CC BY
97формирование инвестиционных проектов
РАСЧЕТЫ
ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ, ПОКАЗАТЕЛЯ МАСшТАБА ИНВЕСТИЦИЙ И ЧИСТОЙ ДИСКОНТИРОВАННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ
л. п. яновский,
доктор экономических наук, профессор кафедры экономики АПК М. Л. ЯНОВСКАЯ Воронежский государственный аграрный университет им. К. Д. Глинки
Введение
В проблеме оценки эффективности инвестиционных проектов обычно используются четыре группы показателей [1-6]:
1) показатели эффекта (чистый доход, чистый дисконтированный доход — ^Р^;
2) доходности (внутренняя норма доходности — ВНД, модификации ВНД с одной внешней нормой дисконта [2, 4, 7 — 9], модифицированная норма доходности с двумя нормами дисконта [5, 10, 11]; индексы доходности (дисконтированной доходности) затрат и капиталовложений;
3) показатели окупаемости без дисконта и с учетом дисконта;
4) финансовые показатели (рассчитываются для конкретных предприятий — участников проекта).
Как видно из приведенного выше списка работ, основная дискуссия развернулась вокруг показателя ВНД в силу четырех причин:
1) показатель ВНД имеет довольно широкое применение, так как он незаменим для операций
с ценными бумагами. Денежные потоки по таким проектам устроены довольно просто: вначале осуществляются расходы по приобретению ценной бумаги, затем получаются дивиденды и, возможно, доходы от продажи ценной бумаги или от ее погашения. Для таких проектов ВНД всегда существует и обычно трактуется как доходность ценной бумаги. Естественно, что коммерческая фирма при осуществлении проектов в других областях деятельности, и даже в ходе текущего управленческого учета, хотела бы использовать тот же показатель, сохранив, по возможности, его смысл и назначение. Попытка применять ВНД в его неизменном виде к любым денежным потокам приводит часто к абсурдным экономическим решениям;
2) применение ВНД в его неизменном виде приводит к множественности решений. В этой связи квалифицированные специалисты считают, что в случае множественности корней ни один из них не может использоваться для характеристики эффективности проекта: «Если проявляется феномен множественных норм прибыли, то ни
одна из них не имеет экономического смысла, и, следовательно, необходимо использовать другой метод анализа» [12, с. 360];
3) в ряде случаев при выборе взаимоисключающих проектов следует ориентироваться на величину NPV, а не на ВНД; (как будет показано ниже, ориентация на чистый дисконтированный доход — NPV — при рассмотрении рисков нестандартных проектов, содержащих расходы в ненулевые моменты времени, может приводить к неверным выводам);
4) при определении эффективности долгосрочного проекта ВНД сравнивается со средней ставкой годовых альтернативных вложений, которую не всегда можно точно спрогнозировать, особенно если ставки годовых альтернативных вложений сильно изменяются.
В настоящей работе рассмотрен алгоритм с понятным экономическим содержанием, позволяющий, во-первых, определить показатель ВНД для любых инвестиционных проектов; во-вторых, ВНД имеет всегда единственное значение; в-третьих, ВНД удовлетворяет всем требованиям аксиоматики, предложенной С. А. Смоляком [9] (непрерывность; монотонность; однородность; усредняемость для независимых сумм проектов, т. е. (строгая квазивыпуклость и квазивогнутость).
Определения и алгоритм вычисления ВНД
Определение 1. Поток финансовых платежей назовем стандартным потоком первого рода
A, или стандартным потоком кредитора, если он имеет следующий вид: -а0;Ь1;Ь2;...;Ь1 , где а0 > 0;Ь: > 0;Ь2 > 0;...;Ь, > 0. Стандартный поток первого рода является частным случаем регулярного потока (см. определение в [9].)
Определение 2. Поток финансовых платежей назовем стандартным потоком второго рода
B, или стандартным потоком заемщика, если он имеет следующий вид: Ь0; -а{, -а2;...;-а1, где Ь0 > 0;а: > 0;а2 > 0;...;а, > 0 .
Определение 3. Потоки финансовых платежей называются взаимно сопряженными, т. е. В = А , если платежи в первом потоке равны (со знаком минус) поступлениям во втором потоке, и, наоборот, поступления первого потока равны (со знаком минус) платежам второго потока.
Стандартные потоки кредитора и заемщика (см. определения 1 и 2) будут сопряжены, если а0 = Ь0; ах = Ьг; ...;а1 = Ь,.
Из экономического смысла показателей доходности должно вытекать, что доходности сопря-
женных потоков должны совпадать по абсолютной величине, но быть противоположными по знаку.
Определим внутреннюю норму доходности для стандартных проектов первого рода.
Определение 4. Внутренней нормой доходности постнумерандо стандартного проекта первого рода (ВНД1) определим как величину показателя г, являющегося корнем уравнения:
Ь
Ь
1 + г (1 + г)2
+... +
Ь
(1 + г)
= 0.
(1)
Данное определение совпадает со стандартным определением ВНД, которое приводится во всех учебниках по инвестиционному анализу. Отметим, что величина г е (-1;<»), что совпадает с экономическим смыслом доходности (более чем 100 % капитала за один период времени потерять нельзя).
Несколько отличается от этого определения определение ВНД, для которого процесс кредитования начинается с дисконтирования самой суммы кредита по ставке процента кредита (процесс кредитования пренумерандо).
Определение 5. Внутренней нормой доходности пренумерандо стандартного проекта первого рода (ВНД2) определим как величину показателя г, являющегося корнем уравнения:
-а
К
Ь
1 - г (1 + г)2 (1 + г)3
-+...+-
Ь,
(1 + г)
= 0. (2)
ВНД2 всегда лежит в промежутке [-1;1], так как нельзя дисконтировать пренумерандо (забрать при выдаче кредита) более чем 100 % кредита и нельзя потерять более чем 100 % кредита.
Для стандартных проектов второго рода определим внутреннюю норму доходности через сопряженные стандартные проекты первого рода.
Определение 6. Пусть г (А) — ВНД1 или ВНД2 сопряженного к стандартному проекту второго рода В (Ь0; -а1; -а2;...;-а,) стандартного проекта первого рода В = А. Тогда, по определению, г (В) = -г (А).
Из определения 6 вытекает, что должны быть выполнены следующие равенства для г(В): для ВНД1:
-Ь +-+...= 0;
1 - г (1 - г)2 (1 - г)'
для ВНД2:
—Ь0 а а2
- +-1 т" +-^г +... +-
1 + г (1 - г)2 (1 - г)3
(1 - г)'
= 0.
Возвращаясь к исходным финансовым потокам, получаем окончательно:
а
b -
1 - r (1 - r)2 a a
(1 - r)'
- = o;
b
1+r (1 - r)2 (1 - r )3
(1 - r t
= o.
(3)
(4)
Следовательно, доходность стандартного проекта второго рода (3) лежит в промежутке (-<»;1). В самом деле, заемщик, даже не выплачивая долга, не может получить более 100 % займа. Соответственно доходность стандартного проекта второго рода (4) лежит в промежутке (-1;1).
Может возникнуть вопрос: когда стандартные проекты второго рода имеют положительную доходность? Во-первых, при невозвращении или частичном возвращении кредита. Но гораздо чаще осуществляются стандартные инвестиционные проекты второго рода в работе биржевого трейдера. Эти операции называются короткими операциями (short), и их осуществляют трейдеры, прогнозирующие понижение курса акции или фьючерса. Эти трейдеры берут заем у брокерской конторы в виде определенного числа акций, которые затем обязуются вернуть. Эти акции продаются на рынке по текущей цене, а затем покупаются после падения их стоимости и возвращаются брокерской конторе (возможно, частями и в течение некоторого периода времени).
В денежном выражении указанная операция представляет стандартный денежный поток второго рода с положительной доходностью при ее успешном завершении, т. е. если стоимость акций уменьшилась. Аналогичная операция короткой продажи осуществляется для фьючерсов. Продается фьючерс (обязательство) на поставку товара, которого у вас нет. Тем самым трейдер получает денежный заем. Затем, когда цены на товар (и тем самым и на фьючерс поставки) упали, аналогичный контракт на поставку товара покупается. Тем самым выполняются обязательства по займу.
Пусть нестандартный инвестиционный проект задается набором финансовых поступлений q;c2;...q, где значение bi = q > 0 показывает величину денежного поступления в момент времени t = i на счет фирмы, а если -ai = q < 0 , то ai показывает величину расходов, произведенных со счета фирмы. Анализируя финансовый проект «в чистом виде», будем считать, что собственный капитал у фирмы отсутствует в момент времени t = 0 .
Мы полагаем, что на нулевом этапе фирма, обладая нулевым капиталом, условно разбивает проект c1;c2;...cl на два стандартных независимых проекта первого и второго рода. Проект заемщика
состоит из займа величиной М и последующих выплат по займу в размере отрицательных слагаемых (расходов) -а1 = с < 0 исходного проекта, второй проект — проект кредитора — состоит из кредита — М, той же абсолютной величины М, что и в проекте заемщика на нулевом этапе, и последующих поступлений в зачет выданного кредита в виде положительных слагаемых проекта Ь = с > 0 .
При разбиении проекта на два стандартных и последующей оценке доходности принимаются два условия:
1) величина займа М, называемая в дальнейшем масштабом проекта, в стандартном проекте второго рода равна по абсолютной величине — М, величине кредита в стандартном проекте первого рода;
2) оба проекта должны иметь одинаковые нормы доходности ВНД1.
Говоря о двух инвестиционных проектах, мы будем считать их условно независимыми. Это означает, что реализация одного проекта не влияет на затраты и доходы по второму проекту. Требование независимости необходимо, поскольку решения о доходности зависимых проектов должны приниматься при их совместном рассмотрении, тогда как решения о доходности независимых проектов могут приниматься децентрализованно.
Определение 7. Общую норму доходности ВНД1 для обоих стандартных проектов, построенных по масштабу М, назовем внутренней нормой доходности пренумерандо для всего проекта (ВНД2).
Не следует думать, что такое формальное разбиение проекта на два стандартных проекта может отражать реальное поведение фирмы перед началом работы над проектом. Такое разбиение проводится только для выяснения внутренних свойств финансового потока проекта! Это очевидно хотя бы из того, что при положительной внутренней норме доходности всего проекта норма доходности стандартного потока второго рода (потока заемщика) тоже положительна, что противоречит экономическим реалиям. Вычисляя внутреннюю норму доходности нестандартного проекта, мы получаем числовую характеристику соотношения между положительным и отрицательным финансовыми потоками проекта.
Приравнивая в выражениях (1) и (3) для стандартных проектов заемщика и кредитора первые слагаемые, равные масштабу проекта М, получаем уравнение для расчета г = ВНД2 всего нестандартного проекта:
b
V (1 - r)i j (1 + r)
j>0; i > 0, (5)
a
a
a
2
a
2
формирование иЯ&естициоЯЯих ttpoetcmotf-
5 (62) - 2006
где Ь] — положительные поступления на счет проекта в моментвремени/>0, а -а; — отрицательные поступления (выплаты) со счета проекта в моменты времени / > 0.
Для расчета обычной нормы доходности ВНД1 нестандартного проекта следует начинать нумерацию времен поступлений на счет с нулевого момента времени и определить ВНД1 как корень уравнения:
/ > 0; j > 0 .
(6)
^(1 -г) <Т(1 + гУ
Тогда дисконтирование нестандартного проекта начинается с запаздыванием на один момент времени по сравнению с формулой (5).
Рассмотрим численный пример с использованием пакета МАТНСАО (ниже приводится листинг расчетов).
Вычисление ВНД2 и ВНД1.
Исходный денежный поток задан в виде вектора:
(-100 200 300 -210 100 -200 400 250 -200 300) г := 0.5
Задано:
100
1 -г
210
200
200
200
300
100
400
250
300
(1-г) (1 - г) (1 - г) ВНД2: = Find (г)...ВНД2 = 0,067
М := ■
100
210
(1 + г) 200
(1+г) 200
3
(1+г) (1 + г) (1 + г) (1+г)
10
1 ВНД2 (1_ВНд2)4 (1-ВНД2)6 (1-ВНД2)9.
М= 1057,444 — масштаб проекта с дисконтированием пренумерандо. Задано:
210 200 200 200 300 100 400
100 +
250
300
ч3
(1-г) (1-г) (1-г) ВНД1: = Find (г)...ВНД1 = 0,08 М := 100 +
210
200
(1 + г) „ 2 (1+г)
200
(1 + г) (1 + г) (1+г) (1+г)'
ч3
(1-ВНД1) (1-ВНД1) (1-ВНД1) • М= 1063,442 — масштаб проекта с дисконтированием постнумерандо.
В то же время обычный способ вычисления ВНД нестандартных проектов дает явно абсурдную норму доходности, равную 1,836. Задано:
-210 -200 -200
-100+-+- +-
N3
200
300
100
400
250
300
О + г) ,, ,2
(1 + г)
7
С
(1+г) (1+г) (1 + г) (1 + г)
(1+г) (1+г) (1 + г) ВНДЗ: = Find (г)...ВНДЗ = 1,836.
Кроме того, следует помнить, что единственность ВНД гарантируется в промежутке [-1;1]. В приведенном выше проекте есть еще одно решение уравнения, определяющего ВНД, выходящее за пределы отрезка [-1;1]. Это решение равно 3,013246.
г1 := 3.013246.
Задано:
100-
210
200
200
3 5 8
(1-г1)~ (1 — rl) (1 — rl)
200
300
100
400
250
П+Г) /1 ч2 (1+г)
300 "|
~г ~г ~г ;
4 6 7 9 I
(1 + г) (1 + г) (1 + г) (1 + г) J
О
ВНДЗ: = Find (г)...ВНДЗ = 3,013246.
Вернемся к вышеописанной процедуре экономического обоснования получения формул (5) и (6) на основе разбиения нестандартного проекта на два штаба проекта совместить с его началом и снова при-стандартных первого и второго рода. Для получения формулы (5) момент выбора кредита — Ми займа М
был выбран на единицу ранее начала проекта. Но для получения уравнения (6) следует момент выбора мае -
менить для расчетов внутренней нормы доходности стандартных проектов формулу расчета ВНД 1.
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЖВОРЪЯ Ъ ЪР/ГКЖЪКа
Замечание. Для стандартных проектов первого и второго рода уравнения (5), (6) сводятся к соотношениям (1), (3) для стандартных проектов первого рода и к соотношениям (2), (4) для стандартных проектов второго рода.
Следующее утверждение показывает, что ВНД1 и ВНД2 нестандартного проекта — единственные при предположении, что ВНД лежит в промежутке (-1,+1).
Утверждение 1. Уравнения (5) и (6) имеют единственные решения на отрезке (-1,+1).
Доказательство. Рассмотрим, например, уравнение (5). Пусть
АО-) = 1
Ь
(1 + г)1
Ш) = 1
(7)
(8)
Т1 (1 - г)'
Тогда легко видеть, что /г(г) — убывающая непрерывная функция на отрезке (-1,«) и /1(г) ^ ж при г ^-1 ; /(г) ^ 0 при г ^ж . Далее /2(г) — возрастающая непрерывная функция от нуля до бесконечности на отрезке (-ж;1). Следовательно, на участке (-1;1) графики /1(г) и /2(г) пересекаются (рис. 1). Что и требовалось доказать. Для уравнения (6) единственность корня доказывается аналогично.
Отметим важные свойства ВНД, которые были справедливы для ВНД стандартного проекта первого рода, а теперь эти свойства распространены на ВНД нестандартных проектов.
Непрерывность ВНД. Непрерывность ВНД означает, что если два нестандартных денежных потока имеют близкие параметры (доходы и расходы в каждый период времени мало отличаются друг от друга), то и ВНД двух нестандартных проектов будут мало отличаться друг от друга.
-1
1
Рис. 1. Схематические графики функций /(г) и / (г) и г*=ВНД проекта
Доказательство вытекает из непрерывной зависимости решений алгебраических уравнений (5), (6) от коэффициентов уравнений.
Монотонность ВНД. Монотонность ВНД означает, что с увеличением доходной части проекта или с уменьшением расходной части проекта ВНД возрастает. Более того, ВНД проекта возрастает при переносе доходов на более раннюю стадию проекта и переносе расходов на более позднюю стадию проекта.
Утверждение 2. ВНД нестандартного проекта возрастает с увеличением доходной части проекта или с уменьшением расходной части проекта.
Доказательство вытекает из того, что при возрастании доходов функция /х(г) возрастает, а при убывании расходов убывает функция /2(г), при этом аргумент г*=ВНД, т. е. точка пересечения функций сдвигается вправо (см. рис. 1) — и, следовательно, доходность возрастает. Строгое математическое доказательство этих фактов следует из монотонности функций /(г) и /2(г) и свойства усредняемости для стандартных потоков кредитора и заемщика нестандартного проекта, доказанного ниже.
Утверждение 3. ВНД нестандартного проекта возрастает при сдвигании доходов на более ранний период только в случае, если ВНД было положительным. ВНД нестандартного проекта возрастает при сдвигании расходов на более поздний период только в случае, если ВНД было отрицательным.
Полная картина изменений доходности при временных сдвигах представлена в табл. 1.
Доказательство. Используя данные табл. 1, докажем в качестве примера свойства, сформулированные в утверждении 3. Остальные свойства, приведенные в табл. 1, доказываются аналогично.
Функция / (г) при г>0 возрастает при сдвигании доходов на более ранний период в силу уменьшения степени в показателе дисконтирования, а функция /2(г) при КО убывает при сдвигании расходов на более поздний период в силу увеличения показателя степени дисконтирования (рис. 2. и 3). В обоих случаях аргумент г*=ВНД — точка пересечения функций сдвигается вправо (см. рис. 1) — и, следовательно, доходность возрастает. (Строгое доказательство этого факта следует из рассмотренных свойств функций /1(г) и /2(г)и свойства усредняемости для нестандартных проектов, рассмотренного ниже.)
Итак, если нестандартный проект имеет положительную доходность, то более раннее получение доходов в линии кредитора и более ранняя расплата по займу в линии заемщика увеличивает доходность всего проекта.
а
г
г
Таблица 1.
Изменения доходности нестандартного проекта при временных сдвигах поступлений и выплат по проекту
Доходность проекта Поступления Расходы Изменение ВНД нестандартного проекта
Положительная Сдвиг к началу проекта Сдвиг к началу проекта Возрастает
Положительная Сдвиг к концу проекта Сдвиг к концу проекта Убывает
Отрицательная Сдвиг к началу проекта Сдвиг к началу проекта Убывает
Отрицательная Сдвиг к концу проекта Сдвиг к концу проекта Возрастает
Нулевая Сдвиг к началу проекта Сдвиг к началу проекта Не изменяется
Нулевая Сдвиг к концу проекта Сдвиг к концу проекта Не изменяется
Рис. 2. Изменение функции /х(г) при переносе доходов проекта на более ранний срок
Если первое утверждение не вызывает сомнения, то более ранняя расплата по займу (в случае положительной доходности) может вызвать возражения экономиста. В оправдание мы снова обратимся к коротким операциям с акциями на финансовом рынке. Вначале операции на рынке продается по текущей цене заемный пакет акций. Затем трейдер ожидает снижения цен на рынке акций. Если удается вернуть заемный пакет акций, купленный по более низкой цене, раньше, чем предполагалось купить эти акции (по той же низкой цене), то доходность операции возрастает (в связи с возможностью последующих вложений освободившихся средств).
Второй аргумент в пользу экономического обоснования более ранней выплаты расходов по проекту с положительной доходностью состоит в определении ставки дисконтирования как рисковой ставки проекта. Чем дальше по времени запланированы расходы по проекту с положительной доходностью, тем больше риска, что эти расходы возрастут в силу непредвиденных обстоятельств (например, произойдет непредвиденный рост цен на ГСМ, или будут приняты более жесткие экологические законы, или цена акций или фьючерса изменится в неблагоприятную сторону и т. д.).
Поэтому при дисконтировании нестандартных денежных потоков с положительной доход-
Рис. 3. Изменение функции ^(г) при переносе расходов проекта на более поздний срок
ностью рисковая ставка дисконтирования должна уменьшать предполагаемые доходы и увеличивать предполагаемые расходы проекта. В настоящее время применяется ставка дисконтирования, уменьшающая реальные доходы и расходы по проекту, копирующая действие совершенно иных механизмов: во-первых, влияние инфляции на доходы и расходы и, во-вторых, позволяет дать депозитную трактовку дисконтирования, т. е. ответить на вопрос: какую сумму следует положить на депозит со ставкой процента, равной ставке дисконтирования, чтобы в конце проекта на депозите оказалась сумма, равная компаундированному (суммарному) доходу от проекта.
Инвариантность при изменении масштаба. При умножении всех доходов и расходов нестандартного проекта на положительное число его ВНД не меняется, а показатель масштаба проекта умножается на это число. При умножении всех доходов и расходов нестандартного проекта на отрицательное число его ВНД меняет знак на противоположный. Абсолютная величина ВНД при этом не меняется, а показатель масштаба проекта умножается на эту абсолютную величину числа. Свойство инвариантности часто используется, когда желательно информировать кого-либо об эффективности проекта, не раскрывая его масштабов.
Усредняемость. До сих пор положительные и отрицательные части нестандартного проекта уравнивались при одинаковой норме доходности (дисконта), и эта норма дисконта выбиралась в качестве характеристики внутренней нормы доходности проекта. Если учесть реалии внешней среды и выбрать на нулевом этапе для проекта заемщика реально существующую отрицательную ставку дисконтирования, то при этом, во-первых, уменьшится параметр масштаба М (так как ухудшение показателей стандартного проекта второго рода при фиксированных отрицательных платежах означает уменьшение величины займа), во-вторых, улучшится показатель внутренней нормы доходности для стандартного проекта первого рода (уменьшение кредита М по абсолютной величине не повлечет изменения последующих положительных платежей по кредиту).
Обозначим г+ — ВНД стандартного проекта кредитора, а г — ВНД стандартного проекта заемщика нашего нестандартного финансового потока.
Таким образом, нестандартный проект можно также характеризовать набором трех связанных между собой внутренних характеристик (М, г+, г). Причем, как легко видеть, задание только одно из трех параметров полностью определяет остальные два параметра нестандартного финансового потока.
Например, выбирая в качестве аргумента масштаб проекта М, получаем, что функция г+ (М) является монотонно убывающей на промежутке (0;ж); г+ (М) ^ ж при М ^ 0 ; г+ (М) ^ -1 при М ^ ж . Аналогично функция г+ (М) является моно-тонно возрастающей на промежутке (0;ж); г (М) ^ -ж при М ^ 0 ; г. (М) ^ 1 при М ^ ж .
На изменении М в промежутке (0;ж) основан разработанный авторами алгоритм расчета ВНД нестандартного денежного потока. Поэтапно увеличиваем величину М от нуля до некоторого целевого значения МВНД. В силу свойств характеристик г (М); г+ (М) на каждом этапе сужается интервал [г. (М); г+ (М)]. Алгоритм расчетов продолжается, пока не совпадут значения г. (М) = г+ (М) =ВНД. Если же в процессе изменения М значение г+ (М) стало меньше г. (М), то это сигнал для алгоритма вернуться к предыдущему значению М и уменьшить, например в два раза, выбранную первоначально величину приращения ДМ.
Докажем следующее утверждение, которое назовем свойством усредняемости для суммы потоков.
Утверждение 4. Если нестандартный поток C представлен в виде суммы двух потоков C = A © B с доходностями г1 и r2 соответственно, то ВНД нестандартного проекта лежит в промежутке:
min(r;r2) < ВНД< max(r:;r2), (9)
где г = ВНД (A) и r2 = ВНД (B).
Доказательство. Если оба проекта, стандартные первого и второго рода, расположены на одном временном интервале и ненулевые слагаемые не пересекаются во времени, то нужное утверждение следует из вышеизложенных соображений для проектов с доходностями r. (М); r+ (М). В общем случае каждый из двух проектов разложим на сумму двух стандартных проектов A = A+ © A- и B = B+ © B , где r(A+) = r(A-) = r(A) и r(B+) = r(B ) = r(B).
Тогда для проекта C = A © B справедливо представление C = C+ © C , где C+ = A+ © B+ и C = A- © B .
Для стандартных проектов одного типа с одинаковой временной протяженностью свойство усреднения вытекает из формул (1) — (4). Следовательно,
min(r (A+ );r (B+)) < r (C+) < max(r (A+); r (B+)); (10)
min(r(A-);r(B )) < r(C ) < max(r(A-); r(B )). (11)
Как было доказано, в свою очередь, min(r(C+ );r(C ))<r(C)< max(r(C+);r(C )). (12)
Используя неравенства (10) — (11), из неравенства (12) получаем:
min(r(А+ );r(А_);r(B+);r(B ))< r(C) <. < max(r(А+); r(А-); r(B+); r(B ))
Откуда
min(r:;r:;r2;r2) < r (C) < max(r:;r:;r2;r2). Окончательно
min(r:; r2) < r(C) < max(r:; r2).
Что и требовалось доказать.
Как доказано в [7], определение усредняемости [1] оказалось неверным для старого определения ВНД с одинаковым дисконтированием для положительных и отрицательных слагаемых.
Рассмотрим тот же контрпример, что и в [7], и покажем, что для ВНД, введенного в настоящей работе, условие усредняемости выполняется.
Листинг расчетов приведем в пакете MATHCAD.
A := (-1 17 -17 9)
B := (0 -1 2 0) C := (-1 16 -15 9).
r := 0.5 начальное значение искомого параметра 17 17 9
Задано: 1 +
(1 - r)
2
+
(1 + r) „ ,3 (1 + r)
ВНД (А): = Find (г)... ВНД (A) =0,1028864;
1
2
Задано: ,
1 - r ,л Л (1 + r)
ВНД (В): = Find (г). ВНД (В) =0,236;
15 16 9
Задано: 1 +
(1 - r)
2 (1 + r)
(1 + r)
3
ВНД (С): = Find (г). ВНД (С) =0,124
0,1028865< ВНД (C) <0,23.
Рассмотрим также контрпример из [9], в котором показано, что показатель МЭРТ, предложенный в [10], условию усредняемости не подчиняется и, следовательно, его использование может быть поставлено под сомнение. Ниже приводится листинг расчетов, из которых видно, что для ВНД, рассчитанного по формулам (1) — (6), условие усредняемости выполнено (табл. 2).
4 19
Задано: 10 +--=-;
(1 - r) 2
(1 + r)
ВНД (А): = Find (г). ВНД (A) =0,1389935;
Задано: 9= —6--1--6—;
(1 + r) 2
(1 + r)
ВНД (В): = Find (г). ВНД (В) =0,215; С:= А+ В;
Задано: 19
2
25
(1 + r) 2
(1 + r)
ВНД (С): = Find (г). ВНД (С) =0,201 0,1389935< ВНД (C) < 0,21. Возникает вопрос об оценке эффекта совместного использования проектов (эмерджентного эффекта). Это тема отдельного исследования, но здесь мы заметим, что эффект от совместного использования проектов состоит в переброске (трансферабельности) свободных денежных средств из одного проекта в другой, если эффект от этой переброски превышает эффект от раздельного использования средств. Тем самым могут
улучшаться условия кредитования проектов, т. е. будут изменяться сами проекты и, следовательно, их доходность (например, выплаты по кредитам уменьшатся в последующие моменты времени).
Приведем пример из практики сельскохозяйственных предприятий. Предположим, что в хозяйстве рентабельным является растениеводство и убыточным молочное животноводство с уровнем убыточности 5 %. Предположим, что в ходе сельскохозяйственного цикла хозяйству приходится брать краткосрочные кредиты на закупку удобрений и ГСМ и расплачиваться по ним после продажи урожая. Если использовать перекрестное финансирование отраслей растениеводства и животноводства в разные временные периоды, то фактически хозяйство будет финансировать растениеводство за счет животноводства со ставкой кредита 5 %, что гораздо ниже банковских ставок кредита. При этом изменяются денежные потоки в сторону уменьшения расходов на растениеводство, и повышается доходность, как растениеводства, так и всего хозяйства.
Чистый дисконтированный доход (ЧДД) и чистый эквивалентный доход (ЧЭД)
Перейдем к обоснованию и выводу формулы для аналога чистого дисконтированного дохода ^РУ) для нестандартного денежного потока, отражающей работу трейдера на финансовом рынке, а также учитывающей временной фактор как фактор, пропорциональный кумулятивному риску финансовых потерь.
Можно рассматривать чистый дисконтированный доход ^РУ) как ответ на вопрос: какую сумму следует положить на депозит со ставкой процента, равной ставке дисконтирования, чтобы в конце проекта на депозите оказалась сумма, равная компаундированному (суммарному) доходу от проекта? При этом выплаты по проекту снимаются с депозита с учетом компаундированного (будущего) эффекта уменьшения депозита от этой операции.
Мы же, для того чтобы положительный и отрицательный компоненты нестандартного денежного потока, распределенные во времени, привести к
Таблица 2.
+
Показател ь Проект А Проект В П роект А+В
t = 0 t = 1 t = 2 t = 0 t = 1 t = 2 t = 0 t = 1 t = 2
Чистый доход -10 -4 +19 -9 +6 +6 -19 +2 +25
Доходный платеж 0 0 19 0 6 6 0 2 25
Расходный платеж 10 4 0 9 0 0 19 0 0
начальному моменту времени ¿0 представим себе, что положительный компонент проекта представляет выплаты по кредиту, предоставленному самой фирмой для выполнения проекта, а отрицательная часть проекта представляет выплаты фирмой некоторого займа, взятого для осуществления проекта. Если предположить, что ставки процента по кредиту и займу одинаковые, но противоположные по знаку, тогда, определяя первоначальную сумму средств, вложенных в проект, мы придем к обычному понятию чистого дисконтированного дохода (КРУ).
Однако мы будем действовать из других соображений. В предыдущем случае поток выплат по займу имеет обычно отрицательную доходность, а поток кредитора — положительную. Таким образом, в определении NPV смешались финансовые потоки с противоположными доходностями и противоположные интересы различных участников проекта кредиторов и заемщиков.
Считая, что предположение о депозите весьма условное, будем рассматривать качество проекта с единой точки зрения, например с точки зрения участника вторичного финансового рынка. Определим доходность проекта, считая, что положительный компонент характеризует «депозитную» часть проекта (для трейдера — итог его «длинных» операций на растущем рынке), а отрицательная часть проекта характеризует итог его «займа» — результат его работы на падающем рынке («коротких» операций). Тогда рассмотренная выше ВНД нестандартного проекта будет характеризовать качество работы одного трейдера. Если же известно ВНД одного трейдера и требуется с ней сравнить работу другого трейдера, то мы приходим к необходимости дисконтировать результаты работы второго трейдера на растущем и падающем рынках с нормой дисконта, равной показателям работы первого трейдера.
В этом случае доходность г, (г>г0>0) положительной части проекта, определяемая в начальный момент времени, заключается в том, что дисконтируется положительный поток платежей со ставкой дисконта г0, и сумма дисконтируемых платежей положительна. Положительная доходность г отрицательной части проекта заключается в том, что мы выплачиваем сумму, меньшую, чем занимали, т. е., дисконтируем отрицательный поток платежей со ставкой дисконта — г0(— г0<-г<0).
Надо определить приведенную к начальному моменту сумму средств S, которую второй трейдер получит дополнительно по сравнению с первым трейдером, имевшим доходность г0 как на растущем, так и на падающем рынке.
Мы приходим к понятию чистого эквивалентного дохода (ЧЭД) проекта со ставкой дисконтирования г, рассчитываемого по следующей формуле:
с
чэд = £
г1 (1 + Г • sign(ci))'
(13)
где sign(cl) =
1 при с > 0 -1 при с < 0
Из определения ВНД1 [формула (6)] и определения ЧЭД [формула (13)] вытекает основное свойство ЧЭД и ВНД1.
Чистый эквивалентный доход (ЧЭД) проекта положителен при любой норме дисконта г, меньшей ВНД1 и отрицателен при любой норме дисконта г, большей ВНД1.
Заметим, что для обычного чистого дисконтированного дохода (КУР) проекта данное свойство для нестандартных проектов может не выполняться.
Очевидно, что, сравнивая работу трейдера-инвестора на вторичном финансовом рынке с работой трейдера, имеющего различные результаты работы на падающем и растущем рынках, можно ввести два различных показателя дисконта Г+ и г_ для положительных и отрицательных компонентов, отражающих реалии работы на разных стадиях рынка. Получаем следующую модификацию формулы (13):
МЧЭД = £-
где sign(c¡) =
—-^, (14)
'(1 + Г • sign(ci))' 1 г = г при с1 > 0 [-1 г = г2 при с < 0 Заметим, что переход от номинального денежного потока к реальному денежному потоку при учете инфляции, уменьшая реальные доходы, уменьшает и реальные расходы. То есть учет инфляции состоит в дисконтировании доходов и расходов одновременно по положительной ставке дисконта. В то же время приведение денежного потока к начальному моменту времени с учетом одинаковой положительной доходности составляющих частей предполагает дисконтирование доходов по положительной ставке и дисконтирование расходов по отрицательной ставке дисконта.
К тем же формулам приводит и понимание дисконта как платы за риск волатильности прогнозируемых показателей проекта. Принимая за риск наступление нежелательных, с точки зрения инвестора, событий, получаем, что учет риска включает возможное уменьшение прогнозных значений бу-
дущих доходов и возможное увеличение прогнозных значений будущих расходов. Итак, снова мы приходим к формуле (13) или (14) в зависимости от того, одинаковые или разные принимаются ставки дисконта доходов и расходов.
Приведем примеры, показывающие, что ВНД нестандартного проекта, будучи характеристикой относительной, характеризующей рентабельность капиталовложений, должен при выборе альтернативных проектов, поступающих в разные периоды времени, дополняться расчетом либо показателя масштаба М, либо расчетом ЧЭД при некоторой ставке дисконта. Рассмотрим соответствующий пример [1, 9].
Пусть К — величина первоначальных вложений, а Д — ежегодный доход. Таким образом, рассматриваемые проекты являются стандартными проектами первого рода. Пусть сегодня он выбирает между альтернативными (и более выгодными, чем депонирование) проектами 1 и 2, у которых, соответственно:
К1 = 2000, Д1 = 600, ВНД = 0,30;
К2 = 3000, Д2 = 840, ВНД = 0,28.
Используя критерий ВНД, такой инвестор выберет проект 1. Затем инвестору предлагается другая пара альтернативных проектов, у которых:
К3 = 3000, Д3 = 570, ВНД3 = 0,19;
К = 2000, Д4 = 360, ВНД4 = 0,18.
По критерию ВНД инвестор выберет проект 3. В результате он будет иметь годовой доход в размере 600 + 570 = 1 170. Если бы он не принял во внимание полученные рекомендации, а поступил, как в известном анекдоте, наоборот, то, затратив на инвестиции ту же сумму (5 000), он имел бы более высокий годовой доход 840 + 360 = 1 200.
К ошибочному с экономической точки зрения решению привело игнорирование масштаба проектов, так как оказалось, что, использовав меньшую сумму средств (2 000) на первом этапе выбора с большей эффективностью, на втором этапе большая сумма средств (3 000) была использована с малой эффективностью. Тем самым мы приходим к решению проводить экспресс-оценку эффективности проекта на основе сравнения произведений М*ВНД, где М — величина масштаба проекта.
Тогда для первой пары проектов имеем: М1=К1=2000; М1*ВНД1=Д1=600.
М2=К2=3000; М2*ВНД2= Д2=840.
Для второй пары аналогично получаем:
М3=К3=3000; М3*ВНД3=Д3=570.
М4=К4=2000; М4*ВНД4= Д4=360.
В первой паре надо выбрать второй проект, обеспечивающий больший поток дохода, хотя и с несколько меньшей рентабельностью капитала. Для второй пары надо выбрать третий проект, так как он обеспечивает больший поток дохода и большую отдачу на капитал. Но если сумма капитала в двух проектах ограничена 5 000, то выбираем вариант, обеспечивающий максимум суммы произведений М*ВНД, т. е. второй и четвертый проекты. Итак, решается задача максимизации суммы произведений М*ВНД при наличии ограничений на общий масштаб проектов, т. е. на М1+М2=5 000.
Чтобы использовать метод расчета NPV или ЧЭД (в случае стандартных проектов первого рода эти величины совпадают), нам дополнительно приходится выбрать норму дисконта Е (например, Е = 15 %), превышающую ставку банковского депозита, и сравнивать варианты проектов по критерию NPV. Мы придем к тому же заключению о предпочтительности второго и четвертого проектов. Но дополнительно, в случае использования NPV (ЧЭД для нестандартных проектов), мы принимаем также решение об эффективности проектов, т. е. об их предпочтительности перед безрисковым альтернативным вложением капитала.
Устойчивость проекта и анализ зависимости изменения ВНД в период выполнения проекта
Важным показателем устойчивости проекта обычно считается существенное превышение ВНД над нормой дисконта альтернативных вложений.
Этот тезис подвергался критике в [9], где приводился следующий пример: «Проект предусматривает инвестиции 4900 в году 0 и обеспечивает получение доходов в последующие 4 года в размерах соответственно: 1950, 1790, 1610, 1520. Для его финансирования используются собственные средства (500) и кредит в объеме 4400, предоставляемый под 14 % годовых сроком на 4 года.... Таким образом, движение собственных денежных средств фирмы характеризуется денежным потоком, описанным в табл. 1.
Нетрудно проверить, что такой проект имеет ВНД = 30,0 % и эффективен при норме дисконта Е = 10 %. Казалось бы, при столь большом превышении ВНД над нормой дисконта проект должен быть устойчив, о чем прямо говорится в [2, с. 119]. Рассмотрим, однако, ситуацию, когда в процессе реализации проекта возникают непредвиденные инвестиции в не слишком большом размере 250 (5,1 %). Легко проверяется, что при этом денежный
Таблица 3
Денежные потоки
Вариант Год 0 Год 1 Год 2 Год 3 Год 4
1 -500 1 950-1 100-616= 234 1 790-1 100-462=228 1 610-1 100-308 = 202 1 520-1 100-154= 266
2 -750 234 228 202 266
поток года 0 уменьшается на 250, проект становится неэффективным, а его ВНД становится равной 9,1 %. Таким образом, высокая ВНДне гарантирует устойчивости проекта!»
Мы считаем, и данный пример это показывает, что высокое значение ВНД всего проекта еще не говорит о его устойчивости. Следует проследить поведение ВНД как функции от времени. Если на протяжении большей части проекта ВНД остается ниже показателя эффективности, то устойчивость проекта вызывает сомнения.
Приведем соответствующие расчеты ВНД (/) для примера табл. 1.
Имеем:
234
500 =
1 + г
ВНД1: = Find (г);...ВНД1 = 0,532;
234 228
500=-+-;
1 + г ,, ,2 (1 + г)
ВНД2: = Find (г)...ВНД2 = 0,051;
234 500=- +
228
202
1 + г 2 3
(1 + г) (1 + г)
ВНД3: = Find (г)...ВНД3 = 0,161;
234 500=- +
228
202
266
1 + Г (1 + г)2 (1 + г)3 (1 + г)4
ВНД4: = Find (г)...ВНД4 = 0,3.
Таким образом, выход на показатель доходности, превышающий норму дисконта, произошел только на третий год проекта. Первые два года проект был вообще убыточным, этот факт должен был насторожить инвестора.
Вывод: предложенные формулы и алгоритм вычисления внутренней нормы доходности ВНД1 и ВНД2 для нестандартных проектов позволяют однозначно сравнить доходность проектов, находящихся в разных экономических средах или в нестабильных экономических условиях, когда использование индуцированных норм доходности невозможно или нежелательно ввиду неопределенности нормы накопления или нормы кредитования. Особенно эффективным применение показателей ВНД1 и ВНД2, а также ЧЭД и
МЧЭД может быть при оценке работы трейдеров на вторичных рынках капитала и при расчете чувствительности проекта к риску наступления неблагоприятных событий.
Как уже указывалось выше, внутренняя норма доходности нестандартного проекта показывает сложившееся соотношение между положительным и отрицательным потоками проекта. При положительной норме доходности доминируют положительные финансовые потоки. При отрицательной — наоборот. При нулевой внутренней норме доходности положительные и отрицательные денежные потоки находятся в положении равновесия. При стремлении нормы доходности к 1 отрицательные финансовые потоки исчезают. При стремлении нормы доходности к —1 бесконечно малыми становятся положительные финансовые потоки.
Итак, ясно, что внутренняя норма доходности является относительным безразмерным показателем, сравнивающим положительный и отрицательный финансовый потоки проекта. Для принятия решения следует также принимать во внимание показатели в денежном выражении, характеризующие приведенную величину предстоящих затрат по проекту. Для этих целей может быть использована характеристика масштаба проекта М, введенная в настоящей работе.
Чистый эквивалентный доход проекта положителен при любой норме дисконта, меньшей ВНД, и отрицателен при любой норме дисконта, большей ВНД, и является второй важной характеристикой нестандартного проекта, помогающей в принятии решения об инвестировании, особенно на вторичном финансовом рынке.
Литература
1. Виленский П. Л., Лившиц В. Н. . Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: теория и практика: Учеб. пособие. — 3-е изд., испр. и доп. - М.: Дело, 2004. - 888 с.
2. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов: Пер. с англ. / Под ред. Л. П. Белых. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — 631с.
+
+
+
3. Гиляровская Л. Т., Ендовицкий Д. А. Финансово-инвестиционный анализ и аудит коммерческих организаций. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.
4. Ендовицкий Д. А Анализ и оценка эффективности инвестиционной политики коммерческих организаций. Методология и методика. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998.
5. Соболев В. Ю. Применение показателя внутренней нормы доходности для оценки инвестиций производственных предприятий// Экономический анализ: теория и практика. -2004. — № 18. — С. 1-16.
6. William H. Jean. On Multiple Rates of Return. Journal of Finance, March 1968. 12.
7. Беленький В. З. О норме доходности инвестиционного проекта//Экономика и математические методы. - Т. 41. - № 1. - 2005. — С. 3-19.
8. Myers S. C. Interactions of Coгpoгate Financing and Investment Decisions Implications//J. Finance, V. 29, № 1, 1974.
9. ВиленскийП. Л., Смоляк С. А. Показатель внутренней нормы доходности и его модификации/Аудит и финансовый анализ. -1999, вып. 4. (см. также препринт №WP/98/060. М.: ЦЭМИ РАН, 1998.).
10. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей МЭНД — мощное оружие аналитика// Рынок ценных бумаг. — 1997. — № 12.
11. Бронштейн Е. М., Спивак С. И. Сложные инвестиции и потоки платежей// Рынок ценных бумаг. — 1997. — №3.
12. Ван Хорн Дж. К Основы управления финансами: Пер. с англ. — М.: Финансы и статистика, 1996.
13. Буров А В. Управление произвольным потоком платежей на основе показателя обобщенной внутренней нормы доходности. «Международная конференция по проблемам управления (29 июня
— 2 июля 1999 года).: Избранные труды, том 1. Серия «Информатизация России на пороге XXI века». — М.: СИНТЕГ, 1999.
14. Буров А. В. Потоки платежей. РИСК.
— 1999. — № 2-3.
