Конструирование кредитов с заданными платежами обслуживания Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Банковское дело

Удк 336.77.067

конструирование кредитов с заданными платежами обслуживания

А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель Института регионального экономического развития, г. Рязань E-mail: alzhevnyak@yandex. ru

В статье предлагается метод конструирования кредитов с заданным темпом линейного изменения во времени платежей обслуживания, разработанный с помощью модификации аннуитетного кредита, где платежи обслуживания постоянны. Установлены границы допустимых значений темпа роста/убывания платежей обслуживания во времени.

Ключевые слова: кредит, аннуитет, реинвестирование, дисконтирование.

Задача конструирования кредитов

Каждый кредит, предоставленный заемщику, генерирует для кредитора поток платежей обслуживания, содержащий выплаты по основному долгу и процентам. На практике наиболее часто применяются четыре вида кредита, отличающиеся по схеме обслуживания:

— кредит с равномерным погашением основного долга и начислением процентов на остаток ссудной задолженности, который называют также кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим (для краткости будем именовать его ординарным кредитом);

— кредит с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией такой кредит будет называться купонным);

— кредит с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока (шаровый кредит);

- кредит с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты (аннуитетный кредит).

На рис. 1 представлены графики, отражающие динамику изменения во времени текущих и наращенных платежей при ежемесячном обслуживании таких полуторагодичных кредитов при единичной сумме займа и номинальной процентной ставке в 12 % годовых. Можно наблюдать, что в купонном кредите текущие платежи до момента завершения займа состоят только из процентных выплат, а в последнем платеже к ним добавляется и платеж в уплату основного долга, равный сумме займа. В ординарном и аннуитетном кредитах регулярные платежи обслуживания достаточно значительны по сравнению, например, с купонным, что снижает кредитный риск (риск потери актива) при непредвиденном ухудшении финансового состояния заемщика, когда возможно наступление дефолта. В шаровом кредите единственный платеж производится в конце срока займа и равен сумме основного долга и накопленных процентных выплат. Текущие платежи в ординарном кредите несколько уменьшаются со временем, но мало отличаются от платежей обслуживания аннуитетного кредита, где они пос-

0,16

0,12

0,08

0,04

1,1961 1,01

0) ■(2) (3) ■(4)

0,0656

0,0610

0,0610

0,0561

0,01

0,01

1,2

Шаровый -1,1961

Купонный -1,1800 Аннуитетный - 1,0978 Ординарный - 1,0950

12 15

Рис. 1. Динамика текущих (а) и наращенных (б) платежей обслуживания ординарного купонного, шарового и аннуитетного кредитов (по горизонтальной оси — число расчетных периодов с момента начала кредитования и до его завершения): 1 — ординарный кредит; 2 — купонный кредит; 3 — шаровый кредит; 4 — аннуитетный кредит

тоянны. Мало отличаются и наращенные платежи в этих двух кредитах. При изменении процентной ставки и срока кредита общая картина сохранится, и можно констатировать, что между кредитами с регулярными платежами (ординарный, купонный и аннуитетный) и шаровым нет ни одного с нарастающими по величине выплатами.

Возникает вопрос: в какой мере при разработке графика обслуживания займа кредитор может варьировать величиной текущих платежей, увеличивая их, например, в начале и снижая к концу кредитного периода, причем более выраженно, чем в ординарном кредите? И, наоборот, возможны ли кредитные схемы, где текущие платежи обслуживания нарастают к концу срока займа, что может применяться при кредитовании надежных корпоративных заемщиков, которые привлекают внешние ресурсы для инвестирования и желают иметь более интенсивные платежи обслуживания ближе к концу срока займа, а значит, и ближе к моменту получения инвестиционных доходов? Именно в таком разрезе будем рассматривать в данном исследовании задачу конструирования кредитов. Понятно, что купонный и шаровый кредиты могут рассматриваться как предельные случаи, которые по каким-либо причинам представляются неприемлемыми для кредитора.

На первый взгляд может показаться, что эта задача решается элементарным подбором плате-

жей обслуживания, которые могут достаточно произвольно назначаться. Однако при этом далеко не очевидны ограничения на величину платежей обслуживания в каждый момент времени, которые необходимо соблюсти для того, чтобы планируемый кредит удовлетворял требованиям возвратности заемных средств и платности за пользование ими. Причем величина платы за кредит должна устанавливаться на основе процентной ставки и в качестве процентных выплат в соответствии с некоторым принципом распределяться во времени по всем расчетным периодам. Более того, можно допустить, что подобранных «на удачу» вариантов графика обслуживания займа окажется несколько и даже несчетное количество. Тогда возникает проблема выбора лучшего из них по тем или иным критериям, которые должны быть наперед четко сформулированы.

В исследовании будем рассматривать ситуацию, когда задается желаемый график общих платежей обслуживания, включающий выплаты основного долга и процентов.

Математическая модель кредита

Пусть —номинальная сумма займа, ^ j = 1, 2...п} — денежный поток обслуживания кредита, поступающий кредитору от заемщика, Rj — член потока, выплачиваемый в конце у-го расчетного периода (постнумерандо), п — срок кредита, исчисляемый числом расчетных периодов (например, дней,

п

недель, месяцев, кварталов, лет), Rn = ^ Rу. При

у=1

кредите каждый член потока Rj Ът , п) является определенной функцией суммы займа 5, процентной ставки расчетного периода Ът, срока кредита п и обусловлен выбранной схемой обслуживания займа. Примем, что Ът = Ъ/т , где 5 — номинальная (годовая) процентная ставка кредита, т — число платежей обслуживания в году.

Пусть Sj — ссудная задолженность заемщика в конце у-го расчетного периода. Динамика ее изменения описывается разностным уравнением:

S = .(1+ 5 ) - Щ, 1 = 1,2...п.

] у_1 V т' ] ■> '

В момент выдачи кредита S0 = S , а в момент его завершения ссудная задолженность должна быть полностью погашена (Sn = 0 ). Будем иметь в виду также условия неотрицательности платежей обслуживания и текущей ссудной задолженности, откуда следует ограничение 0 < (1+ 5т) на платежи обслуживания.

Если проследить ход изменения ссудной задолженности S . заемщика, то можно получить важное соотношение между суммой займа и основными параметрами кредита:

5 = 5( 1 + 5т ) - Щ

= 51 (1 + 5т ) - Я2 = 5 (1+ 5т )2 - Щ (1+ 5т ) - Щ ,...

5. = 5 (1 + 5т у~± Яу(и5тУ-'..\ =

= 5(1 + 4)п-¿Яу(1 + 5тГ V

Полагая здесь Sn = 0 , получим

(S = S

(1)

м (1 + <)

Установленное свойство кредита будем называть основным. Оно хорошо известно как условие баланса [4] или замыкания контура [5] финансовой операции.

Обычно в потоке платежей обслуживания кредита, поступающих со стороны заемщика в адрес кредитора, выделяются две составляющие, направляемые, соответственно, на погашение основного долга {О.(5,5т,п),] = 1,2...п| и уплату процентов {Р. (5,5т, п), у = 1,2...п |. Эти потоки взаимосвязаны, поскольку уменьшение текущей ссудной задолженности за счет частичного погашения основного долга снижает и сумму начисляемых в следующем периоде процентов. Расщепление общего платежа обслуживания на выплаты по основному долгу и процентам необходимо, во-первых, для определения доходности кредитора и затратности заемщика, отталкиваясь от величины переплаты (дисконтированной суммы процентных платежей), и, во-вторых, для отнесения процентных платежей на доходы кредитора и затраты заемщика при исчислении налогооблагаемой прибыли. Конкретный вид функций О (5,5т,п) и Р. (5,5т,п) зависит от принятой схе-

мы обслуживания кредита, причем во всех случаях должно выполняться условие возвратности займа

Gj (S Am, n) = S.

I

j=1

Будем различать кредиты, в которых начисленные проценты регулярно уплачиваются заемщиком (без отсрочки) — кредиты 1-го рода, и кредиты с отсрочкой выплаты начисленных процентов — кредиты 2-го рода. Кредиты 1-го рода широко распространены на практике. Простейшим примером кредита 2-го рода является шаровый кредит, где вся накопленная ссудная задолженность погашается единственным шаровым платежом (balloon payment) в конце срока займа.

Процентные платежи в кредитах 1-го рода начисляются на остаток ссудной задолженности P = S j8m, а текущая ссудная задолженность запишется в виде: Sj = Sj_j(1 + Sm) -Sj-18m -Gj = = Sj_1 _Gj , фактически она является остатком основного долга Dj . Поскольку в таких кредитах Dy = Sj , то справедливо разностное уравнение

(2)

D. = D. , _ G

j j-1 j

из которого последовательными подстановками

]

находится решение Dу■ = 5 -I О у (необходимо

пг=1

учитывать, что Dn = 0 , S = I О у (условие обес-

i=1

печивает возвратность заемных средств). При этом основное свойство кредита (1) сохраняется,

s-I Оу

а P = D j-Am =

i=1

. При изучении кредита

вполне естественно считать, что все О у > 0 (но

п п

напомним, S = 1 Оу >0), Ру > 0 (но IРу > 0),

у=1 у=1

что выражает условие платности за пользование

п

заемными средствами), и

> 0 I > s

у=1

Все описанные ограничения будут выполнены, если потребовать

Оу > 0, s-IОу > 0, у = 1,2...п; £ Ог = ЗД

поскольку тогда

n j-1

nS-II g

j=1 i=1

5_ =

I Pj=

j=1

= [S + S - G1 + S - G1 - G2 + S - G1 -

n-1

-G2 -G3 +... + S-IG1 5m> 0,

i=1

i=1

1=1

В шаровом кредите как простей-шем из класса кредитов 2-го рода Dj = 5 , но Sj = 5(1 + 5т)j, - = 1,2...п -1, и только в конце займа Dn = 5п = 5(1 + 5т)и - Rn = 0 . Поэтому здесь расщепление общего платежа производится элементарно по принципу = 0, - = 1,2...п -1; Оп = ^, Р = 0, у = 1,2...п -1; Рп = 5[(1 + 5и)п -1]}. Более

сложные примеры кредитов 2-го рода можно получить, допуская отсрочку выплаты процентов не на весь срок займа, а на более короткий период.

Понимая задачу конструирования кредита как выбор текущих платежей обслуживания Rj надо иметь в виду, что в кредитах 1-го рода, кроме собственно выбора этих платежей при заданных значениях суммы займа, процентной ставки и срока кредита, необходимо выполнить расщепление общих платежей на выплаты основного долга и процентов при соблюдении условий (3). В некоторых случаях заданными могут быть только сумма и срок займа, а величина платежей и процентная ставка должны определяться при выполнении условий (3) и дополнительно установленных ограничений на величину Rj и 5т. Также может рассматриваться и задача идентификации процентной ставки, когда только ее требуется определить из уравнения (1) при заданных величинах Rj (5, 5т, п), 5, п .

Важным показателем в кредите являются

п п

суммарные величины

Я п =1 ^ Рп =1Р

п 1=1 >=1

G п = Х О} . При этом Оп = S , а для кредитов

j=1

первого рода, где Р,- = D.-1l5 справедливо, что

1=1

1-0

в новые кредиты или иным образом, принося дополнительный доход на вложенный капитал. Тогда к концу срока первичного кредита наращенный ссудный капитал кредитора составит

К п е=1 ^ (1+в)п-- =

1=1

= (1 + 8)п £ ^ (1 + В)-- = (1 + в)

1 =1

п

где Кп 8 = Х ^ (1 + 8) 1 — современная (дисконти-

1=1

рованная) стоимость потока платежей обслуживания кредита (ссудного капитала). Аналогично определим дисконтированные и наращенные суммы выплат ос-

новного

долга <^8 = £О-(1+ 8)--, Сп8 = Сп8(1 + 8)п

1=1

Рп = 5т X Dj-1 = 5^п . Таким образом, вводится

1=1

в рассмотрение еще один важный суммарный показатель — сумма остатков основного долга

п п-1

О п =Х D1-1 =Х D1 .

До настоящего момента мы рассматривали сильно упрощенную модель кредита, в которой не учитывалось постоянное реинвестирование кредитором поступающих от заемщика текущих платежей обслуживания. Такая ситуация соответствует режиму простого накопления кредитором платежей обслуживания кредита. В действительности поступающие платежи обслуживания постоянно реинвестируются кредитором по ставке 8 расчетного периода, которую будем считать постоянной,

и процентов Рп8=Х Р- (1+ 8)--, Рп8= Рп8 (1 + 8)п. Очевидно, что для дисконтированных и наращенных сумм справедливо Кп8= Сп8 + Рп8 и

К 8= С 8+ Рп 8.

Дисконтированную сумму остатков основного долга определим несколько иначе, чем для выплат по основному долгу и процентам. А именно в виде

п D ._1

®пе = X 1 ч 1 , дисконтируя остаток долга (1 -1) 1=1(1 + 8)

расчетного периода в конце.1-го расчетного периода.

1 п Р

Тогда для кредитов 1-го рода Вп8 = —X 1 ,

5т 1 =1 (1 + 8) 1

и для дисконтированных сумм будет установлена связь:

Р 8 = 5 ® 8. (4)

п 8 т п 8

В работе [1] уже была доказана теорема для дисконтированных сумм, которая имеет важное практическое значение при конструировании кредитов.

Теорема 1. Для всяких кредитов и любых значений ставки дисконта сумма современной стоимости потока платежей, направляемых в уплату основного долга, и современной стоимости потока остатков основного долга, умноженного на ставку дисконта, равна номинальной сумме займа, т. е.

5 = Сп8+8®п8 . (5)

Основное свойство кредита (1) является его важнейшей характеристикой. Если поток обслуживания обладает свойством (1), то такой поток и соответствующий ему кредит будем называть невозмущенными, а в противном случае — возму-

П

п8

щенными. Приведенная ранее теорема 1 справедлива именно для потоков платежей обслуживания невозмущенного кредита.

Собственно говоря, только невозмущенные финансовые потоки и можно признать в качестве потоков обслуживания кредита, определяя тем самым кредит как финансовую операцию, генерирующую поток обслуживания {Я., j = 1,2...п |, удовлетворяющий выражению (1) при заданной тройке параметров S, 8т и п . Для возмущенного потока

Тогда появляется платеж в нулевой момент времени Я0 = aS, а регулярные платежи изменяются до Я* = + Я., у' = 1,2...п . При этом заведомо имеет место условие: aS + Р£ф0(8га,п) + Мп> S , где

Фа(5и, n) = Z"

1

(1 + Sm )" - 1

— дисконт-

п

при Кn = ^ Rj > S из уравнения ^

R (S, 5m,n)

= S

j=1 j=1 (1+r) =^ может быть найдено значение ставки дисконта ции ф (s, n) = / , r Ф8т, которую можно назвать внутренней нормой доходности кредита в одном расчетном периоде (IRRC). Далее по значению r = IRRC находится внутренняя норма доходности (IRR) в годовом

j-1 (1+ 5ЯУ 5Я(1 + SJn

функция нулевой степени (коэффициент приведения постоянной ренты) (для упрощения примем в = const).

Здесь и далее в исследовании будут существенно использоваться степенные дисконт-функ-

j к

степени к и порядка n,

исчислении IRR = (1 + IRRC)т — 1. Отметим, что внутренняя норма доходности находится при заданной процентной ставке, и эта задача при

n

АRj(S,Sm,n) > S всегда имеет решение.

j=1

Для возмущенного кредита доходность кредитора и затратность заемщика зависят не только от величины Rj (т. е. от параметров S, 5m,n), но и от величины доступной конкретному кредитору и конкретному заемщику ставки реинвестирования в, т. е. r (в) [2]. Но в том случае, когда кредитор и заемщик имеют потенциальную возможность реинвестирования именно по ставке r = в = IRRC , доходность/ затратность кредита будет равна r(IRRC) = IRRC. При в < IRRC доходность/затратность кредита будут меньшими, чем IRRC, а в годовом исчислении меньшими, чем IRR. Доходность/затратность невозмущенного кредита в одном расчетном периоде при любых значениях ставки реинвестирования (дисконта) всегда равны процентной ставке Sm, по которой далее вычисляются номинальная годовая ставка 8 = mSm и эффективная процентная ставка (ЭПС) 8е/ = (1 + Sm )m — 1 > S.

Распространенным способом возмущения кредита является взимание кредитором дополнительно к платежам обслуживания, удовлетворяющим основному свойству (т. е. при Кn8 = S), комиссионных сборов в размере aS, пропорциональном сумме займа (взимается единовременно в начале первого расчетного периода, т. е. в момент выдачи кредита), и/или ßS (взимается регулярно в конце каждого расчетного периода).

j=i (1 + е)j

которые уже были введены в научный оборот [3, с. 11—107] (в работе были установлены конечные и рекуррентные формулы для их вычисления). Указанные параметры являются обобщением результатов Я. Бернулли (Jacob Bernoulli) в классической задаче о вычислении суммы одинаковых степеней последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями и обладают рядом важных свойств, позволяющих существенно упростить аналитическое исследование финансовых операций. Новизна предлагаемого подхода состоит в том, что автор рассматривает дисконт-функции (Д-функ-ции) не только и не столько как коэффициенты для вычисления приведенных сумм, сколько в качестве функций, обладающих определенными свойствами, которые решающим образом влияют на основные показатели финансовых операций. Это позволяет по-новому формулировать и в самом общем виде решать многие задачи финансового анализа, в частности по сравнениию эффективности операций (например, сравнение эффективности различных видов кредитов).

Аннуитетный кредит

Широко известным примером кредита с заранее заданными платежами обслуживания является аннуитетный кредит, где все платежи обслуживания одинаковы по величине, а поток обслуживания может считаться постоянной рентой.

В этом случае изначально ставится условие, чтобы величина платежа обслуживания была постоянной в каждом расчетном периоде: Rj = R = const. Тогда требуется найти, во-первых, величину платежа R и, во-вторых, текущие платежи по основному долгу Gj и процентам Pj , полагая, что отсрочки выплаты процентов нет, и процентные платежи

начисляются на остаток основного долга, имевший место в предыдущем расчетном периоде. Следовательно, в аннуитетном кредите принимается условие: Р. = DJ■-15m, что позволяет отнести его к кредитам 1-го рода.

Первая задача решается просто с использованием основного свойства кредита (1), откуда следует

п о

(1 + 5т)-у = 5 и Щ, = Щ =-. Вторая из

Р у Фб(5т ,п)

названных задач состоит в расщеплении платежа Щ на платежи по основному долгу и процентам. Тогда

надо использовать решение

^ = 5-IО

= Щ -5„

5-I ov

У=1

у-1

условию Щ - 5 5т = 5

Фс(5и, п)

-5„

> 0,

которое

Оп = (Щ - 55т )£ (1 + 5т )у-1 =

у =1

= (Щ - 55т )

(1 + 5т)п - 1

= S

1 -5тфр(5т, п) _ (1 + 5т )п - 1

Ф0(5т,п) 5т

= S

р = пЩ - 5 = -

п5

Фс(5т , п)

- 5 = ц (5т, п)5Т5.

где Ц (5т, п) =

1

п5„

-1

— безразмерный

разно-

стного уравнения (2), полученного ранее при начальном условии D0 = 5, и затем найти О. = Я - 5тО.-1 =

= О1 +5т I Gv , откуда с учетом

v=1

О1 = Щ - 55 т последовательно получим

О2 = О1 (1 + 5т ), О3 = О1 +5т (О1 + О2 ) = = О +5т [О1 + (1 + 5т )О1 ] = = О (1 + 5т )2 ...О. = (Щ - 5 5т )(1 + 5т )'- .

Поэтому Р. = Щ - О. = Щ - (Щ - 55т )(1 + 5И У"1 . Нетрудно проверить, что Оу > 0, что равносильно

1

выполняется, поскольку в работе [3] доказано, что Фо(5т,п) <5- . Все процентные платежи здесь также положительны, так как Щ - (Щ - 55И )(1 + 5И )у-1 > 0 « 1 - (1 + 5 )у-1

^—V-+ 5^ (1 + 5^ у-1 > 0 ^

/о \ т V т'

Ф0 (5т,п) ^Ф0(5т , п) > Ф0 (5 т , ■ - 1), а последнее условие верно, потому что функция Ф0(5т,п) строго монотонно возрастает по п [3] и

■ < п

Далее можно проверить условие Оп = S , которое, действительно, выполняется, так как

_Ф0(5т, п)

множитель (технологический коэффициент кредита), несущий в себе все отличительные признаки данной кредитной схемы (алгоритма обслуживания). Затем по известному Рп находится и сумма остатков основного долга в аннуитетном кредите В = Р /5 .

п п / т

Найдем также дисконтированные суммы общих платежей, выплат основного долга и процентов:

Щ

= s

Ф0(в, п)

1 (1 + 8)у Ф0(5т , п) (О 8 = Щ - 55т £ (1 + 5т )у =

1 + 5т Р (1 + 8У

Щ - 5 5.

1+5

I-

1

т у=1 (1 + ХУ

5 Ф0(Х, п)

Щ - 55„ 1 + 5_

п) = (6)

(1 + 5т )п+1 Ф0(5т, п)

^п8 - Оп8 =

s

Ф0(5т, п)

Ф0 (8, п) -

Ф0(Х, п)

(1 + 5т )п+1

= Ц (8,5т, п)Т55, Ц (8, 5т, п) =

(7)

1

п5тФ0(5т ,п)

8-5

Ф0 (8, п) -

Ф0(Х,п)

(1 + 5т )п

г 0 е

X =■

1 + 5

?

(1 + 5т)п - (1 + 8)п

Ф0(Х,п)=

(1 + х)п -1

х(1+х)п

(1 + 5т) >0, и теперь уже с (5т -8)(1 + 8)^ ^ ^

учетом дисконтирования выделен технологический коэффициент аннуитетного кредита ц (8,5т,п). Сумма остатков основного долга записывается по сумме процентов Вп8 = рп8/5т . В пределе при 8 —> 0 все полученные формулы переходят в полученные ранее без учета дисконтирования.

Используя теорему 1 можно найти другие выражения для Оп8 и Рп8. Для этого к уравнению - - - - о Фр(8 п) ,

= о- надо доба-

О 8 + Р 8

п 8 п 8

где

Ф0(5„ , п)

а затем найти

п

па

вить уравнение, справедливость которого установ-

— в —

лена теоремой 1, т. е. Сп в +— Рпв = 5 (здесь учтено,

— — о

что Р в = 5 ГО в) т

п в т п в

Решая данную систему уравнений, найдем

£ = ^ _8тф0(5т , п) -Bфo(B, п)

= 5 5

(5т -В)фо(5т , п) фо(в, п) -фо(5т , п) (5т -В)фо(5т , п) "

(8)

Это другая форма для дисконтированных сумм платежей по основному долгу и процентам в аннуитетном кредите. Здесь при в = 5т возникает неопределенность типа 0/0 . Раскрывая ее, найдем

С.

Р..

1в=5„

= Нт С в = 5-

в^5т пв

1в=5„

= Нт Р в = 5-

(1 + 5т Г ф0(5т , п) 5тф! (5т , п)

(1 + 5т )ф0(5т , п)

условие

п 5т

= 5,

(1) выполняется.

отношения к реальной ставке начисления процентов. Действительно, согласно основному свойству кредита должно выполняться условие:

п

S = ±ТН «ф0(5. ■ п) = Т—

1=1 п(1 + т ). 1 + пУт

(9)

откуда находится реальная процентная ставка этого кредита 5т. Решение нелинейного уравнения (9) всегда существует, поскольку функция ф0(5т, п) строго монотонно убывает с ростом 5т и

п

ф0 (0, п) = п > --. Важно отметить, что 5т > уп

1 + пУ и

ибо ф0(5„ , п) >"

что совпадает с полученными ранее выражениями (6), (7) при в = 5т . Такая же неопределенность возникает и в ранее полученных формулах, где она раскрывается с учетом ф0(х, п)| =ф0(0, п) = п . Последовательными преобразованиями и в общем случае при в Ф 5т выражения (6) и (7) приводятся к выражению (8), для чего потребуется использовать развернутое выражение ф0(х,п), данное после формулы (7).

Нетрудно видеть, что при в = 5т справедливо

— , и при монотонном убыва-

1 + п5т

нии функции ф0(5т, п) по 5т уравнение (9) может выполняться только при 5т > ут . Фактически здесь решается упомянутая ранее задача идентификации процентной ставки потребительского кредита.

Для расщепления общего платежа Я на платежи по основному долгу и процентам надо воспользоваться формулами для аннуитетного кредита с

5 S (1 + пу т) 5 Я =-=-— и 5т, удовлетворяющим

ф0(5т,п) п

уравнению (9). В принципе, можно, наоборот, считать заданной реальную ставку начисления 5т и принять Я = S/ф0(5т,п), т. е. произвести обычный расчет аннуитетного кредита. Тогда параметр ут определится из уравнения (9) как

т. е. основное свойство кредита у т =-

1

(

\

—1--1

ф0(5т,п) ,

. При таком подходе легенда

Потребительский кредит

Вообще говоря, термином «потребительский кредит» именуются все кредиты, выданные на потребительские нужды заемщика. Здесь этот термин используется в узком смысле для обозначения кредита, в котором задается постоянный общий

« Я Я S (1 + пУ т)

платеж обслуживания в виде Я = Я =-.

п

Согласно легенде, связанной с этим кредитом, ссудная задолженность, заранее вычисленная по простой процентной ставке ут, равномерно распределяется на все платежи обслуживания [4, с. 113]. Нетрудно видеть, что в этом кредите фактически применяется идея аннуитетного кредита с заранее заданным платежом обслуживания, а используемая по легенде процентная ставка ут не имеет никакого

переформатируется и превратится в способ доказательства выгодности аннуитетного кредита для заемщика, поскольку эквивалентная ставка простых процентов ут всегда будет меньшей, чем реальная ставка начисления 5т.

Графики зависимости реальной процентной ставки потребительского кредита в номинальном годовом исчислении 5 = т5т от срока кредита п и декларированной простой процентной ставки У = тут при ежемесячном обслуживании (т = 12) представлены на рис. 2. Отсюда следует, что в коротких кредитах (продолжительностью около года, п «12) реальная процентная ставка достигает значений, почти в 2 раза превышающих декларированный уровень простой процентной ставки, и только при неограниченном сроке кредитования (п ^ да) она приближается к декларированной простой процентной ставке.

п в

п

п

Rj = R [1 + £( j -1)].

(10)

платежа Яп = Я[1 + £(п -1)]> 0 Я > 0, £>-(п -1)-1, причем неотрицательность последнего платежа влечет за собой положительность всех предыдущих. Таким образом, примем ограничение £ > -(п -1)-1 = £0, а условие Я > 0 проверим позже. Выделим из Я. , заданного в виде выражения (10),

платеж в уплату процентов Ру = Dj-15т и основного долга Gj = Я. - Р., используя разностное уравнение

j

Gj = R j - Pj D^ = D^ч - G^. Получим:

Рис. 2. Реальная процентная ставка потребительского кредита в зависимости от срока кредита n и декларированной простой процентной ставки у

Конструирование кредитов с линейно возрастающими (убывающими) платежами обслуживания

Как было показано ранее, в потребительском кредите фактически используется аннуитетный кредит с некоторым видоизменением величины постоянного платежа обслуживания (ренты). Важно, однако, усмотреть здесь попытку обобщения идеи аннуитетного кредита, состоящую в достаточно произвольном задании платежа обслуживания. Далее автор разовьет эту идею, задавая общий платеж обслуживания в виде линейной функции времени. В таком случае платежи обслуживания Rj = Gj + P , j = 1,2...n будут иметь вид Rj = Cj j + C2 , Cj, C2 = const, т. е. будут представлять собой поток с линейно нарастающими (при Cj > 0), линейно убывающими (при Q < 0) или постоянными (при Cj = 0) членами. Фактически речь идет о конструировании кредитов с заданными линейно возрастающими или убывающими платежами обслуживания за счет модификации аннуитетного кредита.

Принимая CjR- = £; C2R-j = 1 - £, R, £ = const, запишем

Rj = R, Pj =5mS, Gj = Rj -5mS = R-5mS,

Dj = S - Gj = S - R + 8mS = S(1 + 5m) - R;

R2 = R(1 + £), P2 =5mA ,

G2 = R2 -P2 = R(1 + £)-5mA ,

D2 = Dj - G2 = Dj - R(1 + £) +

+5 mDj= Dj (1 + 5m) - R(1 + £);

R3 = R(1 + 2£),

P3=5mD2 =5mDj (1 + 5m ) - 5mR(1 + £), G3 = R3 - P3 = R(1 + 2£) -

-5 D 31 + 53m) + 5mR(1 + £),

D3 = D2 - G3 = Dj (1 + 5m) -

- R(1 + £) - R(1 + 2£) + 5mDj (1 + 5m) --5mR(1 + £) = Dj (1 + 5m)2 -

- R(1 + £)(1 + 5m) - R(1 + 2£);

Dj = Dj (1 + 5m)j-j -

j-j

-r£ (1+vE)(1+5m )j-j-v.

(11)

Справедливость выражения (11) можно доказать по индукции, так как, принимая его, получим

+1 = Д (1 + 5т ). - Я^ (1 + у£)(1 + 5т ).- =

При £ > 0 и Я > 0 все платежи Я. будут положительными. При £< 0 величина этого параметра ограничивается требованием положительности первых (п -1) платежей обслуживания Я' > 0 Я = Я > 0,...Яп-1 = Я[1 + £(п - 2)]> 0

^ £ > -(п - 2)-1 и неотрицательности последнего

= Д (1 +5т ).-1 (1 +5т ) -

- Я(1 +5т )£ (1 + у£)(1 + 5т ).+

у = 1

- Я(1 + '£) = А (1 + 5т) - Я(1 + '£)

или А = Б'-1 (1 + 5т) - Я [1 + £(' -1)], что соответствует уравнению динамики основного долга при выборе Я. в виде выражения (10). (п - Выполняя с учетом тождеств

(1 + 5т )-. = 1 -5тф0(5т , .)

v=j

v = j

Ф1 (5И,у) =

[1 + (у + 1)5+ ]Ф0(5И ,у)-у

5

(12)

Ф0(5т ,У- 1) =Ф0(5т ,У) -= (1 + 5т)Ф0(5т,У) - 1, Ф1 (5т ,у- 1) = Ф1 (5т ,у) -

1

(1 + 5т У

]

(1 + 5т У

= (1 + 5т ) [Ф1(5т ,у)-Ф0(5т , Л]

суммирование

I (1 + 0(1 +5И )у-1-*=

(13)

-1

= (1 +5т )у-11

1 + у£, 1 (1 + 5т У

Щ = -

(14)

Ф0(5т , п)

Ф1(5т , п) -Ф0(5т , п)

О"

5тФ0(5т ,«)

(1 + п5т )Ф0(5т , п) - п

> (п -1)-1 О

>(п-1)-1 О

ОФ0(5т , п) <

1 + 5„

а последнее неравенство всегда имеет место для

п

5т > 0, так как Ф0(5т , п) =! (1 + 5т Г .

у=1

Теперь на основании выражений (10) и (14) можно записать развернутое выражение платежей обслу-

живания кредита Щ у = 5

1 + у 1)

= (1 +5т )у-1 [Ф0(5т ,у- 1) + ^Ф1(5И ,у- 1)],

получим

II1 (1 + ^)(1 + 5т У^ =

^(1 + 5т)У-1{(1^ 5т)<Ф =(5т , ]) - 1 +

+ ад + 5т„5)[С[11^5т,У0^^0 (5+ ,;■)]}=

= (1 + 5т)У[(1-^;)Ф0(5т,7^ ОФ^т,./)-

- (1 + 5т )-1}.

Поэтому с учетом D1 = 5(1 + 5т) - Щ из выражения (11)следует

DJ = (1 + 5„У [5 -Щ [(1 -^0(5+,. +^Ф1(5„,.)]}

и Dо = 5 , т. к. Ф0(5т,0) = Ф1(5т,0) = 0 . Теперь из В при . = п найдем Вп и, накладывая условие Dn = 0, запишем

S

(1 -^)Ф0(5т , п) +^Ф1(5т , п) Сразу отметим, что при 8 = 0 из полученного выражения для Щ у следует, что Щ. = Щ = 5/Ф0 (5т, п), т. е. рассматриваемый кредит достаточно общего вида превращается в аннуитетный.

Далее нетрудно выполнить расщепление Щу на платеж в погашение основного долга и в уплату процентов, используя выражения Р. =5тВ.-1 и О. = Щ . - Р., справедливые для кредитов 1-го рода. Получим

V-1

Р. =5тВ. 1 = 5 5т (1 + 5т )у

(1 -^)Ф0(5т ,у- 1) +^Ф1(5т ,у- 1)"

1-

(1 ЧШ5т , п) +^Ф1(5т, п)

(15)

О. = Щ -Щ5т (1 +5т У-1 [(1 -О [Ф0(5т , п) --Ф0(5„,. - 1)]+0[Ф1(5(,п)-Ф1(5„,. -1)5.(16)

При О = 0 из выражений (15) и (16) следуют формулы платежей по основному долгу и процентам для аннуитетного кредита, которые были установлены ранее:

Р, = 5 + В--1 = 55и (1 + 5 + )

у-1

1 -

Фр(8( ,у-1) Ф0 (5и, п) .

= Щ - (Щ - 55и )(1 + 5+ )

-1

О, = Щ - Щ5( (1 + 5+ )у-1 X

(1 -О)Ф0(5т , п) +ОФ1(5т , п) Требуя Щ>0, получим с уче -том Ф1(5( , п) >Ф0 (5 и , п) условие

О >--Ф°(5(, п)-, которое заведомо выпол-

Ф1(5т , п) -Ф0(5+ , п) няется, если выполнено условие О > -(п -1) 1 = О0, введенное ранее для положительности последнего платежа обслуживания Щп , поскольку

х[Ф0(5и,п)-Ф0(5+,. -1)]= (Щ -55()(1 + 5+)у-1.

Пока на выбор параметра 8 было наложено одно ограничение в виде условия О > -(п -1) 1 = О0, обеспечивающего положительность первых (п -1) платежей обслуживания Щ у,. = 1,2...п -1 и неотрицательность последнего Щп, если 8 < 0. Но при этом выплаты по основному долгу и процентам также должны быть неотрицательными. Требуя Оу/Щ > 0, получим условие:

1 + О(. -1) -5+ (1 + 5+)у1 [(1 - О) [Ф0 (5+, п) -

-Ф0(«и,. -1)]+ О [Ф1 (5 и , п)-Ф1(8„,. -1)]}> 0,

п

Г = 1

V —

которое преобразуется с учетом выражения (13) в неравенство: 1 - а (5т,п,')£> 0, где функция

а (5Я, n, j) = (1 + 5и )n

5ИФ1 (5m,n -1) 1 + 8_

-фо(5т , j - 1)

Поскольку функция Ф0(5т,j) строго мо-

нотонно растет по j, а ф1 (5m,n -1) > 0, то

max а (5m, n, j) = а (5m, n,1), когда фо(5и ,0) = 0 и j , а (5m,n,1) = (1 + 5m)n-15иф1 (5„, n -1) =

> 0

(1 + 5m)n -1 - n5„

_ v_m '_m

" 5

m

Однако

min а (5m, n, j) = а (5m, n, n) =

= (1 + 5m Г

5,^1 (5m, n -1)

Ф0 (5m, n - 1)

1 + 5m

5,Ф0(5, , n -1) -1 1 + 5_

лучим новое условие: 5<

= а-1 (5m, n,1) = "

max а (5m, n, j)

сокращение срока кредита на один расчетный период, а это противоречит условиям кредитного договора с заемщиком. Поэтому будем рассматривать значение £0 только как предельное, поскольку на практике в может выбираться сколь угодно близким к £0. Более того, можно вместо выбора значения £ > £0 задавать величину последнего платежа Яп > 0

S [1 + £(п -1)]

и из уравнения

R =-

на-

(1 -£)ф0(5т , п) + £ф1(5т , п) ходить соответствующее значение в. Однако при этом надо контролировать условие £ < £*, например вычислив при £ = £* наибольший платеж обслужи-

вания: R

S [1 + 5.(n -1)]

и при

= (n - 1)(1 + 5m)' = -(n -1) < 0.

Следовательно, функция а (5m, n, j) знакопере-менна по j. Условие 1 - а (5m, n, j) 5> 0, безусловно, выполняется, если а(5m,n, j)5< 0, но когда а (5m, n, j) и в имеют одинаковый знак, возникают ограничения.

Если а(5m,n, j) < 0, 5< 0, то надо требо-вать: 1 + |а(5m,n, j)|5> 0 для всех 1 < j < n , что обеспечивается при 1 + max |а (5m, n, j)| 5> 0, где max|а (5m,n, j) = -min а (5m,n, j) = n -1, т. е. получается условие 1 + (n -1) 5 > 0и 5 > -(n -1)-1 = 50, которое было установлено ранее. Предполо-жим теперь, что а(5m,n,j) >0 и 5>0. Тогда по-

|£=£* (1 -£.)ф0(5т, п) + £,ф1(5и, п) задании последнего платежа выполнять условие Яп = Яп | . Отметим также, что при £ = £ место выражение:(1 - £*)ф0(5т, п) + £*ф1 (5т, п) = С (проверяется подстановкой выражения £*) и

R1

S

5=5* (1 5* )ф0 (5m, n) + £.Ф1(5,,п)

= S 5m = P

5=5.

а О1 ^=£ = 0 . Это вполне допустимо, поскольку все остальные платежи в уплату основного долга будут положительными.

Так как текущий остаток основного долга Б = Б _1 - G при О > 0 монотонно убывает от

J J J ]

Б0 = 5 до нуля (Бп = 0), оставаясь положительной величиной, то и текущий процентный платеж Р' = Б'-15т в кредитах 1-го рода (без отсрочки выплаты процентов) всегда положителен.

Найдем далее сумму процентных плате -

ж

ей Pn = £ Pj = 5m £ D-1 = 5m £ D , г

де

-= £* > 0. Таким

(1 +5т )п - 1 - п5 т Ь образом, параметр £ должен выбираться в пределах £0 <£<£*, и в этот диапазон входит значение £ = 0.

Область допустимых значений параметра в, ограниченная снизу кривой £ = £0 и сверху линией £ = £., соответствующей заданному значению ставки начисления процентов 5т, представлена на рис. 3 с указанием граничных значений для п = 18 и п = 60. При выборе значения параметра в на нижней границе его области допустимых значений . (£ = £0) получим Яп = 0, что фактически означает

ГОп = £Б'-1 = £ Б' — сумма остатков основного

.=1 5=0

долга, которая вычисляется как

®n = S£ (1 + 5m )j-1 -

j=1

-R£ (1 + 5m)j-1 [(1 - 5)Ф0(5, , j -1) + 5Ф1(5, , j -1) ] .

j=1

Здесь опять используем тождества (13). Поэ-

тому

Bn =[S + (1 -5) R]£ (1 + 5m)j -1 -

j=1

-r£ (1 + 5m)j {(1 - 25)Ф0(5, , j) + 5Ф1(5т, j)}=

j=1

j=1 j=1 j=0

= [5 + (1 -О)Щ]! (1 + 5+)у1 -

и, выполнив ряд преобразований, можно записать:

у=1

Рп =[5 + (1 -О)Щ][(1 + 5+)п -1] +

-Щ(1 - 2О)! (1 + 5+)уФ0(5(,.) -

п

+Щ [(1 - О)5+ + О][п - (1 + 5+Г Ф0(5+, п) ] +

у=1

-ОЩ! (1 + 5+)уФ1 (5+,.).

+ОЩ

п(п +1) 2

у=1

С учетом выражения (1 2) после суммирования геометрической прогрессии

I (1 + 5( )у = (1 + 5( )(1 + 5()—1 входящие сюда

у=1

При О = 0 из этой формулы получается выражение суммарных процентных платежей аннуи-

п

5

тетного кредита Рп \ 0=S

Ф0(5т,п)

-1

= Р(4)

п

суммы легко вычисляются: I (1 + 5+)уФ0(5( ,у) =

у=1

1

-п + Х (1 + 5+)у

у=1

Вообще говоря, большой необходимости в получении столь громоздкого выражения для Рп нет, поскольку его можно получить достаточно просто, как Рп = Мп - Оп = Мп - S , предварительно вычислив общую сумму платежей,

Мп =Х Щ [1 + О(. -1)]=

-п + (1 + 5т )

(1 + 5+ )п - 1

5

у=1

= s-

I (1 + 5( )уФ1 (5( у =

у=1

= п5

п(1 -О) + 0,5рп(п +1) (1 -ОЖ(5т, п) + ОФ1(5(, п) 1 + 0,5О(п -1)

1 |1 + 5„

5 I 5

-п + (1 + 5()

(1 + 5( )п -1 5_

п(п +1)

(1 -О)Ф0(5т, п) +ОФ1(5т , п)

п

где I. = 0,5п(п +1).

у=1

рис. 3. Область допустимых значений параметра (темпа изменения платежей обслуживания) при п от 0 до 60 (а) и при п от 48 до 60 (б) расчетных периодов

т

5

т

1

5

т

2

Тогда Рп = 5

1 + 0,5О(п -1)

--1

(1 -ОЖ(5(, п) + ОФ1 (5 и , п)

К такому компактному виду после достаточно длинных преобразований приводится и полученное ранее прямым вычислением выражение суммы процентных платежей, что доказывает безошибочность сделанных выкладок.

Графики текущих платежей О,, Р,Щ и их наращенные величины

Су = IО., Р = IР, М^ = I, ] = 1,2...п д л я

.=1 .=1 .=1

5( = 0,01, п = 18 при различных значениях параметра в из области его допустимых значений (-0,05882 = О0 < О < О* = 0,6193 ) в зависимости от порядкового номера платежа у (дискретного вре-

мени) представлены на рис. 4. Наращенные величины монотонно возрастают с ростом у. Значения Оп, Рп, Мп на момент завершения кредита здесь также растут при увеличении параметра в.

Эффективность кредитов с учетом реинвестирования

Найдем далее дисконтированную сумму М п в (современную стоимость ссудного капитала кредитора), которую легко вычислить, записывая сначала

= £ (1 + в)-у =

у=1

= Щ [(1 -О)Ф0(в, п) + ОФ1(в, п)],

---проценты .......долг общий итог

£0 =-0.05882 .....£ ...... 0.6193 = £*

рис. 4. Аннуитетный кредит (б, д) и его модификации с убывающими (а, г) и возрастающими (в, г) платежами обслуживания (текущие = , Р. = Р,/5 , Ку = Ку/5 , (а, б, в) и наращенные Су = С, Ру, = , Му = (г, д, е) удельные платежи (на единицу суммы займа) при 5( = 0,01, п = 18 в зависимости от дискретного времени у

для различных значений параметра О

п

п в

а затем с учетом (14) и ф (в п)

т. е. при выполнении £ >--——-- усло-

ау \ гг* / \ У гг* / \ пин 00±±±\^ЛЛ^ШГ±1Г± -

Ж = 5_-£)ф0(в,п) + £ф1(в,п) (17) ф1(в,п)-ф0(в,п)

п в (1 -£)ф0(5т, п) + £ф1(5„, п)' У > £ ф1 (в, п)

вие £ >--может нарушать

Понятно, что основное свойство кредита (1) ф2 (в, п)-ф1 (в, п)

в данном случае выполняется, поскольку при Из отрицательности производной

в = 5т справедливо Жпв _ = 5 . При в = 0 по-

й в

следует также, что в области допустимых зна-лучим Ж в = ж . При п = 1 величина Жпв не „ Е ,

пь 1в=0 п г пъ чений параметра £ положительная функция

в 5т

зависит от £ , поскольку ф0(в,1) = ф1(в,1) = (1 + в)-1 у (в) = (1 - £)ф0(в, п) + £ф1(в, п) строго монотонно и ф0(5т,1) = ф1(5т,1) =(1 + 5т) . Т о г д а убывает по в. Тогда, при в < 5т всегда Жпв > 5, при

= 51 + °т в > 5т, наоборот, Жпв < 5, а при в = 5т справедливо,

1и=1 1 + 8

что Ж в = 5 .

^мдао что при положительных текущих Вычислим теперь терминальную (наращенную

платежах обслуживания Я. > 0, ' = 1,2...п , что к концу срока кредита) стоимость ссудного капитала

обеспечивается выбор°м параметра в в области кредитора Жпв = Жпв (1 + в)п. Поскольку при в < 5т

его допустимых значений, современная стоимость ^ ^ „ _ ^ 0

справедливо, что Жпв > 5 , то тем более Ж„в > 5 .

ссудного капитала (17), во-первых, всегда поло- Последнее справедливо и при в > 5т , хотя тогда жительна: Жпв > 0 , а, во-вторых, с ростом ставки —

^ „ Ж в < 5 . Для доказательства этого утверждения

дисконта в она только уменьшается. Свойство п в " J с

5 (1 -£)ф (в, п) + £ф2 (в, п)

покажем сначала, что терминальная стоимость . < 0 ссудного капитала строго монотонно растет по в,

(1 + в)п + п(1 + в)п-1]

йв 1 + в (1 -£)ф0(5и,п) + £ф1(5и,п) поскольку ее производная

можно доказать чисто математически. Дейс- йЖп в йЖп!

твительно, для отрицательности этой про - ¿в ¿в

изводной необходимо и достаточно выпол - (1 + в)п-15

ф, (в п) =-г(в, п, £),

нить условие £>--( '-- . И оно (1 -£Ш5т, п) + £ф1(5т, п)

б с^2(в,п)-ф1 (в' п ф, п, £) = (1 -£) [пф0(в, п)-ф1(в, п)] +

будет выполняться, если £>-(п -1) , так как л

ф, (в, п) 1 , , , , +£[пф1 (в, п) -ф2 (в, п)] -->-оф2(в, п) < пф1 (в,п) , а 1 ^ 1

ф2 (в, п) -ф1 (в, п) п -1 положительна для всех п, 5т, в, а также любых

последнее неравенство при подстановке в него значений в из области допустимых значений. Дейс-

+ Г(п2 - 1)в -1] ф0 (в, п) + 2(1 + в)ф1 (в, п) твительно, утаты^ что

ф2(в,п) =------. . . . п - (1 + в)ф0(в,п) п

в пф0(в,п) -ф1(в,п) =---у > 0

[1 + (п + 1)в]ф0(в, п) - п

ф1 (в,п) = --в- сводится пф1 (в,п)-ф2 (в,п) = 2п-[2 + (п + 1)в]ф0(в,п) > 0

к верхней оценке Д-функции нулевой сте - 1 + в в

?И , ч ф0(в, п)ф2(в, п)

пени ф0(в,п) <-2п-, доказанной в ра- и ф1(в,п) < ф /п)-' можно записать, что

2 + (п + 1)в *Г1 п)

боте [3, с. 67]. Заметим, что без требования

Я > 0^£>-(п-1)-1 n,£) >(1 -£)

п ъ 4 ' одного лишь условия

Я = Я >0^£>--ф0(вп)- недостаточно +£[пф1 (в,п)-ф2(в,п)] =

фДв, п) -ф0(в, п)

пф (в п) -ф0(в, п)ф2 (в,п) ^0(в,п) ф1 (в, п)

+

—п в п р ч1(1 -£)ф0(в, п) + £ф,(в, п) л

для -< 0, так как всегда выполняется нера- = 1пф1 (в,п) - ф2 (в,п) I-> 0 ,

й в ф1 (в, п)

венство ф2(в,п) <ф0(в,п)ф2(в,п) [3, с. 72], а из

ф °в п) ф (в п) поскольку, как указывалось ранее,

него следует: ф2(в,п1)-ф1(в,п) <ф1(в,п)-ф0(в,п), у(в) =(1 -£)ф0(в,п) + £ф1(в,п) > 0 .

)1 о

п в

п в

и

Ранее уже было замечено, что Мпв > 5 при

dМnB

в < 5( . Но так как —— > 0 , то Мпв > 5 и при

я ё в

в>5(

Попытаемся теперь выяснить, как современная стоимость ссудного капитала кредитора Мп в зависит от параметра в, для чего найдем производную

ё Мп в = 5 Ф0 (5+, п)Ф1 (в, п) - Ф1 (5+, п)Ф0(в, п)

[(1 -О)Ф0(5т, п) + ОФ1 (5+, п)]2

Подставляя сюда выражения для Д-функций первой степени Ф1 (в, п) и Ф1 (5т,п), пплучим

= 5 (5+ -в)х

п

Ф0 (5(, п)Ф0 (в, п) - --[5(Ф0 (5(, п) - вФ0 (в,п)]

о -в

в5„ [(1 -О)Ф0(5„,п) + ОФ1 (5(,п)]2 Выражение, стоящее в числителе этой дроби, ранее уже было исследовано в работе [3, с. 364—370] в связи с задачей сравнительного анализа дисконтированных сумм процентных платежей аннуитетного и ординарного кредитов, где доказано, что

Ф0(5т,n)фо(B,п) -п

5 -в1

т

[5+Ф0(5т,п) -вФ0(в,п)]> 0

для любых в > 0, 5( > 0, включая и случай, когда в = 5( . При в = 0, раскрывая неопределенность, с ё Ф0(в, п) = Ф1 (в, п)

учетом

ё в

1 + в

получим

ё О

= 5п

л- пЕ:

в^0 ёО

2п-[2 + (п +1)5( ]Ф0(5„, п)

25( [(1 -О)Ф0(5(,п) + ОФ1 (5(,п)]2

> 0

Таким образом, можно утверждать, что

> 0

при

0< в <5„

■ = 0 при в = 5 и

т

ё О

■ < 0 при в > 5( . Значит, в том случае, когда

кредитор ожидает падения будущих ставок реинвестирования (в <5т) для повышения ссудного капитала Мпв надо выдавать кредиты с болъшим значением О, т. е. предуспиатриватъроот велвчины текущих платежей обслуживания ближе к концу

срока кредитования. Наоборот, ожидая возрастания будущих ставок реинвестирования (в > 5т), целесообразно выдавать кредиты с меньшими значениями О (вплоть до отрицательных значений), когда величины текущих платежей обслуживания уменьшаются с ростом времени. В стабильной ситуации (в = 5() ссудный капитал Мпв = 5 не зависит от О . Это вполне понятно и по соображениям «здравого смысла». Действительно, ожидая в будущем снижения ставок реинвестирования, кредитору выгоднее замедлять оборот ссудного капитала, оставляя у первичного заемщика как можно большую )часть своих кредитных ресурсов, поскольку при в <5( за счет реинвестирования (новых кредитов) он не сможет получить такие проценты, какие приносит первичный кредит. И, наоборот, прогнозируя рост ставок реинвестирования, кредитору выгоднее быстрее вернуть размещенные кредитные ресурсы с процентами, чтобы вновь их разместить на рынке уже по более высоким ставкам.

При в < 5т и, в частности, при в = 0 наибольшее значение Мп в в области допустимых значений параметра О достигается при О = О*, т. е. на верхней границе области допустимых значений О. Тогда

М I = 5 (1 -О.)Фр(в,п) лQ.фl(в,п) =

(1 -О*Ш5„, п) + О*Ф1(5(, п) = 5 [(1 + 5„)п -1 - (п +1)5(]Ф0(в,п) + 5(Ф1(в,п)

[(1 + 5 )п -1 - (п +1)5 ]Ф0(5 ,п) + 5 Ф1 (5 ,п),

[V т' V ' т I т 0 ^ т* ' тт 1 V т* '

(1 + 5т )п -1 - 0,5(п +1)5(

п в О=О.

= Бп

[(1 + 5и )п -1 - (п +1)5( ] Ф0(5и, п) + 5иФ1 (5и, п)'

где Ф0(0,п) = п, Ф1(0,п) = 0,5п(п +1).

Но при в >5( наибольшее значение ссудного капитала в достигается при уменьшении О до О = О0, т. е. на нижней границе области допустимых значений О, и составит

(1 ЧрЖ^ п) + п) =

= 5

= 5-

О=О0 (1 -О0)Ф0(5т, п) + О0Ф1 (5+, п)

пФ0(в,п) - Ф1 (в,п)

пФ0(5т , п) Ф1 (5т , п)

Дисконтированные суммы процентных платежей и выплат по основному долгу найдем из системы уравнений Спв + Рпв = Мпв , тпв +вЧпв = 5 , Рп в = 5тЧп в, т. е. используя свойства выражений (5) и (6) для кредитов 1-го рода, что уже выплнялось для аннуитетного кредита. Тогда

па

па

в = 0

п в

п в

пь

С. в = -

-5_ 5

в-5.

5

в-5.

(1 -£)ф0(в, п) + £ф1(в, п) (1 -£Ш5И, п) + £ф1(5и, п)

-5.

5т (5 - Жпв)

в-5.

S 5.

в-5.

1 -■

(1 -£)ф0 (в, п) + £фДв, п)

(1 -£)ф0(5и, п) + £ф1(5и, п)

С

lв_5„

= lim

+ !

С в]:

= 5-■

5,^ [(1 -£)ф1 (5„, п) + £ф2 (5„, п)]

(1 +5„ )[(1 -£)ф0(5т , п) +£ф1(5„ , п)]

Рв =-5 Нт Ж'яв

пв я т о пв

|в-°т в^бт

5,^ [(1 -£)ф1 (5„, п) + £ф2 (5„, п)]

(1 + 5т) [(1 -£Ж(5„, п) + £ф1(5т, п)]

(в сумме Рп в + Сп в = 5). Вполне очевидно, что суммы Сп в и Рп в монотонно убывают с ростом ставки дисконта, поскольку среди текущих платежей О. и Р. нет отрицательных по величине.

Вычисляя производную йРпв 5_ йЖпв

й £ в-5т й £

п

ф0 (5т, п)ф ^ п) - 5-[5иф0 (5т, п) - вф0 (B, п)]

5 - в

= 5-

■> 0

С.

1в=0

= 5 и

> 0

При £ = 0 из этих выражений получаются формулы дисконтированных сумм выплат основного долга и процентов в аннуитетном кредите. Отсюда при в =5 и раскрывая неопределенность, найдем

в[(1 -£)ф0(5и, п) + £ф1(5и, п)]

придем к заключению, что дисконтированная сумма процентных платежей монотонно растет с ростом £ . Это справедливо и при в = 0, поскольку тогда

параметра £ (вплоть до отрицательного значения £0), кредитор еще больше уменьшит процентные доходы Рп в, и при этом даже наибольшее значение

ссудного капитала Ж пв = не превысит первоначальной суммы займа 5.

Графики удельной (на единицу суммы займа) современной стоимости ссудного капитала кредитора Жп в = Жп в IБ от срока кредита для различных значений ставки дисконта (реинвестирования) в = 0 ^ 0,03 при 5т = 0,02 и при граничных значениях параметра £ = £0, £ = £. представлены на рис. 5.

Здесь во всех случаях, когда в Ф 5т, выбором параметра £ = £0 или £ = £., удается увеличить величину современной стоимости ссудного капитала кредитора. Для 5т = 0,02 и в = 0,01 (т. е. при в < 5т) наибольшее значение Жп в достигается при максимально возможных £ = £. и оно составит при п = 18 величину 1,11925 , т. е. в 1,054 раза выше, чем при £ = £0, где Жпв = 1,06185 . При п = 60 и £ = £. значение Жпв в 1,127 раза выше, чем при £ = £0. При в > 5т, наоборот, выигрыш достигается при £ = £0. Например, при п = 18 отношение Жпв| ^ ^ составит 1,053, а при п = 60 — уже 1,112.

Таким образом, выбором параметра £, определяющего характер изменения во времени платежей обслуживания кредита, можно существенно увеличить ссудный капитал кредитора. Причем это достигается только за счет ускорения или замедления оборота кредитных ресурсов при той же процентной ставке, т. е. без увеличения доходности кредитора и затратности заемщика.

Заключительные замечания

1. В аналитических исследованиях удобно (особенно для сравнительного анализа различных расчетных схем) считать интервалы между пла-

|£=£,

постоянными, что автром и делалось

При уменьшении ставки дисконта до в < 5 т и увеличивая £, кредитор как за счет изменения в, так и за счет изменения £ обеспечит рост ссудного капитала Жп в, причем вырастут и процентные доходы Рпв . Но при росте ставки дисконта до в > 5т сумма процентных платежей Рп в и ссудный капитал Жп в уменьшаются. В такой ситуации, снижая величину

тежами Я.

ранее. Но на практике платежи обычно связаны с определенными календарными датами , поэтому интервал между платежами - -1 получается непостоянным. Тогда целесообразно в качестве ставки начисления использовать среднедневную процентную ставку 5т = 5/т, где т — число дней в году (обычно принимают т = 365). После этого по заданной сумме займа 5, ставке начисления 5т и сроку кредита в днях N = Т т (где Т — срок кредита, исчисленный в годах) могут быть проведены все

пв

п

пв

п

п

в=0

в = 0

1,9

1,7

1,5

1,3

1,1

0,9

0,7

R n

ù =0.02

1,8549

■Ç = Ç0 ■ е= 0,02

1,1

О' 1,2568 , ' ' ......

, - Г-........^>£ = 0.01 1.1

1,1299, ........../ _ ___- "

.-'*' „ I^'l'l 92 __ _ - - "*

.-.•sic-'- - -°1,o"6i" ** s =

0,9438

--------------------- 0,8555

.8964 .......................£ = ()})i '

...............

0,7693

12 18 24 30 36 42 48 54 60

И

а

1,05

0,95

0,9

R 0Ж = 0.02

n

У'' £ = 0

■'s =0.01

'■•■•■..£=0.03

■4=40 •е=0,02

0 1 2 3 4 5 6

И

б

рис. 5. Дисконтированная сумма МпЕ от срока кредита п от 0 до 60 (а) и от 0 до 6 (б) для различных значений ставки дисконта в при граничных значениях параметра О = и О = О* (однотипные прерывистые линии сверху вниз соответствуют

возрастанию значений в, сплошная линия соответствует случаю в = 5т = 0,02 , когда Мпв = 5 и не зависит от О)

расчеты согласно описанному ранее алгоритму и вычислены величины дневных (на дату ёу) платежей Щ , Рн, Он, где V = 1,2...N. Далее необходимо привести ежедневные платежи к конкретным платежным датам по формуле ЯV (1 + 5Т )ёу ё , где ёу — дата ближайшего предстоящего календарного платежа, а ёу-1 < dv < . После этого надо найти величину очередного календарного платежа, просуммировав приведенные дневные платежи

ёу -ёу-1

Щу = I RVлk (1+ 5Т) у у-1 , начиная с дня, сле-

к=1

дующего за предыдущим календарным платежом. Аналогичным образом вычисляются календарные выплаты основного долга и процентов.

2. Современные компьютерные технологии, в принципе, позволяют строить график платежей обслуживания с заданными свойствами простым подбором. Тогда, при заданной сумме займа 5, сроке кредита п, процентной ставке 5+ =5/т и выбранном темпе линейного изменения платежей обслуживания О, вначале надо при некотором произвольном

R > 0 найти все платежи Ry = R [1 + %( j _1)]. Затем

n

из уравнения S = ^ Rj (1 + ôm)-y , выражающего основное свойство кредита, надо подобрать нужное значение R, т. е. скорректировать первоначально выбранное значение R, а потом и все платежи Ry . Далее надо выполнить расщепление платежа Ry на Py и G y по рекуррентным формулам Pj = Sj öm , Gy = Ry - Py, Sy = Sy_ - Gy, где S0 = S . При этом как подбор величины R, так и расщепление Rj по рекуррентным формулам выполняются вполне элементарно в табличном процессоре Microsoft Excel. Однако при изменении % все указанные операции придется многократно повторять заново. Более того, «слепой» выбор % приведет к появлению отрицательных платежей Gy (при нарушении условия % < %*) или отрицательного последнего платежа Rn (при нарушении условия % > %0 ). Вполне можно представить себе ситуацию, когда при выборе % наугад попасть в диапазон значений %0 < % < не удастся даже после многих попыток. Фактически то, что здесь автор условно назвал подбором платежей, есть

не что иное, как решение уравнения, выражающего основное свойство кредита, и системы рекуррентных уравнений для текущих платежей машинным способом. Но и здесь надо знать границы области допустимых значений параметра £.

3. В исследовании получены явные формулы для расчета платежей обслуживания, выплат основного долга и процентов, что позволяет полностью автоматизировать конструирование кредитов (построение желаемых графиков платежей обслуживания). При этом за менеджером сохраняются функции контролера, который должен учитывать пожелания заемщика в приемлемых для кредитора формах.

Список литературы

1. ЖевнякА. В. Математические модели и общие свойства кредита // Финансы и кредит. 2012. № 15.

2. Жевняк А. В. Операционная и гомогенная эффективные процентные ставки как меры стоимости кредита // Финансы и кредит. 2012. № 18.

3. Жевняк А. В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.

4. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика. М.: Экзамен. 2005. 128 с.

5. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело. 2002. 397 с.