Расчёт коэффициента загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи

РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАГРУЗКИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислен коэффициент загрузки этой системы.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated load factor of this system.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работе [1, 2] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у=\/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X «нетерпеливые» заявки покидают очередь лишь до достижения некоторого фиксированного значения длины очереди. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е . После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Х/ ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы ро

Р0 =•) em-1 р) +

Р

(m-1)! (m - р)

i-m

m

E

Р

m + E-1

(m-l)!m

E

[T(m/p)Ei («;m/£)-1 U = (1)

и вероятностей стационарных состоянии системы k

Pk = k\p0 при k-m;

Pk =-

Р

m!m

k-m

Po при m-k-m+E ;

1

a

i

о -

о.

j) i

+

1

В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором так называемые

Рк =

Р

т + Е

„к-т-Е

т!

т

Е

(т р+1)к

Ро

к-т-Е

при к>т+Е,

где ет (р) - неполная экспонента [3, 4]. При этом

Р = у// - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях (,а) к =а(а+ 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)о = 1 - символ Похгаммера [5], при этом (1)к =к!. Величина

а = рР = Л/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой»

заявки. Напомним, что ео( р)=1 и ei (р) = 0 для всех i < 0.

В формуле (1) Е1 функция Г. Миттаг-

Леффлера первого порядка, определяемая соотно-

шением

х РтР т + Е-1 к-т

Рожид==I Рк=т I р

Е1{Г4)=Ъ

=0 Г(^ + к)

к=0

(обобщение показательной функции ехр z). Эта функция хорошо известна специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [6, 7], заметим, что при £ = 1 функция Г. Миттаг-Леффлера совпадает с

экспонентой: Е1 (^;1)=ег. В работе [1] получено также рекуррентное соотношение для функции Г. Миттаг-Леффлера

Е1 +1)=-1

из которого следует

т{тр+Щатр+1)=-[АтШ*т$-1\. р

(3)

В работе [2] найдена теперь вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой

„.т + Е „ Р Р0

к=т

к=т

т

к-т

т! т

Е

I

„к-т-Е

к = т + Е

ЧР+^к-

т-Е

Ч _ Е-1 к Ч + Е _ х

Р Р0 у +р_Р V

1 _к + _, _Е 1

т! к=0 тк

т!т

к=0

(т1Р + 1)к

т

Р Р0

(т - 1)!(т - р)

Чр

V т,

т+Е

ф/ р+1) Ег(а; т/ Р+1)

т! т

поскольку, как следует из соотношений (2), (3) к

1 (чр+1)к

= Г(тр +1)Е1(а\ т/Р+1)=

=Щг(т/р)Е1(а,т/Р)-1 ] (4) р

так что в итоге имеем

рожид =

т

р Р0

(т-1)!(т-р)

1-Ч

т

Е

ч+е-1

р

(т-1)!т

ЕЕ0 [г(чр)е1(^чр)-1 ]

или

рожид =

т

р Р0

(т-1)! (т-р)

т+Е-1 +р-Е

(т-\)!тЕ

1-\рр т

Е -1

Г(Ч рЕа-.т/ Р) (5)

В предельном случае, когда Е = 0, последнее соотношение переходит в известную формулу [2, 3]

рт-1 Р

Рожид =Ч_^ [Г(Чр)Е1(ач/р)-1 ], (6)

как и следовало ожидать.

В вырожденном случае при р=т соотношение (5), очевидно, даёт

тт-1 Р тт-1 Р Рожид = Ч—Р Е+Ч—Р [Г(Ч р)Е1 ааЧ р)-1 ]=

(т-1)! (т-1)!

тт-1 Р тт-1 Р

т Р0-(е-1)+Ч—-РР0г(чр)е1 (,аЧР).

(т-1)!

(т-1)!

к

г

1

к

а

Е

+

Для дальнейших расчетов нам ещё потребуется найти выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов). По определению имеем

т х т к

т=Х кРк + X тРк = Ро X кк+

к=0

к=т+1

к=0

т+Е

X

т-

к

Е

Ро

Р

т!к=т+/'' т~т тт к=т+Е+1

X

т

-т-Е

(т/ Р+^к-т-Е

т к-1 рт +1 р т + Е к-т -1

рР V Р_, Р Ро ^ Р_+

=рро Х?кЗ¥+—т— X -^ +

к

= (к"1)!

т!

+

+ Е „ _

(да-1)!даЕ

X

к = т +1 т

ак - т - Е

к - т -1

к = т + Е +1

1 (т/Р + 1),

к - т - Е

т + 1 - Е-1 к т + Е „ х к

= РРо ет-1(р)+£-Р X ^+Р-р^ X ( " )

т! к=0 тк т-1)!тЕ ^ (т/Р+Ок

= РРо ет-1(р)+р

т „

Р Ро

+

т+Е Р ^о

(т -1) !тЕ

(т- 1)!(т- р)

х

X

а

к

к=о (т/ Р + 1) и тогда в силу результатов [1,2]

1-1 т т

-1

Е

к

т п

т=РРо ет-1(р)+Р(т-1)!(т-р)

1-^ т

Е

тр

т+Е-1

(т-1)! т

Е

■[г(тр)^1(«т/Р)-1 ]-

т+Е „

Р Ро

(т-1)!т

Е

Подставляя в это соотношение формулу (5) для вероятности ожидания обслуживания заявкой имеем

т=РРоет-1(Р)+Р

т

Р Ро

(т-1)!(т-Р)

1-^ т

Е

+тРожид

т

т

Р Ро

(т-1)! (т-р)

1-\ — т

Е

РРо ет-1(Р)+тРожид --(тз

т+Е _

Р Ро

(т-1)! тЕ

т

Р Ро

(7)

Заметим далее, что из соотношений (1) и (5) следует ет-1 (р)ро =1 - Рожид , что достаточно очевидно,

поскольку физический смысл величины ет-1 (р) ро

- это вероятность немедленного обслуживания поступившей в систему заявки. Подставляя

Рожид (р)~Рожид(о)| 1-1 т

Е

т к=

указанное соотношение в формулу (7), найдём окончательно

т=Р-(т-Р)[Рожид(о)-Рожид ] где

Рожид (°):

т

Р Ро

(т- 1)!(т-Р)

(9)

- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [3, 4]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметра р, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро = Ро (р) согласно формуле (1).

Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа

К3= тН1-т)[Рожид(°)-Рожид ] соответственно коэффициент простоя

кП. =1 -к3 = -тР^[1 + Рожид (о)-Рожид ].

Заметим, что к. з.<к . з(о), соответственно к. п . ж . п(о) .

При малых значениях параметра в, согласно разложению [2]

Р р - Р(т + 2Р) р2 (т - р)2 (т - р)4

+

+

имеем

Рожид(о) - Рожи/д0) '■

Р

.Е+1

Рожид(о)

(т- р)2 т

2 ™ Е

Р- т+2р Р2 Р (т-р)2 Р .

и тогда, очевидно Е+1

т»р| 1-

Р + Рожид (о) (т-р)тЕ

Р

1- т + 2 Р Р (т - р) _

кз А 1-рЕ +1 Рожид(0)р

т| (т-р)тЕ

1- т + 2 р р (т - р)2

т к рт +1 Р т + Е к-т-1

=Р0 I к(к-1+1)ркг+рчР I +

к=0

(т-1)!

к = т +1

т

к -т -1

к.п.

а1-р1 1 р + рожид(0)р " т[ (т- р)тЕ

1- т + 2 р2 Р (т - р)2

™ Ч + Е _ тр Р0

„к-т-Е

_ I _

(т-1)!тЕ к = т + Е +1 (ЧР+1)к-т-Е

-т2 =

Дисперсия числа занятых каналов

т

х

Ч =! к2 Рк + I т2 Рк-т2 =

к=0 к=т+1

т к Р т+Е к

Р0 I к2 Р + Р I т2 —р-

^ к! Ч! ^ тк-т

к=0 к=т+1 т

„т + Е „

р Р0

т!т

Е

I

к- т- Е

т

к = т + Е +1

(т/Р+1)к-

-т2 =

т-Е

2 т рк - 2 т рк -1

=р2 Р0 I +РР0 I

к=2

к

= (к-1)!

„т + 1 „ Е-1 к т Ч + Е „ х

+ р_Р I тР Р0 I

(т-1)! к=0 тк (т-1)!тЕ ^ (ЧР+1)к

т к-1 Ч-1 т к-1

-т2:

р

2р р Р0£(к-)!-рР0 (Ч-Ц

+р"° £ ск=15г

Ч +1 ^ Е-1 к т Ч + Е

+ р Р0 у р_+ тр

Р0

(т-1)!

™ Ч + Е _ тр Р0 —2 0 т2

к = 0

тк (т-1)!тЕ к = 0 (Ч Р+1)к ( т-1)!т

Е

Воспользовавшись теперь последовательно соотношениями (4) и (5), отсюда имеем

2 2 2 р °т =р Р0 ет-1(р)-р Р0

т -1

(т-1)!

+ РР0 ет-1(Р) +

+т р

РтР0

(т- 1)!(т- р)

1-\Ч т

Е

т2

(т-1)! 4е

■ Ч+Е-1 .... Ч+Е „

+ , Р „ [Г(тр)Е1(атр)-1]-тр , Р0 -т2-

(т-1)! 4е

2р = Р Р0 ет-1(Р)-РР01-7\7+РР0 ет-1(Рр +

(т-1)!

+т р

т

Р Р0

(т- 1)!(т- р)

1-Ч

т

Е

+Ч-п Ч р Р

1-Ч

т

Е

-трчЕЕ -Ч^__

(т-1)! Ч

ртР

=Р2 Р0 ет-1(Р)+Р Р0 ет-1(Р)-Р ч -10! + т

2 р Р0 —2

+ т Рожид^т!"т =

Р( 1+Р)Рэ ет-1(р)+т2Рожид\Ч -Р2 )рожид0)-т2

Но ет-1(р)Р0 =1-Рожид и тогда, очевидно,

Р-РРожид +Р2 - (т2 -Р2 )[Рожид(0)-Рожид ]-т2

или

^^ =Р-РРожид-(т-т) (Р-т) . поскольку в соответствии с соотношением (8) Р-т=(т-Р)[Рожид(0)-Рожид ].

При р=0 т = р и а. =р-РРожид(р) в соответствии с результатами [3, 4].

Литература

1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканаль-

ной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник Казанского технологического университета. 2016. Т. 19. № 8. С. 123-126.

2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник Казанского технологического университета. 2016. Т. 19. № 21. С. 144-147.

3. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

4. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

к

а

+

+

к

а

+

+

а

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций. М.: Наука, 1966. - 672 с.

7. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. - 591 с.

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].

© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].