CC BY
43
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи
РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАГРУЗКИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислен коэффициент загрузки этой системы.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated load factor of this system.
Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работе [1, 2] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у=\/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X «нетерпеливые» заявки покидают очередь лишь до достижения некоторого фиксированного значения длины очереди. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е . После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Х/ ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.
В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы ро
Р0 =•) em-1 р) +
Р
(m-1)! (m - р)
i-m
m
E
Р
m + E-1
(m-l)!m
E
[T(m/p)Ei («;m/£)-1 U = (1)
и вероятностей стационарных состоянии системы k
Pk = k\p0 при k-m;
Pk =-
Р
m!m
k-m
Po при m-k-m+E ;
1
a
i
о -
о.
j) i
+
1
В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором так называемые
Рк =
Р
т + Е
„к-т-Е
т!
т
Е
(т р+1)к
Ро
к-т-Е
при к>т+Е,
где ет (р) - неполная экспонента [3, 4]. При этом
Р = у// - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях (,а) к =а(а+ 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)о = 1 - символ Похгаммера [5], при этом (1)к =к!. Величина
а = рР = Л/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой»
заявки. Напомним, что ео( р)=1 и ei (р) = 0 для всех i < 0.
В формуле (1) Е1 функция Г. Миттаг-
Леффлера первого порядка, определяемая соотно-
шением
х РтР т + Е-1 к-т
Рожид==I Рк=т I р
Е1{Г4)=Ъ
=0 Г(^ + к)
к=0
(обобщение показательной функции ехр z). Эта функция хорошо известна специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [6, 7], заметим, что при £ = 1 функция Г. Миттаг-Леффлера совпадает с
экспонентой: Е1 (^;1)=ег. В работе [1] получено также рекуррентное соотношение для функции Г. Миттаг-Леффлера
Е1 +1)=-1
из которого следует
т{тр+Щатр+1)=-[АтШ*т$-1\. р
(3)
В работе [2] найдена теперь вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой
„.т + Е „ Р Р0
к=т
к=т
т
к-т
т! т
Е
I
„к-т-Е
к = т + Е
ЧР+^к-
т-Е
Ч _ Е-1 к Ч + Е _ х
Р Р0 у +р_Р V
1 _к + _, _Е 1
т! к=0 тк
т!т
к=0
(т1Р + 1)к
т
Р Р0
(т - 1)!(т - р)
Чр
V т,
т+Е
ф/ р+1) Ег(а; т/ Р+1)
т! т
поскольку, как следует из соотношений (2), (3) к
1 (чр+1)к
= Г(тр +1)Е1(а\ т/Р+1)=
=Щг(т/р)Е1(а,т/Р)-1 ] (4) р
так что в итоге имеем
рожид =
т
р Р0
(т-1)!(т-р)
1-Ч
т
Е
ч+е-1
р
(т-1)!т
ЕЕ0 [г(чр)е1(^чр)-1 ]
или
рожид =
т
р Р0
(т-1)! (т-р)
т+Е-1 +р-Е
(т-\)!тЕ
1-\рр т
Е -1
Г(Ч рЕа-.т/ Р) (5)
В предельном случае, когда Е = 0, последнее соотношение переходит в известную формулу [2, 3]
рт-1 Р
Рожид =Ч_^ [Г(Чр)Е1(ач/р)-1 ], (6)
как и следовало ожидать.
В вырожденном случае при р=т соотношение (5), очевидно, даёт
тт-1 Р тт-1 Р Рожид = Ч—Р Е+Ч—Р [Г(Ч р)Е1 ааЧ р)-1 ]=
(т-1)! (т-1)!
тт-1 Р тт-1 Р
т Р0-(е-1)+Ч—-РР0г(чр)е1 (,аЧР).
(т-1)!
(т-1)!
к
г
1
к
а
Е
+
Для дальнейших расчетов нам ещё потребуется найти выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов). По определению имеем
т х т к
т=Х кРк + X тРк = Ро X кк+
к=0
к=т+1
к=0
т+Е
X
т-
к
Е
Ро
Р
т!к=т+/'' т~т тт к=т+Е+1
X
т
-т-Е
(т/ Р+^к-т-Е
т к-1 рт +1 р т + Е к-т -1
рР V Р_, Р Ро ^ Р_+
=рро Х?кЗ¥+—т— X -^ +
к
= (к"1)!
т!
+
+ Е „ _
(да-1)!даЕ
X
к = т +1 т
ак - т - Е
к - т -1
к = т + Е +1
1 (т/Р + 1),
к - т - Е
т + 1 - Е-1 к т + Е „ х к
= РРо ет-1(р)+£-Р X ^+Р-р^ X ( " )
т! к=0 тк т-1)!тЕ ^ (т/Р+Ок
= РРо ет-1(р)+р
т „
Р Ро
+
т+Е Р ^о
(т -1) !тЕ
(т- 1)!(т- р)
х
X
а
к
к=о (т/ Р + 1) и тогда в силу результатов [1,2]
1-1 т т
-1
Е
к
т п
т=РРо ет-1(р)+Р(т-1)!(т-р)
1-^ т
Е
тр
т+Е-1
(т-1)! т
Е
■[г(тр)^1(«т/Р)-1 ]-
т+Е „
Р Ро
(т-1)!т
Е
Подставляя в это соотношение формулу (5) для вероятности ожидания обслуживания заявкой имеем
т=РРоет-1(Р)+Р
т
Р Ро
(т-1)!(т-Р)
1-^ т
Е
+тРожид
т
т
Р Ро
(т-1)! (т-р)
1-\ — т
Е
РРо ет-1(Р)+тРожид --(тз
т+Е _
Р Ро
(т-1)! тЕ
т
Р Ро
(7)
Заметим далее, что из соотношений (1) и (5) следует ет-1 (р)ро =1 - Рожид , что достаточно очевидно,
поскольку физический смысл величины ет-1 (р) ро
- это вероятность немедленного обслуживания поступившей в систему заявки. Подставляя
Рожид (р)~Рожид(о)| 1-1 т
Е
т к=
указанное соотношение в формулу (7), найдём окончательно
т=Р-(т-Р)[Рожид(о)-Рожид ] где
Рожид (°):
т
Р Ро
(т- 1)!(т-Р)
(9)
- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [3, 4]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметра р, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро = Ро (р) согласно формуле (1).
Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа
К3= тН1-т)[Рожид(°)-Рожид ] соответственно коэффициент простоя
кП. =1 -к3 = -тР^[1 + Рожид (о)-Рожид ].
Заметим, что к. з.<к . з(о), соответственно к. п . ж . п(о) .
При малых значениях параметра в, согласно разложению [2]
Р р - Р(т + 2Р) р2 (т - р)2 (т - р)4
+
+
имеем
Рожид(о) - Рожи/д0) '■
Р
.Е+1
Рожид(о)
(т- р)2 т
2 ™ Е
Р- т+2р Р2 Р (т-р)2 Р .
и тогда, очевидно Е+1
т»р| 1-
Р + Рожид (о) (т-р)тЕ
Р
1- т + 2 Р Р (т - р) _
кз А 1-рЕ +1 Рожид(0)р
т| (т-р)тЕ
1- т + 2 р р (т - р)2
т к рт +1 Р т + Е к-т-1
=Р0 I к(к-1+1)ркг+рчР I +
к=0
(т-1)!
к = т +1
т
к -т -1
к.п.
а1-р1 1 р + рожид(0)р " т[ (т- р)тЕ
1- т + 2 р2 Р (т - р)2
™ Ч + Е _ тр Р0
„к-т-Е
_ I _
(т-1)!тЕ к = т + Е +1 (ЧР+1)к-т-Е
-т2 =
Дисперсия числа занятых каналов
т
х
Ч =! к2 Рк + I т2 Рк-т2 =
к=0 к=т+1
т к Р т+Е к
Р0 I к2 Р + Р I т2 —р-
^ к! Ч! ^ тк-т
к=0 к=т+1 т
„т + Е „
р Р0
т!т
Е
I
к- т- Е
т
к = т + Е +1
(т/Р+1)к-
-т2 =
т-Е
2 т рк - 2 т рк -1
=р2 Р0 I +РР0 I
к=2
к
= (к-1)!
„т + 1 „ Е-1 к т Ч + Е „ х
+ р_Р I тР Р0 I
(т-1)! к=0 тк (т-1)!тЕ ^ (ЧР+1)к
т к-1 Ч-1 т к-1
-т2:
р
2р р Р0£(к-)!-рР0 (Ч-Ц
+р"° £ ск=15г
Ч +1 ^ Е-1 к т Ч + Е
+ р Р0 у р_+ тр
Р0
(т-1)!
™ Ч + Е _ тр Р0 —2 0 т2
к = 0
тк (т-1)!тЕ к = 0 (Ч Р+1)к ( т-1)!т
Е
Воспользовавшись теперь последовательно соотношениями (4) и (5), отсюда имеем
2 2 2 р °т =р Р0 ет-1(р)-р Р0
т -1
(т-1)!
+ РР0 ет-1(Р) +
+т р
РтР0
(т- 1)!(т- р)
1-\Ч т
Е
т2
(т-1)! 4е
■ Ч+Е-1 .... Ч+Е „
+ , Р „ [Г(тр)Е1(атр)-1]-тр , Р0 -т2-
(т-1)! 4е
2р = Р Р0 ет-1(Р)-РР01-7\7+РР0 ет-1(Рр +
(т-1)!
+т р
т
Р Р0
(т- 1)!(т- р)
1-Ч
т
Е
+Ч-п Ч р Р
1-Ч
т
Е
-трчЕЕ -Ч^__
(т-1)! Ч
ртР
=Р2 Р0 ет-1(Р)+Р Р0 ет-1(Р)-Р ч -10! + т
2 р Р0 —2
+ т Рожид^т!"т =
Р( 1+Р)Рэ ет-1(р)+т2Рожид\Ч -Р2 )рожид0)-т2
Но ет-1(р)Р0 =1-Рожид и тогда, очевидно,
Р-РРожид +Р2 - (т2 -Р2 )[Рожид(0)-Рожид ]-т2
или
^^ =Р-РРожид-(т-т) (Р-т) . поскольку в соответствии с соотношением (8) Р-т=(т-Р)[Рожид(0)-Рожид ].
При р=0 т = р и а. =р-РРожид(р) в соответствии с результатами [3, 4].
Литература
1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканаль-
ной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник Казанского технологического университета. 2016. Т. 19. № 8. С. 123-126.
2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник Казанского технологического университета. 2016. Т. 19. № 21. С. 144-147.
3. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.
4. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
к
а
+
+
к
а
+
+
а
5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.
6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций. М.: Наука, 1966. - 672 с.
7. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. - 591 с.
© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: nguyenthanhbang.nd.vn@gmail.com; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: tranquangquy88@gmail.com.
© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: nguyenthanhbang.nd.vn@gmail.com; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: tranquangquy88@gmail.com.
