Расчёт среднего числа занятых каналов системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи РАСЧЁТ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАНЯТЫХ КАНАЛОВ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислено среднее число занятых каналов обслуживания этой системы.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated the average number of busy service channels of this system.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1, 2] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в интенсивностью у = 1/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ¡1, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как Л.

В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположено, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания л заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем m+N . Ясно, что при N такая система массового обслуживания сводится к изученной в цикле работ [2-4]. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Лл. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы Ро

Р0 =1 em-1-p)+p

m-1

I-mlp)EN{cemlP)

N + 1

-1 +

m)

-mlP+N)T-mlP+N)

= (1)

-m-1)!

%

+ ч.

+ 3.

+

д T

о

s

PM

где ет(р) - неполная экспонента [3, 4] (напомним, что ео( р) =1). В этих формулах

1

X

х

N к

к = 0

г(#+к)

(2)

- неполная функция Г. Миттаг-Леффлера первого порядка, введённая в рассмотрение в работе [1]. В предельном случае, когда N ^ да, третье слагаемое в квадратных скобках этого соотношения стремится к нулю и тогда формула (1) переходит в известное соотношение

-1

Ро-

,т-1

ет-1(р)+т1)\ [г(т рЕ-т р)-1 ]

модели [3, 4], как и следовало ожидать. При этом формулы для вероятностей стационарных состояний системы имеют вид

Рк

Рк =к\Ро при к<т;

„к-т

Рк =

Ро =

Р ' т\

т\ (т/р+1)к-

кк-т г(т/р+1) г(т/р+1 + к-т)

__хк-т+1 г(т/ р)

(т-1)\ (т/р+к-т) г(т/р+к-т) m<k<m+N,

Ро

р

т -1

Ро при

где (а)к =а(а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (0)0 = 1 -символ Л. Похгаммера [5]. Величина а = р /р = Л/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. При этом р = у/ /и - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки.

В работе [2] найдены вероятность отказа в обслуживании вновь поступившей в систему заявки

ротк = pm+N =

р

т -1

N+1

г(т/Р)

(т-1)\ (mP+N) г(т/р+!

Ро.

(3)

и вероятность ожидания обслуживания поступившей заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой

од-т.^ [г(тр)Е1л/(«;тр)-1 ]. (4)

В предельном случае, когда N ^ да, соотношение (4), как и следовало ожидать, переходит в известную

мультипликативную зависимость [3, 4] рт -1 Р

Рожнд =т_ 1)0 [г(т р)Е1{а,тР)-1 ].

Для дальнейших расчетов нам ещё потребуется найти выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов). По определению имеем

т

m + N

т

к

т=Х кРк + X тРк =Р0 X ккЛ

к=0 к=т+1 к=0 \

т _ т + 1

Р Р0 V а

—л^ х т

к-т

т\

к = т + т к-1

1 (тр+1)к-т „к

+ р Р0 X

=РР0 Й(к-1)^ (т-1)\^=1 (тР+1)к

N

X

к=0

и тогда в силу соотношения (2)

Рт Р0

(т 1)\

(тр+1)/

-1

т=р

=РР0ет-1(р)+рт-Ц\ гЦр+Е (о;тР+1)-(т-1\ Но

, как показано в работе [1], для неполной функции Г. Миттаг-Леффлера справедливо рекуррентное соотношение

-N1

Р Р0

г(т/ р +1) Е™ (а т/ Р +1) = -N1

Л1\ г(т1р)Е"(ат1Р)-1+^-, ,г(тр) ч 1 (5)

р\ 1 (т/р+^гт/р+^г7

и тогда имеем

т = рР0 ет-1(р)+ ^ [г(тР)Е?{а,т1 Р)-1 ]+

т р

т-1

N + 1

г(тр)

РтР0

(т-1)\ (т/р-И^т/р-И) (т-1)\ '

Подставляя в это соотношение формулы (3) и (4) для вероятности отказа и вероятности ожидания начала обслуживания заявкой в свою очередь, очевидно, имеем

т=

т

р Р0

РР0 ет-1{р)+тРотк +тРожид -(т-)

Заметим далее, что из соотношений (1), (3) и (4) следует ет-1 (Р)Р0 =1-Ротк - Рожид , что

достаточно очевидно, поскольку физический смысл величины ет-1(р)Р0 - это вероятность

немедленного обслуживания поступившей в систему заявки. Подставляя указанное соотношение в формулу (6), найдём окончательно

т = р-(т-р)[Рожид(°)-Рожид -Ротк ]

где

Рожид (°) :

т

Р Р0

(т- 1)\(т-р)

- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми»

к

а

т

т

Р

заявками, известное из модели М/М/т [3, 4]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметров р и N, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро = Ро согласно формуле (1). Очевидно, что при NроТк ^0 и тогда соотношение (6) переходит в известную формулу [3, 4] т = р-(т-РДРожид(0)-Рожид ].

Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа

кз = т -11 -т 1 [Рожид(о)-Рожид -Ротк ]

m

m

соответственно коэффициент простоя

К.П. = 1 -K.5. = Çl-m)[l + Рожид(0)-Рожид -Ротк ]•

Заметим, что к. з.<к. з.(о), к. п. >к. п(о).

Дисперсия числа занятых каналов

соответственно

m <ю

mm = y k Pk + y m2 Pk-m2 =

k=0

m k=m+1

m k mp m + N ak-m = P0 y k2y m2 -—-—^--m2 =

k! m! . k=0 k = m +

1/1 —,-ч-

1 (mß+i)k-

m k m m Р m+N k-m

P m k(k-i+i)k y --m2-

k=0

k! (m-i)! k=m+i (mß+l)k-

k-m

m k-2 m k-1 mPm p N k

2 P P mp p ^ a —2

=P p kS и+PP0k=1 (k-i)i+-^5 m+k ~m

m pk-1 pm-1 m k-1

=p2 p0 y (bir-p2 p0mû+pp0 y P +

=1 (k-1)! " - (m-1)!

k

m Pm Р N

+ m p p0 y

k

1 (k -1)!

mp' p0 _2 0 -m2.

(m-1)! (mß+1)k (m-1)!

Воспользовавшись теперь последовательно соотношениями (2), (5), (3) и (4), отсюда имеем

2 2 2 P

°m =P P0 em-1(PP-P P0

m -1

(m-1)!

+ PP0 em-1(PP +

m2 Pm-1

+m P,. [r(mß)^1 (-;mß)-1 ]+

m2 Pm-1 -N+1

r(m/ß)

(m-1)!

(m-1)! (m/ß+N)r(m/ ß+N)

mP p0 _2

^ --m2 =

(m-1)!

Pm p

= P2 P0 em-1 (P) + PP0 em-1(P)-P (m+

Pm p

2 2 P P0 —2

+ m Рожид + m Ротк-m(m-1)! -m =

= P(1 + P)P0 em- 1(P) + m2 Pожид+m2 Ротк -

-(m2-P2

)-m2 .

)Рожид(0)"

Но em-1 (p)p0 =1-Ротк - Рожид и тогда, очевидно, ==p-p(p0жид+ Ротк) -- (m2 -P2 ) [ Рожид (0) - Рожид - Ротк ]+P2 -m2

или

^ =Р-Р(Рожид + Ротк)-(т-т)(Р-т),

поскольку в соответствии с соотношением (7)

(т -Р)[Рожид(о)-Рожид -Ротк ]=Р-т .

При Nполучаем отсюда известное соотношение [3, 4]

=p-p рожид--m-m) -p-m), которое, в свою очеред, при р =0 переходит в формулу cr2m = p-pрожид{0) (модель M/M/m), что очевидно, поскольку в этом случае имеем m = p в соответствии с результатами модели M/M/m.

Литература

1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 11. С. 136-139.

2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания в системе с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 21. С. 151-153.

3. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казан. гос. ун-та, 2008. 112 с.

4. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казан. ун-та, 2011. 200 с.

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; Нгуен Тхань Банг - асп. той же кафедры, [email protected]; Чан Куанг Куи - асп. той же кафедры, [email protected].

© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected].

m

k

a