Оценка доходности кредитора и затратности заемщика при кредите Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

31 (463) - 2011

Кредитование

Удк 336.77.067

оценка доходности кредитора и затратности заемщика при кредите

А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель Института регионального экономического развития г. Рязань

E-mail: [email protected]

В статье предлагается методика расчета уровня доходности кредитора и затратности заемщика при кредите сучетом доступных для них ставок реинвестирования. Показано, что действующая методика вычисления эффективной процентной ставки кредита на основе определения внутренней нормы доходности IRR дает только оценку эффективности кредитного проекта (с выбранной схемой начисления и уплаты процентов), но не отражает уровня доходности (затратности) для конкретного кредитора и заемщика. Использование IRR в качестве меры уровня доходности (затратности) кредита при относительно низких ставках реинвестирования полностью искажает (с точностью «до наоборот») результаты сравнительного анализа уровня доходности и затратности в различных кредитных схемах.

Ключевые слова: расчет, кредит, кредитор, заемщик, доходность, эффективная процентная ставка, IRR, реинвестирование, дисконтирование.

Постановка задачи

С июля 2007 г. при оформлении кредита российские банки обязаны сообщать заемщикам эффективную процентную ставку (ЭПС), для вычисления которой Банк России в положении от 26.03.2004 № 254-П «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности» определил соответствующую методику. Она была разъяснена в письме Банка России от 26.12.2006 № 175-Т «Об определении

эффективной процентной ставки по ссудам, предоставленным физическим лицам» 1 (далее — письмо № 175-Т), где были приведены примеры применения формулы расчета ЭПС. Фактически в качестве ЭПС было назначено использовать показатель внутренней нормы доходности IRR (internal rate of return) кредитного проекта.

Как известно, IRR широко используется в инвестиционном анализе наряду с другими не менее значимыми показателями, такими как чистый дисконтированный доход NPV(netpresent value), индекс рентабельности инвестиции PI (profitability index), дисконтированный срок окупаемости инвестиции DPP (discountedpayback period) и др. Заметим, что применение IRR в анализе кредитных проектов, где имеет место разовая единовременная выдача ссуды, не встречает тех сложностей, которые возможны в инвестиционных проектах с чередующимися притоками и оттоками в составе денежного потока. Однако надо иметь в виду, что кредитный проект реализуется при активном участии двух сторон — кредитора и заемщика — с разнонаправленными интересами, тогда как в классическом инвестиционном проекте (например при прямом инвестировании производства) доминируют интересы инвестора, а интересы реципиента «приглушены» и даже подчинены интересам инвестора, во всяком случае в тех ситуациях, когда инвестор является

1 Документ утратил силу.

владельцем существенной доли в капитале инвестируемого предприятия.

Тогда становится понятным, что в анализе кредита должна отдельно оцениваться его доходность для кредитора и затратность для заемщика, а также эффективность собственно кредитного проекта, который реализуется по той или иной схеме начисления процентов и выплаты основного долга в конкретных рыночных условиях с известным уровнем ставок привлечения и размещения денежных средств. При этом доходность кредитора и затратность кредита для заемщика количественно могут не совпадать. Поэтому выбор IRR в качестве универсального и единственного показателя эффективности кредита никак не оправдан и, по сути, неверен.

Заметим, что уже первый опыт самостоятельного освоения заемщиками банковской методики расчета ЭПС свидетельствует о весьма серьезных недоразумениях по поводу получаемых результатов [5, с. 79—81], а также в отношении учета отдельных видов затрат заемщиков при расчете ЭПС [4]. Эту тему затрагивают и многочисленные публикации в сети Интернет по вопросам личных финансов.

Автором предлагается другой подход к определению ЭПС, позволяющий оценивать доходность кредитора и затратность кредита для заемщика. Показано, что величина IRR есть общий показатель эффективности кредитного проекта безотносительно к конкретному кредитору и заемщику.

Инвестиционная ЭПС кредита

Пусть кредит в объеме S, выданный на срок n расчетных (базовых) периодов (дней, недель, месяцев, кварталов, лет) по номинальной годовой процентной ставке 8, генерирует поток платежей обслуживания {R, j = 1,2...«} , в состав которого входят выплаты основного долга и процентные платежи. Отдельно будем учитывать транзакцион-ные расходы заемщика aS по ставке а (например единовременную комиссию кредитора за открытие банковского счета) и всевозможные регулярные комиссионные сборы, взимаемые, например, пропорционально сумме займа ßjS.

Обозначим через dj календарную дату j-го платежа и через т — расчетное число дней в году (например т = 365). Тогда Tj = (d j - d 0)jт — это время j-го платежа, исчисленное в годах относительно даты выдачи кредита d0, а Tn = T — срок кредита в годах. Вычислим современную (дисконтированную) стоимость полного (включая комиссионные расходы) потока платежей обслуживания кредита:

= aS + £

R. +ß ,S

7=1 (1+е )7

где Е — годовая ставка реинвестирования (дисконта).

Здесь и далее «дуга» (крышка) над буквенным обозначением указывает на дисконтирование. Как и в инвестиционном анализе, удельная (на единицу

номинальной суммы займа) величина ЪпЕ = ЪпЕ может быть названа индексом рентабельности кредита (удельные показатели будут отмечаться «чертой», т. е. как ZnE = , Rj = ). Она

является показателем роста ссудного капитала кредитора, а ее вычислением будет установлена некоторая шкала измерения доходности кредита для кредитора. Другая шкала доходности задается через удорожание кредита:

и «Е =-

- S ^

S

■ = Ъ 1.

пЕ

В принципе оценку эффективности кредита можно проводить на основе показателей рентабельности ЪпЕ или удорожания UnE (при выбранном значении ставки реинвестирования E), что часто и предлагается вместо вычисления ЭПС по методике IRR2. Однако при этом будет невозможно сравнивать займы разной продолжительности, а также сопоставлять доходность/затратность в кредите и в других финансовых операциях (депозиты, облигации и. т. п.), в которых доходность принято оценивать величиной годовой процентной ставки.

Можно составить уравнение, выражающее баланс наращенной стоимости полных платежей обслуживания конкретного кредита (правая часть) и величины ссудного капитала, наращенного в альтернативной финансовой операции по ставке размещения r с постоянной капитализацией доходов (левая часть):

S (1 + r )T = Ъ «е (1 + Е )T.

Отсюда легко получить выражение среднегеометрического темпа роста r (E) наращенного ссудного капитала кредитора:

r (Е) = (1 + Е)

= (1 + Е)

1/T

~|1/ t

1 = (1 + Е)[1 + Ü«E]' -1 =

1t

-1. (1)

vR+ßj

a + ^—--i

7=1(1 + Е)7

Величину г (Е) назовем инвестиционной ЭПС кредита. Она может быть вычислена как для кредитора, так и для заемщика, но ставки реинвестирования заемщика и кредитора могут различаться,

! См., например, сайт. URL: http:// www.kreditovik.ru.

поскольку кредитор и заемщик имеют разные возможности проведения доходных операций на финансовом рынке (или в организации бизнеса).

На основании предложенных обозначений уравнение для определения IRR примет вид:

^Ц R, +ß S S = aS + Y J , . (2)

f=1(l + IRR)J

Важно отметить, что при E = IRR будет выполнено условие: ZnIRR = S и ZnIRR = l. Тогда из формулы (1) следует, что r(IRR) = IRR . Таким образом, IRR является частным значением инвестиционной ЭПС кредита в том случае, когда кредитор именно по ставке равной IRR реинвестирует все поступающие текущие платежи от заемщика (а заемщик все свои расходы по обслуживанию кредита производит с некоторого депозитного счета со ставкой наращения E = IRR или имеет бизнес с доходностью, равной IRR).

Фактически IRR — это барьерное значение ставки реинвестирования, при которой доход кредитора, получаемый от кредитования и немедленного реинвестирования поступающих текущих платежей обслуживания займа на финансовом рынке, равен доходу, который он мог бы получить, размещая по той же ставке номинальную сумму займа на финансовом рынке. Если доступная конкретному кредитору ставка размещения своих свободных денежных средств на финансовом рынке E оказывается большей, чем IRR, то ему выгоднее вообще отказаться от кредитования и изначально размещать свои кредитные ресурсы на открытом финансовом рынке. Заемщик также, если доступная ему ставка размещения превышает IRR, может всю полученную сумму займа сразу разместить в бизнесе, поскольку доходы от такого размещения превысят его расходы по обслуживанию кредита. Таким образом, IRR является только мерой эффективности кредитного проекта (с конкретной схемой начисления и уплаты процентов) в данных рыночных условиях, но не является мерой доходности/затратности конкретного кредитора и заемщика, которые должны определяться с учетом доступной каждому из них ставки реинвестирования.

В качестве меры доходности кредита может быть использована инвестиционная ЭПС r (E), которую, что уже отмечалось ранее, можно интерпретировать как среднегеометрический темп роста наращенного ссудного капитала.

Вычисляя производную dr(E)/dE, можно показать [1], что функция r (E) строго монотонно растет с увеличением ставки реинвестирования E,

достигая значения IRR при E=IRR, т. е. имеет место r(E)| = IRR. Более того, при E < IRR всегда

^ 7 IE = IRR

E < r (E) < IRR , а при E >IRR всегда IRR < r (E) < E . При этом сумма полных дисконтированных затрат заемщика ZnE только убывает с ростом ставки реинвестирования.

С применением новой техники дисконтирования на основе дисконт-функций (Д-функций) построены полные математические модели четырех наиболее распространенных на практике кредитных схем [2]:

— кредита с равномерным гашением основного долга и начислением процентов на остаток ссудной задолженности, который называют также кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим (далее — ординарный);

— кредита с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией его можно назвать купонным);

— кредита с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока (шаровой кредит);

— кредита с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты (аннуитетный кредит).

С применением оценок Д-функции доказано [2], что при одинаковых значениях процентной ставки, ставок комиссии, срока кредитования и ставки реинвестирования наименьшая дисконтированная сумма удельных процентных платежей имеет место в ординарном кредите и после него в порядке возрастания — в аннуитетном и купонном кредитах. Процентные платежи в шаровом кредите (при ставках реинвестирования, меньших, чем процентная ставка кредита) будут превышать суммарные процентные платежи в купонном и всех других кредитах. Но при достаточно больших значениях ставки реинвестирования, превышающих процентную ставку кредита, они станут меньшими, чем в ординарном и всех остальных кредитах.

На основе оценок Д-функций установлено [1], что при одинаковых параметрах кредитов и E < 8 наибольшая дисконтированная сумма платежей обслуживания (сумма процентных платежей и платежей в погашение основного долга) имеет место в шаровом кредите, а далее в порядке убывания — в купонном, аннуитетном и ординарном кредитах. Если E > 8, то этот порядок инвертируется (меняется на обратный), а при E = 8 суммарные

дисконтированные платежи обслуживания во всех кредитах будут одинаковыми. Отсюда по формуле (1) следует, что такое же положение будет иметь место и для инвестиционной ЭПС r (E).

Необходимо отметить, что при расчете по формуле (1) строгой периодичности платежей не требуется, поскольку существует привязка к конкретным календарным датам, но сравнительный анализ кредитов в общем виде проще проводить, если в каждом из них имеет место периодичность платежей, например выплаты производятся строго через равные временные интервалы. Для периодических платежей (рент) можно принять условие:

dj - d0 = jd, d = const, где d — интервал между платежами; m — число платежей в году. Тогда

Tj = (dj -d0)/т = jd/т = j/m,

где m = т/ d — число платежей в году.

В этом случае вместо формулы (1) надо использовать следующее выражение:

r (E ) = (1 + E )

а +

I

R +ß ,

\j/m

п/n

-1.

7=1(1 + Е)7

Если обозначить в = (1 + Е)1т -1, т. е. принять в в качестве ставки реинвестирования (дисконта) в одном расчетном периоде, то инвестиционную ЭПС можно также вычислять для одного расчетного периода по формуле

r (в) = (1 + в)

а+

I

R +ß,

V n

-1.

(3)

j=l(1 + в)

В этой формуле проценты (включенные в состав R) в каждом расчетном периоде начисляются по ставке 8m = 8/m . Понятно, что значения инвестиционной ЭПС r (в) и r (E) связаны между собой формулой

r (E) = [1 + r (в)]т -1.

Инвестиционная ЭПС, рассчитанная по формуле (3), совпадает с хорошо известным в инвестиционной анализе показателем модифицированной внутренней нормы доходности MIRR [3, с. 192]. Однако в рассматриваемом случае не следует отождествлять ЭПС с MIRR, поскольку, во-первых, могут быть даны другие определения ЭПС (никак не связанные с MIRR) и они используются, например, в Украине и в Белоруссии, а, во-вторых, потому, что под наименованием MIRR часто вычисляется совсем иной показатель (например в пакете Microsoft Excel).

Далее внутреннюю норму доходности для одного расчетного периода обозначим через IRRC,

отличая ее от IRR в годовом исчислении, но эти показатели также связаны:

IRR = [1 + IRRC]m -1.

В расчетах обычно m принимается равным целому числу, например m = 12, если платежи производятся ежемесячно, а d = 30, т = 360.

Формула (3) удобна тем, что может быть применена при любом выборе числа платежей в году (не зависит от m).

Пример расчета инвестиционной ЭПС для четырех названных кредитных схем по формуле (3) по заданным значениям процентной ставки 8m = 0,01, ставок комиссии а = 0,03 и ß = 0, срока кредитования n = 60 при изменении ставки реинвестирования s представлен на рис. 1. Маркером «белый кружок» отмечены точки, где s = 0 (отсутствие реинвестирования) и s = IRRC. Приведенный пример наглядно показывает, что при s <8m наибольшую доходность имеет шаровой кредит и далее в порядке убывания доходности купонный, аннуитетный и ординарный кредиты. А по величине IRRC самым доходным следовало бы признать ординарный кредит (IRRC = 0,011224) и далее в порядке убывания доходности — аннуитетный (IRRC = 0,011125), купонный (IRRC = 0,010680) и шаровой (IRRC = 0,010513), т. е. результат сравнительного анализа доходности кредитов будет полностью противоположным. При s = 8m доходность всех кредитов будет одинаковой (r (8m) = 0,010498).

Оценка затратности кредита для заемщика

Ранее было показано, что инвестиционная ЭПС может применяться в качестве меры доходности кредита. Теперь попытаемся обосновать возможность ее использования при оценке затратности кредита для заемщика.

Как уже отмечалось, значения инвестиционной ЭПС для кредитора и заемщика могут различаться, поскольку в ее расчете используются, вообще говоря, различные для каждой из сторон значения ставки реинвестирования. Однако существует еще одно принципиальное отличие в исчислении затратности заемщика и доходности кредитора, связанное с уточнением относительных затрат заемщика.

Напомним, что доход кредитора образуется в результате одновременной реализации двух неразрывно связанных финансовых операций — собственно кредитования заемщика и реинвестирования поступающих от него платежей обслуживания. За счет этого кредитор и наращивает свой ссудный

0.012

0.009

0.006 0.005195 0.004827

0.003

Г(£) 0.010498 У «

0.010276

0.008176 х* Х'

И' 8m=0,01;n = 60

а=0,03; ß = 0 £

0.003 0.006 0.009 0.012 "" r(s) — Ординарный кредит . — • r(s) — Купонный кредит r(s) — Шаровой кредит

0.012

0.0115

0.011

0.0105

0.01

0.0095

0.009

г(£)

V' -РИ5.011224

0.011125 ^

0.010498 0.010680

0.010513

£

0.009

0.01

0.011

r(s) — Аннуитетный кредит r(s) —s

0.012

Рис. 1. Изменение инвестиционной ЭПС г(е)ординарного, купонного, шарового и аннуитетного кредитов от ставки реинвестирования е расчетного периода: а — общий вид; б — вид в увеличенном масштабе

а

капитал от величины ^ до уровня ЪпЕ (1 + Е) , увеличивая его в Ъпе (1 + Е)71Б раз. Но в отношении заемщика надо сразу признать, что оценка его наращенных затрат по той же величине &пЕ (1 + Е )7 будет завышенной. К реальным затратам заемщика можно отнести только часть этой суммы в размере [^пЕ - Б](1 + Е)7 (т. е. исключая сумму основного долга с наращением), причем для получения относительного показателя величины этих затрат их надо сопоставлять не с номинальной суммой займа как это делалось при оценке доходности кредитора, а с ее наращенной величиной Б(1 + Е)7. В результате получим удорожание кредита:

[Ке - S] (1 + E)T £

S (1 + E)T

= 'nE - 1 = De

Тогда из условия [1 + г (Е)] = 1 + ^Е определится среднегеометрический годовой темп роста затрат заемщика как мера его затратности при кредитовании:

F(E) = [1 + tDпе ]V T -1 =

Аналогично из уравнения

T ZnE (1 + E)

[1 + r (E )]T =-T

L V Л S(1 + E0)T

Z.

v t

-1.

будет вычисляться доходность кредитора в том случае, когда он кредитует не своими деньгами, а привлеченными средствами вкладчиков:

r (E) =

1 + E

1 + E

Z

1/ t

-1,

где

Е — годовая ставка реинвестирования кредитора;

Е0 — годовая процентная ставка по депозитам вкладчиков (обычно Е > Е0 > 0 и г(Е) растет с ростом ставки реинвестирования кредитора). Далее нетрудно установить связь между затратностью кредита для заемщика г (Е) и величиной инвестиционной ЭПС г (Е), вычисленной по ставке реинвестирования заемщика (в этом случае г (Е) уже нельзя считать доходностью кредитора), в виде:

1 + г (Е) = (1 + Е )[1 + г (Е)] или

r (E) =

r (E) - E

(4)

1 + E

Вычисляя производную r (E) по ставке реинвестирования E, можно доказать ее отрицательность и на этом основании утверждать, что затратность кредита для заемщика монотонно убывает с ростом его ставки реинвестирования, достигая нуля при E = IRR. Поэтому при E > IRR, т. е. в том случае, когда доступная ставка реинвестирования

e

заемщика будет большей, чем внутренняя норма доходности кредитного проекта, его затратность становится отрицательной (в этом случае кредит для него за счет реинвестирования уже будет доходным).

Для заемщика это вполне понятно и означает, например, что если для обслуживания кредита был заранее открыт некий депозитный счет (создан погасительный фонд) с начислением дохода по вкладу, то на обслуживание кредита придется потратить меньше собственных средств. Можно сказать, что любой доход, получаемый заемщиком в бизнесе или за счет депозита, уменьшает его затраты по обслуживанию кредита. Наибольшая затратность кредита для заемщика и наименьшая доходность для кредитора имеют место при отсутствии реинвестирования (Е = 0), когда они равны, т. е. г (0) = г (0). Но при любых (равных или неравных) значениях ставки реинвестирования для кредитора и заемщика доходность кредитора всегда выше затратности кредита для заемщика, поскольку доходность с ростом дисконта растет, а затратность — падает. Превышение доходности кредита над затратностью заемщика обеспечивается доходом, получаемым кредитором от реинвестирования платежей погашения основного долга по мере их поступления. Этот дополнительный доход кредитор получает на собственные средства и без увеличения затратности данного заемщика, так как поступления в уплату основного долга он размещает в новые кредиты или иным образом на финансовом рынке.

Примеры расчета

Для проведения расчетов полученные ранее формулы, определяющие доходность кредитора и затратность заемщика при кредите, можно записать более компактно и в привычных для расчетных процедур обозначениях. Обычно в качестве исходных данных для расчета используется поток платежей заемщика с включением в него кроме платежей обслуживания всех комиссионных выплат и иных расходов без их отдельного выделения. Поэтому обозначим СЕ] = + в, у = 1,2...и , но выделим член потока, соответствующий началу первого расчетного периода, т. е. моменту выдачи кредита С^0 = -S + aS . Тогда формула (1) инвестиционной ЭПС для расчета доходности кредитора примет вид:

Иначе запишется и уравнение (2) для расчета

г (E) = (1 + E)

1

i+-I

е ¿—t

CF,

1T

S 7=0 (1 + E)j

-1.

(5)

IRR:

I

CF

= 0,

0(1 + IRR)j

а также формула (3) для инвестиционной ЭПС расчетного периода:

г (в) = (1 + в) = (1 + в)

1 »R +ß jS

а +—I —-—

Sj=1 (1 + в)7

1 n

S - S + aS 1 iRj +ßjS S + S1 (1 + в))

-1 =

1 n

-1 =

= (1 + в)

1+

CF 1

+

iE

CF

S S 7=1 (1 + в))

1 n

-1 =

= (1 + в)

1

1+-I

о ¿—t

CF

V n

S 7=0 (1 + в)7

-1

где суммирование ведется от нулевого расчетного периода.

Понятно, что при E = IRR из (5) следует, как и ранее, r = (IRR) = IRR. Расчет затратности кредита для заемщика можно проводить в два этапа: вначале по формуле (5) необходимо вычислить величину инвестиционной ЭПС при значении ставки реинвестирования E, доступной заемщику, а затем уже по формуле (4) найти г (E).

Приведем результаты расчета примеров, предложенных Банком России в Письме 175-Т, а также одного примера из представленных Сбербанком России3. Исходные данные, соответствующие каждому примеру, приведены в таблицах, а результаты расчета — на графиках (рис. 2—5). Маркером «белый кружок» отмечены значения IRR и доходности/затратности кредита при отсутствии реинвестирования. Маркером «серый кружок» выделены точки, где ставка реинвестирования равна процентной ставке (E = 8).

По результатам расчета этих примеров можно сделать общий вывод о том, что значения IRR, которые рекомендованы Банком России в качестве меры доходности/затратности кредитов, существенно (в 1,9—3,2 раза) превышают максимальную затратность кредита для заемщика. Реальная доходность кредитора при стабильном уровне процентной ставки, по которой он и будет реинвестировать текущие поступления от заемщика (т. е. при (E = 8)), также значительно ниже IRR (в 1,4— 2 раза).

URL: http://www.sberbank.biz/eprcalc.html/.

Дата платежа Сумма платежа, руб Условия примера

07.05.2006 -251 000 Аннуитетный кредит (автокредит).

15.06.2006 7 049,15

15.07.2006 7 049,15 Дата выдачи: 07.05.2006.

15.08.2006 7 049,15

15.09.2006 7 049,15 Сумма кредита: 251 000 руб.

15.10.2006 7 049,15

Срок кредита:

15.12.2010 7 049,15 5 лет.

15.01.2011 7 049,15 Процентная ставка:

15.02.2011 7 049,15 13,5% годовых.

15.03.2011 7 049,15 Дополнительные

15.04.2011 7 049,15 расходы: 1 255 руб. ежемесячно

07.05.2011 7 049,15

25

Б = 13,5%, Т ■ а= 0%, рз = = 5 лет 25.02

125?

18.44

уС Ю.99 - Кредитор Заемщик

"ч

4.36 •о... Е -^О—

Рис. 2. Пример № 1 (Банк России): а — исходные данные; б — результаты расчета

Рис. 3. Пример № 2 (Банк России): а — исходные данные; б — результаты расчета

10 15 20 25 30%

Рис. 4. Пример № 3 (Банк России): а — исходные данные; б — результаты расчета

Дата платежа Сумма платежа, руб. Условия примера

28.03.2008 -97 000 Ординарный кредит. Дата выдачи: 28.035.2008. Сумма кредита: 100 000 руб. Срок кредита: 6 мес. Процентная ставка: 15% годовых. Разовая комиссия при открытии банковского счета: 3% от суммы кредита

28.04.2008 17 937,16

28.05.2008 17 691,26

28.06.2008 17 513,66

28.07.2008 17 281,42

28.08.2008 17 090,17

28.09.2008 16 878,40

Рис. 5. Пример № 4 (Сбербанк России): а — исходные данные; б — результаты расчета

Оценку максимальной затратности кредита для заемщика можно получить по формуле (1) или (5) при нулевой ставке реинвестирования, которую укажем отдельно:

г (0) =

1 п

1+1Т

о ¿^ 1

Б ]=0

1/Т

1,

(6)

где

Т СЕ — размер переплаты по кредиту (со-

]= 0 ^

общается банком заемщику).

Вычисление по формуле (6) выполняется на компьютере без использования специальных программ, а при целых значениях Т вычисление сводится к извлечению корня.

Список литературы

1. Жевняк А. В. Математические модели и оценки эффективности кредита // Экономика и математические методы. 2011. № 4.

2. Жевняк А. В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.

3. Ковалев В. В. Управление активами фирмы. М.: Проспект. 2007. 392 с.

4. Саркисянц А. Г. Эффективна ли эффективная процентная ставка? // Бухгалтерия и банки. 2007. № 10.

5. Федоров Б. В. Как правильно взять и вернуть кредит на покупку недвижимости, автомобиля, техники. СПб. : Питер. 2008. 203 с.