Средняя длина очереди в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи

СРЕДНЯЯ ДЛИНА ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди и вычислено среднее число занятых каналов обслуживания этой системы.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

Presented the mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the queue and calculated the average number of busy service channels of this system.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-3] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью г = 1/1. Интенсивность обслуживания заявки в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как л

В работе [1] рассмотрен такой вариант постановки задачи, в котором фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположено, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания ц заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем m+N . Ясно, что при N такая система массового обслуживания сводится к изученной в работах [4, 5]. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Л/ц . Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [1] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы р0

Р0 =1 em-1 (р) +

m-1

Р

(m-1)!

о S Рм

х

т{т1р)Е?{(х,т1р)-\-

оР+1 г(т 0)

(т!Р+М) г(т/0+^)

1-1

(1)

где ет(р) - неполная экспонента [4, 5] (напомним, что е0( р) =1). В этих формулах

N

=° г(^+к

(2)

к = О

- неполная функция Г. Миттаг-Леффлера первого порядка, введённая в рассмотрение в работе [1]. В предельном случае, когда N ^ю , третье слагаемое в квадратных скобках этого соотношения стремится к нулю и тогда формула (1) переходит в известное со-

отношение

Ро =

т-1

ет-1(р ++т0! [ Г(т0)Е1 (0 т/0)-1 ]

модели [4, 5], как и следовало ожидать. При этом формулы для вероятностей стационарных состояний системы имеют вид

Рк

Рк = к[Ро при к<т;

к-т

Рк =

т

^ок-т т!

т! (т/0+1)к-А

г(т 0+1)

-Ро =

г(т/0+1 + к-т)

Ро =

. Р

т -1

к-т+1

____г(т0) и

(т-1)! (т/0+к-т)г(т/0+к-т)Ро при m<k<m+N,

где (а)к =а(а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)о = 1 - символ Л. Похгаммера [6]. Величина о = р /0 = Х/у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. При этом 0 = у/ц - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки.

В работе [2] найдены вероятность отказа в обслуживании вновь поступившей в систему заявки

г(т/0)

Ротк = pm+N =

т-1 П N+1

Р Ро о

(3)

(т-1)! (т/0+*) г(т/0+^ и вероятность ожидания обслуживания поступившей заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Эта вероятность определяется формулой

Рожид=

(т-1)

В предельном случае, когда N ^

рт-1 Ро [г(т0)Е^(от0)-1 ] (4)

соотношение (4),

как и следовало ожидать, переходит в известную мультипликативную зависимость [3, 4] пт-1 Р

Рожид =т_ 1)0 [ г(т 0)Е1 (о т/ 0)-1 ].

В работе [3] были получены формулы для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов): т = р-(т-р)[Рожид(°)-Рожид-Ротк ]

или

т = Р(1-Ротк)-(т -Р)[Рожид (о)-Рожид ]+ тРотк (5) где

т Р Ро

Рожид(° -(т-1)!(т-р)

- это выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [4, 5]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметров 0 и N, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе Ро = Ро (0^) согласно формуле (1). Очевидно, что при N^ю Ротк ^О и тогда соотношение (6) переходит в известную формулу [4, 5]

т = р-(т-р)[Рожид(°)-Рожид ].

Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа

к. з.

= т Р)[Рожид(°) Рожид Ротк ]

соответственно коэффициент простоя

К. П. =1 - К.з = (1 ■- р |[ 1 + Рожид (°)- Рожид - Ротк ].

что

к.з.<к.з.(°)

соответственно

Заметим,

к. п. > к. п.(°).

Дисперсия числа занятых каналов при этом определяется соотношением

°т =Р-Р(Рожид + Ротк)-(т-т) (Р-т)

или

~ Р (1 - Ротк)-Р Рожид -(т - т) (р-т).

При N ^ ю получаем отсюда известное соотношение [4, 5]

^^ = Р-РРожид-(т-т) (Р-т).

В настоящей работе дан вывод формул для наиболее существенной величины, характеризующей системы массового обслуживания с ожиданием -среднего числа требований, одновременно находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, или, что то же самое, средней длины очереди.

Согласно общей формуле для среднего числа требований, находящихся в очереди (средней длины очереди)

m+N Рт _ m+N ок-т

/= х(к-тРк =т X (к-т о

к=т+1

т п N

Р Р° X к

к=т + 1

(т/0+1) к_,

т!

т+1 п л N

_Р Р° < X

к=1

(т0+1)к т!0 dоk-0 (т/0+1),

Но согласно соотношениям, полученным в работе [1], имеем

X

к

z

т

р

а

ю

к

к

а

о

N k

У , а ч ^(m/ß + l)Е/V(а;m/ ß+1)

k=0 (m ß+i)k 1

и тогда

/=£mm!ß0 ß+1)^N(am ß+1]=

m+l _

=~Р-Pl r(m ß)daEf(am/ ß+l).

(m -1)! ß2 — 1

С другой стороны, из определения (2) следует

N

—EN(z—)=— У

z

k

dzk=0 Г—+k 1 N

=z У (k-^)"

N zk-1

^У kz

k = 0

,k

Г—+ k)"

' k=0

Г—+k)

N

z У — + k)

k

— N k

--У z

\ T ¿-I

k = 0 N

У (-+k-l+l)

Г- + k) zk=0 Г—+ k) k

k=0 k N

k=0

=1

z

-- У

N

У-+к-i)

/

k=0

—+k-i)r(-+k-1)

+

N zk

+k?0 Ф+^Т^

N

N zk

r(-

k = 0

z

Г—+k)

У _£_

k=0 Г—+ k-1)

N zk

-(--1)У z

k=0 Г- + k)

1 [ EN (z—-1)-(--1) E? (z—)].

Таким образом, первая производная неполной функции Г. Миттаг-Леффлера определяется выражением

^/(г; #)=1 [е/(* 1)-(#- 1)е/(^)]

dz

или

—zE\(z;-+1)=7 kN(z; -)--EN(z; -+1)].

Но для неполной функции Г. Миттаг-Леффлера справедливо рекуррентные соотношения [1]

zN+1 Г—)

EN(z—)=zENz—+1)+г—)

или -N

E1N(z—+1)=1 |E1N(z-)-r1-)

1-

1 (-+N)r(-+N)

zN+1 Г—) (-+N)r(-+N)

откуда имеем

ddzENz—+1)=

=i |(z-—E^ri+J—

,N+1

1 —

Г(-)

В предельном случае N ^ » эта формула переходит в известное соотношение [4, 5]

ddzE1(z—+1)=z ^-i^z-^j

для классической функции Г. Миттаг-Леффлера. В итоге имеем

dzE1N(am/ ß+1)=

=ß L-m)EN(a-

m

m)

(6i-

aN+1 iWß)

(mß+N) г(mß+N)

и тогда из соотношения (6) следует m-1

/ =

(p - m) eN (а—) +—т—^

1-

Р Р Г(—ß)x (m- 1)!ß V 'И'

N+1

m

г(mß)

(mß+N) T(m/ß+N)

N+1 г(mß)

+m

(mß+N) n(mß+N)

Р-^ [m-(m-pMm/ ß)EN(a—)]-

mpm-1 aN+1 г(— ß) = (m- 1)!ß (m/ß+N) ^m^N)

„m-1 „ Р Po

- (m- 1)!ß IР-(m-р)[Г(mß)EjN(а—)-1 ]J-и тогда

/= Р)[pожид(0) рожид-ротк \-Рротк (9) ß

или в более компактном виде

/ = (m - Р)[ Рожид(0) - Рожид ]- m Ротк = ß При N = 0 имеем Рожид = 0, Ротк = Pm = =PmP0/m! и тогда из соотношения (9), как и должно быть, следует l = 0 .

Далее, как мы знаем, на каждую из заявок, стоящих в очереди, действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью, а это, в свою очередь, означает, что из среднего числа / заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, v так называемых нетерпеливых заявок в единицу времени. При этом, однако, в очереди одновременно могут находиться не более N заявок, любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Тем самым всего в единицу времени система обслужит

А = Л(1- Ротк(-У' заявок. В этом случае относительная пропускная способность такой СМО, то есть доля обслуженных заявок среди всех поступивших в систему, будет, очевидно,

А = Л(1-Ротк)-v/ , _ v /

q=i~—i—Ротк~ I1

или

q = 1- Ротк-//а.

Среднее же число занятых каналов т, как обычно, можно получить путем деления абсолютной про-

х

k

пускной способности А = Х(1-Ротк)-у 1 на скорость обслуживания одной заявки и, откуда вытекает связь

т= А = Х (1 -Ротк)- у 1

Далее, согласно формуле (8) и рекуррентному соотношению (7) имеем

<

т=—=-И

~ = Р(1 - Ротк к)- 01

(1°)

справедливость которой легко проверить получен ными выше соотношениями (5) и (9).

Дисперсия числа требований в очереди N Рт Р N ок-т

а2 = Х(к-1)2Рк-/2 =РРР0 Х(к-т)2 о

4

г

и тогда

N +1

1-

г(£)

(í+N) г^)

-ту

(т0+1)к-

/2.

¡г ¡г 1 ' ' ¡г

7к+1 1 V ь/ 1 V .ь ! (^+N)г(^+N)

к-т

к=т+1 ' к=т+1

Найдем сначала осредненный квадрат величины к - да:

m+N тР m+N ок-т

X (к-т)2Рк X (к-т)2

-E1N(zí+l)+(z_í)-|E1N(z{+1)_ÍN^

к=т+1

т _ N к

_Р Р° о

Р

к=т+1 т+1Р0 <

(т0+1)к-/

N + 1

т

к= (т0+1)к т!0

т +1

=£-А! г(т 0+1)<

т!0 ' о

т+1

ао

о

а< X

¡¿О (т0+1)к

N+1

г(#) (^г^И)

(N+1):

N+1

В данном случае соответственно

а-&Е1(а;т/ 0+1) ¡о

<а

¡о

а-<Еl(а т/0+1) ¡о

. =Р""Л г(т0)< о<-ЕМт1Р +1)

а

(т-1)! 0

Р

ао _ ао

Е (о;m/p)-

1 о

г +

N + 1

г(т/0) (m/p + N) г(m/p + N)

1+

(т-Р)2

т-р

0

N + 1

г(т/0) (m/Р + N) г(т/0 + !)

X (к - т)2 —

(N + 1),

.N+1

Р0

1

(m/p+N) г(m0+N)

откуда в свою очередь следует

т+" )2 - = (^Р г(m0)(а-_о(а-Еl(аm0+1)

(т-1)!02 <о_ (о

к = т +1

т „

. р Р° .

(т-1)! 0

г(т 0)Е1(от 0)-1+

N+1

__г(т0)

(m/p+N) г(m/p + N)

т-р

0

N + 1

1-

г(т0)

(m/p + N) г(m/p + N)

(N + 1),

N+1

1,(т-р)2

Р0

г(т0)

(m|p + N) г(m/p + N)

р(р ожид + Ротк )

0

1|(т-р)2

Р0

(т-р)2 рожид (°) + (т-р)рРотк (N + 1^

02

р(рожид + ротк ) (т-р)2 [ Рожид (°) рожид ротк \

0

02

(т-рРРРотк N + 1)РРотк = р^Рожид -N ротк)-[т-р)>

0

и тогда в итоге имеем

2 Р(Рожид-N Ротк)-{m-р)1 -.2 а =--/ .

1 0 Легко видеть, что последнее соотношения при стремлении параметра N ^ ю переходит в известное соотношение [4, 5]

а2 _РРожид -(т-р)/ - /2

модели без ограничений, а в пределе N=0 даёт

2

а/ = 0 , что очевидно.

Литература

1. а. п. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание в очереди // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 11. С. 136-139.

И

г

1

1

1

1

1

X

0

0

+

2

0

0

2. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания в системе с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 21. С. 151-153.

3. А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, Расчёт среднего числа занятых каналов системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди // Вестник технологического университета. 2017. Т. 20. № 2. С. 97-99.

4. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

5. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: nguyenthanhbang.nd.vn@gmail.com; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: tranquangquy88@gmail.com.

© A. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: nguyenthanhbang.nd.vn@gmail.com; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: tranquangquy88@gmail.com.