CC BY
19
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи
СУММАРНОЕ ЧИСЛО ТРЕБОВАНИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислено среднее суммарное число заявок, одновременно находящихся в этой системе.
Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.
Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated the average number of requests that are simultaneously presents in this system.
Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-4] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью V = 1/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ¡1, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как Л
В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположено, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания л заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем m+N . Ясно, что при N^1 такая система массового обслуживания сводится к изученной в работах [5, 6]. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Л/л . Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.
В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы ро
Г m-\
p0 ={*m-\(p)+m-T)!
[г(т/ PE^aml ^)-\ + ]j-\ г(т/р)
N + \
' (m/p+N) Y{mP+N)
(\)
где ет(р) - неполная экспонента [4, 5] (напомним, что ео( р) =1). В этих формулах
N
eNZ)=Z z
=0 r(4+k)
(2)
k = 0
- неполная функция Г. Миттаг-Леффлера первого порядка, введённая в рассмотрение в работе [1]. В предельном случае, когда N^1, третье слагаемое в квадратных скобках этого соотношения стремится к нулю и тогда формула (1) переходит в известное соотношение
Ро =
em-\(р) +
т-\
Р
(т- \)
[г(т/ р)Е\ {am Р)-\ ]
-\
модели [5, 6], как и следовало ожидать. При этом формулы для вероятностей стационарных состояний системы имеют вид
к
Рк =рк~Ро при к <т ;
Рк =
Р
,,к-т
Ро =
т! (тР+\)к
=Р1 ак-т Г(т/ p+\) p т! г(т/р+\+к-т) 0
рт-\ ак-т+\
Г(т/ Р)
(т-\)! (тР+к-т) г(т/p+k-т)
Ро
при т<кйт+N,
где (a)k = a(a + \)(a + 2) ... (a + к - \); (a)o = \ - символ Л. Похгаммера [7].
i04
X
N
+
т
+
+
+
Д
I
т
о РМ
Величина а_р/р_Х/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. При этом - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из оче-
реди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки.
В работе [2] найдены вероятность отказа в обслуживании вновь поступившей в систему заявки
„т-1 ~
Р _ Р _Р_Ро_х
Нотк - Ит + N - ' - - х
N + 1
(т-1)!
гИр)
(т/р+М) Г(т/Р+М) '
(3)
и вероятность ожидания обслуживания поступившей заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой
Рожид_ртП [гИ^ЕММ/АМ ] (4)
В предельном случае, когда N ^ да, соотношение (4), как и следовало ожидать, переходит в известную мультипликативную зависимость [5, 6]
рт-1 п
Рожид = (т-1)0 [Г(т/РЕМ, т/р)-1 ].
В работе [3] были получены формулы для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
т_р-(т-р)[рожид(0)-пожид-Ротк ]
или
т
_р(1-Ротк )-(т-Р)
\Рожид (0)-Рожид ]+ тРотк =
(5)
где
Рожид (0 _
т
р Ро
(т-1) !(т-р)
- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [5, 6]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметров р и N, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро _ Ро (Р, М) согласно формуле (1). Очевидно, что при М^да Ротк ^0 и тогда соотношение (6) переходит в известную формулу [5, 6]
т_р-(т-р)[Рожид(°)-Рожид ].
Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа
X
X
к.з.
И И^-Рожид(0о) Рожид Ротк]
соответственно коэффициент простоя
к п_1 -кз._(1-тг)[1+Рожид(о)-Рожид-Ротк ].
т
к. з<к.з(о)
соответственно
Заметим, что к. п.ж.п(о).
Дисперсия числа занятых каналов при этом определяется соотношением
_р-р(Рожид + Ротк)- (т - т) р- т)
или
_р^-Ротк)-рРожид -(т-т)(р-т).
При М^да поучаем отсюда известное соотношение [5, 6]
_р-р Рожид -(т-т)(р-т).
В работе [4] дан вывод формул для наиболее существенной величины, характеризующей системы массового обслуживания с ожиданием - среднего числа требований, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, или, что то же самое, средней длины очереди. Средняя длина очереди
1_
(т- р)[Рожид(о) Рожид Ротк ] Р Ротк
р
(6)
или в наиболее компактном виде
(т - р) [ Рожид(о) - Рожид ]-т Ротк
1_-
р
При М^да имеем Рожид _о, Ротк _Пт_ртРо/т!
и тогда из соотношения (6) следует I _ о , как и следовало ожидать.
Дисперсия числа требований в очереди
р(Рожид-М Ротк)-(т-р)1 -12
Р
(7)
Легко видеть, что последнее соотношения при стремлении параметра N ^да переходит в известное соотношение [4, 5]
2 р Рожид -(т-р)7 72 а, _--7 ,
7 Р
модели без ограничений, а в пределе М = о, очевидно, даёт а7 _ о , что очевидно. Справедлива также формула [4]
^^-Ро^_р(1-Ротк)-р7 , (8)
V V
которую легко проверить представленными выше соотношениями (5) и (6).
В данной, завершающей работе этого цикла публикаций, мы найдём статистические характеристики
для суммарного числа требований, одновременно находящихся в системе массового обслуживания данного типа. То есть найдём во-первых, среднее число требований, одновременно находящихся в системе в целом, и во-вторых, дисперсию суммарного числа заявок системе.
Ясно, что суммарное число заявок в системе массового обслуживания открытого типа складывается из заявок (требований), находящихся в обслуживающем устройстве и заявок (требований), находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания. В этом случае среднее число требований в системе в целом определяется выражением
к_т+7_р(1-Ротк)+1-рРх
х {(т-р)[ Рожид (о)- Рожид ]-тРотк }_
_ р (1 - Ротк ) + (1 -Р)7 .
(9)
В первом предельном случае, когда о, последнее выражение, очевидно, вырождается в простую зависимость к _ р(1-ротк) , поскольку в этом
случае I _ о . Во втором предельном случае, когда М^да, соотношение (9) также переходит в известное соотношение [5, 6]
к_т+7
_р+-р (т - р) [Рожид(о)- Рожид ] =
_р+(1 -Р) 7,
поскольку при этом, напротив, ротк _ о , рожид ^ о.
Ковариация числа требований, находящихся в очереди и под обслуживанием, как известно, определяется соотношением
да
кт/ _ X т(к-т)рк-т7, (1о)
к_т+1
[например, известная монография 8] и тогда в данном случае имеем
К т7 _т7 - m7 = (m-m)7.
(11)
В этом случае второй центральный момент суммарного числа заявок в системе имеет вид
_ат +а7 + 2Кт!
_р(1-Потк)-рРожид -(т-т) (р-т) + р{рожид-Мротк)-(т-р)7 -72 + 2 (т-т) 7_
Р V '
_ р (1 - Ротк)-р Рожид-(т-т) (р-т-27)+ ^р(Рожид-М Ротк) -(т-р)7 72
Р
(12)
1о6
В первом предельном случае, когда N = 0, очевидно, отсюда имеем Кт/ = 0 ,
ак ==т = т-р{т~т)Ротк , поскольку в этом случае рОжИд = 0, 1 =0 и т = р{ 1-рОТК). Во втором предельном случае, когда N , как и должно
быть, отсюда, в свою очередь следует уже известное соотношение [5, 6]
= Р-РРожид+{2-Р)(т-т)1 +
РРожид -{т-р)1 -.2
+---' ,
Р
поскольку при этом, напротив, рОТК = 0, следовательно, т = р-р1.
Литература
1. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 11. С. 136-139.
2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания в системе с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2016. Т. 19. № 21. С. 151-153.
3. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Средняя длина очереди в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2017. Т. 20. № 6. С. 100-104.
4. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Расчёт среднего числа занятых каналов системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технол. ун-та. 2017. Т. 20. № 2. С. 97-99.
5. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.
6. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.
8. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский, Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М., Наука, 1969. 512 с.
© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].
© A. P Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].
