к

äЛ

Q

(7)

z 2 тр + кх+к2 Q

к

(8)

mp + кх +к2

Из сравнения (7), (8) и (3), (4) следует, что рычажные связи сохраняются при различных видах воздействий на рычажные «механизмы».

\>2 (Ц к

► Ю

'i(ra)i

<2 (<>\

©

к + к

Рис. 4. Зависимости передаточного отношения рычажных связей: а - входное воздействие г1 Ф 0 = 0, Q = 0); б - входное воздействие Z2 Ф 0 = 0, Q = 0); в - входное воздействие г1 Ф 0; г - г2 Ф 0 с указанием зоны соответствия рычажным связям по типу рычага

I О и второго рода о

первого рода

Ю

со

ob

б

а

к

к + к

Ю

0

Ю

0

в

г

Таким образом, если в системах имеются твердые тела, совершающие угловые колебания, то рычажные связи ассоциируются с использованием геометрических соотношений, характеризующих «метрику» системы. В системах, где элементы совершают поступательное движение, передаточные отношения рычажных связей отображаются отношением параметров жесткости. В обоих случаях передаточные отношения рычажных связей являются безразмерными. Развиваемый подход может быть распространен на механические системы в виде зубчатых передач. Механические колебательные системы, массои-нерционные элементы которых совершают вращательные движения, могут приводиться к эквивалентным расчетным схемам систем, где массоинерционные элементы совершают поступательные движения. Исключение составляют механические системы, в которых парциальные блоки (или системы) реализуют разные виды движения и представляют собой комплекс из твердых тел, совершающих разные виды движений. В этом случае передаточные отношения рычажных связей могут отражать винтовой характер движения, когда между параметрами вращения и поступательного движе-

M, J

Q

ния существует постоянное соотношение. Таким образом, винтовая пара реализует особую форму постоянных соотношений между параметрами движения. Такая рычажная связь также станет зависеть от частоты внешнего кинематического возмущения, но передаточное отношение такой рычажной связи будет иметь размерность угла или длины, что характерно для винтовой пары.

Интерпретация рычажных связей в системах с двумя степенями свободы. Отметим также, что все рассмотренные выше передаточные отношения рычажных связей должны рассматриваться с обязательным учетом сил, приложенных к системе. В случаях действия одновременно нескольких возмущений необходимо определение функциональных отношений между несколькими воздействиями. Рассмотрим механическую систему (рис. 5, а, б) в виде твердого тела с массо-инерционными параметрами М, J на упругих опорах к1 и кг.

Опорные поверхности I и II имеют периодические колебания г^Ц) и гг((). Положение центра тяжести (т. О) определено расстояниями /1 и /г. Внешняя сила пред-

-""""т^ о

ТУо

/// w///

/// w ///

1

Mp2 + к + К

Ф

к111 - к212

i

Jpг + кЦ + кЦ

к111 к212

Рис. 5. Расчетная (а) и структурная (б) схемы системы с твердым телом

I

2

к

2

а

б

ставлена гармоническим силовым воздействием 0, приложенным в т. О.

На рис. 5, а показаны две системы координат: у1, у2 и у0, ф, определяющие малые колебания системы относительно положения статического равновесия. На рис. 5, б представлена структурная схема (или структурная математическая модель) системы в координатах у0, ф. Передаточные

функции системы определяются из структурной схемы на рис. 5, б:

^(/;) = 4 = '//;2+/С|/|2+/С2/' , (9)

Q

А

где

являет-

W2(p) = t = Jpl+k^+k^ , (10)

Q А>

A ={Mp2 + kx + k2 )х

х {Jp2 + k/2 + k2/2) - {klll - k2l2)

ся характеристическим уравнением. Из выражений (9), (10) можно найти передаточное отношение, характеризующее рычажные связи между координатами движения

Ф и %■■

Ф _ (А-,/, - А',/,)2

у0 Jpz+kJ;+k.J; При p ^ 0 найдем, что

h0 ( Р )

/

kj — kh V ki f k2hl2 J

(kili — k2l2 )2

kili2 + k2l2 \

i l

(11)

где ¡1 = /2 / 11 - передаточное отношение.

Из (11) следует, что размерность /0(р) соответствует обратной величине единицы длины (м"1). Отметим, что в данном случае ф и у0 связаны между собой как элементы винтовой пары. При повороте элемента винтовой пары на угол ф происходит поступательное движение на определенную величину (шаг). Передаточное отношение (11) может иметь положительное и отрицательное значения, что соответствует, если использовать аналогию «винт - гайка», правой и левой резьбе.

Таким образом, в статическом ре-

жиме передаточное отношение (11) отражает свойства специфичного рычага, физическая форма которого реализуется в виде винтовой пары. Если в предшествующих рассмотрениях фигурировали представления о рычагах первого и второго родов, то в данном случае виртуальный рычаг приобретает форму винтового механизма.

При действии гармонической силы передаточное отношение рычажной связи /0(р) зависит от частоты ш; при этом на частоте

о кл1л ^

С -^

2°б. J

происходит резонанс, и при дальнейшем увеличении частоты передаточное отношение изменит свой знак, что характерно для систем с другими видами движения. Изменение знака /0(р) соответствует переходу виртуального «винтового» рычага (условно) с «левой» резьбы на «правую». Более подробно вопросы динамических взаимодействий рассмотрены в [16].

Приведенные соображения о формах и свойствах рычажных связей, проявляющихся в механических колебательных системах, можно рассматривать как некоторую научную концепцию построения и разработки новых принципов управления динамическим состоянием систем, в которых возможности настройки будут не только определяться параметрами системы как таковыми, но еще и обладать адаптационными свойствами при учете частоты внешнего воздействия и особенностей его вида.

Отметим, что в механике уже используются понятия силового и кинематического винтов; известны работы по винтовому исчислению [17, 18].

Заключение

Рычажные связи, проявления которых характерны для рычажных механизмов первого и второго родов, играют существенную роль в динамических взаимодействиях элементов механических колебательных систем, в том числе и систем вибрационной защиты.

Показано, что проявление рычажных связей характерно для элементов в виде твердых тел, имеющих конечные размеры

и совершающих угловые движения. Рычажные связи определяются геометрическими параметрами взаимного расположения точек крепления элементов системы с массо-инерционными телами и опорными поверхностями.

При совершении поступательных колебательных движений в системах с одной степенью свободы также возникают рычажные связи, передаточные отношения которых определяются через отношение коэффициентов жесткостей упругих элементов в статике. При гармонических воздействиях передаточные отношения определяются коэффициентами динамических жесткостей. При этом передаточные отношения рычажных связей становятся зависимыми от частоты гармонической силы.

Библиогра

1. Махутов Н.А., Абросимов Н.В., Гаденин М.М. Обеспечение безопасности - приоритетное направление в области фундаментальных прикладных исследований // Экономические и социальные перемены: факты, тенденции, прогноз. 2013. № 3 (27). С. 46-71.

2. Безопасность России. Тематический блок «Безопасность железнодорожного транспорта». Безопасность железнодорожного транспорта в условиях Сибири и Севера / научн. рук. член-корр. РАН Н.А. Махутов. М.: Знание, 2014. 856 с.

3. Вершинский С.В., Данилов В.И., Хусиддов В.Д. Динамика вагона. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Транспорт, 1991. 860 с.

4. Хохлов А.А. Динамика сложных механических систем. М.: МИИТ, 2002. 172 с.

5. Хоменко А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2000. 293 с.

6. Виртуальный рычажный механизм: динамическое гашение колебаний как форма проявления рычажных связей / А.П. Хоменко [и др.] // Известия Транссиба. № 4 (20). С. 61-71.

7. Конструктивно-технические формы использования рычажных связей в задачах динамики подвесок транспортных средств / С.В. Елисеев [и др.] // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. № 5-2. С. 14-23.

8. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем: монография. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.

9. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2012. 288 с.

Зависимость передаточного отношения от частоты отражает свойства рычажных связей в формировании взаимодействий между элементами механических колебательных систем.

Формы взаимодействия зависят от выбора систем координат, а также от форм парциальных систем и их связей. При взаимодействиях парциальных систем поступательного и углового движений возможны проявления винтового рычага как некоторого обобщенного представления о сочетании двух видов движения. Учет рычажных связей предопределяет пространственные представления о формах динамических взаимодействий элементов механических колебательных систем.

Статья поступила 13.10.2015 г.

чий список

10. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск: Наука, 2014. 357 с.

11. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Операторные методы. Оценка свойств колебательных систем // Информационные и математические технологии в науке и управлении: Труды XIX Байкальской Всерос. конф. (Иркутск - Байкал, 28 июня - 07 июля 2014 г.). Иркутск: Изд-во ИСЭМ СО РАН, 2014. С. 146-155.

12. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. 2-е изд., испр. и доп. Минск: Дизайн ПРО, 2004. 640 с.

13. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения / С.В. Елисеев [и др.] // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 4 (36). С. 61-70.

14. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов: монография / С.В. Елисеев [и др.]. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.

15. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб.: Политехника, 2013. 363 с.

16. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / С.В. Елисеев [и др.]. Иркутск: ИрГУПС, 2009. 159 с.

17. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: в 2 т. Т. 2.: Динамика. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1983. 640 с.

18. Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965. 200 с.