Расчет деформирования пластины с трещинами Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 622:539.3

DOI: 10.18303/2618-981X-2018-5-245-250

РАСЧЕТ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИНЫ С ТРЕЩИНАМИ

Валерий Алексеевич Шутов

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна и искусства, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 38, доктор технических наук, профессор, тел. (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru

Валерий Егорович Миренков

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики горных пород, тел. (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

Все известные решения для областей с угловыми точками некорректны, поскольку допускают большие деформации, т. е. не имеют ни математического, ни физического смысла. Предложен метод, исключающий некорректность.Одной из основных проблем механики является разрушение. Во всех этих вопросах важнейшая роль отводится трещинам, которые либо имеются в пластине, либо образуются в процессе перераспределения давления. Чтобы знать влияние трещин на разрушение и обобщать полученные экспериментальные данные необходимо иметь аналитическое описание напряженно-деформированного состояния в окрестности трещин, моделируемых математическими разрезами.

Ключевые слова: угловые точки, решение, уравнения, граничные условия, некорректность, бесконечность.

CALCULATION OF A PLATE WITH CRACKS DEFORMATION

Valery A. Shutov

Novosibirsk State University of Architecture, Design and Arts, 38, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Professor, phone: (913)896-74-66, e-mail: va_shutov@mail.ru

Valery E. Mirenkov

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia,

D. Sc., Professor, Chief Researcher, Rock Mechanics Laboratory, phone: (383)217-06-93, e-mail: mirenkov@misd.nsc.ru

All known solutions for domains with angular points are incorrect due to considerable deformation tolerance, i. e. they have neither mathematical nor physical significance. A method eliminating the incorrectness is proposed. One of the main problems of mechanics is failure. In all these questions the most important role is assigned to cracks, which may be found in a plate or can be formed in the process of pressure redistribution. In order to obtain the cracks influence on the failure and to sum the obtained experimental data up, it is necessary to have an analytical description of the stress-strain state in the vicinity of cracks modeled by mathematical cuts.

Key words: angular points, solution, equations, boundary conditions, incorrectness, infinity.

Рассматривается образец в виде прямоугольной пластины с двумя одинаковыми, лежащими на одной прямой боковыми разрезами. Разрезы сделаны на участках a < \x\ < d. Внешние усилия приложены только на части границы

d< \х\ < с в виде нормальных напряжений а0(х). В силу симметрии задачи будем рассматривать только верхнюю половину образца И > у > 0, так что граница этой части Г = Г + Г2 + Г3 + Г4. Граничные условия для области О с границей Г сформулируем в виде

ап = а0(х) , на Г для с < \ х \ < d; а = 0, на Г для а < \ х \ < с;

п ' 1 '

V = 0, на Г для \х\ < а; (1)

х = 0, на Г;

п

а = 0, на Г + Г + Г.;

п ' 2 3 4'

где ап, х - нормальные и касательные напряжения на Г;

V - нормальная компонента смещений.

Система уравнений для границы рассматриваемой области, связывающая значения компонент напряжений и смещений получается с учетом (1). После получения без предположений на процесс деформирования таких соотношений, впервые связывающих граничные значения компонент напряжений и смещений, становится возможным проанализировать поведение напряжений (деформаций) в окрестности сингулярных точек. Математика доставляет в механику специальный класс точных решений при недопустимых для последней предположениях (идеального проскальзывания, абсолютной твердости одного из контактирующих тел, использование конформного отображения с существованием точек, где конформность нарушается и т. п.), которые приятно изучать и которые приводят к вырожденным уравнениям типа Фредгольма первого рода [1, 2]. Как показано в [3], сингулярность напряжений, если свести соответствующую задачу к интегральному уравнению, либо имеет место, либо отсутствует. Эту вторую возможность поведения решения в окрестности угловых точек обычно игнорировали.

Задача об образце с разрезами сводится к рассмотрению прямоугольной области О с граничными условиями (1).

Наибольший интерес представляют напряжения а (х) на \ х \ < а. Сингулярности решения могут возникнуть только в вершинах разрезов при х = + а, поэтому выпишем уравнение, определяющее нормальную компоненту смещения ^(х) для части границы Г. В данном случае имеем:

- на Г

- на Г

t = б, = х, dt = d, d-—— = 0; 0 I - ¡о

t = d + ¡б, ^ = х, dt = ids,

г - и

= -2(а - х)

2 2'

2^(а - .)+/ (а - .) - ^

ds;

(а - .)2+^2

- на Г

3

? = ы + = х, ж = ж?, а

г - г0

г - гп

= 2 И-

2к(^ - х) + / (¿* - х)2 - И2

ds;

(^ - х)2 + И2'

- на Г,

4

? = -ж + = х, ж = /ж?, а

г - го г - г„

2(а+х)-

2 2"

2^(а+х) + / (а+х) - ^

(а+х)2 + ^2

ds

Тогда

/ч к+1 а / , 1И (а - х) 1 у (х ) =- I —— ds--I у ' 1

s - х л0

-а

Иузds

-х)2 + s2 л а (s-х)2 + И

+

11

+

10 (а + х)1И (а -х){2s(а -х)м2 -[(а -х)

+11Л. \2 4 2 -11-"-

22 S

Л И (а+х) + s2

2 . 2

(а - х) +

^-аи|2И(s - х)м3 - (s - х)2 - И2 у3 |

-а

+-Ч

Л а

ds

1

- и

о (а + х

(s - х)2 + И2

+ х)м4 + (а + х)

■ds.

(И + х)2 + s2

■ds +

(2)

Здесь индексы у компонент смещений обозначают отношение к соответствующей части Г / = 1, 2, 3, 4.

Продифференцируем (2) по х и учитывая, что в силу симметрии деформирования у2 = у4 , «2 = -и4, а «3 (х) - антисимметричная, проведем качественный

анализ поведения выражений (2), как функций от х. Все правые части (2) при х = 0 обращаются в нуль, а для отрицательных и положительных значений х получаем отличие только в знаке, т. е. они антисимметричны по х. Для функций /4 (х) и /6 (х) сказанное выше не совсем очевидно, поэтому исследуем их допол-

нительно. Рассмотрим функцию ¡4(х). Для отрицательных и положительных

4

значений х имеем

■( — _ \ _ d (Я + Х0) у3Ся _ . . ( _ с

14(Х = Х0) = | г -,3 = '41; 14(Х = Х0) = |

3 = '41 ; '4(Х = Хр) = | г -|3 = '42,

|(я + х0)2 + к2 с |(я-х0)2 + к

откуда следует, что

с

'41 = -|

Произведя замену б = , получим

( я + х0) у3ся -с| (я + х0)2 + к2_|3

-с

-<Л- х0)у3(я1)(-1)Ся1

I

( - Х0)2 + к

'41 = I г- 2 2П3 = '42,

т. е. ¡4 (х) - антисимметрична.

Согласно общей теории сингулярных интегральных уравнений [1, 2], ограниченное решение уравнения (5) запишется следующим образом

а, ( х

(Х ) = - , (3)

1 ) (К + О* 2- Я2 (Я-Х)

если выполняется условие [3]

Г-Р^ = 0. (4)

•'/22 -а^а - Я

Условие (4) выполняется автоматически в силу антисимметричности F(s).

В частном случае, когда внешние усилия а0 (х) приложены всюду на разрезе при а < \ х \ < d и принимают значения а0 (+ а) ф 0, сказанное выше сохраняется, если положить с = а. При этом, учитывая (4), имеем

{й + х)(а - х)

Тогда в правой части уравнения (3) имеем логарифмическую особенность при х = + а. Чтобы избавиться от нее будем искать решение уравнения (3) в виде

ay(x) = a0(±a) + av1(x) .

yi

Следовательно, для определения ayi(x) получим выражение (5), где

F(t) = F(t, c = a) и следовательно непрерывность напряжений всюду на Г, что

и лежит в основе вывода уравнений теории упругости.

Таким образом, точное решение задачи по определению нормальных напряжений на продолжении разрезов получается при обращении уравнения (4) и представляется в квадратурах в виде (5). Тем самым снимается вопрос о коэффициентах интенсивности напряжений и их рои в механике разрушения.

В качестве примера получения информации о F(s) для расчета напряжений по формуле (4) рассмотрим случай области Q (рисунок).

2-Ц-U

10 20 30 40 50 60 70 80

2-Ц-V

10 20 30 40 50 60 70 80

Смещения контура образца с разрезами

0

5

10

5

0

Для получения дополнительной информации достаточно провести расчет для половины О при 0 > х > -Ж На части границы х = 0, 0 < у < И, в силу симметрии деформирования, положим

и(у) = т(у) = 0.

Величины, имеющие размерность длины, отнесены к а, размерность напряжений - к а0. В результате безразмерные величины имеют вид: а = 1, с = 2,

d = 3, И = 2, а0 = 1, ц = 3,84 . 104, к = 2. На рисунке приведены смещения границы области -3 < х < 0, 0 < у < 2. Граница рассматриваемого прямоугольника

развернута в прямую линию, так что участку х = 0, 0 < у < 2 соответствуют точки от 1 до 11, участку -3 < х < 0, у = 0 - от 11 до 41, участку х = -3, 0 < у < 2 -от 41 до 51, у = 0, -3 < х < 0 - от 51 до 81. Компонента напряжений а (у),

0 < у < 2 знакопеременна, обращается в нуль при у = 1. При 0 < у < 1 имеют место растягивающие напряжения а , а при 1 < у < 2 сжимающие, так что напряжения на 0 < у < 2 самоуравновешены.

Таким образом, сингулярное интегральное уравнение, определяющее нормальные напряжения на продолжении разрезов. Проведен анализ уравнения и выписано единственное решение его в квадратурах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боджи Д. Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора // Прикладная механика. Американское общество инженеров механиков. - 1971. - Серия Е. - Т. 38, № 2. - С. 87-96.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М. : Наука, 1966. - 708 с.

3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. - М. : Наука, 1966. -

606 с.

© В. А. Шутов, В. Е. Миренков, 2018