Математические модели и общие свойства кредита Текст научной статьи по специальности «Математика»

15 (495) - 2012

Кредитование

Удк 336.77.067

математические модели и общие свойства кредита

А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель НП «Институт регионального экономического развития», г. Рязань E-mail: alzhevnyak@yandex. ru

В статье доказаны два общих свойства кредита как механизма, обеспечивающего платность и возвратность предоставленных кредитором заемных средств. Выявлено новое экономическое содержание внутренней нормы доходности кредита, которая может трактоваться как отношение суммы дисконтированных по этой ставке затрат заемщика, обусловленных кредитом, к сумме остатков основного долга за весь срок кредитования.

Ключевые слова: расчет, кредит, кредитор, заемщик, доходность, эффективная процентная ставка, ЭПС, IRR, реинвестирование, дисконтирование.

В современном мире кредитование является наиболее распространенной финансовой операцией, которая используется как крупными компаниями, малым и средним бизнесом, так и населением. На протяжении последних двух веков тема кредита занимала видное место в экономической теории, изучавшей его влияние на общественное развитие. Позже, в более прагматичные времена исследовательский интерес сместился к разработке юридических способов защиты банковского капитала и обеспечения устойчивой работы банковской системы отдельных стран и межгосударственных объединений.

Между тем кредит представляет интерес и в узком смысле этого слова как финансовый механизм, обеспечивающий выполнение принципов

возвратности и платности предоставленных заемных средств. Именно здесь могут быть поставлены вопросы сохранения устойчивого роста ссудного капитала (и сбережений населения как его части, вовлеченной в оборот) в условиях частичного дефолта заемщиков. Здесь могут быть найдены адекватные оценки доходности кредитора и затратности заемщика при конечном сроке кредитования и решены многие другие актуальные вопросы, связанные с реализацией различных финансовых и инвестиционных проектов.

При рассмотрении кредита как финансового механизма с различными вариантами выплаты основного долга и процентов [2] были построены его математические модели для наиболее распространенных на практике алгоритмов выплаты основного долга и процентов. Были изучены нестандартные схемы реинвестирования поступающих кредитору от заемщика текущих платежей обслуживания займа и возможности обеспечения приемлемых темпов роста ссудного капитала при частичном дефолте заемщиков. На этой основе ранее автором [3] уже рассматривался вопрос оценки эффективности кредита для кредитора и заемщика.

Далее будут рассмотрены математические модели и общие свойства, знание которых позволит существенно продвинуться в понимании внутренней логики кредита, разработке критериев для оценки его эффективности и устойчивости.

Математическая модель кредита. Пусть -номинальная сумма займа; Rj = G . + Р. - текущий платеж обслуживания кредита для дискретного времени. = 1, 2,.. п, состоящий из платежей в уплату основного долга G. и начисленных процентов Р.; п - срок кредита, измеряемый числом расчет-

ных периодов;

= 1-

R,

современная

. =1(1 + е).

(дисконтированная) стоимость суммы платежей обслуживания кредита, в - ставка реинвестирования п G п Р

(дисконта); Оив = У-3— и Рпв=У--

пв ^(1 + в). п в .=1(1 + в).

суммарные дисконтированные платежи в уплату основного долга и процентов.

Обозначим через 5.. ссудную задолженность заемщика в текущем расчетном периоде. В конце каждого расчетного периода начисление процентов Р. производится по ставке 5т на ссудную задолженность, имевшую место в предыдущем расчетном периоде, т. е. Р. = 5—15т, а 5т = 5/т, где 5 - номинальная процентная ставка кредита, а т -число платежей обслуживания кредита в году при равной продолжительности каждого расчетного периода.

Динамика ссудной задолженности кредита описывается разностным уравнением Sj = Sj_1 (1 + 5т) - Rj. Если согласно кредитному договору заемщику предоставляется отсрочка по обслуживанию кредита на. первых от начала кредитования периодов (т. е. Rу = 0, V = 1,2...у),то ссудная задолженность растет в геометрической прогрессии, поскольку из уравнения 5. = 5^1 (1 + 5т) и условия = 5 следует 5. = 5 (1 + 5т )Л

В другом варианте отсрочка может быть предоставлена только по уплате основного долга. Тогда в период действия отсрочки RJ = Р. = SJ■—15m и SJ = SJ-1 (1 + 5т) - Р. = SJ■—1. Если такая отсрочка предоставляется с момента начала кредитования, то до момента окончания отсрочки ссудная задолженность сохраняется постоянной и равной номинальной сумме займа S.

Теоретически отсрочка может предоставляться и по уплате процентов с сохранением регулярных выплат в погашение основного долга, что почти не встречается на практике. В этом случае Rj = G . и в зависимости от установленной величины выплат в погашение основного долга ссудная задолженность 5. = 5.-1 (1 + 5т) - Gj может как расти, так и снижаться.

Важно отметить, что во всех случаях отсрочек начисление процентов не приостанавливается, хотя они сразу и не выплачиваются.

Если проценты по кредиту выплачиваются регулярно и в полном начисленном объеме, то величина ссудной задолженности в каждом расчетном периоде будет совпадать с текущим остатком основного долга Ч., поскольку

^ = S(1 + 5т)-Gl -Р = S-^ = А;

^ = ^ - ф(1 + 5т) - ^ - Р2 = S - Gl - ^ =

= S-УGk = Dl -G2 = D2;...

к=1

.л = ^-1 (1 + 5т) - Ъ - Р = ^-1 - Ъ =

=s-У ъ=Ч-1 - Ъ=Ч.

к=1

По принципу уплаты начисленных процентов все кредиты можно разбить на два класса - с регулярной и полной выплатой начисленных процентов (кредиты 1-го рода) и с отсрочкой выплаты начисленных процентов (кредиты 2-го рода). В обоих классах кредитов возможна отсрочка и по уплате основного долга. В кредитах 1-го рода, как только

что было показано, 5 = Ч, и можно считать, что ' ] / ' начисление процентов производится на остаток

основного долга, имевший место в конце предыдущего расчетного периода, т. е. Р. = Ч—15т.

Изменение основного долга Ч . в кредите описывается разностным уравнением Ч . = Ч _1 - G., которое полностью отражает процесс гашения основного долга при кредите при граничных условиях: = 5 и = 0. Действительно, отсюда с необходимостью следует условие возвратности

займа

У Gj = 5 при выполнении = 5 и = 0

=1

0

п—1

поскольку УЪ =У4-1 -Уц =Уц -Уц =

=1

=1

=1

.'=0

=1

= А +У Ч - Чп-У = ^ - А = ^ Наобор

=1

=1

от,

условием У GJ = 5 при = 5 гарантируется пол-

=1

ное погашение основного долга = 0. Значение основного долга Ч в конце текущего расчетного периода часто называют текущим остатком основного долга.

Здесь всюду мы оперировали с формальными суммами остатков основного долга постнумерандо. Также формально можно вычислить постнумерандо

и сумму дисконтированных остатков основного

„_ " В

долга В_8 = ^--—-, как впрочем и сумму прену-

-= (1 + б)

мерандо ШГпг = I-^-ц- (минус и плюс в верхнем

j=1 (1 + s)

индексе соответственно относятся к префиксам post- и pre-), между которыми существует очевидная связь: В+Е = (1 + s)B-E. Но мы определим сумму дисконтированных остатков основного долга иначе,

D,

а именно как J

D

j -i

дисконтируя остаток

- =1(1 + е)

(- - 1) расчетного периода в конце - расчетного периода. При этом можно установить связь этой суммы с суммами пост- и пренумерандо:

1

1 + в

I

D

j-i

1

1 + 8

1(1 + 8) j -1

D,

I

D.

D0 +I

1 + 8 V=0 (1 + 8)V

D

1(1 + 8)V (1 + 8)n

1 + 8

^ + I

D

1 (1 + 8)

1 ( s +- 1

S + ]

1 + 8

1 + 8

1 + 8

где учтено, что D0 = S и Dn = 0.

Отсюда, при 8 > 0 и с учетом D = 0, D < S,

Ф 0( 8 , п )<п и

п J

D n-1 D

' j— <

-= I J = I П8 j=1 (1 + 8)J j=i (1 + 8)J

< S ф0 (8, n -1) следует полезная верхняя оценка:

<-

Sn 1 + 8 :

(1)

потому что

s + J-8 S + Sф0 (8, n -1) S + S(n -1) = Sn

степени могут быть выражены через Д-функцию ну. ч (1 + 8)" _ 1 левой степени ф0 (8, п) = ————, которая есть не

что иное, как известный в финансовой математике коэффициент приведения единичной ренты.

Теперь можно заметить, что в кредитах 1-го рода имеет место простая связь Рп8 = 5тВп 8 между дисконтированными суммами остатков основного долга и процентов, поскольку из Р- = В-15т следует

п р "В

= 5" = 6""п8. Однако

линейно зависят от

j=1(1 + 8)J нельзя считать, что P и

1 + 8 1 + 8 1 + 8 1 + 8 Здесь и далее (как и в работах [3, 4]) существенно используются степенные дисконт-функции

n j k

фк (8, n) = I-- степени к и порядка n, которые

j=1(1 + 8) J

введены в научный оборот и исследованы в работе [2, с. 11-107]. Они определяются в результате обобщения результатов Я. Бернулли (Jacob Bernoulli) в классической задаче о вычислении суммы степеней последовательных натуральных чисел с одинаковыми натуральными показателями и обладают рядом важных свойств, позволяющих значительно упростить аналитическое исследование финансовых операций. Степенные дисконт-функции любой

- - -- -1"8

процентной ставки, хотя в некоторых случаях это и так.

Далее будем изучать свойства кредитов как в общем плане, так и с привязкой к конкретным наиболее распространенным на практике кредитным схемам. В их числе:

- ординарный кредит (с равномерным гашением основного долга и регулярной уплатой процентов, начисляемых на остаток основного долга, который называют также кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим);

- купонный кредит (с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока, названный по аналогии с купонной облигацией);

- шаровой кредит (с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока);

- аннуитетный кредит (с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты).

Приведем выражения текущих и суммарных показателей рассматриваемых кредитов из работы [2], нумеруя их (в верхнем индексе) в том порядке, как они перечислены ранее:

- для ординарного кредита:

G(1) = S, G(1) = S; D(1) = Sn—J, B(1) = S

n +1

2

J = S(n +1 - j), Pa) = S5m —,

j m\ J ' ' n m r\

n

Rj1 = S; [1 + (n + 1 - J )§m ], ^ = S (1 + 5m ^ ) ;

- для купонного кредита:

G(2) = 0, D(2) = S, J = 1,2...n -1,

n 8

1

1

v

n 8

n

n

Ъ(2) = S, Ч(2) = 0, о(2) = S, В(2) = nS,

п ' п ' п ' п '

Р(2) = S5m, Рп2) = nS5m, R(2) = 0, .= 1,2...п -1,

1 т * п т ' 1 '

R,(,2) = S,

= S (1 + п5т);

для шарового кредита:

Ъ(3) = 0, Ч(3) = S, .= 1,2...п-1,

3 у 3 7

Ъ(3) = S, Ч(3) = 0, с(3) = s, в(3) = ^,

п ' п ' п ' п '

Р (3) = 0, ; = 1,2...п-1,

1 У ^ У У

= S [(1 + 5т)п - 1] , Рп3) =5 [(1 + 5т)п - 1] ,

Я(3) = 0,7 = 1,2...п -1, ^ = S(1 + 5т)п

П

(4) = Я - (Я - S5т )(1 + 5т У-1 В(4) = ^ - ф0 (5т , п)

т Ф0 (5т , п)

Р,(4) = Я - (Я - S5т )(1 + 5т У-1, Ри(4) = S

! V т / ^ т' ' п

Ф0 (5т,п)

-1

Я(4) = Я =

5

= пЯ.

]=1 (1 + вУ

Ч-1

=У

(1 + в).

В результате получим

.=1 (1 + в).

пЯ

^ =У Я

пв Т^! (1 + вУ

с(1в = 5фсм, в(1в = 5п -ф0(в,п)

пв

Р;(1в) = 5тВ(п1!В, Ж^в = 5

пЬ т пЬ ' пЬ

ф0 (в, п) +5т -ф0 (в, п)

С® =-

5

(1 + в)п

Рп(2) =5тВ(п2в) ,

с (3! = -

-, В® =5ф0(в,п), = S[1 + (5т - в )ф0(в ,п)];

5

(1 + в )п

впз) = S ф0 (в , п),

р(3 ) =

5 [(1 + 5т)п -1]

(1 + )п

=5

(1 + 5т )п (1 + в )п

(с(4 ) = sф0 & п)

= S (1 + 5т )п;

- для аннуитетного кредита с постоянными платежами обслуживания:

Ъ(4) = (Я - S5m )(1 + 5тУ-1, сп4) = S,

. V т' ^ т' ' п '

- Р(4 ) = 5 В(4 )

а о \п+1 /о \ ' пв т пв '

+ т )п+1 Ф0 (5т , п)

впв=

5

5тФ0 (5т,п)

Ф0 (в , п) -

1 + в , в-5„

х =——-1 = -

1 + 5„

1 + 5„

=5

Ф0 ^п)

(1 + 5т )п+1

фр (в,п) Ф0 (5т, п)

(1 + 5т)п+1 (1 + в )п - (1 + 5т)п

ф0 (5т, п)

Заметим, что в ординарном и аннуитетном кредитах какие-либо отсрочки выплат платежей обслуживания не предусмотрены. В купонном кредите установлена отсрочка на весь срок кредитования по платежам в уплату основного долга при сохранении процентных платежей. Эти три типа займов относятся к кредитам 1-го рода, причем в ординарном и купонном кредитах вполне очевидна линейная зависимость от процентной ставки как текущих платежей, так и их суммы. В шаровом кредите заемщику до конца срока займа предоставляется отсрочка по уплате процентов и основного долга. Поэтому он относится к классу кредитов 2-го рода.

Теперь могут быть найдены дисконтированные суммарные показатели:

п Ъ п Р

(пв , Рпв =У- "

ф0 (X,п) =

в-5т (1 + в)п (1 + 5т )п

Поскольку в ординарном, купонном и аннуитетном кредитах предусматривается регулярная и в полном объеме уплата начисленных процентов (кредиты 1-го рода), то в них справедливо условие: Рпв = 5тВпв (что и было использовано ранее для более компактной записи формул), но в шаровом кредите эта связь не имеет места.

Приведенный ранее свод формул описывает математические модели конкретных рассматриваемых кредитов. Они записаны в предположении равной длительности всех расчетных периодов. В таком виде они наиболее удобны для сравнительного анализа различных кредитных схем и изучения общих закономерностей кредитного механизма. Модель может быть обобщена и на случай произвольной продолжительности расчетных периодов, когда моменты платежей определяются по заданным календарным датам. Аналитически такую модель исследовать невозможно, и она используется только для имитационного моделирования.

сравнительный анализ кредитов по сумме дисконтированных процентных платежей и дисконтированной сумме платежей обслуживания. После простых преобразований выражение текущего процентного платежа в анну-

где Я =

5

ф0 (5т,п)'

итетном кредите Р^ = Я - (Я - S5m)(1 + 5тУ 1, можно записать в виде:

Р(4) = S5 (1 + 5т)п - (1 + 5т^^ ^,„„„р(4)

(1 +5т )п - 1

-. Разлагая Р. ) в ряд

5

т

п

п

п

Б

п

Тейлора в окрестности 5т = 0 и ограничиваясь линейным приближением, получим, после раскрытия неопределенности, выражение:

P.

(4)

J 8 = 0 m

I \Jyn \J

5m (<>/ ^ 8m )8

- S8m lim

8m ^0

n(1 +8m Г - (j - 1)(1 + 8m )

S n(1 + 8m )"-1

= 8m (« + 1 - .Д

j-2

совпадающее с формулой для текущего процентного платежа в ординарном кредите. Это означает, что в линейном приближении при малых значениях процентной ставки 5т аннуитетный кредит может быть заменен ординарным кредитом. Но каждый процентный платеж в аннуитетном кредите больше, чем в ординарном. Для доказательства преобразуем дробь в процентном платеже

(1 + 5 )" _ (1 + 5 )--1 аннуитетного кредита: у т' у т' —

(1 + 5m )" - 1 -[(1 +5m )j-1 - 1] (1 + 8m ) - = 1--

(1 + 8m)П - 1 8

-1

(1 + 8m)" - 1

(1 +8m )" - 1

далее потребуем выполнения условия P(4) > P(

(1 + 5m)j- 1 (1 + 5m)" - 1

j-1

<-

n

5.

1 Здесь приводится более короткий, чем в работе [2, с. 364-370]

способ доказательства этого утверждения.

полнения условияР(:Т> > Р(4), получим условие:

(1 + 5т )" - (1 + 5т )--1 ' 1 -

-т-т-< 1, которое выполняется при

(1 + 3т )" " 1

всех 1 < - < п и 5т > 0, поскольку равносильно условию: (1 + 5т) --1 > 1. Следовательно, > Рп8), +и справедлива цепочка неравенств, ранжирующая кредиты по сумме дисконтированных процентных

платежей: Рп8) > !Рп(4) > Рп18).

В шаровом кредите текущих платежей нет. Поэтому сравнивать можно только суммарные дисконтированные процентные платежи. Требуя выполнения условия Рп8) > Рп8) в ходе равносильных преобра-

п п Л1 +5т)п _ 1

зовании сначала получим:

(1 + в)п

>8m90 П)

(1 +5m)П - 1 (1 + 8)П - 1 _ ,

и далее:-f-->-. Здесь функция

f (в, n) =

8m

(1 + в)п -1

строго монотонно растет

и

f > j,

что равносильно выполнению неравенства

для всех 1 < j < п . =

по в, поскольку, вычисляя производную,

пв(1 + в)п-1 - (1 + в)п + 1 получим: f (в, п)в =-2-=

(1 + в)

1 + в

- фо (в, п)

(1 + 5 )п 1

Функция f (п) = --—- строго монотонно

п

возрастает при увеличении срока кредита п, поскольку ее производная f '(п) положительна: г'= п(1 + 5т)п 1П(1 + 5т) _ (1 + 5т)п + 1 = (1 + 5 )п

на: !п = 2 =Ч т'

п

п 1п(1 + 5т) _5тф0 (5т, п)

---т' . т ' > 0, что вытекает из

п

верхней оценки Д-функции нулевой степени

. п 1п(1 + 5т) ф0(5т,п) <---, доказанной в работе

1

<

и f (в,п)в > 0, так как . Таким образом, можно

ф0(8,п) = &1 + 8)- 1 + 8 утверждать, что при 8 < 5 существует условие Р18+ > ;при 8 = 5т существует условие Р,^ = ^, а при 8 > 5 выполняется условие Рп(8) < Рп2).

L > Р(1)

пв пв ■

в(4)

то

[2, с. 70]. Поэтому Р- ) > Р- для всех 1 <- < п. Так как отрицательных текущих процентных платежей в кредитах нет, то и суммарные платежи при любых ставках дисконта в аннуитетном кредите больше, чем в ординарном 1 , т. е. Рп^ > Р^^ .

Покажем теперь, что каждый текущий дисконтированный процентный платеж в купонном кредите больше, чем в аннуитетном. Требуя вы-

Поскольку уже доказано, что Рп^ > при в < 8m в шаровом кредите будут наибольшие из всех рассматриваемых кредитов суммарные дисконтированные процентные платежи. Но при некотором сколь угодно большом в ситуация изменится. Тогда сумма процентных платежеи в шаровом кредите станет меньшеи, чем во всех других, хотя во всех рассматриваемых креди-тахНт Рпв = 0. Последнее утверждение можно

в^да

непосредственно проверить по приведенным ранее формулам с учетом lim ф0(в,п) = 0. Требуя выполнения условия Р^ > РЩ, получим

8 п -фо(в,п) > (1 + 5m)п -1 п п „

от->--—. С помощью верхней

пв (1 + в)

оценки Д-функции ф0 (в, п) <

2п

2 + (п + 1)в

[2] усилим

Б

в

Б

(п +1)(1 + в)п (1 + 5т)п -1 „ его до --—-— > --—- Поскольку левая

2 + (п + 1)в 5т "

часть этого неравенства неограниченно растет при возрастании в, то при конечном значении 5т оно будет выполняться начиная с некоторого значения в. Следовательно, сумма дисконтированных процентных платежей в шаровом кредите станет меньшей, чем во всех других.

Проведем аналогичное сравнение по сумме дисконтированных платежей обслуживания кредитов. Можно заметить, что при в = 5т современные стоимости потоков платежей обслуживания всех кредитов будут равны номинальной сумме займа 5, т. е. графики функций ЖЩ (в) пересекаются в одной точке (в = 5т, Га = 5), образуя пучок кривых. Далее будет доказано, что это не случайно, однако в настоящий момент попытаемся сравнить величину суммарных платежей обслуживания с помощью оценок Д-функции, проверяя справедливость соответствующих неравенств.

При сравнении шарового и купонного кредитов имеем

„ (1 + 5тГ

>

«

пь (1 + в) (1 + 5т)п - 1 > (1 + в)п - 1

[1 + (5т -в)ф0 (B, п)]

п) 1«

>

5 в

т

Аналогично и то, что

«в <8 .

« 1 + (5т -в)ф0 (в, п) >

ф0 (в, п)

ф0 (5т , п)

(1 + дт)п -1 (1 + в)п -1 «--—->----«Е<8 .

«

Требуя выполнения условия чим условие:

>

, полу-

ф0 (в,п) > ф0 (в,п) 1 5

0(^п) > Т0п) I 1 -ф0(в,п)

ф0 (5т , п) п

равносильное неравенству: (5т - в)ф0(в, п)ф0(5т, п) --п [5т ф0 (5т, п) -вф0 (в, п)]> 0, справедливость которого при в < 5 вытекает из оценки, доказанной в работе [2, с. 364-370].

Таким образом, для в < 5 справедлива це-

почка неравенств: мпц > ЖЩ > ЖЩ > ЖЩ, которая при в = 5т превращается в цепочку равенств: „ = Ж г = Ж г = Ж(3) , а при в > 5 она ин-

п От пОт пОт п От ' т

быть полностью погашена (стать нулевой), то можно получить важное соотношение между суммой займа и основными параметрами кредита: Sl = S (1 + 5т) - Я1 ,

S2 = Sl (1 + 5т) - Я2 = S(1 + 5т)2 - ^ (1 + 5т ) - Я2 ,... ... ^ = S (1 + 5т ). -У Як (1 + 5т )-V ...

V = 1

... Sn = S (1 + 5т )п -У Як (1 + 5т )n—V= 0.

Полагая здесь 5 = 0, получим:

УЯ ^, 5т, п)

= 5.

(2)

А (1 + 5т У

Приведенное свойство кредита будем называть основным. Оно хорошо известно как условие замыкания контура финансовой операции [5]. Именно поэтому, как было отмечено ранее, графики Жпв как функции ставки дисконта в пересекаются в одной точке с координатами (5т, 5).

Далее докажем ряд новых свойств кредита.

Теорема № 1. Для всяких кредитов при любых значениях ставки дисконта сумма современной стоимости потока платежей, направляемых в уплату основного долга, и современной стоимости потока остатков основного долга, умноженной на ставку дисконта, равна номинальной сумме займа, т. е.

5 = С п в+вВ пв . (3)

Доказательство. Учитывая разностное уравнение, задающее динамику изменения основного долга заемщика П. = П. х - G., и граничные условия П0 = 5; Пп = 0, можно сделать преобразования: п Ъ 1 п п

5 - Св= 5-У-= 5--У- '

пв ^л,^ 1 + в (1 + в)

-1

=1(1 + в)}

-1

+

п П (1 + в)}

1 п-1 ч

= 5-_ 1 ^ пк

п-1 Ч

^ к + У—

+ вк=0(1 + в)к £(1 + в)

1 + в У0

= 5-Д. + |\--!_]£. П

1 + в

1 + в ^ (1 + в). 1 + в

5 + У

1 П.

■=1(1 + вУ

Теперь, с учетом того, что Ч0 = 5, преобразуем дисконтированную сумму остатков основного

долга:

п

— У"

1 + в =1

Ч

-1

пЧ

» =У ^^ - У

п в ]=1(1 + в).. 1 + в ^^ + в).-1

Общие свойства кредита. Если проследить ход изменения ссудной задолженности 5 заемщика, которая в процессе обслуживания кредита должна

1

1 У пк __

1 + в ¿0(1 + в)к ~ 1 + в

5+У

Ч

=1(1 + в)к

V = 1

т

в

вертируется к виду: Жпв > Жпв > Жпв > Жпв.

к

В обеих преобразованных суммах выражения в квадратных скобках идентичны. Тогда справедливо выражение S = 0пЕ + вВпЕ, причем это соотношение имеет место для любых значений ставки реинвестирования в. При в = 0 отсюда вытекает требование полноты выплаты основного долга к концу срока

п

кредитования: £ = Оп = ^ О..

^ .=1

Для ординарного, купонного и шарового кредитов доказанная теорема легко проверяется по приведенным ранее выражениям Опв, Впв. В качестве нетривиального примера практического применения теоремы № 1 в кредитах 1-го рода вычислим суммы дисконтированных процентных платежей и платежей в уплату основного долга для аннуитетного кредита.

По формуле (3) справедливо выражение 0пв +вВп в = £. Но в кредитах 1-го рода, каковым является аннуитетный кредит, имеет место связь

возникать в силу разных причин, в том числе за счет округления расчетных значений и просто из-за ошибок (в том числе и преднамеренных в целях завышения доходности кредита). Тогда вместо дисконтированной суммы платежей обслуживания Ж п в в расчетах надо использовать их полную сумму п X .

Ъп в = ^-j—-, включающую и все упомянутые

. =1 (1 + в) возмущения.

Практически наиболее интересен случай, когда кредитор согласно договору займа имеет право взимания с заемщика различного рода комиссий (например, за открытие и ведение ссудного счета). Обычно такие комиссии могут быть разделены на единовременные а£, взимаемые по ставке а в начале первого расчетного периода (т. е. в момент выдачи займа), и регулярные (систематические) которые уплачиваются заемщиком по ставке р. в конце каждого расчетного периода. В таком

= 5

n8 m n 8

, и можно составить систему уравнений: слу ча е Z = (a + ß)S +

где

вj

+—р^ = s , сП48) + р^ = Ц8

ПО о ПЪ ' пЪ nb nb

5.

где жп в= (в, п) - сумма дисконтированных платежей обслуживания; R = S/ф0 (8т, п) - величина текущих платежей. Решая данную систему уравнений, найдем:

£(4) = £ 5тФ0 (5т , п) -вФ0 (B, п)

пв (5т -в)Ф0 (5т, п) '

р(4) = £5 Ф0 (B, п) -Ф0 (5т, п)

пв т (5т -в)Ф0 (5т , п) '

В этих формулах для аннуитетного кредита

при в = 5т возникает неопределенность типа 0/0.

Раскрывая ее, получим:

Sn

l8 = 5„

= lim G(.t) =■

8—

в(4)

l8 = 5„

= lim

8 —5m

p(4) n 8

= S

(1 + 5m )n+1 Фо (5m , n)'

[1 + (n + 1)5m ]фо (5m, n) - n

(1 +5m )Ф0 (5m, n)

К таким же выражениям для Рп(в) и 0^ приводят и формулы предыдущего раздела. Но они записаны в весьма громоздкой форме через вспомогательную дисконт-функцию ф0 (х, п), что затрудняет аналитические выкладки и вычисления.

Рассмотрим теперь кредит с возмущениями, под которыми будем понимать любые отклонения полной суммы платежей обслуживания кредита Жп в от номинальных (рассчитанных по приведенным ранее формулам). Указанные возмущения могут

j =1(1 + 8) J

(приßj = ß0 = const справедливов = в0ф0(8,n), а если дополнительно считать 8 = 0, то ß = ß0 n).

При изучении кредита с возмущениями можно использовать некоторые приемы и показатели, применяющиеся при оценке эффективности инвестиционных проектов. В частности, это относится к внутренней норме доходности IRR (internal rate of return), определяемой обычно как годовая ставка дисконта, при которой чистый приведенный доход NPV (netpresent value) проекта обращается в нуль при заданном сроке реализации. Применительно к кредиту с единственной инвестицией в размере номинальной суммы займа и потоком платежей

n

(R; > 0, ^Rj > 0, j = 1,2...n} в адрес кредитора

j=i

можно записать уравнение: n Z

S = 5i!+j7 ™ S = 2 n r ■ (4)

которое используется для определения параметра r, который и будет внутренней нормой доходности кредита для одного расчетного периода (обозначая его как IRRC и сохраняя аббревиатуру IRR для тех случаев, когда этот показатель дается в годовом исчислении).

Теперь можно сформулировать теорему, устанавливающую связь IRRC с основными показателями кредита.

Теорема № 2. Внутренняя норма доходности кредита есть ставка дисконта, равная отношению

суммы дисконтированных по этой ставке процентных и непроцентных платежей, возникающих при обслуживании кредита, к сумме таким же образом дисконтированных остатков основного долга, т. е.

r = -

Znr-Gn r

(5)

Доказательство. В силу теоремы № 1 для любой ставки дисконта текущих платежей обслу-

5 - С„ в

живания кредита справедливо условие

в =

Выбирая здесь ставку дисконта, равную IRRC, с учетом формулы (3), т. е. S = Zn r, можно записать уравнение (5). Числитель дроби в правой части данного уравнения - это сумма дисконтированных по ставке IRRC процентных и непроцентных (комиссионных и иных) платежей, возникающих при обслуживании кредита. Сразу заметим, что разность Znr - Gnr может трактоваться более широко, чем сумма дисконтированных процентных и непроцентных платежей, так как в нее включаются любые возмущения (в том числе неаддитивные), вносимые в расчетный поток обслуживания кредита {Rj, j = 1,2...и}. Соответственно, более широко можно формулировать и доказанную теорему. Здесь же отметим, что уравнение (5) никак не связано с классическим определением IRR как корня уравнения Zn r = S. Такая связь, безусловно, существует; она представлена теоремой N° 1 и выражается уравнением Z и r = G n r + rB n r, а NPV = Z и в- S.

Теорема № 2, по сути, есть простое следствие теоремы N° 1. Но она имеет самостоятельное значение, поскольку вносит иной экономический смысл в понятие IRR, которое в инвестиционном анализе определяется весьма формально. На это указывают, в частности, Р. Брейли и С. Майерс в работе [1, с. 98]: «...внутренняя норма доходности - это производная величина без какого-либо явственного экономического смысла. Пожелай мы дать ей определение, мы не сможем ничего добавить к тому, что это ставка дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость всех денежных потоков равна нулю. Проблема не в том, что внутреннюю норму доходности трудно вычислить, а в том, что она сама по себе не очень полезна». Действительно, если не касаться особенного случая с чередованием денежных притоков и оттоков в проекте, то в инвестиционном анализе IRR определяется как ставка дисконта, при которой NPV проекта обращается в

нуль, или как ставка реинвестирования текущих притоков и оттоков, при которой наращенные к заданному моменту времени суммы притоков и оттоков сравняются. Поэтому приведенный текст является только описанием алгоритма расчета IRR, но не может считаться сколько-нибудь удовлетворительным его определением, которого в экономических категориях пока просто не существует2. Новый экономический смысл IRRC (IRR) согласно работе (1) состоит в том, что IRRC определяется как отношение суммы дисконтированных по этой ставке затрат заемщика, обусловленных кредитом, и суммы остатков основного долга, т. е. тех заемных средств, которые находились в распоряжении заемщика в течение срока кредита и могут рассматриваться как мера потенциальных возможностей заемщика в достижении намеченного эффекта. Тогда и IRRC можно считать мерой эффективности кредита. Пока данный примечательный факт выявлен в анализе кредитов, но уже на этом основании можно вполне резонно предположить существование подобного феномена и в инвестиционном анализе, если будут найдены (выделены из денежных притоков от проекта) аналоги для суммы процентных и непроцентных затрат заемщика и суммы остатков основного долга.

Формула (5) получена из формулы (4) за счет некоторых преобразований и записана с применением новых агрегированных показателей кредита G

и Bnr. Однако для расчета IRRC она менее удобна по сравнению с формулой (4).

Следствие. В отсутствие возмущений в платежах обслуживания, т. е. при ZnB = Ж в, для любых кредитов справедливо: IRRC = r = 5m и

Рr=5 B r.

n r m n r

Равенство IRRC = r = 5 для любых невоз-

m

мущенных кредитов прямо следует из уравнения nR

(4): S = У--—- и основного свойства уравне-

j=1(1 + r)j

n Rj

ния (2): У-j-

j=1(1 + 5m )-

= S. Однако учитывая, что

S = Ж при а = 0, из уравнения (5) следует, что

2 В рассматриваемом толковании IRR определяется через самое себя, так как все показатели в правой части уравнения (5) - расходы заемщика (числитель) и остатки основного долга (знаменатель) - дисконтируются по этой ставке. Но если расходы заемщика являются частью NPV, то остатки основного долга с NPVпрямо никак не связаны. Новизна заключается именно в этом, потому что IRR впервые определяется не через NPV.

nr

r = —nr-иr так как доказано, что r = 5 ,

Вr В / „ „ М

то имеет место и равенство Р „ =5 В „ Напомним,

n Г m n Г

что для кредитов 1-го рода при любом в (в том числе и при в = г) справедливо Рив = 5тВиВ, но для кредитов 2-го рода это выполняется только в том случае, если в = IRRC.

Надо однако заметить, что поскольку в невозмущенном кредите IRRC = 5m, 5m =5/m, то IRR = = (1 + IRRC)m - 1 = (1 + 5/m)m - 1> 1+ m(5/m) = 5.

Тот факт, что реальная (эффективная) годовая процентная ставка зависит от числа начислений в году и при m > 1 превышает номинальную, излагается в любых вводных курсах финансовой математики, но об этом иногда забывают при расчете IRR невозмущенного кредита.

Список литературы

1. Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-Бизнес. 2008. 1008 с.

2. Жевняк А. В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.

3. Жевняк А. В. Оценка доходности кредитора и затратности заемщика при кредите // Финансы и кредит. 2011. № 31.

4. Жевняк А. В. Особенности и парадоксы оценки доходности и затратности кредита по инвестиционной эффективной ставке // Финансы и кредит. 2011. № 47.

5. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело. 2002. 397 с.