CC BY
27
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи
СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАЯВОК В ОЧЕРЕДИ НА ОБСЛУЖИВАНИЕ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислено среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated average number of requests currently queued for service.
Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-3] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у = \/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X «нетерпеливые» заявки покидают очередь лишь до достижения некоторого фиксированного значения длины очереди. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е . После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = X/ ц . Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.
В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы Р0
Ро =i em-1{p)+
Р
(m- l)!(m- p)
1-\m m
E
m+E-1
p
E
[T(mlP)Ei(*,mlP)-l H = (1)
(m-l)m"
и вероятностей стационарных состояний системы
и =
р.
+
1
Р
Рк =к\Р° пРи т;
к
Рк ="
Р
т\тк~т
т + Е
р0 при т<к<т+Е ;
Рк =
Р
„к-т-Е
т! тЕ {т/Р + \)к
-Ро при
- т-Е
к>т+Е,
где ет(р) - неполная экспонента [4, 5]. При этом Р = у/ц - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях [а)к =а{а+ 1)(а + 2) ... {а + к -1); (а)о = 1 - символ Похгаммера [6], при этом (1)к =к\. Величина
а = р1 Р = Х/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. Напомним, что ео(р)=1 и е/(р) = О для всех / <О.
В формуле (1) Е1 функция Г Миттаг-
Леффлера первого порядка, определяемая соотношением
х к
Е(^=к?о Ък <2)
(обобщение показательной функции ехр z). Эта функция хорошо известна специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [7, 8], заметим, что при £ = 1 функция Г. Миттаг-Леффлера совпадает с
экспонентой: Е1 {z;l)—ег. В работе [1] получено также рекуррентное соотношение для функции Г. Миттаг-Леффлера
Е1(^ +1)=1
или
(3)
В работе [2] найдена вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой х ртро т + Е-1 рк-т рожид= X рк = т\ о X —-+
Р
к=т
т + Е Р
Ро
а
к=т т к-т-Е
к -т
_ X _
т\тЕ к = т+Е (°Р + 1)к-т-Е
„т „ Е-1 к т + Е _ х Р Ро X _Ро X
к
т\
к т\тЕ к=о (т/Р + 1)к
РтРо
(т- 1)\(т- р)
1-\т т
Е
пт + Е Р
+ р | Е0 г(т/р+1)Е1{а,тР+1.
т\т
Из соотношения (3), однако, следует
г(тр+1)Е1(атр+1)=
°°Р[т{° РЕат Р)-1 ] р
так что в итоге имеем
Рожид =
т
Р Ро
(т-1)\(т-р)
1-\-Р-т
Е
т+Е-1 „
+ Р Е [г{т1Р)Е1{ат1Р)-1 ]
(т- 1)\т
(5)
Заметим, что выражение для вероятности ожидания обслуживания заявкой можно записать в наиболее компактном виде, как
Е
РОЖИД-РОЖИдД°Гу 1 ^ т +
+°г{т) [Г.т1РШат1Р)-1 ]!,
(6)
где
ртРо
Рожид(о)={т- 1)\(т°-р)
т- 1)\(т-у
- выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [4, 5]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметров Р и Е , содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро = Ро (Р, Е) согласно формуле (1).
В предельном случае, когда Е= о , последнее соотношение переходит в известную формулу [4, 5] пт-1 Р
Рожид = (т-Во [гтР)Е1(ат/Р)-1 ]=
=Рожид (<оР)Е1 (а т/ Р)-1 ],
как и следовало ожидать. При малых значениях параметра Р, имеет место разложение [2]
Рожид ~Рожид(о)
1-т
т
Е
Р
(т - р)
-Р
р(т + 2 р) 2 (т-р)4 Р
откуда имеем
Рожид(о) Рожид '
Р Рожид(о] { р [т-р]2 \т
Е
Р- т + 2Р Р2 (т - р]
+
+
Как видим, во втором предельном случае, при стремлении параметра р к нулю, величина рожИд ,
как это и должно быть, стремится к рожИд (0).
В работе [3] получено выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов), которое имеет вид
т=р-(т-р\Рожид(0)-Рожид \. (7)
При малых значениях параметра р , используя разложение (8), отсюда имеем
тЛ 1-ржид(0)мЕ
I т-р ут)
р- т + 2р р2 Р (т-р)2 Р
Как видим, при р=0 формула (7) даёт т = р, как и должно быть для модели М/М/т.
В работе [2] также установлено следующее соотношение для дисперсии числа занятых каналов:
=р- р Рожид-(т-т) (р-т). При р=0 т = р и (?т =р-рр0жид(0) в соответствии с результатами [4, 5]. Интересно отметить, что
— 2
соотношения для т и ит не содержат зависимости от параметра Е в явном виде, вследствие чего по форме эти выражения совпадают с аналогичными выражениями модели [4, 5], в которой значение этого параметра равно нулю. Это означает, что в первом предельном случае (по принятой здесь терминологии), то есть при Е = 0, предельный переход к известным решениям [4, 5] выполняется автоматически.
В настоящей работе дан вывод формул для наиболее существенной величины, характеризующей системы массового обслуживания с ожиданием - среднего числа требований, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, или, что то же самое, средней длины очереди.
Согласно общей формуле для среднего числа требований в очереди (средней длины очереди)
т + Е к
I = Х(к-т)Рк = т X (к -к=т+1 ' к = т +1
т)
р
к-т
т + Е _
р Р0
т
к - т-Е
-— X (к-т)т-,-
т\тЕ к = т + Е +1 (тр+1)к-т-Е
=— X (к-
т\ , к=т+1
т + Е
т)
р
к
к-т
т
т + Е _ р Р0
к-т-Е
-X (к-т-Е)-,-,-
т\тЕ к = т + Е +1 Чр+Ък-т-Е
рт + Е Р х
+ р-— е х
„к-т-Е
т\т
Е
Л (т/р+ 1)к
(9)
-т-Е
к=т+Е+1
Рассмотрим по очереди каждое слагаемое этого соотношения. Воспользовавшись формулой для суммы конечной геометрической прогрессии для первого слагаемого, очевидно, имеем
Р т + Е к тР Е к
— х (к-т) р =р р0 х к р
т\ , ^ . 'тк-т т\ тк
к = т +1
т +1
р Р0 d
е , к
х 1 т ■
т\т d(рт) к=0 ут,
,рт+1 Р0 d 1-(рт)Е+1 т\т d(р/m) 1-р/.
„т+1 „
р Р0
(т- 1)\(т-р)2
т
'-<Е++е( тГ1
Рассмотрим далее второе слагаемое соотношения (9). В силу формулы (4) рт + ЕР х ак-т-Е
р Р0 X (к-т-Е)- а =
ттЕ к = т + Е +1
т + Е +1 т + Е _ х
р Р0 X к
(т/р+1)к-
т-Е
т\тЕ к=1 (тр+1)к
„т + Е +1 „ ^ р Р0 d
X
т\тЕ р да к=0 (т1р+1)к
„т + Е + 1 _ л
__р-_р°_ г(т/ р+^Еткт! р+1)=
т\тЕ р да
„т + Е + 1 _ л
= р ЕРо2 г(тр)^ЕМт1 р+1).
(т-1)\тЕ р
да
С другой стороны, из соотношения (2) в свою очередь следует
/ х к
д ^ г
к-1
= X к-4—^=1X к - £+£)—/——\
к=0 г(л+к г(Л +
=Т X(Л + *Угк4 X
к=0
Г(Л + к) Г(Л + к)
х к х к
¿0 г(л+¿> г(л+ ,к
г
£ (^+к-1)(^+к-1)г(^+к-1)
+
1
+ — г
х к х к
X —__Л X —_
=0 г(Л+к) к0 Г(Л+к)
к=0
гк х _к
уы0 г(Л+к-1) " к0 Г(Л+ =-I [Е^- 1)-(Л- 1)Е1(г;#)\,
Таким образом, первая производная функции Г. Миттаг-Леффлера определяется выражением
Е (г; Л)=г [ Е1 (г; # -1)-(Л -1)^ (г; Л) \
или
Е1(г;Л+1)=1 [Е1(г;Л)-ЛЕ1 (г;Л+1)\=
к
а
к
а
к
г
+
+
+
-£)Е1(2;£)+
£
г(£)]
откуда для второго слагаемого имеем ч+е+1 „ л
Р Р гЧр/Е^Ч/Р+1)=
(т-1)\тЕ Р2
с/а
т + Е-1 р
= Р , Р [т-(т-р)г{Чр)Еl{аЧР)]= {m-l)\mE р
ч+е-1 „ р Ро
(т-1)\тЕ р ;{р-(т-р][г (т/ рЕат/ р)-1 ]}.
(Ю)
Наконец, третье слагаемое в формуле (9), в силу формулы (4) и рекуррентного соотношения (3) при-
нимает вид
ч + е _
Р Ро
а
к -т- Е
-^Е X 7-*-
т\тЕ к = Ч+Е +1 чР+ ' к - т - Е
Ч + Е _
Р Ро
т\т Ч + Е
Е
Е X
а
к
1Ч/Р+1)
Ро
т\т
Е
Е
к = 1У!Г ' Чк
X ак кТо (т/Р+1]к
-1
Ч + Е
+ Р , ЕРо Е[г(Чр+1)Е1(а;Чр+1)-1 ]=
т\т
Ч + Е-1 „
р_Ро_
Е
т\т
х Е {т [ г(т/р) Е1 (а; т/р)-1 ] - р}. В итоге имеем
(11)
/ =
Ч+1 „
Р Ро
1-е+!)| °р;)Е+е\Ч^Е+1
(т-1]\(т-р)2 т + Е-1 Р
-Р , {р-(т- р][г(Чр)Е1(а;ЧР)-1 ]}+ (т-1)\тЕ р
т + Е-1 Р
+ Р , ЕРо Е{т[г(ЧрЕаЧр)-1 ]-р}.
т\т
Подставляя в это соотношение выражение (5), (6) для вероятности ожидания заявкой начала обслуживания, найдём окончательно
/
Р Рожид(о]
т-р
1-\° т
Е
I р
е |[р ожид(о] рожид ]. (12)
В первом предельном случае, когда Е — о, последнее соотношение переходит в известную формулу [4, 5]
/ = рР \рожид(°)-рожид ], как и следовало ожидать. При малых значениях параметра Р в соответствии с формулой (8) из соотношения (12) имеем
т-р
/^ РРожид(о) I 1__1_{т+2р
т-рут) I т-р
+ Е\р\= (13)
= /(о)| 1-чк-Ч
1 т-рут
Е
т + 2р т-р
+ Е\Р
откуда следует, что во втором предельном случае, когда р — о, это соотношение также переходит в известную зависимость
/(о)=
Р рожид(о ] т-р
модели М/М/т.
Дисперсия числа заявок (требований) в очереди
х
а/ = X(k-m)2 Рк-/2..
к=т+1
Найдем сначала осредненный квадрат величины к-т :
х Р т+Е к
X (к-т)2 рк =Ч X к-т]2 р Ч +
к = т +1
к =т+1
к-т
т +Е х
+Р-р X к-т)2 а
тЧ к = т + Е +1 т +Е
т
к -т -Е
Чр+ 1)к-
к -т -Е
=р X (к - т]2^— т\ ЛК тк-т
к =т 1
Ч + Е Р х ак - т-Е + р-р X к-т-Е)2^-^-+
т!т
Е
к =т Е 1
°ЧР +1)
к-т-Е
Ч + Е „ х
+2 р-р Е X (к- т]
т!тЕ к =т Е 1 Ч + Е
к - т -Е
°ЧР +1)
к-т-Е
к - т-Е
Р ро е2 X а'_
т\тЕ к = ЧГ Е +1 ЧР +1) к - т - Е
. (14)
Ввиду громоздкости этого выражения, как и выше, распишем каждое слагаемое в отдельности. Будем действовать по аналогии с предыдущим выводом. Для первого слагаемого, очевидно, имеем
Р т + Е к ч р Е к
ро X (к-т]2 Р =Р ро X к2 Р -
т\ \ ' —к-т т\ к
к = т +1
тк-т т\ кГ 1 тк
Ч+1 ^ *■/ Е / \к
р Ро с Ек{р\<
т\т
сСрт)
к= о
Ч+1 Р л
_Р Ро с
т\т
ср/Ч)
р/ т-(Е +1]Р/т)Е +1 +E{п/m) (1-рт)2
= трт+1 ро х {m-l)\{m-n)3
Е + 2
1+ —-(Е + 1]2 +
т У т 1
Е
+ (2Е2+2Е-.]{1 -Е2 (Ч)
Е + 2
Второе слагаемое примет вид
9о
2
2
+
х
+
х
х
т+Е
р —0
т\т
Е
X (к-т-Е)
2 а
к- т-Е
к = т + Е +1
т+Е
= р Р0
т\тЕ к = 1 т+Е+1
(тр+1).
к-т-Е
X к
2а
(т/р+1)л
р
Р0 д
т\тЕ р
да
(т р+1)л
т+Е+1 „ И р Р0 д
т\тЕ р
да
X к
к=0
I х д ^
а- X т-
да к=0 (тр+ 1)А
т +Е +1 =£—г(т р+1), т!тЕ р
д да
адЕ1(а;т/ р +1) да
т + Е +1 „
Р Р0 (т -1)!тЕ р
-Ф/ Р)>
X -а[(а-тр)Е1(ат/р+1)\=
да
т +Е +1 р Р0
г(т р)>
(т-1)\тЕ р2 : [Е1 (ат р+1)+(а-т/ р)Е1(а;т/ р+1)\=
т +Е
=(р ) ЕЕ0 гт/р)>
(т-1)\ тЕ р х1 ЕЛа;т1 р)--^—г + I
1 и ■ /р> г(тр) 1
р-т
(р-т)Е1(а;т р)+
т
г(т р)
рр
„т + Е „
= (р , РЕ №/р)Е1(атр)>}
(т-1)\ тЕ р
1,(т-р)2 рр
1-т(т-р) рр
т + Е
(т-1)\ тЕ р
1 I (т - р)2 рр
т - р
" р
Третье слагаемое по аналогии с выводом формулы (10), очевидно,
рт+ЕР х ак-т-Е
2 р-Р Е X (к- т) а
т\т
Е
к=т+Е+1 т+Е х 2 р-Р Е X к
(тр 1)к-
т-Е
\тЕ 1 (тр+1)к
т т к
т + Е-1 „
= 2 р-Ер0 X
(т-1) \ тЕ р х Е{р-(т - р)[г(тр)Е1(ат/р)-1 \}. И наконец, четвёртое слагаемое в формуле (14),согласно определению функции Г. Миттаг-Леффлера,
т+Е Р Р0_ е2
т\т
Е
X
„к - т-Е
к =т +Е +
1 (т/ р+1)
к-т-Е
т +Е х к
Р Р0_е2 X а
Р ' ' Р0_ е2
Е ^ ^ (т/р+1)к к
т\т к
т + Е
т\т
Е
kхo (т р+1)к
-1
„т + Е-1 „
р —0
т \т
Е
х Е2 {т[г(тр)Е1 (а; т/р)-1 \-р}. В итоге формула (14) приобретает компактный вид
х т +1
X (к-т)2 Рк = ( тр ( Р)3 х
к=т+1 (т-1)\(т-Р)3
/ лЕ
Р ¡с , 1^2 ( Р
1+—-(е +1)2 +
т У т 1
+ 12Е2 + 2Е-1)1Р1
\Е + 1
<т) ■
-Е2
т
Е + 2'
„т + Е „ + ( Р ) РЕ0 > (т-1)!тЕ р
[г(т р)Е1(ат/ р)-1 \
1+(т-р)2
рр
т - р
' р
т +Е -1
+ 2 Р-Ер0 X
(т-1)\ тЕ р
х Е{р-(т-р)[г(трЕат/р)-1 \}+
т +Е -1
+р—ер° е2 {т[г(т р)Е1(ат р)-1 \-р}.
т\т
Используя далее, как и выше, соотношение (5), (6) для вероятности ожидания начала обслуживания, отсюда имеем
X (к-т)2 Рк =
к = т +1
Е
1 т+р-|т) [т+р+2Е(т-р)\|
РРожид (0) " (т-р)2 '
р Рожид РРожид (0)
рр 2
1-т
т
Е
I р Е \Рожид (0) Рожид \ =
= РРожид (0)х
(т - р)2
Е
х] т + р-1 т) [т + р + 2Е(т-р)\1 +
РРожид - (т-р)1
р
Е\ Е-
т-р
[ Рожид (0) Рожид \
X
X
+
+
X
X
+
X
к
а
1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 8. С. 123-126.
2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 21. С. 144-147.
3. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Расчёт коэффициента загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технологического университета. 2017. Т. 20. № 2. С. 88-92.
4. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.
5. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.
7. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций. М.: Наука, 1966. - 672 с.
8. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. - 591 с.
Литература
© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].
© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].
и тогда
°7 " (m-p)2 X xjm+p-l-^l [m+p+2f(m-p)j ¡
+
m)
PPoжид -(m-p)7 ß
-Еу Е-Ч^^рожид(о)-Рожид]-/2. (15)
В первом предельном случае при Е - о отсюда имеем соотношение [4, 5]
2 РРожид -(т-Р]/ -.2 а / =--' ,
. р
что очевидно. В свою очередь, используя зависимость (8), несложно проверить, что во втором предельном случае, при стремлении параметра р к нулю, соотношение (15) после ряда простых преобразований перейдёт в соответствующее соотношение многоканальной модели без ограничений (модель М/М/т)
а/ (о] АЧ^РШ _ /2 (о]. ' т - р
+
