CC BY
56
Кредитование
Удк 336.77.067
стоимость кредита и как на нее влияют комиссионные платежи заемщика
А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель НП «Институт регионального экономического развития», г. Рязань E-mail: alzhevnyak@yandex. ru
В статье показано, что инвестиционная эффективная процентная ставка (ЭПС) является мерой стоимости номинальной суммы займа, а операционная ЭПС - мерой стоимости реальной суммы займа с учетом отвлечения средств из хозяйственного оборота заемщика для текущих выплат основного долга. При этом инвестиционная ЭПС дает существенно заниженные значения стоимости кредита по сравнению с операционной. Без учета реинвестирования операционная ЭПС есть нижняя оценка, мало отличающаяся от значения внутренней нормы доходности, которая является верхней оценкой стоимости займа. Установлено, что за счет комиссий, взимаемых кредитором с заемщика в дополнение к платежам обслуживания кредита, стоимость коротких кредитов может в несколько раз превышать процентную ставку. Получена простая формула нижней оценки стоимости кредита, которая может широко применяться заемщиками при самостоятельных расчетах.
Ключевые слова: расчет, кредит, кредитор, заемщик, доходность, эффективная процентная ставка, ЭПС, IRR, реинвестирование, дисконтирование.
Предварительные соображения. С момента появления первых кредитных операций проценты Р (доход кредитора) выплачивались обычно одновременно с возвратом суммы займа «5. В такой ситуации процентную ставку 5 = Р/5 можно считать прямым и полным показателем доходности кредита за весь его
срок. Нередко в силу разных причин должник (заемщик) был не в состоянии выплатить долг с процентами, накопившимися за довольно длительный период, что было основанием для его закабаления. Но в большинстве своем ростовщики (кредиторы) вовсе того не хотели, поскольку теряли при этом и значительную долю ссудного капитала. Поэтому в целях снижения рисков потери активов (кредитного риска) и текущего наблюдения за уровнем благосостояния должника возникла необходимость в промежуточных расчетах, а следовательно, и в установлении своего рода тарифа на услугу кредитора в форме ставки годовых процентов, по которой могли быть вычислены проценты за год. Со временем годовой расчетный период был раздроблен до полугодовых, квартальных и месячных периодов, для чего и годовую процентную ставку стали дробить, вычисляя процентную ставку расчетного периода, 5т = 5/т, по которой и проводилось начисление процентов в каждом периоде (т - число платежей в году с постоянным интервалом между ними). По-видимому, тогда же и основной долг стал погашаться частями, поскольку круг заемщиков постоянно расширялся и кредитору было куда заново вложить (реинвестировать) возвращаемый капитал. При этом годовая процентная ставка сохранила значение только как общепринятый (номинальный) показатель доходности для целей ее сравнения в различных кредитах, а потом и с доход-ностями совершенно иных финансовых операций.
Очень скоро стала понятна полезность повышения частоты процентных выплат для кредитора, поскольку эффективная годовая процентная ставка кредита всегда больше номинальной 8ef = (1 + 5m)m -1 = (1 + 5/m)m -1 > 1 + m • (5/m) -1 = 5.
Одним из простейших и сохранившимся до наших дней является кредит с регулярной выплатой процентов, но без выплат основного долга, погашение которого производится в конце срока займа (будем называть его купонным по аналогии с купонной облигацией, где используется такая же схема выплаты дохода). Другим также весьма просто устроенным кредитом является кредит с равномерным гашением основного долга в размере S/n, где n - срок займа, исчисляемый числом расчетных периодов заданной продолжительности. Его часто называют классическим или кредитом с амортизацией долга, а также кредитом с дифференцированными платежами обслуживания, имея в виду две части каждого такого платежа - G и P, предназначенные для уплаты основного долга и процентов соответственно (R = G + P). Для краткости такой кредит будем именовать ординарным, по причине его широкой распространенности.
В этих кредитах проценты P. в текущем расчетном периоде с порядковым номером j = 1,2... n начисляются по ставке 5 на остаток основного
m
долга, имевшийся на конец предыдущего расчетного периода, т. е. Pj =5mDj-l. В ординарном кредите нетрудно определить P (1), полагая, что D01 = S, G(1) = G20 =... = G(1 = S/n и используя разностное уравнение, описывающее динамику основного долга в виде D] = D]-( - Gj. Тогда
D(1) = S - S = Sfr-), Df = n n
= D(1) - S = S (n - 2),... D(1) = S (n - j),... Do) = o,
= 5_ -
O n
pO) =5 - (n - j +1), P« =y P(1) =
/ m v J n /_t /
j n ]=( j
n
n(n +1)-X j
]=(
= S—5 , С(1) =YG(1) = S,
2 3 = 1
где вычислена сумма арифметической про -
п
грессии ^ j = 0,5п(п +1). Здесь и далее будем
3=1
нумеровать рассматриваемые кредитные схемы, отличающиеся алгоритмом начисления и уплаты платежей обслуживания, помещая их номер в
верхнем индексе соответствующих этим кредитам показателей1.
п
В купонном кредите ¥(п2) Р^ = nS5m,
3=1
поскольку основной долг в текущие моменты времени вплоть до конечного не погашается, т. е.
G(2) = 0, j = 1,2...п -1, G(1) = S, С(2) = S,
7 ? П ' П '
D{j¿> = S, 7 = 0,1,2...п -1, ^^ = 0.
Попытаемся определить цену ординарного и купонного кредита, понимая под этим, например, отношение платы за предоставленные заемные средства (т. е. выплаченные проценты), приходящиеся в среднем на один расчетный период, к номинальной сумме займа. Полученный показа-Р(1) п + К Р(2)
5
= 5 есть не что иное, как
тель
О ^ т'
ьп 2п ьп простая процентная ставка г0, так как из уравнения
Ь(1 + пг0) = Рп следует, что Ь(1 + пг0) = Рп + С и далее с учетом того, чтоСп = Ь, уже г0 = Рп/пЬ. Очевидно, что величина ставки г0 при одинаковых параметрах кредитов (5т и п) в ординарном и купонном кредитах значительно отличается (г0(1) < г0(2) при п > 1). Такое различие обусловлено исключительно отличиями в схемах обслуживания долга, которые весьма существенны.
Можно предложить другой подход к определению цены кредита в виде отношения суммы процентных платежей к сумме остатков основного долга заемщика, имевших место за весь срок кредитования, т. е. применить формулу р = Рп/ Вп. Вычисляя
п
эту сумму остатков долга Ви = ^ Dj-1, получим
В« = s^ и ШР = Sn. Тогда р(1) = р(2) = 5и.
Полученные вторым способом значения цены в ординарном и купонном кредитах совершенно одинаковы, поскольку сумма процентных платежей сравнивалась не с номинальной суммой, не зависящей от режима погашения долга, а с реальной
]=(
1 В работах [1, 2, 3], посвященных оценке эффективности кредитов, кроме ординарного и купонного кредитов рассматривался также шаровой кредит (где основной долг и проценты уплачиваются единовременно одним платежом в конце срока займа) и аннуитетный кредит (в котором имеет место регулярное обслуживание с постоянным по величине платежом). И в каждой из указанных работ проводился сравнительный анализ названных кредитов. В настоящем исследовании речь идет не столько о сравнении отдельных кредитных схем, сколько о сравнении различных методов исследования эффективности кредитов, а те или иные конкретные кредиты используются только в качестве примеров.
n
n
n
суммой, находившейся в хозяйственном обороте заемщика. В нее в случае ординарного кредита не вошли денежные средства, возвращенные кредитору в погашение основного долга, поэтому цена кредита при таком подходе оказалась выше, чем при сопоставлении процентных платежей с номинальной суммой займа. И это справедливо, потому что меньшей сумме процентов, выплаченной в ординарном кредите, соответствует и меньшая сумма остатков долга, так как часть его постепенно выплачивалась, а в купонном кредите текущего гашения долга нет. В купонном кредите при вычислении вторым способом цена кредита не изменилась, поскольку здесь остатки основного долга постоянно равны сумме займа в каждом расчетном периоде и в среднем. С учетом временной стоимости денег нетрудно будет показать, что частично заемщик использовал в обороте деньги, предназначенные на выплату основного долга, и эта часть заемных денег должна войти в сумму остатков основного долга, но пока таким эффектом можно пренебречь.
Важно также отметить, что при расчете через отношение суммы процентных платежей и остатков основного долга цена кредита определяется как ставка сложных процентов, так как это отношение может считаться отношением двух средних величин: средней суммы процентов и средней суммы остатков долга.
Далее в исследовании будет рассмотрен вопрос о связи двух описанных способов ценообразования кредита, но уже в более общей постановке (там будем учитывать временную стоимость денег и влияние различного рода комиссий на стоимость кредита).
Внутренняя норма доходности кредита. История концепции приведенной стоимости по печатным источникам прослеживается с середины XVII в. с момента выхода посмертной публикации Эдмунда Хейли «О сложном проценте», который, впрочем, более знаменит открытием кометы, названной его именем (в русском произношении - комета Галлея). В работе Хейли дана общеизвестная теперь формула приведенной стоимости ежегодной ренты постнумерандо, с которой начинается любое изложение теории рент. Не случайно профессор М. Рубинштейн из школы бизнеса университета Калифорнии включил это событие в свой очерк о великих моментах в финансовой экономике [7]. Там же он упоминает, что другой относительно ранний вывод этой формулы можно обнаружить у Ирвинга Фишера в 1906 г. Вполне вероятно, что в той или
иной форме понятие «приведенная стоимость» было известно еще древним грекам, использовавшим незаурядные математические приемы при вычислении сложного процента. В настоящий момент формула приведенной стоимости ежегодной ренты стала отправной точкой в создании специальной математической техники вычислений для анализа денежных потоков. Более того, именно из этого начала выводятся почти все формулы, составляющие аппарат современной теории рент.
В настоящий момент все известные продуктивные методы и приемы финансовой математики, несмотря на широчайшее разнообразие постановок задач и множество нюансов, основаны на идее приведения стоимости денежного потока к некоторому выбранному моменту времени, что сейчас принято именовать дисконтированием, а соответствующий метод - методом дисконтирования денежных потоков. Он является основным инструментом инвестиционного анализа, в рамках которого появился и стал широко использоваться показатель эффективности инвестиционных проектов, получивший название внутренней нормы доходности IRR (internal rate of return). Надо сказать, что IRR был определен достаточно формально и до настоящего момента, несмотря на повсеместное применение, он не имеет удовлетворительной экономической интерпретации. На это указывают, в частности, Р. Брейли и С. Майерс в своей работе [1, с. 98]: «Внутренняя норма доходности - это производная величина без какого-либо явственного экономического смысла. Пожелай мы дать ей определение, мы не сможем ничего добавить к тому, что это ставка дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость всех денежных потоков равна нулю. Проблема не в том, что внутреннюю норму доходности трудно вычислить, а в том, что она сама по себе не очень полезна». Действительно, если не касаться особенного случая с чередованием денежных притоков и оттоков в проекте, то в инвестиционном анализе IRR определяется как ставка дисконта, при которой NPV проекта обращается в нуль, или как ставка реинвестирования текущих притоков и оттоков, при которой наращенные к заданному моменту времени суммы притоков и оттоков сравняются. Поэтому приведенный текст является только описанием алгоритма расчета IRR, но не может считаться сколько-нибудь приемлемым его определением, которого в экономических категориях пока просто не существует.
Применительно к кредиту с единственным оттоком капитала в размере номинальной суммы займа S и многими притоками в виде платежей обслуживания Rj, j = l,2, ...n формально можно сказать, что IRR есть корень r нелинейного уравнения
n R
j=1 (l + r)j
Однако это уравнение давно и хорошо известно в теории кредита, когда Rj = Rj (S, 5m, n) есть функция суммы займа, процентной ставки расчетного периода и срока кредита, а корнем его в таком случае является процентная ставка, т. е. r = 5 . Равенство
s = 1-
R
-- выражает так называемый принцип
1 =(1 + 5») 1
замыкания контура финансовой операции [8], который именуется основным свойством кредита [4].
Между тем надо иметь в виду, что на практике платежи обслуживания кредита не всегда в точности соответствуют своим расчетным значениям, хотя бы за счет неизбежных округлений при их вычислении или случайных, а порой и преднамеренных искажений. Такие кредиты можно назвать возмущенными, понимая под возмущениями всякие отклонения величин текущих платежей обслуживания от их точных значений. Здесь наиболее интересен случай, когда кредитор согласно договору займа имеет право взимания с заемщика различного рода комиссий (например, за открытие и ведение ссудного счета), которые и являются упомянутыми возмущениями. Обычно такие комиссии могут быть разделены на единовременные aS, взимаемые по ставке а в начале первого расчетного периода (т. е. в момент выдачи займа), и регулярные (систематические) Р^", которые уплачиваются заемщиком по ставке р^ в конце каждого расчетного периода. Понятно, что без всякой потери общности можно считать а, = а + р, п Р
где Р = / -1—-, поэтому далее будем рассмат-
1=1 (1 + е)1
ривать только единовременную комиссию.
Тогда, помечая дисконтированные показате-
ли «дугой сверху» (например,
= 1-
R
),
- = (1 + е)
может быть сформулирована задача определения внутренней нормы доходности кредита г за один расчетный период из уравнения
п я
S = aS + У-^, (1)
1=1 (1 + г)1
которое имеет нетривиальное решение: 1ЯЯС=г > 5 .
Здесь и далее обозначение IRRC используется при вычислениях, относящихся к одному расчетному периоду, а исконное название IRR будем сохранять для годового исчисления с пересчетом по формуле IRR = (l + IRRC)m -1. Логика здесь вполне понятна: поскольку при а = 0 справедливо r = 5m, то при а > 0 решение уравнения (l): r = r(а, S, 5m, n) может быть мерой доходности кредита, возмущенного за счет взимания комиссии.
Уравнение (l), записанное по современной стоимости, можно переписать в виде баланса наращенных стоимостей:
S (l + r )n = aS (l + r )n + ]T Rj (l + r )n - j, (2)
j=1
где выражение Rj (l + r )nозначает, что все поступающие платежи обслуживания кредитор должен немедленно реинвестировать (разместить в новые доходные финансовые операции) по только что вычисленной ставке r [6]. Однако обеспечить это на практике удается не всегда, если кредитор не имеет доступа к финансовым рынкам, где доходность превышает ставку кредитования 5m, поскольку r > 5m. Если IRRC трактовать не только как доходность кредитора, но и как показатель затратности кредита для заемщика, то по этой ставке: r = IRRC надо наращивать платежи обслуживания, чтобы оценить упущенную выгоду заемщика, которую он имеет от кредитования, поскольку платежи обслуживания, не беря кредит, он мог бы разместить в доходном бизнесе. Но доступная заемщику ставка реинвестирования, как правило, бывает меньшей, чем у кредитора (обычно это ставка депозита, открытого в «банке на соседней улице»), поэтому считать упущенную выгоду заемщика с применением IRRC нельзя. Из всего сказанного следует, что IRRC (IRR) есть некоторый предельный показатель доходности кредитора и затратности заемщика, т. е. верхняя оценка доходности и затратности кредита.
Можно попытаться восстановить предысторию рождения IRRC, для чего в правой части уравнения (2) вместо r надо ввести свободный параметр в, отражающий реальную ставку реинвестирования кредитора и заемщика. Тогда получим уравнение баланса:
S (l + r )n = aS (l + в)п + ]T Rj (l + в)п - j,
j=1
наращенного по ставке r ссудного капитала заемщика (левая часть) и реально наращенных по ставке в платежей заемщика (правая часть). Из этого урав-
нения легко находится показатель, который будет
отражать доходность и затратность:
Г (8) = (1 + 8)
а +11 S
1 n
-1,
(3)
причем при 8 ^ г и г (8) ^ г. Насколько этот показатель окажется реален, еще предстоит выяснить.
Выражение (3) определяет инвестиционную ЭПС кредита, которая была подробно исследована в работах [2, 3]. Ее можно трактовать, например, как ставку депозита с постоянной капитализацией процентов, обеспечивающую рост размещенной на нем суммы займа к концу срока кредита до той же величины, до которой к тому времени увеличится и сумма постоянно реинвестируемых платежей обслуживания. Иначе можно считать инвестиционную ЭПС среднегеометрическим темпом роста суммы постоянно реинвестируемых платежей обслуживания.
Как указано в работе [2] инвестиционная ЭПС строго монотонно растет с ростом ставки реинвестирования 8, но всегда при 8 < IRRC будет также оставаться меньшей IRRC. Значит и реальная доходность/затратность кредита будет меньше, чем IRRC .
В Российской Федерации с июля 2007 г. банки обязаны рассчитывать и сообщать заемщикам (еще до заключения кредитного договора) величину ЭПС, которая вычисляется по методике, предложенной Банком России (2006 г.) Согласно новым указаниям Банка России от 13.05.2008 N° 2008-У «О порядке расчета и доведения до заемщика - физического лица полной стоимости кредита» понятие «эффективная процентная ставка» в банковских нормативных документах заменено на понятие «полная стоимость кредита» (ПСК). По методике Банка России оба этих показателя - ЭПС и ПСК - вычисляются как IRR, при некоторых отличиях по составу платежей, включаемых в денежный поток при расчете ЭПС и ПСК. После подробного обсуждения природы IRR можно с уверенностью сказать, что этот показатель является верхней завышенной оценкой реальной доходности/затратности кредита. Весь вопрос состоит только в том, насколько велико это завышение.
Прототипом российской ПСК (ЭПС) послужила так называемая Annual Percentage Rate (APR), т. е. годовая процентная ставка, включающая в себя различные комиссии и разовые выплаты, которая применяется в США, а ее аналоги - в Евросоюзе и в ряде других государств.
Инвестиционная, гомогенная и операционная ЭПС. Вообще говоря, при одинаковых сроках займа сравнивать доходность/затратность кредита можно непосредственно по величине суммарных полных дисконтированных платежей обслуживания
(на единицу номинальной
в удельном
= а + J
суммы займа) или даже в абсолютном исчислении Z n Е =aS + Ш n Е . К этому, кстати, призывают участники многих дискуссий в сети Интернет, не принимающие внедренную Банком России методику определения эффективности кредита по величине IRR. Однако оценивать эффективность кредита по сумме дисконтированных полных платежей заемщика нельзя, причем по двум причинам. Во-первых, тогда будет невозможно сравнить эффективность займов при различных сроках кредитования, поскольку понятно, что если одинаковая сумма дисконтированных платежей обслуживания накапливается за разные промежутки времени, то одинаково затратными для заемщика их считать все-таки нельзя. Менее затратным здесь надо признать более длительный кредит с меньшим темпом роста суммарных платежей заемщика. Во-вторых,
абсолютный Z nЕ или удельный Z nЕ показатели доходности/затратности кредита будет невозможно сравнить с эффективностью других финансовых операций, например с доходностью депозита или облигаций, которая обычно исчисляется в годовых процентах. Таким образом, совершенно естественно в качестве меры доходности/затратности кредита признать темп роста суммарных дисконтированных платежей его обслуживания, вычисленный по формуле инвестиционной ЭПС. Здесь, в принципе, при разных сроках кредитования в сравниваемых кредитах может возникнуть ситуаЦия когда Z nЕ (S2, a2, 5m2, Е n) ^ Z nЕ (S1, ai, 5ml , Е п)
но r2 (е) < r1 (е). С этим придется согласиться, если считать главным признаком эффективности кредита темп роста суммарных платежей обслуживания.
Конечно, показатель эффективности кредитов можно выбирать не в виде среднегеометрического, а в форме среднеарифметического за весь срок кредита темпа роста суммарных полных дисконтированных платежей, т. е. в виде среднего удорожания:
Um =-
n 8
U_8 U.
aS + М n 8- S
nS
a + J
-1
nS
8 -1
n 8
n
n8
n
n
где ии6=а£ + Мя8 -S и Ои8=а + Мя8 -1 - абсолютное и удельное удорожание (переплата). Тем самым ставка сложных процентов, которой является инвестиционная ЭПС, г(в) будет заменена на ставку простых процентов г0 (в) = и™8, определяемую из уравнения баланса: S [1 + nr0(в)]=aS + М „ в по современной стоимости. Ее вполне можно считать простым и понятным показателем эффективности кредита, но тогда придется смириться и с ее недостатком как ставки простых процентов, а при необходимости пересчитывать в ставку сложных процентов, т. е. в ту же инвестиционную ЭПС по формуле г(в) = (1 + в)[1 + пг0(в)]1/п -1. Пр ичем в отсутствие реинвестирования (в = 0), т. е. без учета временной стоимости денег отсюда получится та же самая формула, которая была установлена в первом разделе исследования при попытке расчета цены кредита сопоставлением суммарных процентных платежей и номинальной суммы займа. Как было замечено, при таком подходе даже в отсутствие комиссии и дисконтирования цена ординарного и купонного кредитов была различной (меньшей для ординарного кредита).
Таким образом, инвестиционная ЭПС устроена по тому же принципу сопоставления процентных платежей и номинальной суммы займа, что и является ее отличительной особенностью.
Однако ранее уже было отмечено, что без учета реинвестирования такой подход дает заниженную оценку цены кредита по сравнению с той, которая получается на основании сравнения процентных платежей с суммой остатков основного долга заемщика.
Операционная ЭПС р(в), определенная в работе [5] по формулам
Р(в) =
aS + Р.
= 1
Р
D,
з =1 (1 + в) D
'з -1
= V- ,
3=0(1+в)з+1 з=1(1+в)з'
(4)
фактически из средств займа, то операционную ЭПС следует признать мерой стоимости той части суммы займа, которая вовлечена в хозяйственный оборот заемщика. Понятно, что при той же плате за кредит она должна быть выше, чем стоимость заимствования всей номинальной суммы займа.
Формулу операционной ЭПС, учитывая уравнение связи: S = Опв + вВ„в, установленное как важное свойство кредита в работе [4], можно записать в следующем виде:
Р(в) =
aS + Р„ 8+ С„ 8- S + S - Ои8
aS + М „в- S + вВ„в ии в
+в
строится именно по принципу сравнения полных суммарных дисконтированных платежей обслуживания с дисконтированной суммой остатков основного долга. Если считать, что процентные и непроцентные расходы заемщика, связанные с получением и обслуживанием кредита, полностью производятся из его собственных средств, а платежи в погашение основного долга выполняются за счет отвлечения средств из хозяйственного оборота, т. е.
(5)
Если принять ставку дисконта в = г = IRRC, то учитывая, что aS + М пГ - S = ипг = 0, получим р(в)|в= = г, т. е. р(в) ^ г при в^ г. Такое же свойство ранее было отмечено для инвестиционной ЭПС, и оно стало основанием считать, что 1КЯС является предельным значением инвестиционной ЭПС. Теперь то же самое можно сказать и в отношении операционной ЭПС. Без учета временной стоимости денег фактически операционная ЭПС уже рассматривалась, когда ранее автором уже была предпринята попытка оценить цену кредита отношением суммы процентных платежей и остатков основного долга. При этом цена ординарного и купонного кредитов при отсутствии комиссии совпадала с процентной ставкой расчетного периода д Понятно, что стоимость денег, вовлеченных в хозяйственный оборот заемщика (и ставших уже «своими» для заемщика), всегда выше стоимости номинальной суммы займа (т. е. в чистом виде «чужих» денег). Возможно, именно из такого видения сути кредита родился афоризм: «берешь чужие, а отдаешь свои».
Это утверждение можно доказать математически, не прибегая к умозрительным заключениям.
Теорема. Для любых кредитов операционная ЭПС всегда больше инвестиционной, т. е. Р(в) > г (в).
Доказательство. Подставляя в формулу (5) выражение простой процентной ставки
и / ч / ч ^
г (в) = „в, получим Р(в) = г0(в) + в. Понятно,
0 ^ „ ®п в
что при в > 0 всегда В„в < nS и р(в) > г0(в). Од-[1 + Г (в)]„
нако 1 + пг0 (в) = -
(1 + в)„
поэтому обозначая
п
пв
п
, г 1 + Ф) Ь Г(е) -8
1 + С =-— и ь = ~-, можно записать, что
1 + 8
1 + 8
1 + пг0(8) = (1 + Ь)П. Но (1 + Ь)П > 1 + пЬ,, откуда сле-
>- / ч Г (8) -8 ~ р(8) -8
дует, что Ь < г0(8) или -< Вп8 -. Пере-
1+8
пБ
пишем это неравенство как р(8) - 8 > -
пБ
8 (1 + 8)
[г(8) -8]. Теперь с учетом свойства: (1 + 8)Вп8 < nS (доказано для любых кредитов в работе [4]) ясно, что р(8) > г(8).
Итак, за счет того, что заемщик регулярно изымает деньги из хозяйственного оборота для выплат основного долга кредитору, стоимость кредита существенно возрастает, а цена кредита, определенная по инвестиционной ЭПС, оказывается заниженной. В работе [5] на примере показано, что по отдельным видам кредитов (в частности, по ординарному и аннуитетному) значения инвестиционной ЭПС оказываются более чем в 2 раза меньшими по сравнению с величиной операционной ЭПС, вычисленной при тех же значениях параметров займа.
Для инвестиционной ЭПС в любых кредитах имеет место строго монотонное возрастание с ростом ставки реинвестирования (дисконта) 8. Поэтому IRRC всегда больше значений инвестиционной ЭПС при 8 < г. В отношении операционной ЭПС это также справедливо, но только для кредитов, где нет отсрочки по платежам в погашение основного долга (например, в ординарном, купонном и аннуитетном). Хотя в шаровом кредите, где основной долг и проценты выплачиваются единовременно в конце срока займа, при относительно малых ставках комиссии, что на практике всегда имеет место, операционная ЭПС монотонно убывает с ростом 8 и при 8 < 1ЯЯС остается большей значения 1ЯЯС. В таком случае 1ЯЯС надо рассматривать уже как нижнюю оценку операционной ЭПС.
Если кредитор выдает заем из привлеченных по ставке 80 средств, то его доходность определяется с учетом этой ставки и найденного значения опера-
р(8) -8о
ционной ЭПС по нетто-формуле р(80,8) = -
1 + 8П
ных платежей, когда формула:
^ + Рп 8 р(8) = = 5„
Р =5 I
п 8 т
следует простая
aS + Р
=5
1+
aS
(6)
п 8 п 8 у п 8 у
которая вполне понятна, поскольку в ней прирост цены кредита сверх процентной ставки определяется тем, насколько велика комиссия по отношению к выплаченным процентам.
В силу своей простоты формула (6) может быть полезной для заемщиков при самостоятельном расчете стоимости кредитов.
В работе [5] автором была определена гомогенная ЭПС для сравнения эффективности однотипных кредитов. Ценой потери универсальности гомогенной ЭПС для кредитов с линейной зависимостью суммы процентных платежей от процентной ставки, что имеет место, например, в ординарном и купонном кредитах, достигается существенное упрощение расчетных формул. Однако при ее сопоставлении с операционной ЭПС выявился неожиданный факт тождественности гомогенной и операционной ЭПС в ординарном и купонном кредитах, несмотря на совершенно различный подход к их определению. Покажем, что такое совпадение не случайно. Действительно, из определения гомогенной ЭПС:
Я (Б,5 ,п)
J \ ? т' /
; (Б, г , п) =
£ (1 + 8)' ^ (1 + 8)'
= аБ + М п 8 (Б, 5т, п), раскрывая суммы платежей обслуживания, можно записать:
Р„8 (Б, г, п) + О Л8 (Б, г, п) =
= аБ + Р„8 (Б, 5т, п) + ОЛ8 (Б, 5т, п). (7) Если Оп 8 (Б, 5т, п) не зависит от процентной ставки 5т, то Оп8 (Б, 5т,п) = Оп8 (Б, г%,п) и уравнение (7) примет вид: Рп 8 (Б, г&, п) = аБ + Рп8 (Б, 5т, п). Если при этом суммарные процентные дисконтированные платежи линейно зависят от процентной
ставки, то справедливо г ~
и далее Рп8(Б,5т,п) = аБ +
(Б, г , п) = -*-
(Б, 5т,п) (Б, 5т, п). Для
Аналогично определяется затратность кредита для заемщика в том случае, когда он всю сумму займа единовременно инвестировал бы в бизнес с доходностью 80 .
Завершая теоретическое обсуждение операционной ЭПС, заметим, что из ее определения (см. формулу 4) для кредитов без отсрочки процент-
кредитов без отсрочки уплаты процентов всегда " 8(Б,5т,п) = 5т1 п8(Б,5т,п) [4], поэтому
ДБ, 5т, п) = аБ +
г
5
5 т
+Рл8 (Б, 5т, п)« г (8) = -
аБ + ]
-р(8)
п
п 8
п 8
п 8
(в итоговой формуле зависимость от параметров не показана, поскольку это уже одни и те же параметры). В результате установлено, что гомогенная ЭПС тождественна операционной для кредитов, когда:
- платежи в уплату основного долга не зависят от процентной ставки;
- суммарные процентные платежи линейно зависят от процентной ставки;
- нет отсрочки уплаты процентов.
Этим условиям (из числа рассматриваемых) удовлетворяют только ординарный и купонный кредиты. В аннуитетном кредите отсрочки процентных платежей нет, но другие два условия не выполняются. В шаровом кредите первое условие выполняется, но нарушаются два других.
Это значит, что гомогенная ЭПС (по крайней мере, для ординарного и купонного кредитов) определяет стоимость суммы займа, вовлеченной в хозяйственный оборот заемщика, т. е. с учетом того, что часть суммы займа в том или ином временном режиме возвращается кредитору не в момент завершения кредита, а досрочно.
Можно ожидать, что и для аннуитетного кредита в силу близости его показателей при малых значениях процентной ставки к соответствующим показателям ординарного кредита будут близки и значения гомогенной и операционной ЭПС (это видно и по результатом расчетов конкретных примеров). Однако гомогенная ЭПС аннуитетного кредита вычисляется как корень сложного нелинейного уравнения, тогда как для операционной ЭПС получается весьма простая расчетная формула. В шаровом кредите гомогенная ЭПС по своему смыслу одновременно является и инвестиционной.
Можно условно считать, что гомогенная ЭПС занимает промежуточное положение между инвестиционной и операционной ЭПС - для некоторых типов кредитов она совпадает с операционной, а для других - с инвестиционной ЭПС. Хотя существуют и кредиты, где гомогенная ЭПС не совпадает ни с операционной, ни с инвестиционной ЭПС (например, аннуитетный кредит). В случае с аннуитетным кредитом согласно расчетам, выполненным для широкого диапазона изменения параметров кредита, отличие гомогенной ЭПС от операционной ничтожно мало (в четвертом-пятом дробном разряде отношения г& (в)/р(в)).
В итоге можно сказать, что инвестиционная ЭПС не может применяться для оценки стоимости кредитов, так как дает существенно заниженные ее
оценки. Применение гомогенной ЭПС по крайней мере в четырех рассмотренных кредитных схемах -просто нецелесообразно.
сколько стоит кредит и как на его стоимости отражается комиссия? Итак, для расчета стоимости кредита остается два способа: вычисление операционной ЭПС при заданном значении ставки реинвестирования (при своем заданном значении для кредитора и заемщика) или расчет значения IRRC, который дает только приближенную завышенную оценку стоимости кредита, но зато не требует задания ставки реинвестирования. Далее попытаемся сравнить результаты расчета операционной ЭПС и 1КЯС в достаточно широком диапазоне изменения параметров кредита, чтобы понять, насколько приближенное значение 1КЯС может отличаться от реальных значений. Кроме этого необходимо будет определить зависимость операционной ЭПС от ставки комиссии, чтобы понять, насколько существенно введение комиссии увеличивает стоимость кредита. Зависимость операционной ЭПС от ставки кредита и срока займа описана в работе [5].
Поскольку с ростом ставки дисконта в операционная ЭПС р(в) кредитов без отсрочки уплаты процентов монотонно растет до значения, равного 1КЯС при в = IRRC, то в таких кредитах наибольшее отклонение р(в) от 1КЯС будет иметь место при нулевом значении ставки дисконта, т. е. без учета реинвестирования. Результаты расчета отношений 1КЯС в ординарном, купонном, шаровом и аннуитетном кредитах к соответствующим этим кредитам значениям операционной ЭПС р(0), т. е. величины 1КЯС/р(0), представлены в табл. 1. При этом рассмотрены два варианта ставок комиссии: а = 0,03 и а = 0,06, в каждом из которых задавалось два значения процентной ставки: 5 = 0,01 и 5 = 0,02
г ^ т ' т '
при последовательном изменении срока кредита от 8 до 60 расчетных периодов. При выборе длительности расчетного периода в один месяц указанные параметры кредита составят 12 и 24 % годовых по процентной ставке, 3 и 6 % по ставке комиссии при сроках кредитования от полугода до 5 лет.
Графики зависимости операционной ЭПС от срока займа при тех же вариантах изменения параметров кредитов представлены на рисунке. Они показывают, как проявляется влияние ставки комиссии на стоимость кредита от продолжительности кредитования.
Анализируя представленные расчетные данные, можно сделать следующие выводы:
Таблица 1
Результаты расчета
Срок кредита, п Тип кредита
Ординарный Купонный Шаровой Аннуитетный
6 =0,01 т ' 6 =0,02 т 6 =0,01 т 6 =0,02 т 6 =0,01 т 6 =0,02 т 6 =0,01 т 6 =0,02 т
а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а = 0,03 а = 0,06 а= 0,03 а = 0,06
6 1,0236 1,0485 1,0237 1,0487 1,0180 1,0369 1,0182 1,0372 0,9926 1,0107 0,9679 0,9854 1,0235 1,0483 1,0235 1,0483
12 1,0223 1,0459 1,0225 1,0463 1,0169 1,0346 1,0172 1,0352 0,9616 0,9777 0,9090 0,9239 1,0221 1,0454 1,0221 1,0455
24 1,0218 1,0447 1,0221 1,0455 1,0166 1,0339 1,0172 1,0352 0,9034 0,9176 0,8005 0,8126 1,0214 1,0439 1,0214 1,0440
36 1,0217 1,0446 1,0223 1,0458 1,0167 1,0341 1,0176 1,0360 0,8481 0,8610 0,7020 0,7120 1,0211 1,0434 1,0212 1,0436
48 1,0217 1,0447 1,0225 1,0463 1,0169 1,0345 1,0181 1,0371 0,7953 0,8071 0,6129 0,6212 1,0210 1,0431 1,0212 1,0435
60 1,0219 1,0449 1,0228 1,0468 1,0171 1,0351 1,0186 1,0382 0,7450 0,7557 0,5327 0,5396 1,0209 1,0430 1,0212 1,0436
1) в ординарном, купонном и аннуитетном кредитах, т. е. в кредитах без отсрочки уплаты процентов, отношение IRRC/p(0) слабо зависит от процентной ставки 8т и срока займа п, так как при 2-кратном увеличении процентной ставки и увеличении срока займа от 1 года до 5 лет указанное отношение увеличилось только на сотые доли процента. В коротких кредитах продолжительностью от полугода до 1 года изменение IRRC/p(0) не превышает двух-трех десятых процента.
В шаровом кредите отношение IRRC/p(0) с ростом процентной ставки убывает, притом весьма существенно, с ростом срока займа. Такая же тенденция наблюдается, и она даже более выражена, при изменении срока займа;
2) для ординарного, купонного и аннуитетного кредитов операционная ЭПС изменяется в диапазоне: р(0) <р(в) < IRRC, имеющем ширину не более 5 % (т. е. IRRC/p (0) < 1,05). Следовательно, погрешность приближенной оценки доходности и затратности кредитов по значению р (0) или IRRC составит не более ±5 % от р (0) или IRRC соответственно.
При наличии четких представлений о величине ставки реинвестирования в эта приближенная оценка может быть уточнена по формуле линейной интерполяции: р (в) = р(0) + [1 - р(0)/ 1ШС ]в. Принимая здесь для простоты в = 0,5 IRRC, получим р (в) = р(0) + 0,5[1 - р(0)/ ШС \IRRC = = 0,5[р(0) + 1ШС]. Тогда р(в)/р(в) <р(в)/р(0) = = 0,5[1 + 1ШС/ р(0)] < 1,025.
Так, например, при 8т =в = 0,01 и п = 12, а = 0,03 операционная ЭПС ординарного кредита для одного расчетного периода равна: р(1)(в) = 0,014833. Значение р(1)(0) = 0,014615, а IRRC1 = 0,014942. Тогда приближенное значение р(1) (в) = 0,5[р(1)(0) + IRRC1] = 0,014778 и
р (1)(в)/р(1) (в) = 0,014778/0,014833 = 0,992945, т. е. относительная погрешность приближенного вычисления - 0,7 %. При ежемесячном обслуживании кредита т = 12 вычисляется номинальная годовая процентная ставка (12 % годовых), а стоимость кредита по величине операционной ЭПС составит: (1 + 0,014833)12 -1 = 0,193260или 19,3 % годовых. Приближенное значение стоимости кредита в годовом исчислении составляет: (1 + 0,014778)12 -1 = 0,192484, т. е. практически совпадает с точным значением.
В шаровом кредите приближенные оценки эффективности кредита по значениям р(0) или IRRC при относительно высоких значениях процентной ставки (8т > 0,02) и ставки комиссии (а > 0,06) могут давать высокую погрешность (до 50 %). Шаровой кредит исключительно редко используется на практике и только для очень надежных корпоративных клиентов (чаще всего входящих в одну с кредитором группу компаний). Как указано в работе [5], именно в шаровом кредите возможна оптимизация параметров (процентная ставка, ставка комиссии, срок займа) в целях обеспечения минимальной затратности заемщика, поскольку операционная ЭПС этого кредита имеет минимум при некотором сроке займа при заданных значениях процентной ставки и ставки комиссии;
3) относительно зависимости операционной ЭПС от ставки комиссии а необходимо отметить, что при отсутствии комиссии (а = 0) в кредитах без отсрочки выплаты процентов ЭПС совпадает со значением процентной ставки 8т. Это сразу следует из определения операционной ЭПС с учетом того, что для названного класса кредитов всегда имеет место условие: Ви в=8т Рив [4].
В кредитах с отсрочкой процентных платежей (например, в шаровом кредите) даже при отсутс-
твии комиссии сохраняется зависимость ЭПС от процентной ставки и ставки дисконта, так как р(8)|а = 0 =8[(1 + Ьт)" - 1]/[(1 + 8)" - 1].
Далее основное внимание необходимо уделить зависимости операционной ЭПС от ставки комиссии (при условии, что влияние ставки комиссии на стоимость кредита уменьшается с ростом срока займа).
Основной вывод, который необходимо сделать по приведенным графикам (см. рисунок), состоит в том, что в коротких кредитах операционная ЭПС существенно зависит от ставки комиссии. На основании табл. 2, где представлены значения отношения Р(0)/5т при 5т = 0,01 (12 % годовых при ежемесячном обслуживании), в двухлетнем ординарном 8
2 4 6 8 10 12
Срок кредита (число расчетных периодов)
а
3,5
2,5
1,5
\р< ;о)/5и .....1 -3 -4
2 4 6 8 10 12
Срок кредита (число расчетных периодов)
кредите (" = 24) при ставке комиссии в 6 % стоимость кредита (точнее даже ее нижняя оценка по величине р(0)) в 1,48 раза превысит процентную ставку и составит 17,8 %. В годовом кредите (" = 12) при той же номинальной процентной ставке 12 % годовых и ставке комиссии в 3 % стоимость кредита составит 17,5 % годовых. При сроках займа меньше года стоимость кредита возрастает по сравнению с декларированной процентной ставкой в разы (например, она возрастает в 2,7 раза в полугодовом кредите при ставке комиссии в 6 %). Причем эти оценки в годовых процентах пока получены прямым умножением тр(0) (где число платежей в году т = 12).
Если учесть неоднократное начисление процентов в году, то стоимость кредита должна
1,8
1,6
1,4
1,2
12 24 36 48 60
Срок кредита (число расчетных периодов)
1,8
1,6
1,4
1,2
Р(0)/5Я
_ —**-* ^
■4«Аа4!аа .......... ,
—:-
12 24 36 48 60
Срок кредита (число расчетных периодов)
г
Отношение операционной ЭПС к процентной ставке в зависимости от срока кредита для 8 = 0 при 8т = 0,01 (рис. а, б) и 8т = 0,02 (рис. в, г) в ординарном, купонном, шаровом и аннуитетном кредитах (а = 0,03 - нижние однотипные линии, а = 0,06 - верхние однотипные линии): 1 - ординарный кредит; 2 - купонный кредит; 3 - шаровой кредит; 4 - аннуитетный кредит
2
4
0
4
2
3
2
1
0
определяться с пересчетом р(0) по формуле эффективной ставки: с^ = (1 + р(0))т - 1. Результаты такого расчета представлены в табл. 2 и выражены в годовых процентах. Напомним, что речь идет об ординарном кредите с номинальной ставкой в 12 % годовых (близкие результаты будут и для аннуитетного кредита). Причину такой сильной зависимости стоимости кредита от ставки комиссии в ординарном кредите легко понять по формуле операционной ЭПС при отсутствии реинвестирования, которая просто выводится из формулы (6) с учетом того, что в ординарном кредите сумма процентных платежей составляет Р1(1) = 0,5(п +1)^ дт.
2а
Число Ставка комиссии Ставка комиссии
расчетных а, %* а, °%**
периодов 3 6 3 6
6 1,86 2,71 24,7 37,9
12 1,46 1,92 19,0 25,7
24 1,24 1,48 15,9 19,3
36 1,16 1,32 14,9 17,1
значения операционной ЭПС при отсутствии дисконтирования, которая может быть элементарно рассчитана и самими заемщиками по приводимой далее адаптированной формуле:
Номинальная годовая процентная ставка,%
ПСКрл =
х (1 +
т -100
Сумма выплаченных за весь срок кредита комиссий,руб.
Тогда р (0) = 5m +--. В купонном кредите
n +1
ситуация аналогичная, однако с учетом того, что
при Ря(2) = nSbm, получим р(2)(0) = 5m +а. Таким
m n
образом, благодаря тому, что в ординарном кредите долг равномерно погашается с отвлечением денег из хозяйственного оборота заемщика, комиссия кредитора оказывает гораздо больший эффект на повышение стоимости кредита, увеличивая процентную ставку расчетного периода 5m на величину почти в 2 раза большую, чем в купонном кредите. Близкий результат имеет место в аннуитетном кредите.
В настоящий момент банки сообщают заемщикам при заключении кредитного договора расчетное значение годовой IRR, которое для кредитов без отсрочки по уплате процентов является верхней оценкой полной стоимости кредита. При этом смысл показателя IRR должным образом не разъясняется. Заемщики с недоверием относятся к названному им значению IRR, считая его значительно завышенным, и часто полагают, что комиссия, будучи распределенной на весь срок кредита, окажет незначительное влияние на увеличение его стоимости. Было бы целесообразно вместе с расчетным значением IRR доводить до сведения заемщиков и нижнюю оценку ПСК в виде пересчитанного в годовые проценты
Таблица 2
Результаты расчетов
*При р (0) / ат (при um = 0,01). ** При aef = [m + р (0)]"™ - 1, %% годовых.
Сумма выплаченных за весь срок кредита процентов, руб. где ПСКрп - полная стоимость кредита в одном
расчетном периоде;
m - число начислений процентов в году.
И далее:
ПСК = (1 + ПСКр п)т - 1; (ПСК, % = ПСК х 100).
Поскольку вычисление IRR согласно рекомендации Банка России проводится с применением стандартной функции «ЧИСТВНДОХ» пакета Microsoft Ехсе1, где в качестве ставки начисления процентов используется среднедневная ставка 5m = 5/365, то для корректности сопоставления операционной ЭПС с IRR в приведенной ранее формуле надо также брать m = 365.
Список литературы
1. Брейли Ричард, Майерс Стюарт. Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-Бизнес. 2008. 1008 с.
2. Жевняк А. В. Оценка доходности кредитора и затратности заемщика при кредите // Финансы и кредит. 2011. № 31.
3. Жевняк А. В. Особенности и парадоксы оценки доходности и затратности кредита по инвестиционной процентной эффективной ставке // Финансы и кредит. 2011. № 47.
4. Жевняк А. В. Математические модели и общие свойства кредита // Финансы и кредит. 2012. № 15.
5. Жевняк А. В. Операционная и гомогенная эффективные процентные ставки как меры стоимости кредита // Финансы и кредит. 2012. № 18.
6. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений: учебн. пособие для вузов. М.: Финансы, ЮНИТИ. 1998. 400 с.
7. Рубинштейн М. Е. Великие моменты в финансовой экономике. Ч. 1. История концепции приведенной стоимости // Вопросы оценки. 2007. № 2.
8. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело. 2002. 397 с.
