CC BY
19новые методологические подходы к анализу инвестиционных проектов
в аграрной сфере
М.Л. ЯНОВСКАЯ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный аграрный университет им. К. Д. Глинки»
В проблеме оценки эффективности инвестиционных проектов обычно используются различные группы показателей [1 — 8]:
1) показатели эффекта (чистый доход, чистый дисконтированный доход — NPV), чистый будущий доход ^БУ);
2) показатели доходности (внутренняя норма доходности, модификации ВНД с одной внешней нормой дисконта [2 — 4, 9 — 11], модифицированная норма доходности с двумя нормами дисконта [5, 12, 13]; внутренняя норма доходности нестандартных проектов [7], индексы доходности (дисконтированной доходности) затрат и капиталовложений;
3) показатели окупаемости без учета и с учетом дисконтирования;
4) показатели устойчивости проекта [8];
5) финансовые показатели (рассчитываются для конкретных предприятий — участников проекта).
К выбору инвестиционных показателей в аграрной сфере следует подходить с особой осторожностью, учитывая повышенные риски инвестиций в этой области, ввиду больших колебаний результатов производства, продолжительным временным лагом между затратами и получением продукции, сложным нелинейным характером поведения цен на производимую продукцию, невысокую норму прибыли при благоприятном исходе проекта.
В настоящей работе проводится апробация некоторых показателей для сложных инвестиционных проектов, предложенных авторами статьи в работах [7, 8], а также рассматривается показатель (дисконтированной) отдачи инвестиционных вложений, позволяющий оценить привлекательность проекта для инвестора. Рассматривается подход, позволяющий добиться заданной суммарной устойчивости (степени риска) при долевом участии инвестора в нескольких проектах и выбрать степень участия в каждом проекте.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВНД
Определение 1. Поток финансовых платежей назовем стандартным потоком первого рода А или стандартным потоком кредитора, если он имеет следующий вид: - а0;Ь1;Ь2;...;Ь1, где а0 >0;Ь: >0;Ь2 >0;...;Ь1 >0. Стандартный поток первого рода является частным случаем регулярного потока (см. определение в [11]).
Определение 2. Поток финансовых платежей назовем стандартным потоком второго рода В или стандартным потоком заемщика, если он имеет следующий вид: Ь0;-а1;-а2;...;-а1, где Ь0 > 0;а1 > 0;а2 > 0;...;а1 > 0.
Определение 3. Потоки финансовых платежей называются взаимно сопряженными (В = А), если платежи в первом потоке равны (со знаком минус) поступлениям во втором потоке, и наоборот, поступления первого потока равны (со знаком минус) платежам второго потока.
Стандартные потоки кредитора и заемщика (см. определения 1 и 2) будут сопряжены, если
а0 = Ь0; а1 = Ь1; ...; а = Ь1 ■
Определим внутреннюю норму доходности для стандартных проектов первого рода.
Определение 4. Внутренней нормой доходности (ВНД) постнумерандо стандартного проекта первого рода (ВНД 1) определим как величину показателя г, являющегося корнем уравнения:
-0) +
ъ
ъ
1 + г
+... +
ъ
= 0.
(1)
(1 + г )2 (1 + г)
Данное определение совпадает со стандартным определением ВНД, приводящимся во всех учебниках по инвестиционному анализу.
Из экономического смысла показателей доходности должно вытекать, что доходности сопряженных потоков должны совпадать по абсолютной
величине, но быть противоположными по знаку. Однако обычно употребляемый показатель ВНД этим свойством не обладает. Точнее, если применять одну и ту же формулу (1) для сопряженных потоков, то показатель ВНД получается одинаковый.
Несколько отличается от этого определения определение ВНД, для которого процесс кредитования начинается с дисконтирования самой суммы кредита по ставке процента кредита (процесс кредитования пренумерандо).
Определение 5. Внутренней нормой доходности пренумерандо стандартного проекта первого рода (ВНД2) определим как величину показателя г, являющегося корнем уравнения:
-а>
к
к
- +... + -
к
= 0. (2)
ВНД1 - Ьо +
а
1 - г (1 - г)2
+... +
(1 - г)
= 0;
для
ВНД2
-Ь
а
о.
1 + г (1 - г)2 (1 - г)3
- +... + -
(1 - г)
= 0.
Возвращаясь к исходным финансовым потокам, получаем окончательно формулы (3), (4):
Ьо -
к
«2
____
1 - г (1 - г)2 а о2
(1 - г у
= 0;
1 + г (1 - г)2 (1 - г)3
(1 - г У
(3)
= 0. (4)
I (1 - гу 1
ЕтЛг=1;
(1 + г)1
I > 0; 1 > 0;
(5)
Ь
г, 1 > 0; I > 0,
1 - г (1 + г)2 (1 + г)3 (1 + г)'+1
Для стандартных проектов второго рода определим внутреннюю норму доходности через сопряженные стандартные проекты первого рода.
Определение 6. Пусть г (А) — ВНД1 или ВНД2 сопряженного к стандартному проекту второго рода В (Ь0;-а1;-а2;...;-а,) стандартного проекта первого рода В = А . Тогда, по определению, г (В) = г (А).
Из определения 6 вытекает, что должны быть выполнены следующие равенства для г (В): для
Пусть нестандартный инвестиционный проект задается набором финансовых поступлений сг;с2\...с,, где значение = с, >0 показывает величину денежного поступления в момент времени I = i на счет фирмы, а если - а, = с, < 0, то а1 показывает величину расходов, произведенных со счета фирмы.
Для нестандартных проектов с произвольно чередующимися показателями доходов и расходов получаем следующие формулы расчета г — внутренней нормы доходности ВНД1 (пренумерандо) и ВНД2 (постнумерандо):
^ ^ ,, , , (6) V (1 - г) 1 (1 + г)1 ' ' '
где bJ — положительные поступления на счет проекта в момент времени у > 0, а — а1 — отрицательные поступления (выплаты) со счета проекта в моменты времени i > 0.
Вычисляя внутреннюю норму доходности нестандартного проекта, мы получаем объективную числовую характеристику соотношения между положительным и отрицательным финансовыми потоками проекта. Положительная внутренняя норма доходности показывает, что превалирует доходная часть проекта над расходной частью, отрицательная ВНД, наоборот, говорит о преобладании расходной части проекта над доходами. О качестве сравниваемых проектов можно судить по их внутренним нормам доходности. Полезно проводить также мониторинг нормы доходности проекта по периодам и судить о периоде, за который норма доходности проекта становится положительной. Этот период является важным временным показателем наряду со сроком окупаемости проекта. Но если срок окупаемости не связан с конечным эффектом проекта, что является его крупным недостатком, то мониторинг временных изменений ВНД проекта дает гораздо более качественную полную картину проекта.
Продемонстрируем сказанное для двух проектов, разработка которых выполнена в Воронежском аграрном университете1:
1) проект для ООО «Колос» Новоусманского района Воронежской области (табл. 1);
2) проект для ООО «Агрофирма Свишенская» Долгоруковского района Липецкой области (табл. 2).
Рассмотрим поведение ВНД1 первого проекта для ООО «Колос» Новоусманского района Воронежской области и второго проекта для ООО «Агрофирма Свишенская» Долгоруковского района Липецкой области. Расчеты представим в табл. 3 и графически (рис. 1).
Как видно из данных табл. 3, очевидно преимущество проекта для агрофирмы «Свишенская». Начиная со второго года, наращивание доходной части по сравнению с расходами в данном проекте идет гораздо быстрее, чем в проекте ООО «Колос» (см. рис. 1).
1 Отчет о движении денежных средств проектов (табл. 1) предоставлен автору профессором А.К. Камаляном.
к
а
а
а
а
о
х. гп
о
7\
2009 г. 2008 г. 2007 г. 2006 г. 2005 г. 2004 г. Привлеченные средства
4 210 360 4 765 132 5 182199 5 574 273 6 128 536 21 343 629
2 300 ООО
519 805 585 979 648 259 699 458 728 088 79 594
130 661 197 718 259 653 314 560 352 371 599 959
244 641 312 592 343 977 433 478 467 884 3 557 420
722 635 791 492 914 532 868 372 1 010 422 1 229 154
476 301 546 076 621 592 672 579 738 598 4 047 202
470 969 541 675 633 830 694 233 742 717 3 500 373
347 869 419 517 477 421 504 793 593 354 721 244
1 297 479 1 370 083 1 282 936 1 386 800 1 495 102 7 608 685
2009 г. 2008 г. 2007 г. 2006 г. 2005 г. 2004 г. Сальдо от операционной и инвестиционной деятельности
6 557 018 6 122 199 6 430 321 6 706 999 6 006 522 -13 013 447 Итого
-2 300 ООО Стартовые затраты
-507 580 -507 580 -509 826 -506 599 -497 092 -48 927 Январь
-111 506 -111 506 -112 576 -112 375 -111 667 -568 231 Февраль
-223 743 -223 743 -193 438 -227 099 -222 482 -3 517 693 Март
-698 475 -698 475 -759 407 -656 213 -758 781 -1 141 994 Апрель
-442 506 -442 506 -454 273 -448 842 -473 485 -3 943 654 Май
-430 824 -430 824 -458 223 -461 528 -467 756 -3 342 862 Июнь
-301 444 -301 444 -293 363 -262 831 -308 490 -517 061 Июль
-1 246 416 -1 246 416 -1 092 512 -1 138 108 -1 202 327 -7 394 886 Август
3 761 675 3 055 532 3 358 740 3 155 917 2 972 687 1 433 913 Сентябрь
2 410 880 2 576 969 2 240 965 2 422 182 2 409 220 2 238 491 Октябрь
2 322 928 2 226 817 2 353 029 2 472 122 2 334 156 1 895 480 Ноябрь
2 024 028 2 225 375 2 351 204 2 470 372 2 332 539 1 893 975 Декабрь
о
х. гп
о
7\
СО
СП
о.
я а*
Я
со
2008 г. 2007 г. 2006 г. 2005 г. 2004 г. Сальдо от операционной и инвестиционной деятельности
66 221 104 60 450 622 49 105 552 59 585 252 -62 070 366 Итого
196 608 1 136 370 1 688 553 914 717 -480 298 Январь
-2 630 191 -2 359 250 -2 950 258 -2 668 887 -4 499 278 Февраль
-10 512 690 -1 787 837 -9 238 920 -2 264 027 -24 534 920 Март
-3 437 040 -3 358 485 -3 725 482 -2 653 304 -2 963 650 Апрель
-8 303 179 -7 373 076 -6 612 057 -3 688 923 -12 536 876 Май
-6 151 181 -3 492 799 -13 733 682 -4 637 348 -9 600 308 Июнь
-3 185 799 -3 490 567 -3 168 884 -3 384 872 -4 356 459 Июль
-3 624 212 -16 290 067 -5 238 435 -4 975 564 -17 572 961 Август
28 903 435 25 825 114 25 072 526 21 120 243 -19 202 255 Сентябрь
31 421 293 27 834 367 28 431 470 23 451 482 12 979 643 Октябрь
25 174 303 24 137 404 21 540 291 20 636 922 12 708 458 Ноябрь
18 369 757 19 669 447 17 040 429 17 734 811 7 988 538 Декабрь
2009 г. 2008 г. 2007 г. 2006 г. 2005 г. 2004 г. Сальдо дисконтированных потоков Сальдо от операционной и инвестиционной деятельности
4 792 306 4 705 346 5 209 898 5 727 561 5 391 368 -12 895 162 Итого
-2 300 ООО Стартовые затраты
-391 273 -412 178 -436 121 -456 514 -471 880 -48 927 Январь
-85 584 -90 156 -95 884 -100 827 -105 545 -565 771 Февраль
-170 985 -180120 -164 043 -202 879 -209 374 -3 487 309 Март
-531 465 -559 860 -641 222 -583 691 -710 985 -1 127 230 Апрель
-335 243 -353 154 -381 915 -397 510 -441739 -3 875 822 Май
-324 980 -342 343 -383 569 -406 976 -434 506 -3 271 144 Июнь
-226 401 -238 498 -244 505 -230 762 -285 321 -503 778 Июль
-932 077 -981876 -906 619 -994 918 -1 107 213 -7 173 733 Август
2 800 828 2 396 607 2 775 182 2 746 918 2 725 676 1 385 010 Сентябрь
1 787 298 2 012 498 1 843 599 2 099 148 2 199 469 2 152 790 Октябрь
1 714 642 1 731 519 1 927 413 2133155 2 121 716 1 815 021 Ноябрь
1 487 546 1 722 908 1 917 583 2 122 419 2 111 071 1 805 731 Декабрь
Окончание табл. 2
Сальдо от операционной и инвестиционной деятельности Итого Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Привлеченные средства
2004 г. 118 983 898 760 298 4 788 782 24 884 284 3 624 067 13 242 594 12 243 558 10 351 171 18 613 590 30 475 554
2005 г. 33 395 694 202 030 3 788 160 3430652 3 862 812 4 946 716 5 956 975 4 778 961 6 429 390
2006 г. 50 244 342 3 491 025 9 823 325 4 432 678 7 374 662 14 588 470 4 206 028 6 328 154
2007 г. 39 319 303 2 398 811 1 857 383 3 451 248 7 508 980 3 722 565 3 766 865 16 613 451
Сальдо дисконтированных потоков
2004 г. -61 684 586 -480 298 -4 486 175 -24 392 220 -2 937 832 -12 391 466 -9 461 322 -4 280 886 -17 217 826 -18 759 399 12 643 368 12 343 156 7 736 312
2005 г. 55 667 854 883 257 -2 569 588 -2 173 444 -2 539 727 -3 520 732 -4 413 025 -3 211 754 -4 707 341 19 923 500 22 058 215 19 354 339 16 584 153
2006 г. 43 976 101 1 574 399 -2 742 795 -8 564 222 -3 443 361 -6 093 545 -12 619 837 -2 903 397 -4 785 584 22 838 358 25 822 568 19 506 755 15 386 765
2007 г. 52 571 347 1 023 104 -2 117 910 -1 600 276 -2 997 392 -6 561 183 -3 099 134 -3 088 134 -14 369 987 22 714 808 24 410 772 21 106 881 17 149 797
2008 г. 55 508 214 170 923 -2 279 927 -9 086 166 -2 961 998 -7 134 736 -5 270 179 -2 721 564 -3 087 075 24 548 011 26 608 736 21 256 462 15 465 725
Перейдем к изучению устойчивости проектов. В условиях неопределенности обычные показатели эффективности проекта становятся плохо предсказуемыми. Предубеждение некоторых менеджеров против оценки проектов на основе связанных с ними денежных потоков базируется на расчете ЧДД ^Р^, весьма неточном из-за ошибок прогноза. Один из способов преодоления недоверия — моделирование множества сценариев денежных потоков при различных исходных предположе-
ниях об изменениях внешних условий. Проект признается устойчивым, если ЧДД проекта остается положительным при всех (или почти всех) вариантах вероятных изменений внешней среды. Однако до недавнего времени не был предложен какой-либо объективный метод, позволяющий сравнить два проекта по степени устойчивости, т. е. по способности проекта иметь неотрицательное ЧДД при неблагоприятных изменениях параметров прогнозного денежного потока.
Таблица 3
Поведение ВНД1 первого и второго проектов
«Агрофирма Свишенская» 2004 г. 2004 - 2005 гг. 2004 - 2006 гг. 2004 - 2007 гг. 2004 - 2008 гг.
ВНД1 -0,0625 -0,000768 0,00628 0,00816 0,00852
ООО «Колос» 2004 г. 2004 - 2005 гг. 2004 - 2006 гг. 2004 - 2007 гг. 2004 - 2008 гг. 2004 - 2009 гг.
ВНД1 -0,0626 -0,0160 -0,00249 0,00233 0,00416 0,004978
Расчет ВНД1
0,02 0,01 0 -0,01
а -0,02
х
ш -0,03
-0,04 -0,05 -0,06 -0,07
" Ряд 1 " Ряд 2
Годы
Рис 1. Графики изменения ВНД1 для агрофирмы «Свишенская» (ряд 1) и ООО «Колос» (ряд 2)
Введение новой характеристики устойчивости проекта приобретает особую остроту для нестандартных проектов, для которых доходы и расходы чередуются в произвольном порядке. Зависимость ЧДД от нормы дисконта для таких проектов не является монотонной, и сравнение нестандартного и стандартного проектов по критерию ЧДД может не дать определенных результатов. Приведем соответствующий пример.
Рассмотрим рискованный проект А со следующими денежными потоками (по годам) и альтернативный безрисковый проект Б (см. табл. 4):
Таблица 4
Рискованный проект А и альтернативный безрисковый проект Б
10 % годовых. А кредит под 10 % годовых для проекта Б не обеспечит возврат средств и возврат процентов по кредиту. Однозначный выбор между проектами А и Б по критерию ЧДД оказывается невозможен в силу неопределенности внешних условий для проектов.
Дополнительный анализ проектов, предложенный в работе [8], заключается в том, что исследуется устойчивость каждого проекта по отношению к ежегодным изменениям в денежных потоках в неблагоприятную сторону на определенное число процентов (вводится величина дисконта устойчивости проекта). Максимальная величина дисконта устойчивости, при которой суммарный денежный поток остается неотрицательным, назовем внутренним показателем устойчивости проекта (ВПУ). Перейдем к точным формулировкам.
Зададим ВПУ как корень г уравнения:
ЕттЧ=1 Ь (1 - г), г е(0,1),• > 0; ] > 0. (7) • (1 - г)
В частности, для проектов первого рода уравнение для расчета ВПУ принимает вид:
-а
1 - г
+ Ь2(1 - г)2 + Ь3(1 - г)3 +... + Ь,(1 - г)1 = 0. (8)
А -195 800 -725 55 45 15
Б -195 45 45 45 45 45
Для проектов второго рода имеем:
¿1(1 - г) --
а
= 0.
Очевидно, что чистый доход (ЧД) проекта А равен — 5, а чистый доход проекта Б положителен и равен +30 денежных единиц.
Однако, применив норму дисконта 10 %, получаем противоположный результат.
Тогда проект А становится эффективным, его ЧДД равен 14,447, а проект Б становится неэффективным с ЧДД, равным — 24,415.
Таким образом, проект А становится эффективным при накоплении денежных средств на едином депозитном счете со ставкой процента
... (9)
(1 - г)2 (1 - г)3 (1 - г)' Всюду в дальнейшем будем предполагать, что чистый доход проекта положителен, т. е. выполнено условие:
Iа<1Ь.
• ]
Очевидно, что дисконтирование доходов и расходов в неблагоприятную сторону с течением времени может осуществляться с разной скоростью (разными нормами дисконта). Мы приходим к двухпараметрическому обобщению внутреннего показателя устойчивости проекта.
Таблица 5
Расчет дисконтированной отдачи инвестиционных вложений
Агрофирма «Свишенская» 2004 г. 2004 - 2005 гг. 2004 - 2006 гг. 2004 - 2007 гг. 2004 - 2008 гг.
ДОИВ -0,505 -0,0418 0,2113 0,4419 0,7128
ООО «Колос» 2004 г. 2004 - 2005 гг. 2004 - 2006 гг. 2004 - 2007 гг. 2004 - 2008 гг. 2004 - 2009 гг.
ДОИВ -0,6589 -0,3453 -0,1244 0,0311 0,1472 0,2517
определение 7. Назовем ВПУ (гр г2) пару чисел гх е [0,1), г1 е [0,1), являющихся решением уравнения
I тЛу=1 Ь>(1 - ^ • *0;; *0. (ю)
• (1 " /1) 7
При гх = Г2 получается исходное определение ВПУ. Выбирая различные соотношения между показателями (гр можно учесть прогнозы относительно различной степени изменения положительных и отрицательных слагаемых проекта в неблагоприятную сторону.
определение 8. Назовем множеством устойчивости инвестиционного проекта (МУ) множество точек О (х, у) на квадрате [0,1] х [0,1], лежащих на прямой, соединяющей начало координат (0,0) и какую-либо точку ВПУ (гр где (гр г2) - некоторое решение уравнения (10).
определение 9. Множество точек вида ВПУ (гр где (г*!, - некоторое решение уравнения (10), назовем границей устойчивости (ГУ) инвестиционного проекта.
Очевидно, что проект А будет более устойчив, чем проект Б, если множество Об (х, у) включено в множество Оа (х, у). По виду множеств устойчивости проектов можно судить о рисках для расходной
части проекта (величина max (rx)) и рисках для доходной части проекта (величина max (г2)), а также о возможных одновременных предельных колебаниях доходной и расходной частей проекта в неблагоприятную сторону (значение пары (rp
Для сравнения устойчивости проектов для ООО «Колос» Новоусманского района Воронежской области и проекта для ООО «Агрофирма Свишенская» Долгоруковского района Липецкой области были рассчитаны множества устойчивости, лежащие под границами устойчивости, изображенными на рис. 2. Очевидно, что проект для для ООО «Агрофирма Свишенская» гораздо более устойчив к неблагоприятным изменениям параметров, чем проект для ООО «Колос».
Перейдем к оценке показателя дисконтированной отдачи инвестиционных вложений.
определение 10. Дисконтированной отдачей инвестиционных вложений (ДОИВ) назовем отношение ЧДД проекта к дисконтированной сумме дополнительных вложений (ДСДВ) в проект за весь период действия проекта Гили за определенный период t. Приведем расчетную формулу:
ДОИВ (t) = ЧДД (t) / ДСДВ (t) t = 1, 2, .... Г. (11)
Рис 2. Анализ устойчивости проектов для ООО «Колос» Новоусманского района Воронежской области и проекта для ООО «Агрофирма Свишенская» Долгоруковского района Липецкой области
Применим формулу (11) для проектов для ООО «Колос» Ново-усманского района Воронежской области и проекта для ООО «Агрофирма Свишенская» Долгоруковского района Липецкой области. Выберем месячную ставку дисконта, равную 1 %.
Результаты расчетов занесем в табл. 5.
Итак, сравнивая два проекта, мы видим (рис. 3), что отдача первого проекта становится положительной уже на третий год работы. В то время как отдача второго проекта становится положительной только на четвертый год. Кроме того, на 1 руб. вложений в первом проекте получается 71 коп. дискон- инвестиционных вложений для ООО «Колос» Новоусманского тированной прибыли, а во втором проекте района Воронежской области и проекта для ООО «Агрофирма только 25 коп. Если рассчитать среднегодовую Сгашежкая» Долгоруковского ратат Лшец^ области
отдачу от вложений в проекты, то результаты будут еще более различными. Первый проект на Таким образом, следует вывод о несомненной 1 руб. вложений приносит 14,2 коп. дисконтированной предпочтительности проекта для ООО «Агрофирма прибыли, а второй - только 4,2 коп. Свишенская» перед проектом для ООО «Колос».
Литература
1. Виленский П. Л., Лившиц В. Н, Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: Учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: Дело, 2004. — 888 с.
2. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов: Пер. с англ. / Под ред. Л.П. Белых. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — 631с.
3. Гиляровская Л. Т., Ендовицкий Д. А. Финансово-инвестиционный анализ и аудит коммерческих организаций. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.
4. Ендовицкий Д. А. Анализ и оценка эффективности инвестиционной политики коммерческих организаций. — Методология и методика. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998.
5. Соболев В. Ю. Применение показателя внутренней нормы доходности для оценки инвестиций производственных предприятий// Экономический анализ: Теория и практика. — 2004, № 18, с. 1 — 16.
6. William H. Jean. On Multiple Rates of Return. Journal of Finance, March 1968.
7. Яновский Л. П., Яновская М. Л. Расчет внутренней нормы доходности, показателя масштаба инвестиций и чистой дисконтированной стоимости для нестандартных инвестиционных проектов// Экономический анализ. — 2006 март. Вып. 5 (62).
8. Яновский Л. П., Яновская М. Л. Анализ устойчивости нестандартных инвестиционных проектов // Экономическое прогнозирование: модели и методы; материалы Международной научно-практической конференции, 30 — 31 марта 2006 года; в 2 ч. /Воронежский государственный университет, 2006 — ч. 2. — с. 114 — 118.
9. Беленький В. 3. О норме доходности инвестиционного проекта // Экономика и математические методы, т. 41, №1, 2005, с. 3-19.
10. Myers S. C. Interactions of Corporate Financing and Investment Decisions Implications //J. Finance, V. 29, № 1, 1974.
11. Виленский П. Л., Смоляк С. А. Показатель внутренней нормы доходности и его модификации / Аудит и финансовый анализ. 1999, вып. 4. (см. также препринт №WP/98/060. М.: ЦЭМИ РАН, 1998).
12. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей МЭНД — мощное оружие аналитика // Рынок ценных бумаг. — 1997, № 12.
13. БронштейнЕ.М., Спивак С.И. Сложные инвестиции и потоки платежей // Рынок ценных бумаг. — 1997, № 3.
