Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621: 534; 833 Елисеев Сергей Викторович,

д-р техн. наук, профессор, директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, тел.: 8(3952)59-84-28

Хоменко Андрей Павлович, д-р техн. наук, профессор, ректор ИрГУПС, тел.: 8(3952)63-83-11

ТРАНСПОРТНЫЕ ПОДВЕСКИ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ВЫБОР СИСТЕМ КООРДИНАТ

S. V. Eliseev, A.P. Khomenko

TRANSPORT VIBROPROTECTION SYSTEMS. MATHEMATICAL MODELS.SELECTION OF SYSTEMS OF COORDINATES

Аннотация. Рассматриваются возможные подходы к построению подвесок транспортных систем при учете различных форм соединения элементов. Предлагается технология выбора систем обобщенных координат, позволяющих формировать сочленения звеньев. Рассматриваются формы соединения упругих и диссипативных элементов.

Ключевые слова: виброзащитные системы, последовательное соединение упругих и дис-сипативных звеньев, математические модели механических систем с сочленениями.

Abstract. Possible approaches of building of transport vibroprotection system with accounting of various forms elements junction are considered. Approaches of selection of systems of coordinates which give help for coupling links are offered. The various form of junctions of elastic and dempfer elements are considered.

Keywords: vibroprotection system, consistent junction of elastic and dempfer links, mathematical models with coupling of links.

Введение

В динамике транспортных систем широкое распространение получили пассивные подвески с расширенным набором звеньев [1, 2, 3]. Однако рычажные связи и их возможности еще не получили должного освещения, хотя разработки в этом направлении ведутся достаточно интенсивно. Используемые в практике релаксационные подвески имеют ряд характерных особенностей последовательного соединения «демпфер - упругий элемент». В расчет принимаются и такие детали как место расположения элемента в последовательной цепи соединения. На рис. 1 приведена расчетная схема подвески: k0 - жесткость основной пружи-

ны; М - масса объекта защиты; Ьр - демпфирующий элемент (Ь - коэффициент вязкого трения); к - коэффициент жесткости пружины в релаксационной цепочке, р = — переменная Лапласа.

4-

m

i

y

bp

k

-7-7-7-7-7

Рис. 1. Расчетная схема подвески с релаксационной цепочкой

Движение объекта защиты т при кинематическом возмущении определяется координатой у в условно неподвижной системе координат. Как было показано в работе [1], эквивалентная (или приведенная) жесткость двух последовательных типовых элементов (Ьр - дифференцирующее звено первого порядка, к - усилительное звено), определяется по формуле

Ьр ■ к

кт — -

(1)

Ьр + к '

Отметим, что очередность последовательного расположения элементов не имеет значения. Приведенная жесткость пружины может быть найдена для схемы на рис. 1 следующим образом:

рЬк _ кк0 + Ьр (к + к0)

k — k^ + k — k^ +

пр U экв U

pb + k

bp + k

-■ (2)

В рассматриваемом случае вместо чисто упругих контактов объект опирается на структуру, представляющую собой некоторую комбинацию трех элементарных звеньев (двух пружин к0 и к , а также дифференцирующего звена - Ьр). При нулевой частоте (р = 0) объект опирается на упругий элемент с жесткостью к0; при р объект «работает» с упругим элементом жесткостью к0 + к. Таким образом, релаксационная цепь позволяет в системе на рис. 1 обычную пружину (к0) превращать в пассивное звено с передаточной функцией апериодического звена общего вида (2). Свойства такого звена достаточно хорошо изучены [6]. Релаксационные подвески такого типа позволяют обеспечивать плавность хода, для которой необходима минимизация амплитуды колебаний. Одним из путей улучшения динамических свойств релаксационных подвесок считается управление демпфированием, что предполагает

отключение демпфера в те моменты времени, когда сила демпфирования препятствует движению объекта к положению равновесия. Такие подходы позволяют контролировать процессы развития колебаний и могут нивелировать резонансные явления. Вместе с тем, физика процесса имеет более сложный характер, так как проявления движения носят интеграционный характер, который, в свою очередь, определяется учетом и других факторов, связанных со спецификой конструктивного исполнения подвески. Примеры конструктивных решений по релаксационным подвескам приведены на рис.2. В дальнейших расчетах предполагается, что центр масс рычагов взаимодействующих звеньев, совпадает с точкой крепления с источником колебаний, а «массы» демпфера Ьр и пружины к2 достаточно малы.

На рис. 3 приведены схемы подвесок, в составе которых используются рычажные связи [3].

б в

Рис. 2. Примеры конструктивного исполнения: а) последовательное соединение с пружиной к2; б) учет упругости демпфера; в) упругодемпфирующая листовая рессора

Рис. 3. Схемы рычажных релаксационных подвесок: а) механическая; б) гидромеханическая

иркутским государственный университет путей сообщения

1

■ = г

Наличие таких связей, реализуемых рычажными механизмами, позволяет изменять динамические свойства подвесок, создавать эффекты динамического гашения и запирания на высоких частотах.

I. Постановка задачи. Построение математической модели

Расчетная схема транспортной подвески в общем виде приведена на рис. 4 и представляет собой систему с тремя степенями свободы и рычажным механизмом. Предполагается, что движение рычага не приводит к заметным отклонениям линий действия сил упругих и демпфирующих элементов от вертикали. На рис. 4 принят ряд обозначений: О - центр тяжести объекта; О1 - точка крепления рычага; М, J - массоинерционные параметры объекта защиты; щ, щ, J1 - массоинерционные параметры рычажной подвески; Ц = ОБ1,

Ц = ОВ2, 10 = ОО , ¡2 = ОА, 12= ОВ, 1 = ОА,

^ = ОА;2 - кинематическое возмущение; к?,к? -упругие элементы опирания объекта на основание; Ьр - демпфер; к - жесткость упругого элемента подвески; у, р- обобщенные координаты движения центра масс и вращения вокруг центра масс; у, у2 - координаты движения объекта защиты относительно неподвижной системы отсчета; р -угол поворота рычага в движении относительно основания; х, х2 - координаты относительного движения (к основанию). Запишем ряд вспомогательных соотношений: у = у — Цр, у2 = у + Ь2р,

Л .

рычага р против часовой стрелки за положительное, то относительное положение точек А и А определяется соответственно как 2 — х и х2 — г (рис. 4). Для предварительных расчетов можно полагать, что ^ «I \ и /2 «I "2. Обозначим также расстояния до точек крепления А и В на объекте защиты. Для расчетной схемы на рис. 4 математическая модель может быть получена на основе приемов, изложенных в работе [4].

Рассмотрим движение подвески в системе координат у, р и р и запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий:

1 2 1 2 1 - 2 Т = - Му 2 + - /р2 + - /р,

2

2 2

(3)

П = 1 к2(у — г)2 +1 к?(у2 — I)2 +1 к2(Ув — х2)2. (4)

Функция рассеяния энергии [5] может быть принята в виде:

Ф = ^ Ь( у А — х-)2.

(5)

Введем ряд вспомогательных соотношений:

р =1 т^т1 = с(У2— У1) с = 1

г — х,

2 Ц + Ь2

Ц + Ь2

р =

р =-

1

х2 =р + 4 = г(2—х);

(6)

будем полагать, что

Х2 =р^2, X = У\ — 2 — X = У — 2 — (, (7) х? = у1 — г + (¡1, х2 = у 2 — 2 + ^р.

Тогда (4) можно преобразовать к виду:

П = - к? (у- — г)2 + - к-( у 2 — г)2 +

1 ,

+ -к2(у + 12Р — у2 + г — кф) ■

Так как у2 = у0 + ¡2 р, то (8) запишется как

(8)

1

П = - к?( у, — г)2 + - к-( у 2 — г)2 +

! 2 2 (9)

12 + -к2[((^1 +12) + (г — Ар) ] .

Введем в выражение для потенциальной энергии системы координаты относительного движения упругих элементов:

П = 1 к? (у — I)2 +1 к?( у 2 — I)2 +1 к2(уъ — х2)2, (10)

где ув = уо + х2 = у2 — 2 + р

В свою очередь, функция рассеяния примет

I / / / 7 7 7 7 У~~7 7 7 7 7 7 7 7~7 7"

Рис. 4. Расчетная схема подвески с рычажным механизмом

Отметим, что в схеме (рис. 2) используется рычаг второго рода [3], поэтому относительные скорости точек А и А будут направлены в разные стороны. Если принять направление поворота

вид

Ф = -Ь(уА~х\)\ гд еуА =у0-11ф-х\=у1-г-11 р. (11)

I

(12)

Сделав ряд промежуточных выкладок, запишем уравнения движения системы:

у(М) + у (к \ + к\ ) + р(-кЩ + к"1.2) = к[г + /с2"г;

у(-к\Ц+к \ Ь2) + фУ) + ср[к \ Ц +

+к\ь22 +Ьф(1л-11у +л2(/2-4)2]+

+Фг ФК (А-/,)) + % {-К (/2 -Ь2)) = = -к[Цг + к"1,21 -к2(12 -Ь2 )г;

р{-к212 (/2 - Ь2)) + фх (^ ) + рх (к212 ) = к212г .

Значения коэффициентов уравнений (12) в координатах у, р, р представлены в табл. 1.

Отметим, что в координатах у, р, р система находится под действием кинематического возмущения и не содержит в прямом виде информации о действии переносных сил инерции. Больший интерес представляет система координат, в которой движение объекта рассматривается относительно основания. В таком случае можно ввести координату у0 = у01 + г , тогда у01 - г = у, и затем ввести у во все остальные соотношения.

II. Математическая модель с учетом переносных сил инерции

Представим расчетную схему подвески прицепа (рис. 4) в системе координат, позволяющей в дальнейшем перейти к получению более удобной математической модели. Для этих целей вводится дополнительная степень свободы у01 . На рис. 5 приведена расчетная схема, в которой используется система координат у, у2, у[, у2, а также у0, р, у01, р . Такая система имеет четыре степени свободы. В качестве внешнего воздействия рассматриваются колебания основания. Ос-

тальные обозначения на рис. 5 совпадают с рис. 4 (но введены к01 и к вместо Ьр).

ь м, / \р ^2

1 уо ^^ )

1 \ А 1г О . 1Г О > / 1

г

"7-7-7—7—7-7-7-7—

Рис. 5. Расчетная схема подвески прицепа

г

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий

Т=\му02 л-\зфг +\т1(у[ )2 +\т1(у[)2 +1^,(13)

2

2

2

2

2

1

1

П = - к\ (У1 - г)2 + - к\ (у2 - г)2 +

1

2

1

2

+ - к (Ул - У'1)2 +- к 2 (Ув - У 2) + (14)

+1 к 01( У 01 - 2)2.

Пусть уо 1 = (у о 1) + г; уо = ау1 + ьу2 ; р=с( У 2- У1); уо 1 = а у[+Ь1 У2 ;

р = с1( У'2 -У,1); уа = уо -1 '1 с; Ув = Уо +1\ р;

ь

ь

а = ; Ь = -

Ь 1 ь 1 ь

1

и

; с = -

Ь1 =

/ +12

ь + ь

/ +12

/ +12

(15)

Таблица 1

Значения коэффициентов уравнений (12) в координатах у , р, р

; а =

/

1

с1 =

а11 а12 а13

мр2 + (к;+к[) к ь + к; ь 0

а21 а22 а23

(-ед + к;ь2) /р2 + Ь(ь -1 )2 р+Кь2 + к'Ы + к (4 - ь )2 Ы1 (ь - /1) р - к(4 - ¿2)

а31 а32 а33

0 рЫх (ь -/) - к4 (4 - ь) /р2 + к2/2 2 + Ь/2 р

а 02 03

(к+к; г -Ьр(ь -/) - к'Аг + к'ь2г - к (4 - ь )г к2/2г - Ь/рг

Примечание: 0, 02, - обобщенные силы, соответствующие координатам у, р, р определяются из (12).

иркутским государственный университет путей сообщения

Введем у' = Ум Ь'У'2, y'2 = Ум ^ , а также

ai bi

У01 = ayl+biy2 > у=———=aoУ01 - у, где

ai

i = —, — = a0 • Выразим px через переменную y'0:

k bi

p = Ci(y2 - ^ + Щ где

a a

yi = Уо -hp; У2 = Уо + hp. (16) Определим y[ = a0ym - iy2, тогда:

P = ci (У'2 -a0У01 + iy2 ) = C1[(i + 1)У'2 -a0У01] , (17) и найдем кинетическую энергию

T = ^My2+^Jc2(y2-y)2 +

+^Щ[«оУ(Л -Ay'2ff + + (18)

L i

где i = —, ао =~т • Ii bi

Введем ряд соотношений

а = а +1 \ c , b2 = b -1 \ c, а = а -1 '2 c, b3 = b +12 c; (19)

в окончательном виде, уравнения движения системы примут вид:

у (Мя2 + Je2) + у (Ar \ + к! я,2 + А:, я32) +

+у, (Мой -Jc2) + у, (Ar j оД + к! я, 7 + к, д3й3) + (20) -y(Är j а2 а0) + у '2 (-£ 2 <73) = к \ z; у (Май - Je2) + у (k j а262 + к 2 аъЬъ) + +у2 {Mb2 + Je2) + у2 (к '2+ к 2Ъ2- + к2632) + (21)

+yoi (-k 2 ab) + y '2 (k i b^i - ) = k '2 z;

у (та0- + Jc~a0~) + у (-k j а2а0) + +у2 (-к j а0Ь2) + y01 (ща02 + Jc2a0) +

+У01 ikiao + кт) + У ~ Jc'il + 0] +

+y'2(-kla0i) = kmz; yl(kla2i - к

2 a3) + y2(k1b2i k 2 Ьз) + +Joi[-»V " -Mo0 + 0]" У01 (-kxa(f) + +y'2[ff7j/2 + Jci2(l + 7')2] + y'2(k172 +ÄT2) = 0.

(22)

(23)

необходимые выражения для построения амплитудно-частотных характеристик, однако, в данном случае некоторые динамические свойства могут быть определены и из матрицы коэффициентов. В частности, можно сделать заключение, что система имеет четыре частоты собственных колебаний, а значит и четыре возможных резонансных пика на амплитудно-частотных характеристиках. Между координатами y, y2, y01, y" межкоординатные связи на определенных частотах могут «зануляться», что предполагает возможности двух режимов динамического гашения. Учитывая то обстоятельство, что обобщенные силы оказывают действие по трем координатам y, y2, y01 можно ожидать более сложной картины взаимозависимости движений между парциальными системами. Однако эти замечания имеют лишь предварительный характер, поскольку последующая трансформация обобщенных координат предполагает введение сочленений, уменьшающих общее число степеней свободы.

Для учета возможных сочленений в точках А и Oí необходимо ввести соответствующие координаты, отражающие относительное движение, которое в последующих действиях можно было бы рассматривать как исчезающее малое. Полагая, что y"2= yA - y2, а Уо1 = y^ + z, перепишем выражение для кинетической энергии в виде

Т = há{ay + Ьу2 )2 +Ьс(у2 - у )2 + +^iKVoi -'Ш]2 + + (24)

U>2 (1 + 0 ~ аоУо1 ]2 •

Потенциальная энергия системы в этом случае примет форму

П = 1 k'(y, - z)2 +1 k \(y2 - z)2 + +\ k,( yA - y\)2 +1 k2(yB - y '2 )2 + (25)

1 2

+1 koi(У 01 " z)2-

В табл. 2 представлены коэффициенты уравнений (20)-(23).

Используя координаты из таблицы 2, можно построить систему передаточных функций по отношению к любой из координат у , у , у , у ' от возмущения основания; применяем для этих целей правило Крамера. В этом случае можно получить

Перейдем к системе координат у, у? , у01, у?, в которой выражения для кинетической и потенциальной энергии можно записать в виде

Т = ^m(ya+v2b)2 +^Jc2(y2 -у)2 + +\щ(У[)2 +\т2(У\)2-\jiC2(V2 -у')2,

(26)

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнений в системе координат у, у, у01, у'2

а11 а12 а13 а14

сМа2 + Л?2) р2 + к \ + +к | а + к 2 а^ (МаЬ — Лс2) р2 + к 1 а2Ъ2 + +кха£ + к 2а3Ъ3 к | а^а^ —к 2 а3

а21 а22 а23 а24

(МаЬ — Лс2) р2 + к 1 а2Ъ2 + +к2а3Ь3 (МЪ2 + Лс2) р2 + к2' + +К + К к 2 а^Ъ^ кЪ2/ — к2Ъ3

а31 а32 а33 а34

к | аа к | а (К ^ (ща0 2 + Л? 2а0) р2 + +к 1 ао + к о1 —[таг + Л?2 (1+/)] р2 — —к а/

а41 а42 а43 а44

—к 2 а3 +кхЪ21 — к2Ъ3 —[т+Лса (1+0] — к | ^д/ [Щ12 + Лсх 2(1 + /)2] р2 + +к/2 + к2

02 & 04

01 = к \ г 02 = к '2 г 63 = ко1г 64 = о

Примечание: 0 — - обобщенные силы по координатам у, у2, у01, у2.

П = 1 к\ (У! — 2)2 + 1 к'2(у2 — 2)2 +

1 2

1 1 2 1 (27)

+ 1 к!(У"1)2 + 1 к2 (У"2)2 + 1 к0!(У"01)2,

где Уо1 = у — г, у2 = Уа — у', у2 = Ув — У2; Уа = Уо — 1 \ V, у = Уо1 —, Уа = а2 У1 + Ъ2 У2, У1 = Уо1 —11V,

Ув = Уо +12 V У2 = У01 +12^1, Ув = а2 У1 + Ъ2 у2,

У\ = Уо1 + Ьф? Уо1 = уо1 + г' У1 = Уо —

У 2 = Уо + 12ф-Введем координату у", (пусть ув — у2 = у"), а у2] обозначим через соотношения у01 = у^ + г, ув = а3у + Ъ3у2. Продолжим дальнейшее построение математической модели подвески в системе координат у, у2, у0, у '2. Такая система координат

представляет интерес тем, что позволяет построить модель системы, имеющей сочленение в точке О, то есть в центре тяжести, что упрощает в дальнейшем анализ динамических взаимодействий. Запишем исходные данные для представления выражений для кинетической и потенциаль-

ной энергий. Перейдем к системе координат

I ' "

у, у2, у0, у 2 с намерением ввести у2 = ув — у2. Тогда, делая у2' = ув — у2 ^ о, можно перейти к упрощенной расчетной схеме подвески. Определимся с членами выражения для кинетической энергии:

Т = Т + Т + Т + Т + Т, (28)

где

7 = 1М (ау1 + ЪУ 2 )2 = 1М о У 2о, Т2 = 1За 2(у2 — УУ2)2,

1 2

Т3 =- т1(а0 У 01 — 'У1а3 — # 2Ъ3 — У 22) ,

Т4 = 1У 2 = 10Т2(а3 У + Ъ3 У 2 — У 2);

Т5 =1 /С12[(/ +1)2 аз2 У^ + 2(1 + О2 азЪзУ1У2 +

+ (1+ 02Ъз2У22 + (/ +1)2(У"2)2 +

22

+ 2(/ + 1)а0.У 2 У01 + а0 .У01 — 20' +1) аз.У1 .У 2 —

— 2(1 + 1) 2 ЪзУ' '2 —2а0аз (1 + 0УУ01 — 2а0 (1 + 0ЪзУ2У01 ].

иркутским государственный университет путей сообщения

Примем а (1 +О = а, Ь (1+ О = Ь • Аналогично детализируем выражения для потенциальной энергии:

П = П + П + П + П + П, (29)

где

1 2 1 2

П1 =-к\(Ух -7) ;П2 =-к'2(у2 -7) ;

П з =1 к[У12 а72 + 2а ь7 У1 у 2 + у 22 Ь72 + + У012а02 + 2аогУ01У2 +'2(у2')2 -а7У1а0У01 -

- У2Ь7а0У01 - У1а7'У - У2Ъ7*У2];

П4 =~^к2(у")2;П5 =Ьт(ут -г)2,

при этом а = а + а; Ь = ь+Ь.

Уравнения движения системы в этом случае примут вид

У ДМа2 + /с2 + от^'2 а3 2 + ^^2 +

+ 31с12а62) + У1 (к' 1+к1а72) + У2(МаЬ -

-3с2 + 2а3Ь3 +от2а3Ь3 -от2а3 + 31с12а6Ь6) + (30)

+ У2{к 1а7Ь7) + У01(-ОТ1а0аз -31с12а0аб) +

+ У01(-к1а7а0) + У2(-от1'2а3 -от2а3 -- З1С12 аб (1 + /')) + У 2 (-к а/') = к[ 7;

У (МаЬ - Зс2 + от'+ т2аЬ + З1С аЬ) + + У (каЬ ) + У 2 (МЬ2 + Зс2 + от' 2Ь3 2 + от2Ь3 2 +

+ 31с12Ь62) + У2(к2 +к1Ь72) + У01[-ОТ1а0'Ь3 - 31с1а0Ьб) + + У01(-к1Ь7а0) + У2 (-от/Ь3 - 31с1Ь6 (1 + /)] +

+ у2 (-к а') = к^;

У 1 (-ота а - 3гсг аа) + ^(-к 107 00) + + У2 ( от 1 а^/ - 3гсг а,Ьб) + + У 2 (-к А а ) + У 01 (от^2) +

+ У01(ка02 + к 01) + У2(от1 /а0 + 31с12(1 + + /)а) + У 2 (к а/) = к 017;

У; [-от' 2 а - ота - 31^ 2(1 + ] + + у (-к^7/) + У2 [-от' 2Ь -отЬ -

- 31с12Ьб(1 + /')] + У 2 (-к А') + + У 01[от1/а0 + 31с12(1 + /)а0] + У01 (к1а0?) + + У 2 [от1' 2 +от 2 +31с12(1 + /)] + У2(к2 + к1' 2) =

(31)

(32)

(33)

В табл. 3 приведены соответствующие значения коэффициентов уравнений системы.

Таблица 3

Значения коэффициентов системы уравнений (30)^(33) координатах у, у2, у0, у"

а11 а12 а13 а14

(Ыа2 + Зс2 + ^2 а2 + от2а3 2 + +31с12 а2) р2 + к' + к1а12 (ЫаЬ - Зс2 + щ?2а3Ь3 + +отаЬ + З1С2 аЬ) р2 + +к ^ аЬ~1 (-ща(аз - З1с12а0аб)р2 -к | а7 а0 (-щ/2а - ща - - З^2 аб(а + 2 + -к а'

а21 а22 а23 а24

(ЫаЬ - Зс2 + от?'2аЬ + +отаЬ + З1С2 аЬ) р2+каЬ (ЫЬ2 + Зс2 + т'%2 + +Зс 2Ь6 2) р2 + к + кЬ2 (-та0'Ь3 - З1с2а0Ь6)р2 - -к Ьа (-щ/2Ь3 - щ2Ь3 - З1с2Ь х х(1 + /')) р2 + (-^ а71)

а31 а32 азз аз4

(-ща3ай - З12а0а6)р2 - к 1а7а0 (-ща0Ь3/ - -З1с12а0Ь6)р2 - к 1Ь7а0 (Ща0)2 р2 + ка0 + +к 01 (щ/'а + З1с2 х х(/+1)а) р2+ка4

а41 а42 а43 а44

[-щг2а - та --З1с 2(1+?)а ] р2 - кха? [-щ/ 2Ь3 - т2Ьг --ЗЛ2Ьб(1 +/)]р2 - к Д/ [щ/а + +З1с2 (1+/)а ] р2+к! а' [щ/2 + щ + З1с12 х х(1+/)] р1 + к + к/2)

а 02 0з 04

Ц = 0у2 = к2 - °У0. = к012 0у2 = 0

Примечание: Ц О - обобщенные силы.

У1( Р)

У 2 (Р)

Дальнейшее исследование сводится к тому, чтобы найти передаточные функции

Пз =- ki [ ya + У2Ь7- y - ao yoi]2

W (p) = —=— и W2 (p) = —=—, что можно сде-z z

лать, используя формулы Крамера. Отметим, что изменение системы обобщенных координат приводит к изменению перекрестных связей между парциальными системами. В данном случае между всеми парциальными системами возможно «зану-ление» связей, что может создать условия для снижения динамических взаимодействий в подвеске.

Поскольку используется система с четырьмя степенями свободы и в системе отсутствуют сочленения с основанием, то особенностей в частотных характеристиках, по сравнению с традиционными формами систем, ожидать не следует. Однако, математическая модель дает представление

о возможном спектре динамических свойств подвески в широком диапазоне частот (режимы динамического гашения, частоты собственных колебаний). Дальнейшее исследование может быть продолжено в системе координат, выбор которых предполагает возможность формирования сочленений твердых тел.

III. Влияние выбора систем координат Перейдем к системе координат (y01 = y'01 + z),

y"(Ув - У '2)- В этом случае

т = т+T + T + T + T, (34)

где

T =1 Mv,2 = 1M(аУ1 + by2)2;T2 = 1 Jc2(y2 -^)2;

i 2

П = i К( y2' )2; П5 = koi( y0i)2,

при этом а7 = а2 + га = Ь2 + гЬ3.

Приведенная схема вывода уравнений дает представление о влиянии на уровне математической модели значений параметров составных элементов подвески. Одновременно открываются детали формирования сочленений. Уравнения движения, точнее коэффициенты уравнений движения, и обобщенные силы приведены в табл. 4.

Из таблицы 4 следует, что влияние переносных сил инерции при выборе соответствующих координат отражается через структуру обобщенных сил. Можно увидеть, что в обобщенных силах й ^ й содержатся члены, формируемые движением основания, при этом имеются в виду инерционные силы. Система может быть упрощена путем введения сочленений по координатам у? 1, у? .

Для этого необходимо исходную систему уравнений (табл. 4) соответствующим образом преобразовать.

Поскольку кинетическая энергия не изменяется, запишем общие выражения для потенциальной энергии в системе координат у , у , у , у . Примем, что

П = П + П + П + П + П,

где

1 2 ' 1

Т3 =-т1[(а0 у,01—1у1а3 — 1у 2 Ь3 + 1у 20) + а0 г] ;

Т4 = - т2у22 = - т2(аъУ1 + Ь3 у2 — У"?)2;

2 2 2 Т5 =-/1С1 [(1 + ')а3 у1 + (1 + ')Ь3 у3 — 0' + у2 — а0 у01] ;

Т5 = (абУх + Ь6У2 - (1 + 1)у"2 - йоУш " ао*)2-

В свою очередь, потенциальная энергия системы имеет вид

п=П + П2 + П + щ + П , (35)

где П = 1 к?(у — I)2; П2 = 1 к \ (у2 — г)2;

П1 =-к1 (У1 - z)2. П2 =-к2(У2 - zf, 1

П 3 =- к1[У1а7 + У 2 Ь7 - iy 2' - a0 У'о1 - a0 z] ,

П3 = 1 k1(V1a7 + У2Ь7 - Уо - a0У01 - a0zf,

П4 = 22 (У 2')2, П5 = к 01( У ¿О2.

Необходимые нам уравнения для рассмотрения динамики рычажной подвески, то есть ВЗС, в которой через У и У вводятся сочленения, имеют вид

2 2 2 2 2 2 2

У (Ma + Jc + mj a + m2a3 + JXC\ a6 ) +

+ у1 (k[ +k1a72) + У2 (Mab - Jc2 + m1i2a3b3 + (3 6)

+m2ab3 + +Jcab(,)+у2 (kab) = z(ma0a + +Jc 2a0a6) + (k+kxapi);

Таблица 4

Значения коэффициентов уравнений в системе координат у, у, у"1, у"

а11 а12 а13 а14

(Ма2 + Л2 + 2а3 2 + т2а3 2 + +2а6 2) р2 + к" + к 01 а72 (МаЬ - Зс2 + т2а3Ь3 + +т1/2аЬъ + +З1с12 а6Ь6) р2 + к01а7Ь7 (-та0а3/ - -З1с12а0аб)р2 - к 01 а7а0 (-зАЧ(1+0 --т?2а - та)р2 - Ка^

а21 а22 а23 а24

МаЬ - Зс2 + т2аЬ + +т2а3Ь3 + Зе 2а6Ьб + ^аЬ (ыь2 + Зс2 + т2Ь3 2 + +т2Ь3 2 + Зс 2Ь6 2) + к" + +к^7 2 (З1с12Ь6а0 - тОА)р2 - -к 1Ь7 а0 (-т? 2Ь3 - т2Ьъ --З1с12(1 + /)Ьб)р2 --к АО

а31 а32 а33 а34

(-та0ш3 - зЛ 2а6а0) р2 -к | а^ а0 (-тх1аЬъ + Зс2а<Ьб)р2 - -к 01Ь7а0 (т^2 + З1с12ао2) р2 + +ка0 + к 01 [ З^О' + 1)а0 + +т?ай ]р2 + к а?

а41 а42 а43 а44

[-т/2а - та --зе2а (1+/)]р2 - к а/ [-т?2 Ь - З^! 2Ь6 (1+/) --т2Ь3 ] р2 - [ Зс12(1 + /)ао + +к1/а0 + та?] р2 + +к01а0? [т?2+Зс2 х х(1 + О2] р2 + к

01 02 03 04

О = ща0а32 + З^ 2а0а6г + +к \ г + кхайа1 02 = ща0гЬг + Зс12аЬбг + +гк 2 + каЬ2 0 = ща0г + З^2 а2 г 04 = а0?г + +З^2 а (1 + 0 г

Примечание: О О4 - обобщенные силы.

уг(МаЬ - Зе2 + щг2а3Ь3 + т2а3Ь3 + 2 2 + 31е1 аб Ьб) + Ух(^1а7 М + у2(МЬ +

7 7 2 2 2 2

+ Зе + щг Ь3 + т2Ь3 ++ Ь6 ) + (37) + У г (к'о +к\Ь~12) = г (тха^гЬ3 + + Зе2 ) + ^ + ка^ •

Расчетная схема подвески с двумя сочленениями является системой с двумя степенями свободы; для нее можно записать, что

ап = (Ма2 + Зс2 + т?2 а3 2 + т2а3 2 +

+Зс 2а62) р2 + ко+ка 2> а^ = а = (МаЬ - Зс2 + т^'2а3Ь + +т2а3Ь3 + З^2 а6ь6) р2 + к \+к^а, '2+ Зс2 -6

. 2и 2\„2

а22 = (ыь2 + Зс2 + т^' 2ь3 2 + щЬъ 2 +

(38)

+З^ Ь6 ) р + к" + к-Ьп ■ Значения обобщенных сил определяются правыми частями (37) и (38). Теперь можно найти соответствующие передаточные функции:

Щ (р) = Д^ = Щ (р) = у4р-. В общем случае 2 2

связь между координатами и обобщенными силами определяется формулами:

_ й1а22 й2 а12 у1 = _ 2 ,

- _ —й1а12 — й2а11

у 2 = „2

(39)

(40)

Таким образом, математическая модель подвески может быть получена из матрицы, элементы которой представлены в табл. 4, путем исключения двух столбцов а13, а,4 и двух строк матрицы

3г, 4г (г = г,3). Система уравнений (37), (38) определяется оставшейся матрицей 2^2.

IV. Заключение

Математические модели подвесок транспортных средств включают в свой состав достаточно большое число элементов, в том числе и рычажные звенья, образующие сочленения. Предлагаемый подход к построению математических моделей основывается на выборе систем обобщенных координат, в рамках которых основное внимание уделяется координатам относительных движений. При соответствующем выборе координат относительного движения возможно их «зануление», что приводит к уменьшению числа степеней свободы движения системы, но позволяет получить математическую модель системы с сочленениями. При этом происходит и соответствующее преобразование обобщенных сил при учете равенства виртуальных работ на возможных перемещениях. Последующие действия по оценке

динамических свойств связаны с использованием передаточных функций системы в задачах динамического синтеза. Рациональным представляется поиск параметрических пространств, в которых на определенных частотах становилось бы возможным одновременное динамическое гашение по нескольким или всем координатам системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хомен-ко А. П., Засядко А. А. - Иркутск : Изд-во Ир-кут. гос. ун-та, 2008. - 523 с.

2. Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля. - М. : Машиностроение, 1972. - 372 с.

3. Климов А. В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывестым демпфированием : автореф. дис. ... канд. техн. наук / Орел-ГТУ. - Орел, 2001. - 26 с.

4. Хоменко А. П., Елисеев С. В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - Вып. 3 (27) - С. 8-18.

5. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М. : Наука, 1968. - 549 с.

6. Елисеев С. В., Хоменко А. П., Логунов А. С. Динамический синтез в задачах построения систем защиты человека-оператора транспортных средств от вибраций и ударов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2009. - Вып. 4 (24) - С. 64-75.