CC BY
13
УДК 62.752, 621:534.833; 888.6 Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел./факс 8(3952)63-83-11, е-mail: [email protected] Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор,
Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)638-326, е-mail: [email protected]
РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ В МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ: ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
A. P. Khomenko, S. V. Eliseev
LEVER TIES IN MECHANICAL CHAINS: DYNAMIC EFFECTS
Аннотация. Предлагается метод построения структурных математических моделей систем с рычажными механизмами. Метод основан на использовании динамических аналогий в системах различного назначения, в том числе и автоматического управления, для которых характерны колебания относительно стационарного состояния. Рассматриваемая система состоит из массоинерционных и упругих элементов, соединенных между собой рычагами второго рода. Получены передаточные функции системы при силовых и кинематических внешних возмущениях.
Показано, что при вибрациях опорных поверхностей в системе возможно возникновение режимов взаимодействия элементов, при которых внешнее воздействие кинематического типа зануляется на определенной частоте, не совпадающей с частотами динамического гашения колебаний.
Показаны возможности определения частот собственных колебаний на основе использования характеристического уравнения. Приводится детализированная методика преобразования характеристического уравнения, построенная на приведении всех действующих в системе силовых факторов к выбранному массоинерционному элементу. Сформулированы понятия о квазипружине, отражающие упругие свойства структурных образований элементов системы в зависимости от частоты возмущения.
Получены аналитические соотношения для оценки динамических свойств механической колебательной системы в зависимости от параметров рычажных взаимодействий.
Ключевые слова: рычажные связи, передаточные функции, динамическая жесткость, квазипружины.
Abstract. A method for constructing of structural mathematical models of systems with lever mechanisms is offered. The method is based on the use of dynamical analogies in systems for various applications, including automatic control, which are characterized by oscillations relative to the stationary state. The considered system consists of mass-inertial and elastic elements, connected among themselves by levers of the second kind. The transfer functions of the system with power and kinematic external perturbations are obtained.
It is shown that with the vibrations of the bearing surfaces the system may experience regimes of interaction of the elements, such that the external effect of kinematic type vanishes at a certain frequency, which does not coincide with the frequencies of dynamic damping of natural oscillations.
The possibilities of determining the frequency of natural oscillations on the basis of characteristic equation are shown. The detailed method of converting the characteristic equation is provided, constructed on the reduction of all power factors existing in the system to the selected mass-inertial element. The concepts about quasi-spring reflecting the elastic properties of the structural formations of the elements of the system depending on the frequencies of disturbance are formulated.
Analytical relations of dynamic properties of mechanical oscillatory system depending on the parameters of lever interactions are obtained.
Keywords: lever ties, transfer functions, dynamical stiffness, quasi-spring.
Введение
Задачи динамики машин достаточно разнообразны, и их решение создает условия для формирования определенного базиса в обеспечении надежности и безопасности эксплуатации технических систем [1, 2]. Работа технологических и транспортных машин сопровождается во многих случаях интенсивными нагрузками, которые проявляются в формах вибрационных взаимодействий элементов механических систем [3, 4]. Расчетные схемы технических объектов на предварительных стадиях оценки функциональных свойств и динамического качества машин чаще всего выбираются в виде механических колебательных систем, что нашло отражение в работах по методам математического моделирования технических систем [5, 6]. Особенности работы технических объектов в ре-
жимах динамического нагружения деталей, узлов и агрегатов машин предопределяют специфику в построении математических моделей, которые чаще всего приобретают форму обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что отражает представления о возможностях и физических аспектах моделирования, соотносимых с механическими колебательными системами, элементы которых обладают сосредоточенными параметрами. Функциональное многообразие систем, обеспечивающих работу технических объектов, расширяет представления о динамических свойствах технических объектов, в составе которых используются разнообразные механизмы и устройства различной физической природы.
Механика
В последние годы наметился определенный интерес к методам исследования объектов машиностроения на основе применения теории цепей, теории автоматического управления и системного анализа [7-13]. Элементная база механических колебательных систем, состоящая из массоинер-ционных и упруго-диссипативных звеньев, претерпевает изменения в направлениях расширения набора типовых элементов и введения в структуры систем механизмов и устройств, обладающих более широким набором динамических свойств [14, 15]. Посуществу, многие задачи динамики машин, в том числе задачи вибрационной защиты, если рассматриваются системы с несколькими степенями свободы, могут приводиться к структурам или механическим цепям, особенности построения которых требуют развития специфичных методов математического моделирования.
В предлагаемой статье рассматриваются возможности структурного математического моделирования в задачах динамического взаимодействия элементов механических систем с несколькими степенями свободы при наличии рычажных связей между элементами системы цепного типа.
Общие положения.
Постановка задачи исследования
Рассматривается механическая колебательная система, в составе которой используются три рычажных механизма (рис. 1). Каждый из рычажных элементов в виде рычага второго рода имеет точку вращения (т. О\, О2, Оз), связанную с опорной поверхностью I. Массоинерционные элементы
(материальные точки с массами Щ, ш[;
т2, ш'2; щ , ш'ъ) закреплены на концах рычагов, и
их положение определяется длинами 1Х +16
(рис. 1). Массоинерционные элементы соединены между собой пружинами с жесткостями к2, кз; крайние массоинерционные элементы т\ и тз через пружины к\ и к4 соединены с опорной поверх-
ностью I. Полагается, что система (рис. 1) обладает линейными свойствами и совершает малые колебания относительно положения статического равновесия при отсутствии сил сопротивления. В качестве внешних возмущений рассматриваются гармонические внешние воздействия Q\, 02, 0з, которые прикладываются соответственно к массо-инерционным элементам т\, т2, тз, а также кинематические возмущения г(1), формируемые движением опорной поверхности I.
При построении дифференциальных уравнений движения системы используются уравнение Лагранжа второго рода, преобразования Лапласа и технологии построения структурных математических моделей, изложенные в [Ю- \4].
Движение системы рассматривается в координатах у\, у2, уз, связанных с неподвижным базисом. Примем для дальнейших выкладок следующие соотношения
! 14 '
Ь = у, У1 = У1 • ^ ч =у> У2 = У2 •
11 13
-к ■ *3 1 , Уъ Уъ •
(\)
Задача исследования заключается в развитии метода построения структурных математических моделей механических колебательных систем с рычажными механизмами и связями при действии внешних возмущений различной природы. Построение структурных математических моделей и оценка динамических свойств систем при силовых возмущениях
Запишем выражения для кинематической и потенциальной энергий:
Т =1щ у2 +1 щ'( у1)2 +1Щ2у 22 +
2
2
2
'\2
1 1 /• 1\2 1 • 2 1 1/•1\
+ ~ Щ2 (у 2 ) +~ Щ3 Уз+~ Щ3(уъ)
(2)
61
4У3 к
1
,///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Рис. 1. Принципиальная схема механической колебательной системы с тремя степенями свободы
и рычажными связями
т
ШМШгиа
Т а б л и ц а 1
011 012 013
(т + т;/2) р2 + к + — к2'1 0
021 022 023
— к2'1 (т2 + т'2г 2 ) р2 + к2 + к3 / 2 — кз/2/з
031 032 033
0 — кз'2'з (т + т2' 2 ) р2 + к4 + к3 / 2
61 62 6з
Примечание: б, 62, & - обобщенные силы, приложенные соответственно к массоинерционным
элементам т\, m2, т3; р = - комплексная переменная (у = значок <—) соответствует изображению
переменной по Лапласу [10, 11].
П =1 к у12 +1 к 2( у; — у 2)2 +
+ 1Ь 3( у 2 — уз )2 + 1Ь 4 у2-
(3)
Перепишем (2), (3) с учетом обозначений (1): Т = 1 у12 (^1 + т'2 ) + 1 у 22 (да2 + ) + 1
+ ^ .у з2(даз + т;/з2),
1 2 1 2
п = " Ь1У1 +~ к2 (ул — у2) +
+ 1к3 (у2/2 — уз'з)2 + 1к4уз *
(4)
У1 =
У2 =
уз где
&1(а22 азз а2заз2) + 02(а1заз2 азза12) + + бз(а12а2з — а1за22)
Л
61(а2заз1 — а21азз) + 62(а11азз — а1заз1) +
+ 6з(а1за21 а11а2з )
Л
б1(а21аз2 — а22 аз1) + б2(а12аз1 а11аз2 ) +
+ бз(а11а22 — а12а21)
(5)
А
После проведения соответствующих выкладок в табл. 1 приводятся коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1, У2, Уз в операторной форме.
1. Система рассматривается при силовом
возмущении от внешних гармонических сил б,
&, ёз.
В этом случае между параметрами системы можно в операторной форме записать следующие соотношения:
А
аз\а22 + 2а12а21аз1
(6)
(7)
(8)
(9)
является частотным характеристическим уравнением системы.
Структурная схема системы приведена на рис. 2.
Структурная математическая модель исходной механической системы состоит из трех парциальных блоков. Парциальные частоты в данном случае определяются выражениями
2 _ к1 + Ь2/1
п =
12 т + Ш;1!
(10)
Ь2/1
(т+т/2 )р2 + ь + к^2
1
кз/2/з
(т2 + тЗ''2 )р2 + к + к ''г
1
(т3 + т'; / 32) р2 + к4 + к 'з2
бз
кз/2/з
Рис. 2. Структурная схема системы с тремя степенями свободы в координатах у1, уг, уз с рьиажными связями
2
2
= а11а22азз а12азз а2за11
1
1
Механика
А». Д»
Рис. 3. Графики зависимостей (ш) и А» (ш) для определения частот собственных колебаний систем
по характеристическому уравнению (15)
П2 =
П, =
к2 + к3?2 Щ + Щ ' 2 к ^ + к^ / ^ Щ + Щ3/32
(\\)
(\2)
^ ( р) = = а22 а33 а23
1(Р) а А
(\з)
Из числителя (13) можно получить частотное уравнение
(«2 + «2*2 ) Р + к2 + къг2
(щ + «3'з)Р2
+ к4 + ^732
- (к3/2/3)2 = 0. (!4)
Решение (14) определяет частоты динамического гашения колебаний: ш1дин и ш2дин , при которых движение по координате У «обнуляется».
Из выражения (13) для передаточной функции системы при силовом возмущении по координате У1 может быть определена динамическая жесткость системы
А01( Р) = а11
а
или в развернутой форме:
(\5)
А01 (ш) = -(Щ + Щ'1 )ш + к + к212 -[-(щ + Щ 'з2)ш2 + к4 + к3/32 ](к2^ )2
а 22 а33 а 23
(\6)
Из (10)-(12) следует, что парциальные частоты зависят от параметров локальных рычажных связей /\, ¡2, /з, которые формируют приведенные массоинерционные и жесткостные характеристики.
2. Из выражения (6) можно определить передаточную функцию при силовом воздействии 6 ^ 0 (6 = 0, 6 = 0, я = 0), которая принимает вид
Обозначим ап = О'01 (ш), а также примем, что
[-(щ3 + «^Щ2 + к 4 + ^ А01(ш) =-—-, (17)
а22а33 а23
где а22, азз, 02з определяются в табл. \
С учетом обозначения ап = А01(ш) и Д>1 (ш), определяемого выражением (17), запишем, что
Д^ш) = А01(ю) - Д». (17')
Если д (ш) = 0 и имеется нулевая динамическая жесткость системы, то можно определить частоту внешней силы, при которой это явление происходит. Такие частоты соответствуют режиму резонанса. Решение уравнения (16) может быть получено графоаналитическим методом. Графики зависимостей (ш) и А'' (ш) для определения
частот собственных колебаний системы приведены на рис. 3.
Точки (1), (2), (3) пересечения графиков А01(ш) и А"1(ш) определяют частоты собственных колебаний ш1соб, ш 2соб и ш3соб . В этих точках
динамическая жесткость системы при действии силы 0\ будет равна нулю. Таким образом, резонанс может рассматриваться и с таких позиций, как явление отсутствия динамического сопротивления при движении массоинерционного элемента
2
2
а33а21
2
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
циальных связей
^2з( р) =
^'(р) = = а22азз а2з
т1, к которому приложена внешняя сила Ql, поэтому амплитуда колебаний по координате (в данном случае у1) может достигать бесконечно больших значений.
Точка (4) (рис. 3) является пересечением графика ДЗ^Ш) с осью абсцисс ю , что соответствует значению парциальной частоты П1 (выражение (10)).
Структурное образование Д"1(ю), определяемое выражением (17), можно рассматривать как квазипружину, жесткость которой зависит от частоты ю и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
3. Динамическая жесткость квазипружины Д22 (ю) может принимать бесконечно большие значения, что соответствует режимам динамического гашения колебаний, когда у1 = 0, несмотря на приложенное усилие Ql. Частоты динамического гашения колебаний Ш 1дин и Ш 2дин определяются
из уравнения (14); расположение таких точек показано на рис. 3.
При выполнении условия Д'т (ю) = 0, то
есть на частоте собственных колебаний парциальной системы 011, проявляется эффект «обнуления» динамической жесткости структурного образования в виде парциальной системы. На этой частоте реализуется локальное совместное движение по координатам у2, уз, характеристики которого можно определить из передаточной функции межпар-
(18)
При «обнулении» динамической жесткости квазипружины Д'З (ю) определяется частота ю5
(точка (5) на рис. 3). На этой частоте параметры движения системы определяются параметрами системы с одной степенью свободы 011, на которую действует сила & .
Отметим также, что динамическая жесткость ДЗ (ю) квазипружины достигает бесконечно больших значений при частотах, соответствующих режимам динамического гашения, определяемым из передаточной функции
было показано, позволяет развернуть «пространственную метрику» системы, возможности организации и передачи движений по механической цепи, имеющей конкретные геометрические размеры.
Механическая цепь с рычажными связями при всех ее особенностях аналогична механической цепной системе обычного вида, например, с поступательным типом движения элементов парциальных систем. Однако во всех рассматриваемых случаях имеется в виду, что силовое возмущение реализуется сосредоточенными силами, приложенными к массоинерционным элементам.
Кинематическое возмущение
в системах с тремя степенями свободы
с рычажными связями
При кинематическом возмущении системы предполагается, что опорная поверхность одновременно формирует воздействие через перемещение по всем парциальным системам (при этом Ql = 0, Q2 = 0, Qз = 0).
1. Можно полагать, что при кинематическом возмущении каждый из рычажных механизмов совершает угловое вращательное движение (оно считается относительным), характеризуемое углами поворота ф), ф2, ф3.
При этом движение опорной поверхности создает переносное движение для каждого массо-инерционного элемента системы. При определении кинематической энергии системы используются значения скоростей материальных точек в абсолютном движении, что может быть реализовано суммированием относительных и переносных форм движения.
Скорость массоинерционного элемента т1 в абсолютном движении определяется суммированием в двух движениях
у = /1Ф1 + 2 . (20)
Угол поворота рычага может быть найден из
соотношения
Ф1 =
У1 — 2 /
(21)
Учитывая рычажную связь, через передаточное отношение
. /
/1
(21')
. (19)
й А
Аналогичным образом могут быть произведены оценки динамических взаимодействий по другим координатам и соответствующим силовым воздействиям. Введение рычажных связей, как
можно записать выражение для абсолютной скорости движения элемента т; (учитывая особенности рычага второго рода):
у; = — М + 2/1 + 2 = — М + (/1 +1) 2. (22)
Аналогичным образом для второго блока системы получим
а2заз1 а21азз
'1 =
Механика
z — y
y2 = z — Ф2l3, ф2 =—, y2 = — y2i2 + (/2 +1)z, (23)
где
(23')
В свою очередь, для координаты уз имеем:
У? - г
у3 = г + ф3/6, фз = —-, у3 = -.У3/3 + Оз +1)г, (24)
где
(24')
2. Кинетическую и потенциальную энергии системы можно представить в виде
т =1 т1у2 +1 т;(у1)2 +1 да2 у 22 +
(25)
(26)
1 г /-' г \ 2 1 «2 1 г /-' г \ 2
+ ~ т2(У 2 ) + " т3 .У 3 +- т3(У 3) ,
п = 1 ^1(ф1/1)2 +1 *2( у1 - У2)2 +
+ 1 к3(у2 - У3)2 + 1 к4(ф3/б)2.
С учетом (21'), (23'), (24') выражения (25) (26) можно записать в форме
Т = 1 т^2 +1 т([-у^ + (/! +1) ¿1 ]2 +
1 -2 1 г г - ■ /■ ■ 1\ . п2
+ — т2 у 2 +—т2[-.у 2 г2 + (ч +1) ¿] +
+1 m3y32 +1 m3 [—у3 i3 + (i3 +1) z]2, (27)
1
2
2
нений Лагранжа построить математическую модель в виде системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В табл. 2 приведены коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1, У2, уз, определяемых выражениями (21), (23), (24).
Данные из табл. 2 могут быть использованы для построения структурной схемы системы при кинематическом возмущении. В рассмотренном случае движение основания определяет одновременные воздействия на все входы парциальных систем. При этом все силы связаны с г и поэтому передаточным функциям можно придать компактную форму. Естественно, что движение по каждой из координат реализуется по принципу суперпозиции [16].
Особенности кинематических внешних возмущений в механических системах с рычажными механизмами Из сравнения коэффициентов математических моделей исходной системы при двух видах внешних периодических возмущений следует, что динамические взаимодействия в системах, в определенном смысле, не меняются, то есть дифференциальный оператор остается одним и тем же.
Вместе с тем отличия в структурных схемах достаточно существенны. В частности, это связано с тем, что при общем кинематическом возмущении задействуются входы по всем трем парциальным системам. Передаточные функции системы при входном воздействии г и выходах в виде движений по координатам у1, у2, уз могут быть получены в виде:
01 (а22а33 - а23а32) + 02(а13а32 -
1,1 , П = -Ш — z) +-Ъг[—ух\ + z(1 + ix)—У2] +
1
+ - К [—y2i2 + z(1 + i2 ) + yi — z(1 + i3 )] +
+1 К4( Уз — z)2. Используя (27), (28), можно на основе урав-
22 33
w" ^р) = У = — a33a12) + Q3 (a12a23 — a13a22) Z A0
Q1 (a23a31 — a21a33) + Q2(a11a33 —
A
13"32 13a22)
(28)
W2\ p) = ^ =
(29)
(30)
Т а б л и ц а 2
Коэффициенты системы уравнений движения в координатах ух, у2, уз,
au ai2 ai3
(m+m 2 ) p2 + К + k2i2 — k2h 0
a2i a22 a23
— k2h (m + m2i22) p2 + К2 + К3^2 — k3i2i3
a3i a32 a33
0 — k3i2i3 (m + m'2 ) p2 + k4 + kj 3
Q3 Q2 Q3
[m[ ^ (1 + ^ ) p 2 + К + К2г1 (1 + 'i )] ' z [m;/2 (1+/2 ^2 + ^ (/2 — /3)] 'z [m3^ (1 + i3 ) p 2 + k4 ] ' z
3
l
6
5
i3 =
6
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
0[ (а21 аз2 а22аз1) + °2 (а12аз1 Щ"(р) = — а11аз2) + бз(а11а22 — а12а21) (31)
где
Ап
& = т[ц(1 + ')р2 + к + к^(1 + ') , (32)
= т2^ (1 + /2 )р2 + (/2 — г3 ) ,
о; = т2^ (1 + /3) р2 + к4 + кь (1 + ь):
(33)
(34)
А0 - характеристическое частотное уравнение системы, определяемое выражением (9).
Что касается силовых возмущений в виде сосредоточенных сил &, то они приклады-
ваются к выбранным массоинерционным элементам, это может осуществляться выборочно, в отличие от кинематического возмущения, при котором одновременно возмущение действия на все входы парциальных систем.
В соответствии с характеристическим уравнением (9), система имеет три частоты собственных колебаний. При действии силовых возмущений, в зависимости от выбора точек приложения одиночной силы, могут создаваться режимы с одной и двумя частотами динамического гашения. Величины этих частот зависят от структуры упругих связей и массоинерционных параметров элементов системы.
Отметим, что одним из основных положений метода структурного математического моделирования является при построении структурных схем выделение объекта, динамическое состояние которого оценивается или контролируется. Промежуточная часть системы в виде механического колебательного образования между объектом и опорными поверхностями, посуществу, может рассматриваться как некоторый блок из соединенных между собой типовых элементов системы и специально вводимых механизмов и устройств для преобразования движения.
В задачах динамики машин, в том числе и в задачах вибрационной защиты, внешние силы приводятся к выбранному объекту. При этом создаются условия для построения передаточных функций, отражающих динамические связи между одним входом и выходом.
Если в системе действует несколько автономных внешних сил, то используется принцип суперпозиции, что имеет свои трудности в анализе динамических свойств систем.
При рассмотренном выше кинематическом воздействии со стороны вибрирующего основания учитывается одновременное действие по трем входам, но воздействия имеют одну частоту и отличаются только амплитудами колебаний, что, в
конечном итоге, дает возможность получать достаточно компактные решения.
При анализе форм одновременно реализуемых кинематических воздействий, в соответствии с табл. 2, при определенных частотах внешние воздействия «обнуляются».
1. Так, например, по координате у1 такая частота, при которой входное воздействие блокируется, определяется выражением
2 _ к1 + к2/'1 (1 + /1)
(35)
10 Г . .4
тх / (1 + / )
2. Для входного кинематического воздействия по координате у2 частота блокирования
определяется как
2 кз'2 (/2 'з)
ю2о = '
'•л • ч . (36) т2'2(1 + '2)
3. При действии кинематического возмущения по координате уз получим
2 к ^ + къц (1 + ^ ) юзо =
'■„ л (37)
т31Ъ (1 + гъ)
Условие «обнуления» кинематических возмущений для частичной или полной отстройки от возмущений со стороны основания или опорной поверхности можно получить, принимая значения к2 ^ 0, к ^ 0, к4 = 0 . В этом случае структурная схема на рис. 3 редуцируется к системе с одной степенью свободы с рычажными связями сложной структуры. Детализированные представления о возможностях преобразования структурных математических моделей механических систем с несколькими степенями свободы приводятся в работах [13, 17, 18].
Возможности представления механических колебательных систем с рычажными связями Если при силовом возмущении сила Ql приложена к объекту т1, то передаточная функция системы имеет вид
щ '( р)=£=
1
(т + т'2) р2 + к + к 2* 2 —
[(т + т2'з2) р2 + к4 + к'з2]( к' )2
(38)
а22азз а2з
Динамическая жесткость системы в целом может быть получена путем инверсии (38):
Д (р) = (т + т'2) р2 + к + к'2 —
[(т + т'^1) р2 + к4 + к](к' )2
(тз + тз'з2) р
+ к4 + кз'з
тз + р
+ к4 + к'з
(39)
С^з'^'з)
2
0,
©
////п////////////////////////////////)>
Рис. 4. Принципиальная схема системы (по рис. 1) в операторной форме:
1 - массоинерционный элемент массой щ + тх¡х - объект защиты; 2 - упругий элемент с жесткостью кг, 3 - упругий элемент с приведенной жесткостью, формируемой рычагом п; 4 - квазипружина с динамической жесткостью как элемент, образованный соединениями нескольких элементов а) принципиальная схема детализированного типа с параметрами из таблицы 2; б) обобщенная схема
Если принять, что
Д (р) = (щ + т^2) р2 + к + к21?,
Д( р) = -
а33 (к4\)
(40)
(41)
где а22, азз, а2з определяются из табл. 2, то принципиальная схема МКС в операторной форме принимает вид, как показано на рис. 4.
Таким образом, используя характеристическое уравнение, можно построить принципиальную схему системы, отражающую влияние рычажных связей. При этом система приводится к некоторой приведенной схеме, в которой объект т1 представлен базовым массоинерционным звеном (ш1). Этот элемент опирается на упругие элементы различной сложности, но все эти элементы при входном воздействии в виде смещения на выходе формируют усилия. Передаточные функции составных элементов будут соответствовать по своей физической сущности упругим элементам с динамическими жесткостями, в общем случае зависящим от частоты воздействия.
1. Обычная пружина является элементарным типовым звеном структуры. Передаточная функция такого звена соответствует величине жесткости к и не зависит от частоты.
2. Звено к^^ отражает упругие свойства взаимодействия элементов системы с использованием рычажных связей. к2/1 - жесткость, приведенная к т1.
3. Звено с передаточной функцией т[&2 в физическом смысле определяет действие инерционной силы, приведенной к т1 при использовании рычажной связи. Передаточная функция такого элемента зависит от частоты. Такое звено может рассматриваться как квазипружина на уровне ти-
повых элементов. Жесткость такой элементарной квазипружины будет отрицательной. Кроме простых квазипружин в системе можно выделить более сложные образования, передаточная функция которых определяется дробно-рациональным выражением. Динамическая жесткость в таких квазипружинах может быть нулевой, а также принимать положительные и отрицательные значения.
4. Квазипружины различной сложности подчиняются правилам последовательного и параллельного соединения пружины. Отрицательной особенностью подхода является то обстоятельство, что передаточные функции не имеют мнимых частей. Проблема возникает при учете сил сопротивления. В этом случае во внимание необходимо принимать сдвиг по фазе между входным и выходным сигналами. При этом фаза зависит от частоты. Учет влияния сил трения и сил квазисопротивления имеет свои особенности, требующие отдельного рассмотрения.
Заключение
Рычажные механизмы в структурах механических колебательных системах создают условия для реализации форм передачи движений и динамических взаимодействий. Динамические свойства систем могут оцениваться на основе использования передаточных функций, учитывающих различные виды внешних воздействий.
Предлагается метод построения структурных математических моделей, основанный на динамических аналогиях управления динамическим состоянием объектов в движениях относительного положения устойчивого равновесия, что характерно, в частности, для систем автоматического управления.
Показаны возможности построения математических моделей при силовых и кинематических
2
а22а33 а23
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
воздействиях на примере рычажной системы с тремя степенями свободы.
При кинематических воздействиях обнаружены свойства блокирования каналов внешних воздействий по отдельным входам. При определенных условиях и соотношениях параметров возможны режимы полной изоляции по всем координатам или их комбинациям.
Обоснованы подходы к представлению структур с помощью квазипружин, как определенных образований из типовых элементов и механизмов, обладающих динамической жесткостью, зависящей от частоты воздействий. Предложено различать динамические жесткости системы в целом, ее отдельных частей и отдельных элементов. Зависимость динамической жесткости квазипружины от частоты предопределяет возможности проявления отрицательных ее значений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Современные тенденции развития научных исследований по проблемам машиноведения и машиностроения / А.Н. Махутов, В.П. Петров,
B.И. Куксова, Г.В. Москвитин // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2008. № 3.
C. 16-37.
2. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск : Наука, 2016. 459 с.
3. Елисеев С.В., Трофимов А.Н., Большаков Р.С. Вибрации и динамика машин: расчетные схемы, структуры и математические модели // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. Ч. I. 2004. № 2 (20). С. 48-60.
4. Проблемы и направления развития динамики машин: способы и средства вибрационной защиты // Деп. в ВИНИТИ 02.12.2013, № 345 В. 2003.
5. Лонцих П.А., Елисеев С.В. Динамическое качество машин и оборудования как инструмент обеспечения надежности производства и конкурентоспособности процессов. Иркутск : Наука, 2014. 322 с.
6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М. : Физматлит, 2005. 320 с.
7. Бакалов А.Н. Теория цепей. М. : Наука, 2006. 657 с.
8. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами. М. : Мир, 1978. 283 с.
9. Eliseev S. V., Lukyanov A. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Dynamics of Mechanical System with Additional Ties. Irkutsk : Irkutsk State University, 2006. 315 p.
10. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко, А. А. Засядко. Иркутск : Изд-во ИГУ. 2008. 523 с.
11. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 384 с.
12.Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных колебательных систем. Иркутск : ИрГУПС. 2012. 288 с.
13. Елисеев С. В., Хоменко А. П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск : Наука, 2014. 357 с.
14. Механизмы в упругих колебательных системах: особенности учета динамических свойств, задача вибрационной защиты машин, приборов и оборудования / Хоменко А. П., Елисеев С. В., Артюнин А. И. Деп. в ВИНИТИ. 15.08.2013, №13 243 В 2013.
15. Елисеев С.В., Кинаш Е.Ж., Каимов Е.В. Рычажные связи механических колебательных систем // Вестник ВНИПКЭ. 2015. № 2 (69). С. 112-126.
16. Ким Д.П. Теория автоматического управления. В 2 т. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т. 1: Линейные системы. 288 с.
17. Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Сочленения звеньев в динамике механических колебательных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 156 с.
18. Структурные математические модели в задачах динамики механических колебательных систем / Хоменко А. П., Елисеев С. В., Артюнин А. И. и др. Деп. в ВИНИТИ 30.03.2015, № 62 В 2015.
