Общее число требований, находящихся в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи

ОБЩЕЕ ЧИСЛО ТРЕБОВАНИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В СИСТЕМЕ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислено среднее число заявок, одновременно находящихся в системе.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue. The average number of requests, that are simultaneously presents in the system, is calculated.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-4] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью v=l/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ¡1 , ^ а интенсивность поступающего в систему потока заявок как Л .

В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором так называемые «нетерпеливые» заявки покидают очередь лишь до достижения ^ некоторого фиксированного значения длины очереди. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е. После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Л/¡1. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы p0

P0 =1 em-1 (р)+

(m- 1)!(m- р)

1-1 P

m + E-1

(m-1)!

m

E

[r(m/ p)E1(a\m/ p)-1 ]

(1)

и вероятностей стационарных состояний системы Pk =£^P0 при k<m ;

E

m

P

+

+

к

—_Е._р при т < к < т + Е ;

.......к-т ^

Рк —

Рк . к-т т!т

ак

Р

-р при к > т+Е,

т! ^ (т/Р + 1\-т-Е

где ет (р) - неполная экспонента [5, 6]. При этом - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях {а)к — а (а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)0 — 1 - символ Похгаммера [7], при этом (1)к — к !. Величина а—р/р — Х/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. Напомним, что е0(р) — 1 и в;{ р)= 0 для всех 1 < 0.

В формуле (1) Е1 - функция Г Мит-

таг-Леффлера первого порядка, определяемая соотношением

ад к

(2)

(обобщение показательной функции ехр z). Эта функция хорошо известна специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [8, 9], заметим, что при £ — 1 функция Г. Миттаг-Леффлера совпадает с

экспонентой: Е1 (2;1)—е2. В работе [1] получено также рекуррентное соотношение для функции Г. Миттаг-Леффлера

Е1(?£ +1)—1

или

(3)

Ех(г£)—ЕМ + 1)+щ.

В работе [2] найдена вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой ад Рт Р т + Е_1 к-т Рожид — У Рк — т, У —-+

Р

к—т т + Е

Р0

к—т т к - т-Е

к-т

а

_ у _

т\тЕ к—т+Е (тР+ 1)к-т-Е

„т „ Е-1 к „т + Е _ ад _Р Р0 у Р_+р_Р0 у

к

т! тк т\тЕ к—0 °р + 1)к

к — 0

Р Р0

(т-1)\(т-р)

1-1 ^ т

Е

пт + Е р

+ Р | Е0 Г(т/Р+1)Е1{а\тР+1).

т\т

Из соотношения (3), однако, следует г(т/р+1)Е1(а;т/р+1)—

—-[г(т/ Р)Ех(ат! Р)-1 ]. Р

так что в итоге имеем

рожид

т „

Р Р0

Р

(т- 1)\(т-Р) т+Е-1

1-1 ^ т

Е

р[г(т/р)Е1(а,т/р)-1 ] . (5)

(т-1)\ тЕ

Заметим, что выражение для вероятности ожидания обслуживания заявкой можно записать в наиболее компактном виде, как

рожид—рожид{0)\1-[т + т^т 4

где

Мг(т/ рЕат р)-1 ]},

РтР0

Рожид (0)— (т - 1)\(т°-Р)

(6)

- выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [5, 6]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметров р и Е , содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе р00 — Р00 (р, Е) согласно формуле (1).

В предельном случае, когда Е — 0, последнее

соотношение переходит в известную формулу [5, 6] Рт-1 р

Рожид — Р°°_ 1)0 [г(т/Р)Е1(а;т/р)-1 ]—

—Рожид^^РР^тРЕ{а;т/р)-1 ],

как и следовало ожидать. При малых значениях параметра р, имеет место разложение [2]

р0жид ~р0жид(0)\ 1 ( т

Е

Р_Р(т + 2р) р2

_ (т _ р)2 (т _ р)

откуда имеем

рожид (°) рожид '

ррожид{0)( р

(т-р)2

Е

р-

т + 2 р р2 (т-р)2 р

(7)

Как видим, во втором предельном случае, при стремлении параметра р к нулю, величина рожИд ,

как это и должно быть, стремится к рожИд (0).

В работе [3] получено выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под

т

+

X

р

х

+

обслуживанием (среднее число занятых каналов), которое имеет вид

т=р-{т-р\Рожид<^)-Рожид \• (8) При малых значениях параметра р, используя разложение (7), отсюда имеем

т»Р\ 1-рожнд(0)[р_ т-р у т

р-т+2Р р2 р (т-р)2 р

Как видим, при р = 0 формула (8) даёт т = р, как и должно быть для модели М/М/т.

В работе [2] также установлено следующее соот-

ношение для дисперсии числа занятых каналов:

2

= Р- Р Рожид -(т-т)(р-т) •

(9)

При р=о, т = р и а2т = р-рРожид(0) в соответствии с результатами [4, 5]. Интересно отметить, что соотношения для т и а^т не содержат зависимости от

параметра Е в явном виде, вследствие чего по форме эти выражения совпадают с аналогичными выражениями модели [5, 6], в которой значение этого параметра равно нулю. Это означает, что в первом предельном случае (по принятой здесь терминологии), то есть при Е = 0, предельный переход к известным решениям [5, 6] выполняется автоматически.

В работе [4] дан вывод формул для наиболее существенной величины, характеризующей системы массового обслуживания с ожиданием - среднего числа требований, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, или, что то же самое, средней длины очереди. Средняя длина очереди

1 = р Р ожид(о)

т-р

1-\т т

Е

+ [трр-Е^[рожид(0)-Рожид \. (10)

В первом предельном случае, когда Е—-0, последнее соотношение переходит в известную формулу [5, 6]

1 ={Р[ (0)-Рожид Ь

как и следовало ожидать. При малых значениях параметра р в соответствии с формулой (7) из соотношения (10) имеем

1

1 „ р Рожид (°) I 1

т-р I т- рут

р\ [т+2р

т-р

+Е \Р\=

=1(0)11-т

т- ру т

Е

т+2 р т-р

+ Е \р

откуда следует, что во втором предельном случае, когда р — 0, это соотношение также переходит в известную зависимость

1(0) =

р р ожид (°)

т-р модели М/М/т.

Дисперсия числа заявок (требований) в очереди

а=

р Рожид,0) | (т-р)2 |

р Рожид -(т-р) ~1 ' р

т+р-|-р1 [т+р+Е(т-р\\+

1-

Е

т-р

-Р \- 1 •

(11)

В первом предельном случае при Е — 0 отсюда имеем соотношение [5, 6]

2 = р Рожид -(т-р) 1

- 12,

' / — -

1 Р

что очевидно. В свою очередь, используя зависимость (7), несложно проверить, что во втором предельном случае, при стремлении параметра р к нулю, соотношение (11) после ряда простых преобразований перейдёт в соответствующее соотношение многоканальной модели без ограничений (модель М/М/т)

2 (0)=

(т + р)1(0) -2

т-р

-1 (0).

В данной, завершающей работе этого цикла публикаций, мы найдём статистические характеристики для общего числа требований, одновременно находящихся в системе массового обслуживания данного типа. То есть найдём во-первых, среднее число требований, одновременно находящихся в системе в целом , и во-вторых, дисперсию общего числа заявок системе.

Ясно, что общее число заявок в системе массового обслуживания открытого типа складывается из заявок (требований), находящихся в обслуживающем устройстве и заявок (требований), находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания. В этом случае среднее число требований в системе в целом определяется выражением

к=т+1=р-(т-рр[Рожид(0)~Рожид \+

р Рожид(0)

т-р

1 -\р

(

+

т - р

- Е

=р+

[ Рожид (0) Рожид \ р Рожид (°)

(12)

т - р

1-1 р т

1—Р(т-р)-Е \Рожид(0)-Рожид \.

В первом предельном случае, при Е=0, отсюда, очевидно, следует известное соотношение [5, 6] к = т+1

=р+

1 Р {т-р)[ Рожид (0)- Рожид \

р

=р+(1 -р)1.

Во втором предельном случае, при р — 0, в согласии с разложением (7) имеем

рРожид{0)

хП-

1

Е

т-р

т-ру т

р Г I т-р+^+Е |р

т-р

Е

а

+

Е

+

+

откуда при р — 0, как и следовало ожидать, вытекает формула [5, 6]

к —т+1—р+1

■ р +

Р рожид _р(т-р + рожид )

m - р

m-р

(модель М/М/т).

Ковариация числа требований, находящихся в очереди и под обслуживанием, как известно, определяется соотношением

Kml _ Z m (k - m) Рк - m l

(13)

[например, известная монография 10] и тогда в данном случае имеем

Kêl _ ml - ml _(m - m )l.

(14)

В этом случае второй центральный момент общего числа заявок в системе имеет вид

—+2 кт1

--р-рРожид-(m-m) (р-т) +

р Рожид (0) <

(m - р)2

m + р-|-р| [m + р+E(m-р)]

m

ррожид -(m-р) I Г !-_A-12 + 2 (m - m )U

ß У m-р )

_р-р Рожид+(m

+ (m-m)(2l-р+m )+

ррожид (0) { m + р-( р)Е [ m + р + E (m-р)]\+

(m-р) { Уm ) J

(m -

ррожид -(m-p)l

' ß

1 - ^-ßV I2

m-р

(15)

В первом предельном случае, при Е—0, как и должно быть, отсюда, имеем соотношение [5, 6]

значении параметра р — 0 формула (15) переходит

в соответствующее соотношение модели без «нетерпеливых» заявок (по классификации Дж. Кен-далла - модель М/М/т), при этом

Кт1— (т-р) 7(0)—РРожид(°);

(т + р)7(0)

k _ р + ррожид +-

m-р

■7(0) 2

Литература

1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 8. С. 123-126.

2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 21. С. 144-147.

3. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Расчёт коэффициента загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2017. Т. 20. № 2. С. 88-92.

4. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Среднее число заявок в очереди на обслуживание в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2017. Т. 20. № 6. С.87-92.

5. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

6. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций. М.: Наука, 1966. - 672 с.

9. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. - 591 с.

10. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский, Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., Наука, 1969. 512 с.

_р-р Рожид +(2-ßß(m - mYl +

рРожид -{m-р)7 -72 +---7 •

ß

Во втором предельном случае, используя асимптотику [2], несложно образом можно показать, что при

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].

© A. P Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].

k _m+1

E

+

+