Особенности и парадоксы оценки доходности и затратности кредита по инвестиционной эффективной процентной ставке Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Кредитование

Удк 336.77.067

особенности и парадоксы оценки доходности и затратности кредита по инвестиционной эффективной процентной ставке

А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель Института регионального экономического развития, г. Рязань E-mail: alzhevnyak@yandex.ru

В статье приводится подробный и последовательный вывод формул для практического расчета инвестиционной эффективной процентной ставки (ЭПС) в годовом исчислении. Обсуждаются некоторые неожиданные на первый взгляд результаты расчета доходности кредитора при определенных параметрах кредита. Установлено, что в длинных кредитах при относительно низких ставках реинвестирования (меньших процентной ставки) инвестиционная эффективная процентная ставка, определяющая доходность кредита, становится меньшей, чем процентная ставка.

Ключевые слова: кредит, кредитор, заемщик, доходность, эффективная процентная ставка, ЭПС, IRR, реинвестирование, дисконтирование.

доходность и затратность кредита

В Российской Федерации с июля 2007 г. банки обязаны рассчитывать и сообщать заемщикам (еще до заключения кредитного договора) величину эффективной процентной ставки, которая вычисляется по методике, предложенной Банком России. Первоначально она была изложена в положении Банка России от 26.03.2004 № 254-П «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности» (далее - Положение), и дополнительно был разъяснен порядок ее расчета в письме Банка Рос-

сии от 26.12.2006 N° 175-Т «Об определении эффективной процентной ставки по ссудам, предоставленным физическим лицам» (далее - Письмо № 175-Т).

Существенные места этого Положения, касающиеся методики расчета ЭПС, утратили силу на основании указания Банка России от 14.05.2008 № 2010-У «О внесении изменений в п. 5.1 Положения Банка России от 26.03.2004 № 254-П «О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности». Также отменено и Письмо N175-T с примерами расчета ЭПС. Согласно новому указанию Банка России от 13.05.2008 № 2008-У «О порядке расчета и доведения до заемщика - физического лица полной стоимости кредита» (далее - Указание № 2008-У) понятие «эффективная процентная ставка» в банковских нормативных документах было заменено на понятие «полная стоимость кредита» (ПСК); а пример ее расчета был указан в приложении к Указаниям № 2008-У. По методике Банка России оба этих показателя: ЭПС и ПСК методологически вычисляются как внутренняя норма доходности (IRR, internal rate jf return), при некоторых отличиях по составу платежей, включаемых в денежный поток при расчете ЭПС и ПСК.

В ранее проведенном исследовании [1] показано, что показатель IRR может использоваться

в качестве оценки предельной доходности кредитного проекта, но не в качестве меры доходности и затратности конкретного кредита для кредитора и заемщика соответственно. Более того, оценка доходности (затратности) кредита по величине IRR приводит к полному искажению результата сравнительного анализа различных кредитных схем (с точностью до наоборот), когда реально более доходный (затратный) кредит должен быть признан по величине IRR менее доходным (затратным).

Для оценки доходности и затратности конкретного кредита в исследовании [1] было предложено использовать инвестиционную эффективную процентную ставку r(s), определяемую из уравнения: S [1 + r (е )] = (а S + Й„Е )(1 + £ )п, (1) или в явном виде:

r(е) = (1 + е )(а +1И£):/п -1, (2)

где s - ставка реинвестирования (дисконта), по которой кредитор размещает поступающие от заемщика платежи обслуживания кредита {R, j = 1, 2...п}; - п R

Кп е = ^-j—- - современная (дисконтиро-

j=i (1 + е )j

ванная) стоимость потока платежей обслуживания кредита; S - сумма займа.

Введем следующие необходимые обозначения: aS - разовый комиссионный сбор, взимаемый кредитором в момент выдачи кредита по ставке a от суммы займа;

Rj = Rj/S, R„£ = R„e/S - удельные (нормированные относительно номинальной суммы займа S) величины текущих платежей обслуживания кредита и их дисконтированной суммы.

Величина текущих платежей Rj и их дисконтированной суммы К п£ зависит от конкретной схемы начисления и уплаты процентов и принятого алгоритма уплаты основного долга. Она рассчитывается для той или иной конкретной схемы обслуживания по сумме займа S, сроку кредита п и заданному значению процентной ставки 8m расчетного периода. Для наиболее распространенных на практике схе кредитования аналитические выражения для Rj и Кп£ были получены в работе [2], а их краткое описание приведено в работе [1]. При необходимости в составе текущих платежей обслуживания займа могут быть выделены комиссионные выплаты ßS по ставке ßj от номинальной суммы займа, тогда вместо Rj надо использовать выражение: Rj + ßS. Описанная модель предполагает,

что обслуживание займа (погашение основного долга, уплата процентов и текущих комиссионных платежей) производится через одинаковые промежутки дискретного времени до завершения кредитного проекта в момент времени п (срок кредита, исчисляемый числом расчетных периодов). Срок кредита может также задаваться целым или дробным числом лет T=п/т (где т - число платежей обслуживания в году).

Уравнение (1) выражает баланс наращенного ссудного капитала кредитора в конкретном кредите (правая часть) и в некотором проекте сравнения (левая часть), в качестве которого принят депозит с единовременной выплатой процентов и основного долга в конце срока. Таким образом, инвестиционную ЭПС кредита можно трактовать как среднегеометрический темп роста ссудного капитала кредитора и как ставку депозита (или кредита с выплатой основного долга и процентов в конце срока), обеспечивающую кредитору прирост ссудного капитала, эквивалентный его приросту в данном конкретном кредите.

Уравнение (1) и выражение инвестиционной ЭПС по формуле (2) получены для случая, когда кредитор выдает заем из собственных средств. Но часто кредитор делает это исключительно за счет денег, привлекаемых по ставке в0 от третьих лиц. Тогда справедливо уравнение для определения нетто-инвестиционной ЭПС г (£) (очищенной от влияния стоимости привлеченных ресурсов):

5 (1 + е о )п (1 + Г)п = (а 5 + Ё пе )(1 + е )п. (3)

Из этого уравнения следует соответствующее выражение показателя доходности кредитора:

1 + £

- (е) = (S + :

1 + £п

;)Vп -1.

(4)

Понятно, что при s0 = 0 уравнение (3) совпадает с уравнением (1), а формула (4) - с ЭПС, указанной в формуле (2). В гибридном варианте, когда для кредитования используется часть yS собственных и часть (1 - y)S привлеченных кредитором средств, получим:

S [Y + (1 - Y )(1 + £ о )]П (1 + Г )п = (а S + Ке )(1 + £ )п;

-(е) = л 1 -- (а + Кпе )vп -1,

Y + (1 - Y)(1 + е о)

где 0 < Y < 1.

Далее с тех же позиций попытаемся определить затратность кредита для заемщика. Прежде всего заметим, что кредитор и заемщик имеют разные возможности реинвестирования (размещения свободных денежных средств), поэтому далее будем полагать, что ставка реинвестирования s для заемщика и кредитора различна, хотя во избежание усложнения обозначений

не будем помечать ее специальными индексами, указывающими на привязку этой ставки к заемщику или кредитору. Кроме того, учтем, что средства полученного займа 5" были заемщиком результативно инвестированы по той же ставке в, так что к концу срока кредитования оценка стоимости этих инвестиций составит 5(1 + в)" После этого можно соизмерить наращеннс затраты заемщика на обслуживание кредита (а 5 + Ди Е )(1 + £)" и результат, достигнутый за счет кредитных средств. Получим уравнение, аналогичное уравнению (3):

5(1 + £)" [1 + ?(£)] = (а5 + Д„£ )(1 + £)".

Из этого уравнения следует формула для нетто-затратности заемщика:

?(£) = (а + Л„£" -1.

Для заемщика также по формуле (2) может быть вычислена величина инвестиционной ЭПС г(в), но только при значении в, соответствующем его ставке реинвестирования. При этом можно указать . г (£ ) - £

уравнение связи г (£ ) = - инвестиционной

1 + £

ЭПС заемщика г(в) и нетто-инвестиционной ЭКС как его показателя затратности г (£).

парадоксы оценки доход нос ти кредита по инвестиционноО ЭПС

Инвестиционная ЭПС как мера доходности имеет некоторые особенности, которые при определенных соотношениях между параметрами кредитования приводят к неожиданным и даже парадоксапь ным на первый взгляд результатам. Далее проанализируем такие случаи и убедимся, что инвестиционная ЭПС правильно отражает доходность кредитора.

1. Эффективная Эпс меньше процентной ставки кредита. почему и когда это происходит? Для четырех наиболее распространенных на практике видов кредита (ординарного, купонного, шарового и аннуитетного)1 рассмотрим ситуацию, когда

5 > 0, а > 0 и в < 5 (включая и случай, когда в = 0 ).

Требуя условие: г (£) = (1 + £)

(1 + 8т )"

получим:

+ а <■

а + 1

или

-1 < 8.

\ г- СХ << д^. г-и£ и£

_ (1 + £)" (где д"3? - современная стоимость суммы платежей обслуживания в шаровом кредите, а Д"'£) -аналогичная величина для ординарного (V = 1), купонного (V = 2) или аннуитетного (V = 4) кредитов (верхний индекс - это порядковый номер в списке кредитов)2. Используя некоторые оценки

- аннуитетный кредит (с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты).

Математические модели этих кредитов построены в работе [2], где получены формулы для вычисления текущих платежей

" ^ о1

О. и их дисконтированных сумм: Ди£ = > --—-, которые

1 1=1 (1 + £ У с

здесь рассматриваются (верхний индекс в выражениях для Д соответствует порядковому номеру кредита в приведенном ранее списке):

О.V д Л[1 + (д +1 -1)8т], 1 д 1,2...д;

О.(2) д58„, 1 д1,2..д-1, О32) д521+8„,О

О<3) д 0) д =1,2...дг-1, ОД- = О(1+8„,Г;

О(4) д-

5

Фо (8т ,")

1 д 1,2... д;

5

- - [(£ - 8т )Фо (£ ,л) + ^т ]

Л£

Дф(л2£)= ^[1 + (8 т-£)Фо (£,«) +

5 (1+ 8т )"

= 5

Фо (£,")

(1+ £)" ' ^ Фо (8 т,") где ф0(£,и), ф0(8т,и) - дисконт-функции нулевой сте-пени (коэффициент приведения постоянной ренты),

Ф (£ • И) д ^ " Фо ^" И д ^ ■

Суммы дисконтированных Ри£ и недисконтированных Ри (при в = 0 ) процентных платежей в составе платежей обслуживания имеют вид:

1 В современной практике наибольшее распространение получили четыре разновидности кредита, отличающиеся схемдй начисления процентов и выплат в погашение основного долга:

- ординарный кредит (с равномерным гашением основрпго

долга и начислением процентов на ос таток ссудою И задол-

женности), называемый также класомеским или кредитам с

дифференцированными платежами;

- купонный кредит (с регулярнод дпладой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и едшювременным погашением основного долга в конце срока), наоываемый так по аналогии с купонной облигацией;

- шаровой кредит (с единовременной уплатой основного

долга и начисленных процентов в конце срока);

Р-(1) д 5 ^ |1

Фо (£, и)

РИФ1 дР р(()

д д58тФ0(£,и)

(1 + 8т )" - 1

Р^д 5т+18 т;

Р!8 д 58 и;

(1Ф£)п -

Фо (8т, и)

РФМа -8„,),! -1]1;

Фо(Х, и)

Фр(£, ") -

(1+ 8т Г

х д £_Ёт Р(4) д 5

Х д 1 + 8„ , Р-( д 5

Фо (8т , и)

-- 1

2 Там же.

п

и£

П

дисконт-функции нулевой степени, полученные в выражении [2], удается строго доказать, что при

в < 5т с ростом п величина монотонно растет

1 + §

от значения =-т до 5 /в в ординар-

П = 1 1 + £ т

ном, купонном и аннуитетном кредитах (V = 1, 2, 4) и неограниченно растет в шаровом кредите. При

этом для в < 5 всегда МПр < Кр1 У = 1,2,4. Тогда

т по по ^ ^ ^

для любого конечного значения а < 0 (в кредитах всегд а а < 1) можно указать такое значение п = п*,

что КПе + а < КЗ У = 1,2,4 при п > п*, и будет выполнено условие: г(в) < 5т. Соответственно, г(п*) = 5т и г(в) > 5т при п < п*.

Например, при в = 0 для а = 0,03, 5т = 0,01, п = 60 по расчетным данным:

„а) „(3)

(0) = 0,004827 < §т, г(2) (0) = 0,008176 < §

(0) = 0,010276 > §т

„(4)

(0) = 0,005195 < §т.

Следовательно, при п = 60 доходность ординарного и аннуитетного кредитов без учета реинвестирования (в = 0) будет для кредитора почти вдвое меньшей, чем процентная ставка. Этот эффект сохранится и при в > 0. Однако при сокращении срока займа (п = 6) и тех же параметрах кредитов значения будут следующие:

г (!) г(3)

(0) = 0,010551 > §т , ги,(0) = 0,014467 > §т , (0) = 0,014702 > §т , г(4)(0) = 0,010597 > §т, т. е. доходность всех кредитов без учета реинвестирования будет для кредитора большей, чем процентная ставка.

Таким образом, если при а > 0 кредитор в достаточно длинных кредитах (п > п*), т. е. довольно долго реинвестирует текущие платежи обслуживания по ставке в < 5т, то доходность ординарного, купонного и аннуитетного кредитов снижается и становится меньшей, чем процентная ставка (г(в) < 5т ), хотя в коротких кредитах (п < п*) таких последствий еще не будет. При а = 0 свойство г(в) < 5т имеет место при любых п >1 , т. е. и в самых коротких кредитах. В шаровом кредите инвестиционная ЭПС при а > 0 всегда больше процентной ставки, т. е. г(в) > 5т , но г(в)| „ = 5 .

у '' а = 0 т

Тот факт, что доходность кредитов при наличии комиссии оказывается меньшей, чем процентная ставка, может показаться неожиданным и даже парадоксальным, поскольку существует укоренившееся представление о процентной ставке кредита как о мере его доходности. На самом деле процентная ставка является всего лишь тарифом

банковской услуги и одним из факторов, определяющих доходность кредита.

В этом нетрудно убедиться, рассматривая для простоты, даже без учета реинвестирования (при в = 0), суммы процентных платежей заемщика Рп . Тогда можно сумму процентных платежей для любого кредита представить как Рп = Ц (§т, п)5п§т, т. е. в виде произведения суммы займа S, срока кредитования п, процентной ставки 5т и некоторого дополнительного множителя | , который собственно и отличает одну кредитную схему от другой [2]. Функция ц (§т, п), зависящая в общем случае от процентной ставки расчетного периода и срока кредита, отражает особенности схемы начисления процентов в каждой кредитной схеме и может быть названа технологическим коэффициентом кредита.

тт = 0 0 + 1

Для ординарного кредита ц 1 (п) = ——, для купон-

2п

ного |2 = 1, для шарового ц 3 (§ т, п) =

(1 + §т)п - 1

龍

и для аннуитетного Ц 4 (§ т, п) =

1

п§.

Фс (§ т , п)

- 1

(1 + § )п 1

(где Фо (§т, п) = т чп - дисконт-функция

§т (1 + §т)

нулевой степени (коэффициент приведения постоянной ренты) [1, 2].

Здесь вполне очевидно, что процентная ставка 5т выступает в качестве тарифа банковской услуги. Она связывает сумму процентных платежей Рп с суммой займа S и сроком его использования п и указывает на количество денег, уплачиваемое за пользование взятой в кредит денежной суммой в единицу времени (за один расчетный период). И только в купонном кредите, где |2 = 1 и §т = РЩ^ ¡Бп, процентную ставку периода 5т можно признать среднеарифметическим показателем доходности.

Таким образом, даже без учета реинвестирования процентная ставка кредита не является прямой мерой его доходности, а выступает только одним из факторов, формирующих доход и доходность кредитора. Другими факторами, существенно влияющими на доходность кредита, являются срок кредитования, а также ставка реинвестирования. Снижение доходности кредита до уровня, меньшего процентной ставки, когда г(в) < 5т, и есть проявление этих факторов.

2. В беспроцентном займе кредитор может иметь положительную доходность.

т

п

почему это возможно? При в > 5 и любом

^ г т

а > 0 для п > 1 во всех кредитах всегда г(в) > 5т. Но здесь возникает другая особенность инвестиционной ЭПС, состоящая в том, что в отсутствие единовременной комиссии (а = 0 ) и при нулевой процентной ставке (5т = 0 ) доходность кредита будет большей нуля. Указанная особенность проявляется в ординарном и аннуитетном кредитах.

Ситуация, где а = 5т = 0 соответствует случаю, когда кредитор предоставляет бесплатную финансовую помощь с возвратом долга либо в рассрочку с равномерными выплатами (в ординарном и аннуитетном кредитах), либо единовременно в конце оговоренного срока длительностью п расчетных периодов (в купонном и шаровом кредитах). При а = 5 = 0 внутренняя норма доходности кредита IRRC = 0. Но при любой ставке размещения кредитора (в > 0) инвестиционная ЭПС составит ве-

личину г (е ) 8т=о = (1 + £ )

а=0

1С

5 п

1 п

-1 (где

и г

(2)

(е )| 8

= г (3) ,=0 = г

(1 + е )п

(е) 8т=о = 0 < е. В ординарном

и аннуитетном кредитах получим

с(1£

= С^

8_=0

= 5 Ф°(е, п) [2]. Тогда, с учетом того, что

ф0 (е, п) < п справедливо следующее выражение:

Д1)

(е )| 8т =0 = г <4>

а =0

(е )

8т =0 =

а =0

= (1 + е)

Ф0 (е, п)

п

1/ п

-1 < е.

5(1 + е )п - 5(1 + г(е ))п = 5(1 + е )п

1 --

при равномерном погашении беспроцентной ссуды. Во втором случае она будет меньшей, так как п

Ф0(е, п) >

(1 + е )п > 1 + пе.

Спе > 0 - дисконтированная сумма платежей в уплату основного долга; Кпе = Спе + Рпе, а сумма

процентных платежей Рпе = Рп = 0 при нулевой процентной ставке кредита (5т = 0).

Вычисляя инвестиционные ЭПС получим в купонном и шаровом кредитах С(2е) = С(3е) = ■ ^

Конечно, при в > г = IRRC кредитование не выгодно кредитору, так как размещая сумму на депозите, он нарастил бы ее по рыночной ставке в до величины 5(1 + в)п, а предоставив беспроцентный заем, кредитор при г(в) < в получит меньшее наращение : 5(1 + г(в))п . Упущенная выгода кредитора составит: 5(1 + е )п - 5(1 + г(е ))п = 5 [(1 + е )п -1] при единовременном возврате долга и

Ф0(е, п)"

1 + пе

Заемщик ведь в этом случае может получить реальный доход, если средства, привлеченные в виде такой финансовой помощи, он разместит на финансовом рынке по любой доступной для него ставке (в > 0 ). Получается, что при нулевом значении внутренней нормы доходности такого займа ( IRRC = г = 0) кредитор всегда имеет упущенную выгоду, а заемщик - виртуальный доход, который может стать реальным.

Ранее уже отмечалось, что инвестиционная ЭПС г(в) отражает доходность двух неразрывно связанных операций кредитора: собственно кредитования и реинвестирования получаемых текущих платежей обслуживания. При а = 5т = 0 факта кредитования по сути нет, хотя имеет место доход от реинвестирования поступающих от заемщика платежей в уплату основного долга. Но это только возврат собственных средств кредитора, на которые он получает доход за счет реинвестирования. В отсутствие реинвестирования (в = 0) этого дохода не будет. И инвестиционная ЭПС правильно отражает данный эффект.

Понятно, что предоставление беспроцентного займа - это особый случай кредитования, где кредитор имеет явную упущенную выгоду (которую можно признать и убытком) в размере:

5(1 + г(8 ))п - 5(1 + е )п < 0. Строго говоря, в любых случаях, когда рыночная ставка размещения превышает IRRC кредитного проекта, кредитор имеет упущенную выгоду, поскольку доходность кредита оказывается меньше доходности рынка.

Список литературы

1. Жевняк А. В. Оценка доходности кредитора и затратности заемщика при кредите // Финансы и кредит. 2011. № 31.

2. Жевняк А. В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.

3. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело. 2002. 397 с.

4. Федоров Б. В. Как правильно взять и вернуть кредит на покупку недвижимости, автомобиля, техники. СПб.: Питер. 2008. 203 с.

8т =0

п