CC BY
11
УДК 681.332 Хоменко Андрей Павлович,
д.т.н., профессор, ректор ИрГУПС, тел.: (3952) 638311
Елисеев Сергей Викторович,
д.т.н., профессор, директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования,
ИрГУПС, тел.: (3952) 598428, e-mail: [email protected]
СОЧЛЕНЕНИЯ В ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМАХ КАК ПРОЦЕСС УМЕНЬШЕНИЯ ЧИСЛА СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ ДВИЖЕНИЯ
A.P. Khomenko, S.V. Eliseev
COUPLING IN VIBROPROTECTION SYSTEMS AS PROCEDURES OF QUANTITY OF FREEDOM OF MOVEMENT GRADES ELIMINATION
Аннотация. Рассматривается задача сочленения звеньев в виброзащитных системах на основе формализованных представлений о возможностях использования матрицы коэффициентов уравнений движения, приведенных к унифицированной форме. Сочленение уменьшает общее число степеней свободы и позволяет формировать схемы частного вида.
Ключевые слова: сочленения звеньев виброзащитных систем, задачи виброзащиты и виброизоляции, алгоритмы составления математических моделей.
Abstract. Tasks of link coupling in vibroprotec-tion systems are considered. Authors are using formal procedures of movement equations coefficients matrixes building as base of mathematical models. Coupling eliminates total quantity of freedom andpro-vides conditions for various schemes creation.
Keywords: link coupling in vibroprotection systems, tasks of vibroisolation, mathematical models of vibration effects.
Сочленения в динамике механических колебательных систем играют важную роль, что нашло отражение в разработках по теории кинематических пар механизмов [1, 2] как подвижных соединений твердых тел. В динамике механических колебательных систем и ее различных приложениях [3, 4], а также в работах [5, 6] представления о сочленениях были детализированы. В большей степени это относится к системам цепного вида. Вместе с тем, определенные особенности имеются в системах балочного типа, характерных для транс-
портных подвесок. На расчетной схеме рис. 1 сочленение возможно для случаев совпадения точек А и А , В и В , когда система теряет одну степень свободы, но сочленение в форме кинематической пары V класса или вращательного шарнира дает возможность твердому телу совершать возвратно-колебательные движения соответственно вокруг точек А и В . В дальнейшем будут рассмотрены возможности сочленений не только в системе координат у и у2, но и в других системах координат.
Рис. 1. Расчетная схема системы, имеющей две упругие опоры и совершающей движение
в системе координат у, у2
Отметим, что кроме сочленений в точках А и В возможно рассмотрение ограничений движения по координатам т. А и т. В2 одновременно, что может быть определено условием у2 — у = 0 . В этом случае система (рис. 1) превращается в систему с одной степенью свободы и совершает вертикальные поступательные движения на упругом элементе с жесткостью к + к2. Рассмотрение таких частных переходов дает возможность про-
верки правильности процедур упрощения исходных расчетных схем.
I. Для схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии:
ТЛму1+Ьф2, (1)
1 12
П = 1 к1 (Л - )2 + 1 к2 (У2 - ) ,
где у, у - координаты точек А и В в условно неподвижной (абсолютной) системе координат; у -координата центра тяжести; р - угол поворота относительно центра тяжести (точки О). Соответственно I = Ар, /2 = В2в.
пгггт
(2)
К1
К2 \
k1 + k2 Mp1
-1
a =
/1 + /2
b =
/
/1 + /2 '
d = ■
1
/1 + /2
(3)
у = Уо- 1рР; у 2 = Уо +12(.
Используя уравнение Лагранжа 2-го рода, запишем дифференциальные уравнения движения для системы, приведенной на рис. 2, в системе координату и (р \
+ к2 У0 — к111р + к212р = к1г1 + к2 г2, (4)
,/ф + к^ср + к^\ср — к] /, у, + к212у0 = к212г2 — к211 г, .
Выражение (4) определяет матричную форму записи
A =
M 0 , B = К k
0 J k/ - k1/1
' k^t2
Vi2
(5)
C =
k\ Z] + k k\/\ Z\ + k^2
Составим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, как показано на рис. 2.
II. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат y и y2:
у (Mar2 + Jd2 ) + у2 {Mab - Jd2 j + кхух = A^Zj
(6)
у (Mb2 + Jd2 ) + у (Mab - Jd2 j + k2y2 = k2z.
Для выражения (6) матричная структура имеет вид
A =
Ma2 + Jd2 Mab - Jd2 , B = k, 0 kz
, с = 1 1
Mab - Jd2 Mb2 + Jd2 0 k2 k2 Z2
. (7)
Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления для расчетной схемы, приведенной на рис. 2, в координатах у и у примет вид, как показано на рис. 3.
Рис. 2. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной
на рис. 1, в системе координат у и р
Введем ряд вспомогательных обозначений и соотношений:
- к Ж 1
(Ma2 + Jd 2) p2
-1
k2 1 1
(Mb2 + Jd2) p2
-1
Рис. 3. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной
на рис. 1, в системе координат y и y2
III. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат у и ср :
уМ + М1лф + ^у + к2у1 +
+k2 (/1 + /2 ) <Р = k1z1 + k2Z2, (8)
уМ2 + (J +М11)ф + к2 (/j + /2 )у +
+ k2 (/l + /2 ) Ф = k2(/ 1+ /2)z2'
Для выражения (8) матричная структура имеет вид
A =
M
M/„
M/2 J + M/l
C =
B =
К + k2 k2 (/ + /2) К (/ + h ) К (/ + h )2
k^ + Z'
k2 (/1 + /2 ) Z
(9)
Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, в координатах у и р примет вид, как показано на рис. 4.
Z
2
иркутским государственный университет путей сообщения
к2 +1 )2 l
(M/f + J) p2
-1
Рис. 4. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной
на рис. 1, в системе координат у и р
IV. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат у2 и (р:
у2М +Шх(р + кху2 + к2у2 +
+к1 (А + /2 )( = к121 + к2^2' (10)
у2М1 + (7 +МХ2 )'ф + кх (1Л + /2 )у2 + + к2 + 12 )
р — к2(11 + /2) ^21-
Для выражения (10) матричная структура имеет вид
шшт
(Mil + J)у - Ji\ +k2(ix+i2 f у0 -
- Ч1 (¡i +12) У! = k2l2 (li + /2) z2, (12)
- + J)\ + (Vi2 + ¡2 f Л "
- k2ll (ll + l2 ) y0 = kll2 Zl - klll z2 •
В этом случае для выражения (12) матричная структура имеет вид
К (к + h )2 Кк (к + h ) Кк (к + h ) Kl\ + kj-l
k2l2 (l! + l2 ) z:
A =
Ml22 + J J
, B =
j j
C =
2 2 l 2 2 k!l2Z! + k2l! Z2
(13)
Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, в координатах у0 и у примет вид, как показано на рис. 6.
Jp + k^ (' + 4)
A =
M Mlx Щ J + Mll
C =
B =
k + k2 К (к + h ) k (li +12 ) ki (li +12 )2
k2 ('1 + '2 ) 1
(Mil + J) p2
Vc
1-IV2H" — z f\k2i1 - Z2
Jp2 + кг1х (' + 4) -\
jT k1i22 + k4l Jp2
-ED-
k\ Z1 + Z2
(11)
К(к+к)<
И[уМ[у] = С. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 2, в координатах у2ир примет вид, этого произведем следующие прт^азошши*
у1 - г1 — у01, откуда у1 — г1 + у01, так как
Рис. 6. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на
рис. 1, в системе координат у0 и у VI. Введем систему координат у01 и у2, для
как показано на рис. 5.
Рис. 5. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной
на рис. 1, в системе координат у2 и р
V. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат
уо иу1 :
у — уо - /(р, соответственно уо — (^ + уо) • а + ур ;
уо— ^ + уо1а+у2ь ; р—л (у 2- у)—Ф2- А-
Запишем выражения (1) и (2) для кинетической и потенциальной энергии с учетом системы координат у и у2:
(14)
(15)
(16)
где
T = T + T,
l
T1=-M(az1 +у(Яа +ур )";
l
1
T2=-Jqr =-Jd~ (у - \ - y:il)-.
Запишем выражение (2) в виде
l i l 1 \ 2 П = -КУо! + -К (y - z ) . (17)
Произведем ряд вспомогательных выкладок:
Z
Z
дТ
-= Ma2zj + Ma2ym +Maby2 + Jd2zl - Jd2y2 + Jd2y0l;
dPoi
6T
дП
= k
дП
— k2y2 k2z2.
СУ01 дУ2 Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат
^01 И У 2 *
(Ма2 +М2уут + +УтК + у2 (МаЪ -М2^='¿1 (~Ма2 -М2 (18) (МЬ-М2уут +у2(мь + м2^ + у2к2 =
= к2г2 + '¿г {-МаЪ +М2 ).
В этом случае для выражения (18) матричная структура имеет вид
А =
Ma2 vJd2 Mab - Jd2 , B = 0
Mb - Jd2 Mb + Jd 0 k2
C =
(19)
= Mabzl +Mby0l +Mby2 + Jd2y2 -Jd2zx -Jd2ym;
(-Ma2 + Jd2) z (-Mab - Jd2)z + k2z2
VII. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 1, запишем уравнения движения в системе координат y01 и y , используя вышеприведенные действия:
(Mb2 +Jd2)y02+y02k2 +
lj = z2 (-Mb2 +Jd2),
+y (Mab -Jd2) = '¿о (-Mb2 + Jd2'
(20)
(Ma2+Jd2} +
(Mab —Jd2^ y02 +y(j
+ yk2 = z2 (-Mba -Jd2^ + kxzx.
В этом случае для выражения (18) матричная структура имеет вид
Mb2
Mab - Jd2
A =
Jd2 Mab - Jd2
Ma2 + Jd2
k2 0
, B =
0 К
C =
(-Mb2 + Jd2) z2 + (-Mab - Jd2)z2
(21)
В табл. 1 представлены коэффициенты рассмотренных уравнений, приведенных к унифицированной форме в различных системах координат,
Таблица 1
Коэффициенты уравнений движения в различных системах координат
Система координат y0 и p Система координат y1 и y2
Коэффициенты уравнения (4) Коэффициенты уравнения (5) b,
an a12 a11 a12 К
Mp2 + + k^ + - k1l1 +k 2l2 k1 z1 + k2 z2 (Ma2 + Jd2) p2 + + k (Mab - Jd2) p2 k1 z1
a21 a22 b2 a21 a22 b2
- k1/1 +k 2l2 Jp 2 + + ^^^ l^ + 12 (Mab - Jd2) p2 (Mb + Jd2) p2 + + k2 k2 Z2
Система координат y1 и p Система координат y2 и p
Коэффициенты уравнения (7) Коэффициенты уравнения (9)
a11 a12 \ a11 a12 b
Mp2 + + k + k2 Ml2p2 + + k 2 fe + l2 ) k1z1 + k2 z2 Mp2 + + k + k2 Mlyp2 + + k1 (l1 + l2 ) kxzx + + k 2 z 2
a21 a22 b2 a21 a22 b2
Ml2p2 + + k2 ft + I2 ) (J + Ml22) p2 + + k2 (l1 + l2 )2 k 2 (l1 + l2 ) M^p2 + + k1 (l1 + l2 ) (J + M/2) p2 + + k1 (l1 + l2 )2 kl Ol + ¿2 )
Окончание таблицы 1
Система координат у0 и у1 Система координат у0 и у2
Коэффициенты уравнения (11) ь Коэффициенты уравнения (13) Ь
аи а12 а11 а12 Ь
(М22 + М2) р2 + + к2 + ¡2 )2 - М2 р2 - - к2 (А + ¡2 X к2 ¡1 (¡1 + ¡2 )г2 (М12 + за2) р2 + +к1 (А + ¡2)2 - за2 р2 - - к1 (¡l + ¡2 X к\ ¡2 (¡1 + ¡2
а21 а22 Ь2 а21 а22 Ь2
- за2 р2 - - к2 (А + ¡2 X за2 р2 + 2 + к 2 ¡;, к\ % г\ + +к21\ 12 22 - за2 р2 - - к1 (¡l + ¡2 X за2 р2 + к2/22 + + к2! 2 к212 22 + + к21\ 12
Система координат У и У (У0\ = У\- Система координат у01 и у1 (У02 = У2 - 22)
Коэффициенты уравнения (18) ь Коэффициенты уравнения (20) Ь
а11 а12 а11 а12 Ь
(Ма2 + за2) р2 + +к (МаЬ - за2)р2 (-Ма 2 - за2)р2 X (мь2 + за2) р2 + + к2 (МаЬ - за2) р ■ (-МЬ2 + + за2)г2
а21 а22 Ь2 а21 а22 Ь2
(МаЬ - за2) р2 (мь2 + за2) р2 + + к2 (-МаЬ + за2)р2 X X 2 ^ + к^ ^^ (МаЬ - - за2)р2 {Ма2 + за 2) р2 + +к {-МаЬ - - за2) р2 х х^2 + к^
7) У 'в =(Уб - 2) = 0, У\ * О, У2 * 0 - рис. 7 и -точка В находится за пределами левой упругой опорой.
В каждом из рассмотренных случаев, то есть каждому варианту сочленения соответствует своя математическая модель. Отметим, что в схемах,
когда одновременно У\ * О, У2 * 0 необходимо принимать во внимание зависимость между координатами, определяемую рычажными связями. Особый случай представляет собой выбор в качестве сочленения точек А и В, которые либо находятся между точками закрепления упругих элементов, или выходят за пределы этого пространства, что требует учета особенностей координат в механической системе, которые можно было бы назвать точками наблюдения [7]. В данной ситуации точка наблюдения рассматривается как точка возможного сочленения.
Используя матрицы коэффициентов для систем, представленных в табл. 1 , можно методом исключения столбцов и строк получить математические
рассмотренных выше.
VIII. Варианты введения сочленений, соответственно представленных в табл. 1, приведены на рис. 7.
Расчетные схемы частного вида могут быть получены путем исключения столбца и строки в соответствующей матрице, связанной с системой координат:
1) Уо,Р - рис. 7 а, б;
2) У^ У2 - рис. 7 в, г;
3) У01 = 0 У2 * 0(Уо1 = У\-2\) - рис. 7 д;
4) У02 = 0 У\ * 0 (У02 = У2 - 22) - рис. 7 е;
5) У '0 = 0 У\ * 0 У2 * 0 (У '0 = У0 - 2) - рис. 7. ж;
6) У 'а =(Уа - 2) = 0 У\ * 0 У2 * 0 - рис. 7 з -точка А находится между центром тяжести и левой упругой опорой;
модели для любого частного случая. Рассмотрим в
Если принять, что Zj = z2 = z, то в системе на
качестве примера задачу сосгавления математиче- рис. 8 возможен режим динамического гашения на ской модели для расчетной схемы на рис. 8, что соот- частоте
ветствует работе системы на рис. 1, в координатах у01 и у^. Отметим, что у01 = у — ; используем соотношения у0 = ау + Ъу2иф = d(у2 — у1), тогда Уо =[а (У01 + I) + ЪУ2 ] = а1 + Уо1а + У2Ъ- (22)
z^\
// / / / / / /11/11/ Рис. 8. Расчетная схема ВЗС в системе координат у01 и у2
Окончательно получим:
1 2
T = ~M{azi + ¿oi° + )>2Ь) +
2
1
П =
+ -Jd2(y2-ym -¿х), 1 ¿Л12 + 1 ^2 (У2 - Z2 )2-
(23)
(24)
(Ma2 + Je2) у01 +утк0.
(Mab -Jc2) = z2 (-Ma2 - Je2), ^5) (Mab - Je2) y01 + y2 (Mb2 +Jc2) +
+y2k2 = z2 (-Mba - Je2) + k2z2,
что совпадает с уравнением (8).
В системе на рис. 8 частота собственных колебаний определяется по формуле
ю2, = -
k
Mb2 + Jc2
(26)
°Ln =
k
Jc -Mab
(27)
Передаточная функция системы принимает вид
Ж( )_Ш (^ — МаЪ) Р + ¿2
(Р) I(Р) (МЪ2 + Jc2)Р2 + к2 ' На высоких частотах система запирается,
и при p
W ( p )
Jc - Mab
(29)
(МЪ2 + Jc2)' Амплитудно-частотная характеристика системы представлена в соответствии с (29) и имеет вид как на рис. 9.
А(о)
Произведем ряд промежуточных выкладок:
дТ 9 9
-= Ма ¿1 +Ма у01 +МаЬу2 +
Фи
+ Jc2zl -Jc2y2 +Jc2ym; = МаЫ1 +МЬу01 +МЬу2 +Jc2y2-Jc2zl -Jc2y0l;
дП_ дП_
~ К' "тг~ ~к2у2 -к2г2. сУог ду2
Система уравнений движения в рассматриваемом случае принимает вид
+
,2 т„2л
Mab - Jc2
>соб шдин
Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика системы,
расчетная схема которой приведена на рис. 8
По возможным вариантам введения сочленений в табл. 2 приведена соответствующая информация по возможным режимам работы (частотный аспект).
Перечень вариантов введения сочленений может быть дополнен системами координат:
у 01и У1' где ( у 'о 1 = уо— iи У2);
У '01и У2> где (У 'о 1 = Уо — Ъ2 и У2 X и др.
Введение сочленений в различных вариантах на основе упрощения исходной расчетной схемы (рис. 1) позволяет в систематическом виде сформировать класс математических моделей, полученных по определенной методике из систем балочного типа. Вместе с тем, любая модель из класса может быть получена и автономно, однако методика составления дифференциальных уравнений в каждом таком случае будет требовать учета ряда специфических деталей. Таким образом, сочленения могут быть выделены в группу сочленений с подвижным основанием (горизонтальным или вертикальным) и с неподвижным. Сочленение образуется звеном, имеющим подвижность. Связь координат У1 и У2 (и других) сама по себе отражает сочленения, создаваемые виртуальными мас-
1
Таблица 2
Частотные свойства режимов для системы с различными системами координат ВЗС, получаемых _ через введение сочленения, представленной на схеме рис. 1 _
№ п/п Система координат Частота собственных колебаний Частота динамического гашения Запирание на высоких частотах Примечания (вид сочленения)
1 2 3 4 5 6
2 Уо и ф 2 кл 1л + l С й =——-— соб J Сочленение Находится в точке О (шарнир)
3 У и У 2 a2 k2 со6 Mb2 + Jd2 Сочленение У = о
4 ^,2 k Ссо6 " Ma2 + Jd2 Сочленение У = о
5 У и Р 2 k2 ( li + l2 ) Ссо6 " j+M2 Сочленение У = о
6 У 2 и Р 2 kl ( ll + l2 ) со6 " J + Ml2 Сочленение У = 0
7 Уо и У 2 klll2 + k2l2 Ссо6 " Jd2 Сочленение Уо = о
8 2 k2 ( l1 + l2 ) со6 " Ml2 + Jd2 Сочленение У = о
9 Уо и У2 2 Vl + k2l22 ^ " Jd2 Сочленение Уо = о
10 2 ki (li + l2 ) Ссо6 " Mi2 + Jd2 Сочленение У 2 = о
11 Уо1 и У 2 a2 k2 со6 Mb2 + Jd2 a2 k2 дин Je2 - Mab Jd2 - Mab Mb2 + Jd2 Сочленение У01 = о г1 = г2 = г Уох = У - гх
12 a2 k1 со6 Ma2 + Jd2 Jd2 - Mab Mb2 + Jd2 Сочленение Уо = о г = г2 = г
сами, Ma2 + Jd2, Mb2 + Jd2, которые появляются при преобразованиях и являются приведенными массоинерционными параметрами по отношению к твердому телу в виде балки. Отметим также, что соединения виртуальных масс двух элементов в механической системе проявляются в появлении рычага. В свою очередь, место закрепления упругих элементов разнесены на балке, что также формирует рычажные связи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. -М. : Наука, 1975. - 638 с.
2. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. - М. : Наука, 1988. - 356 с.
3. Елисеев С.В., Хоменко А.П., Упырь Р.Ю. Рычажные связи в задачах динамики вибрационных воздейст-
вий на машины и оборудование // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - Иркутск : ИрГУПС. 2009. Вып. 3(23). С. 104-120.
4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засяд-ко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск : Изд-во Иркутского государственного университета, 2008. - 523 с.
5. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М., 1968. - 560 с.
6. Дружинский И.А. Механические цепи. - М. : Машиностроение, 1977. - 238 с.
7. Фомина И.В., Сигачев Н.П. Особенности получения информации о колебательных объектах // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - Иркутск : ИрГУПС. 2010. Вып. 1(25). С. 192-199.
